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Autorizada la entrega del proyecto al alumno:
Javier Roldán Pérez
LOS DIRECTORES DEL PROYECTO
Aurelio García Cerrada
Fdo: Fecha:
Juan Luis Zamora Macho
Fdo: Fecha:
Vº Bº del Coordinador de Proyectos
Álvaro Sánchez Miralles
Fdo: Fecha:
PROYECTO FIN DE CARRERA
DISEÑO DE UN REGULADOR ROBUSTO
PARA FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA
DIRECTORES: Aurelio García Cerrada
Juan Luis Zamora Macho
AUTOR: Javier Roldán Pérez
MADRID, Junio de 2009
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
A mi padre
4
AGRADECIMIENTOS
Todo el trabajo realizado en este proyecto no habría sido posible sin la
ayuda de un gran número de personas, a las cuales estoy sinceramente
agradecido y les dedico este trabajo.
Quiero agradecer a mis directores de proyecto, Aurelio García Cerrada y
Juan Luis Zamora Macho todo el apoyo que me han brindado. Gracias por
todas las horas que han dedicado a resolver mis dudas y todas las ideas
que me han proporcionado para poder seguir adelante. Sin ellos este
proyecto no habría sido posible.
Gracias a Omar Pinzón Ardila, ya que gran parte del trabajo realizado se
ha basado en estudios anteriores realizados por él. También gracias por las
ilustraciones utilizadas en su tesis doctoral, para modificarlas e incluirlas
en el proyecto.
Gracias a los miembros del taller, que tanto me tanto tiempo han dedicado
a consejos y ayudas para el desarrollo del prototipo de laboratorio.
A la Universidad Pontificia Comillas y los miembros del departamento de
Electrónica y Automática quiero agradecerle el poder haber usado sus
instalaciones para el desarrollo del proyecto. Sin todo el material prestado
nada no se habría podido construir la plataforma experimental.
Por último quiero agradecer a mis padres, a mis hermanos, a mi familia, a
Amaia y a mis amigos, que han estado todo el tiempo junto a mí para
apoyarme y darme los ánimos necesarios para poder llevar a buen término
el proyecto.
5
RESUMEN DEL PROYECTO
La calidad del servicio eléctrico se ha identificado tradicionalmente con la
continuidad en el suministro eléctrico, pero recientemente se han
incorporado otros conceptos tales como la calidad de la onda.
El mantenimiento de la calidad de la onda depende de muchos factores,
unos asociados a la red suministro, y otros asociados a los consumidores.
El nivel de perturbaciones introducidas en la red por ciertos consumidores
puede afectar negativamente a la calidad de la onda de la red. En gran
medida, este aumento de las perturbaciones se debe a cargas que
consumen corrientes no sinusoidales. Estas corrientes no sinusoidales
circulan por la red y dan lugar a tensiones armónicas, que son las
causantes del deterioro de la calidad de la onda.
RL
LL
C
L
zSvS
VC
iFA
+
_
vLiLiS
iLiS
iFA
Figura R.1 Diagrama de un filtro activo de electrónica de potencia en conexión paralelo
Un filtro activo en conexión paralelo es una solución alternativa al uso de
los tradicionales filtros pasivos. Los filtros activos mejoran la eliminación
de armónicos de corriente. Además, permiten realizar otras acciones
beneficiosas para la red como la compensación de potencia reactiva o el
RESUMEN DEL PROYECTO 6
equilibrado de las corrientes por las fases. El diagrama de funcionamiento
de un filtro activo puede observarse en la Figura R.1.
Los algoritmos de control de filtros activos son complicados y no poseen
un estándar en la industria. Este proyecto persigue investigar los
algoritmos de control de filtros activos y realizar las mejoras necesarias
para asegurar un correcto funcionamiento de los mismos bajo condiciones
desfavorables.
Para la realización del proyecto se ha desarrollado un prototipo
monofásico en el que se han probado los algoritmos estudiados en el
proyecto. En la Figura R.2 puede verse un esquema del prototipo.
RL
LL
VCC
+
_
LR
iS iL VL
iFVS
Figura R.2 Diagrama de la plataforma experimental realizada en el laboratorio de electrónica de
potencia del ICAI
En el prototipo el inversor se ha sustituido por un amplificador de audio
para facilitar la implantación. Para la prueba de los algoritmos se ha
utilizado Real Time Windows Target. Los algoritmos se han diseñado
utilizando Matlab y Simulink, y para su ejecución se ha utilizado un
sistema operativo en tiempo real.
7
PROJECT ABSTRACT
The power quality of the electrical-power-distribution service has been
traditionally identified with the continuity of the electrical supply, but
recently other issues have been raised such as the voltage waveform
quality.
The maintenance of the voltage waveform quality depends on many
factors, some related to the power supply network, and others related to
the consumers. The level of disturbances introduced in the power network
by certain consumers can affect the power-network-waveform quality
negatively. To a great extent, this increase in the disturbance level is a
result of loads that consume non-sinusoidal currents. These non-
sinusoidal currents circulate within the power network and produce
harmonic voltages, which are the cause of the waveform deterioration.
RL
LL
C
L
zSvS
VC
iFA
+
_
vLiLiS
iLiS
iFA
Figure R.1 Diagram of a shunt active filter based on power electronics
A shunt active power filter is an alternative solution to the traditional
passive filters. An active filter improves the current harmonic rejection. In
PROJECT ABSTRACT 8
addition, they contribute to reactive-power control and load balancing. A
shunt active filter is depicted in Figure R.1.
The control algorithms for active filters are complicated and they do not
have a standard in industry. This project investigates active filter control
algorithms in order to achieve good performance under unfavorable
conditions.
In order to validate the main results a single-phase prototype has been
developed in order to test the algorithms studied in the project. The
prototype is depicted in Figure R.2.
RL
LL
VCC
+
_
LR
iS iL VL
iFVS
Figure R.2 Diagram of the experimental setup built in ICAI’s Power Electronics Laboratory
In order to simplify the experimental setup a linear audio amplifier has
been used instead of an inverter. Real-Time XPC-Target has been used to
test the algorithms that have been designed using Matlab and Simulink.
MEMORIA
ÍNDICE DE CONTENIDOS
ÍNDICE DE CONTENIDOS 2
Parte I Memoria ............................................................................................. 7
Capítulo 1 Introducción ...................................................................................... 8
1 Precedentes ......................................................................................................... 8
2 Motivación del proyecto ................................................................................. 10
3 Objetivos ........................................................................................................... 11
4 Metodología ...................................................................................................... 12
5 Recursos ............................................................................................................. 13
Capítulo 2 Estimación de magnitudes eléctricas........................................... 14
1 Introducción ...................................................................................................... 14
2 Principios del filtro de Kalman ..................................................................... 15
3 Algoritmo del filtro de Kalman .................................................................... 17
4 Modelo de la estimación................................................................................. 17
4.1 Modelo para una sinusoidal pura .............................................................................. 17
4.2 Modelo para una sinusoidal de frecuencia variable ................................................ 18
4.3 Modelo para una sinusoidal y sus armónicos .......................................................... 19
5 Ejes móviles ...................................................................................................... 21
6 Ensayo de Laboratorio .................................................................................... 23
6.1 Estimación de la frecuencia de la red ......................................................................... 23
6.2 Estimación de los armónicos de la corriente de carga ............................................. 24
Capítulo 3 Control de un filtro activo paralelo ............................................ 26
1 Introducción ...................................................................................................... 26
2 Organización del control ................................................................................ 27
3 Modelo en tiempo continuo........................................................................... 28
4 Modelo en tiempo discreto ............................................................................ 29
5 Identificación de la planta ............................................................................. 30
6 Control interno de corriente .......................................................................... 32
6.1 Prealimentación de la tensión VL ................................................................................ 32
6.2 Diseño del control interno ........................................................................................... 33
ÍNDICE DE CONTENIDOS 3
7 Ensayo de laboratorio ..................................................................................... 34
7.1 Prealimentación de la tensión VL ................................................................................ 34
7.2 Control interno de corriente ........................................................................................ 36
7.3 Supresión de armónicos con el control interno ........................................................ 37
Capítulo 4 Control Repetitivo.......................................................................... 40
1 Introducción ...................................................................................................... 40
2 Características ................................................................................................... 40
2.1 Control repetitivo en tiempo continuo ...................................................................... 40
2.2 Control repetitivo en tiempo discreto ........................................................................ 42
3 Bloques del control repetitivo ....................................................................... 44
4 Estabilidad ........................................................................................................ 46
4.1 Estudio de estabilidad .................................................................................................. 46
4.2 Conclusiones sobre estabilidad .................................................................................. 48
5 Control repetitivo de orden superior ........................................................... 48
5.1 Formulación .................................................................................................................. 49
5.2 Configuración “Period Robust”.................................................................................. 50
5.3 Configuración “Noise Robust” ................................................................................... 53
6 Precisión ............................................................................................................ 55
6.1 Función de transferencia del error ............................................................................. 55
6.2 Función de sensibilidad complementaria ................................................................. 57
6.3 Error con los cambios de frecuencia .......................................................................... 58
7 Diseño del filtro Q(z) ...................................................................................... 61
8 Diseño de la ganancia Kx ................................................................................ 65
8.1 Influencia de Kx en la estabilidad ............................................................................... 65
8.2 Influencia de Kx en el error .......................................................................................... 67
9 Diseño del filtro L(z) ....................................................................................... 69
9.1 Adaptación redondeando el valor de N .................................................................... 70
9.2 Filtro L(z) para el regulador repetitivo ...................................................................... 70
9.3 Filtro L(z) para el control repetitivo de orden superior .......................................... 75
9.4 Errores con los métodos de adaptación ..................................................................... 76
10 Ensayo de Laboratorio: Control repetitivo .................................................. 78
ÍNDICE DE CONTENIDOS 4
11 Ensayo de Laboratorio: Regulador NR ........................................................ 81
12 Ensayo de Laboratorio: Regulador PR ......................................................... 85
Capítulo 5 Regulador basado en el filtro de Kalman ................................... 88
1 Introducción ...................................................................................................... 88
2 Modelo dinámico del filtro de Kalman ....................................................... 90
2.1 Componentes desacopladas ........................................................................................ 90
2.2 Modelo lineal ................................................................................................................. 92
2.3 Conclusiones ................................................................................................................. 95
3 Control integral en ejes móviles ................................................................... 96
3.1 Introducción .................................................................................................................. 96
3.2 Estudio de estabilidad .................................................................................................. 97
3.3 Respuesta en frecuencia de un regulador PI en ejes móviles ................................. 98
3.4 Diseño de un regulador PI en ejes móviles ............................................................... 99
3.5 Ensayo de Laboratorio ............................................................................................... 100
4 Regulador selectivo en ejes fijos ................................................................ 102
4.1 Introducción ................................................................................................................ 102
4.2 Forma de un regulador selectivo .............................................................................. 102
4.3 Estudio de estabilidad ................................................................................................ 103
4.4 Ensayo de laboratorio ................................................................................................ 104
5 Regulador Óptimo ......................................................................................... 106
5.1 Introducción ................................................................................................................ 106
5.2 Algoritmo de control .................................................................................................. 106
5.3 Ensayo de laboratorio ................................................................................................ 108
Capítulo 6 Plataforma Experimental ............................................................ 112
1 Descripción del Hardware ........................................................................... 113
1.1 Red de alimentación ................................................................................................... 113
1.2 Carga ............................................................................................................................ 113
1.3 Conexión del filtro activo .......................................................................................... 114
1.4 Amplificador de audio ............................................................................................... 114
1.5 Sondas de medida ...................................................................................................... 115
1.6 Tarjeta de adquisición de datos ................................................................................ 115
2 Descripción del Software ............................................................................. 116
ÍNDICE DE CONTENIDOS 5
Capítulo 7 Conclusiones .................................................................................. 117
1 Introducción .................................................................................................... 117
2 Resumen .......................................................................................................... 117
3 Concusiones finales ...................................................................................... 120
Capítulo 8 Futuros desarrollos ...................................................................... 121
1 Introducción .................................................................................................... 121
2 Futuros desarrollos ........................................................................................ 121
Bibliografía ........................................................................................................ 123
Anexo A Algoritmo del filtro de Kalman .................................................... 128
1 Algoritmo del filtro lineal de Kalman ....................................................... 128
2 Algoritmo del filtro extendido de Kalman ............................................... 130
Anexo B Algoritmo de optimización ........................................................... 133
Anexo C Identificación de la planta ............................................................ 135
Anexo D Implantación de algoritmos ......................................................... 140
1 Filtro de Kalman ............................................................................................ 140
1.1 Método general de implantación .............................................................................. 140
1.2 Matriz de estado para el LKF .................................................................................... 141
1.3 Matriz de estado y matriz jacobiana para el EKF ................................................... 141
1.4 Ejes móviles ................................................................................................................. 142
2 Control repetitivo .......................................................................................... 143
2.1 Causalidad de los bloques por separado ................................................................. 143
2.2 Función retardo ........................................................................................................... 143
2.3 Filtro L(z) ..................................................................................................................... 144
2.4 Habilitador del regulador repetitivo........................................................................ 144
3 Regulador selectivo e integral ..................................................................... 145
4 Algoritmo de optimización .......................................................................... 146
5 Recogida de datos .......................................................................................... 146
5.1 Osciloscopio de laboratorio ....................................................................................... 146
ÍNDICE DE CONTENIDOS 6
5.2 Medidas usando Simulink ......................................................................................... 147
Anexo E Acondicionamiento del amplificador de audio .......................... 148
1 Alta impedancia entre tarjeta y amplificador ........................................... 148
2 Esquema de montaje ..................................................................................... 148
3 Desacoplo de corriente continua ................................................................. 149
Parte II Estudio económico ........................................................................ 150
Parte I MEMORIA
8
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Este proyecto se ha divido en 8 capítulos y 4 apéndices. En los capítulos se
ha concentrado el trabajo esencial de este proyecto y en los apéndices se ha
añadido información adicional no necesaria para seguir la exposición.
En el Capítulo 1 se hace una introducción a las tecnologías existentes, la
motivación del proyecto y las herramientas utilizadas para llevarlo a cabo.
En el Capítulo 2 se explican los algoritmos para la estimación de medidas
eléctricas en sistemas de potencia.
En el Capítulo 3 se estudia el modelado de un filtro activo en conexión
paralelo. Se divide el problema de control y se estudia el control interno
del filtro activo.
En el Capítulo 4 se estudia el control repetitivo, que es una de las
alternativas para el control externo del filtro activo paralelo.
En el Capítulo 5 se expone un tipo de control externo nuevo basado en
algoritmos de estimación, como alternativa al control repetitivo.
En el Capítulo 6 se describe la plataforma experimental utilizada para
contrastar los resultados obtenidos en diseño y simulación.
En el Capítulo 7 se dan las conclusiones obtenidas tras la contrastación de
los resultados teóricos y empíricos.
Finalmente, en el Capítulo 8, se hacen sugerencias para seguir con la línea
de investigación.
1 Precedentes
La calidad del servicio eléctrico se ha identificado tradicionalmente con la
continuidad en el suministro eléctrico, pero recientemente se han
incorporado otros conceptos tales como la calidad de la onda.
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 9
El mantenimiento de la calidad de la onda depende de muchos factores,
unos asociados a la red suministro, y otros asociados a los consumidores.
El nivel de perturbaciones introducidas en la red por ciertos consumidores
puede afectar negativamente a la calidad de la onda de la red. En gran
medida, este aumento de las perturbaciones se debe a cargas que
consumen corrientes no sinusoidales. Estas corrientes no sinusoidales
circulan por la red y dan lugar a tensiones armónicas, que son las
causantes del deterioro de la calidad de la onda.
Estas cargas no lineales son, por ejemplo:
Dispositivos de electrónica de potencia conectados a red
Hornos de arco
Cargas trifásicas desequilibradas, etc.
Una de las soluciones recientes a este problema es el uso de un filtro activo
paralelo. En el proyecto en cuestión, el filtro está constituido por un
inversor trifásico.
RL
LL
C
L
zS
vS
VC
iFA
+
_
vLiLiS
iLiS
iFA
Figura 1.1: Diagrama de un filtro activo de electrónica de potencia en conexión paralelo.
En la Figura 1.1 se observa el diagrama de bloques de un filtro activo que
se utiliza para compensar armónicos de corriente. La corriente iL es la
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 10
consumida por la carga. El filtro activo genera iFA para compensar los
armónicos de corriente, de manera que iS, que tiene forma sinusoidal.
En la Tesis Doctoral de Omar Pinzón [1] que trata sobre el control de
filtros activos en conexión paralelo, se plantea la necesidad de diseñar un
regulador robusto para el correcto funcionamiento de un filtro activo bajo
circunstancias desfavorables.
La utilización de algoritmos de control para la eliminación de armónicos
ha sido utilizada en diversos campos de la ingeniería tales como el control
de vibraciones en sistemas mecánicos [2]-[7] o en sistemas electrónicos de
potencia [8]-[15]. En particular, el seguimiento de armónicos en filtros
activos paralelo ha sido tratado especialmente por Omar Pinzón [1] y K.
Zhou y D. Wang [9]-[11].
2 Motivación del proyecto
La norma española UNE-EN 50160 [13] define y uniformiza los valores
máximos de perturbaciones armónicas permisibles en los nudos de la red
de distribución. Típicamente se suele hacer uso de filtros pasivos
conectados a la red para alcanzar estos niveles máximos permitidos, que
son de un gran coste económico y no permiten ni el equilibrado de la
corriente por las fases ni el control de potencia reactiva.
El uso de un inversor como filtro supone una mejora considerable en
cuanto a coste y prestaciones. Además el estudio de reguladores para la
supresión de armónicos tiene un gran campo de aplicación en los sistemas
mecánicos [2]-[7]. Aunque la física de los sistemas mecánicos sea muy
diferente de la de los sistemas eléctricos, el estudio de los algoritmos es
prácticamente idéntico, como es común en muchas otras técnicas de
control [14]. Por tanto los desarrollos que se efectúen en este proyecto
pueden ser útiles también para futuros desarrollos en sistemas mecánicos.
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 11
3 Objetivos
En este proyecto se ha abordado el diseño de un sistema de control para
un filtro activo en conexión paralelo. Los objetivos concretos a cumplir son
los siguientes:
Desarrollo de un sistema de control que manteniendo unas buenas
cualidades de funcionamiento, se adapte a las variaciones lentas de
la frecuencia de la red.
Prueba del sistema de control en un prototipo a escala. Se debe de
probar el buen funcionamiento bajo condiciones desfavorables
Dentro de los sistemas de control que se diseñen se valorará la robustez y
la rapidez bajo los siguientes criterios:
El diseño del sistema de control debe producir un sistema estable
frente a cambios en los parámetros de la red de distribución.
Se debe garantizar el buen funcionamiento aunque cambien los
parámetros de diseño del inversor.
Garantizar una respuesta razonablemente rápida del filtro ante los
cambios tanto en la forma de onda de la red, como en los armónicos
consumidos por la carga.
La justificación del uso de un prototipo monofásico con un amplificador
de audio es que el montaje del sistema de control en un inversor es una
tarea muy aparatosa que conllevaría más tiempo del disponible.
Distintos algoritmos de control han sido ya probados sobre el inversor real
en el laboratorio sin afrontar el problema de la variación de la frecuencia
de la red, y los resultados han sido similares a los obtenidos en
simulación, por tanto cabría esperar resultados similares en este caso.
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 12
4 Metodología
A continuación, se muestra cómo se va a hacer para satisfacer los objetivos
mencionados en el apartado anterior:
Control Repetitivo Adaptativo: Se estudiarán diferentes métodos
para la adaptación en tiempo real del sistema de control a las
fluctuaciones de la frecuencia y la tensión de red, así como la
variación de los parámetros de diseño.
Este algoritmo de control ya ha sido usado en el inversor real en su
versión no adaptativa [8], mostrando buenos resultados trabajando
en la situación ideal, pero no bajo condiciones desfavorables.
Entre los métodos a probar será aumentar el orden del controlador
para hacerlo más insensible frente a cambios en la frecuencia,
inclusión de bloques adaptativos en el esquema de control, etc.
Regulador basado en filtro de Kalman: Mediante el uso de este
regulador será posible eliminar componentes armónicas por
separado.
Algoritmos parecidos ha sido utilizado en otros sistemas diferentes
al inversor, obteniendo buenos resultados. Generalmente se usa la
Transformada Discreta de Fourier (FFT) para identificar las
componentes armónicas.
Estimación de magnitudes eléctricas: En todos los casos es necesario
identificar la frecuencia de la red. Una de las posibles soluciones es
el uso de un filtro de Kalman para la identificación de las
perturbaciones en la red y su frecuencia, que ha sido ampliamente
estudiada en [15]-[18].
En paralelo al filtro de Kalman, se estudiarán otros métodos para la
identificación de las perturbaciones, basados principalmente en el
filtrado selectivo-adaptativo de armónicos.
CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 13
En general, se intentará aprovechar al máximo la información de las
formas de ondas, para lograr unas medidas rápidas y fiables.
5 Recursos
Para la realización del proyecto se dispondrá de las siguientes
herramientas informáticas:
Matlab: Se utilizará programación en Matlab y diferentes Toolbox
para la realización de cálculos teóricos y de diseño.
De ser posible, los modelos se validarán en Matlab y posteriormente
se simularán. De no ser posible, los resultados se obtendrán
directamente por simulación.
Simulink: Se utilizará para simular los diseños previamente
estudiados antes de prueba en el prototipo. Para la prueba en el
prototipo se utilizará la extensión Real Time Windows Target.
De esta manera los diferentes reguladores se podrán probar en el
laboratorio sin la necesidad de hacer la programación de bajo nivel.
Para la realización de las pruebas se usarán prototipos. El grado de
complejidad de los prototipos dependerá de la situación del proyecto. Los
requisitos para poder usar un prototipo son:
Capacidad de obtención de un modelo de cálculo, ya sea por
técnicas analíticas o por técnicas de identificación de sistemas, para
poder realizar el diseño del sistema de control.
Semejanza del prototipo con el sistema real. Se trate el prototipo de
un sistema conmutado o no, la respuesta dinámica deberá ser
parecida a la sistema real.
El prototipo realizado se instalará en el laboratorio de electrónica de
potencia del ICAI. Todo el material utilizado se recoge en el Capítulo 6,
donde se explica minuciosamente todo el montaje del prototipo.
14
Capítulo 2 ESTIMACIÓN DE MAGNITUDES
ELÉCTRICAS
En este capítulo se introduce el Filtro de Kalman como estimador de
magnitudes eléctricas. El Filtro de Kalman es un sistema de identificación
muy potente, que tomará un papel muy relevante en el diseño posterior
de reguladores, motivo por el cual se ha dedicado un capítulo entero al
estudio del mismo.
Se estudian los algoritmos del filtro Lineal y del filtro Extendido de
Kalman, según sean lineales o no las matrices de los procesos a identificar.
En el Capítulo 4 y el Capítulo 5 se hará uso de las técnicas explicadas en
este capítulo para el proceso de diseño.
El detalle de los algoritmos recursivos usados en este capítulo se encuentra
en el Anexo A ya que no es necesario para seguir la exposición del
proyecto. Se dará especial importancia al modelo de estimación y sus
aplicaciones.
La descripción de la plataforma experimental sobre la que realizan los
ensayos se encuentra en el Capítulo 6.
1 Introducción
El filtro de Kalman es un algoritmo usado ampliamente para la estimación
de parámetros o estados de un sistema en presencia de perturbaciones. El
algoritmo está basado en un observador, en el cual la ganancia del mismo
se escoge de manera que minimice el error cuadrático medio debido al
ruido en el proceso y en las medidas. El filtro de Kalman fue formulado
por primera vez en [19], y recibe el nombre de su autor, Rudolf E. Kalman.
En la Figura 2.1 se puede ver un croquis explicativo.
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 15
El filtro de Kalman ha sido usado para la estimación de magnitudes
eléctricas por muchos autores como P. Dash [18] o B. Bukh [17] entre otros.
En este caso particular, se va a hacer especial uso de la referencia [15], de J.
Farith, ya que el problema a tratar es muy parecido, y las conclusiones de
este trabajo son muy positivas.
Procesou[k]
+
w[k]
Filtro de
Kalman
v[k]
y[k]
kx
ky
+
Figura 2.1: Diagrama del filtro de Kalman. wk e vk son el ruido en la medida en el proceso, uk es la
entrada, yk es la salida y xk las variables de estado. El superíndice “^” indica variables estimadas.
En la Figura 2.1 se muestra un esquema genérico de un filtro de Kalman,
donde se estiman xk e yk. Nótese en la Figura 2.2 que la vista externa es la
misma que la un observador cualquiera, la diferencia con el filtro de
Kalman radica en la elección de la ganancia de realimentación del
observador.
Representación
de estado
K
y[k]
u[k] kx
ky-
Figura 2.2: Diagrama de bloques interno de un observador
2 Principios del filtro de Kalman
La ecuación del modelo de estimación de un observador se puede escribir
como:
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 16
kkkkwBuAxx
1 (2.1)
En (2.1) A y B son las matrices de estado del proceso, xk es el estado a
estimar y wk es el ruido en el proceso. La ecuación que modela las medidas
es:
kkkvHxz (2.2)
En la ecuación (2.2) H representa la matriz de medidas, vk es el ruido en las
medidas y zk es el vector de medidas. Se nombrará k
x a las variables de
estado estimadas, y
kx como a las variables de estado estimadas a priori.
Una estimación a priori de las variables de estado es:
11ˆˆ
kkkBuxAx (2.3)
La estimación (2.3) de las variables de estado a priori sirve para escribir la
ecuación de estimación de las variables de estado:
kkkkkxHzKxx ˆˆˆ (2.4)
En (2.4) k
K recibe el nombre de ganancia de Kalman. Se observa que el
valor que toman las estimaciones es una ponderación entre la estimación a
priori y la diferencia entre las medidas esperadas (a priori) y las reales. Está
ponderación viene marcada por la ganancia de Kalman, que se escoge de
manera que minimice el error cuadrático medio de la estimación. Se define
el error de estimación como:
kkkxxe ˆ (2.5)
Es decir, esta ganancia se debe de calcular de forma recursiva, para cada
periodo de muestreo, en función de las medidas y las estimaciones de las
variables de estado, para minimizar el error de estimación (2.5). Para el
cálculo de esta ganancia se tendrá en cuenta los niveles de ruido tanto en
el proceso como en las medidas, según se explica en el Anexo A.
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 17
3 Algoritmo del filtro de Kalman
Para obtener una estimación de las variables de la representación de
estado (2.3) es necesario utilizar un algoritmo de optimización en tiempo
real. En caso de tratarse de una representación de estado lineal, el
algoritmo utilizado es el del filtro Lineal de Kalman (LKF). La descripción
del mismo se encuentra en la Sección 1 del Anexo A. En el caso de que las
matrices de estado sean no lineales, el algoritmo utilizado es el del filtro
Extendido de Kalman (EKF), cuya descripción se encuentra en la Sección 2
del Anexo A.
Para la estimación de señales sinusoidales de frecuencia constante la
representación de estado será lineal, como se verá en la siguiente sección,
y se usará el LKF. Para el caso de frecuencia variable, la representación es
no lineal, y entonces el algoritmo a usar será el EKF.
4 Modelo de la estimación
4.1 Modelo para una sinusoidal pura
El proceso a identificar es el siguiente:
tUtu cos (2.6)
Si se desea identificar la amplitud y la fase de manera unívoca, son
necesarios dos estados. Para ello se toma la señal de la ecuación (2.6) y su
estado ortogonal (2.7). De esta manera, el modelo en tiempo discreto del
proceso es:
kk
kk
tUx
tUx
sin
cos
2
1 (2.7)
Para hallar su representación de estado, es necesario escribir las
ecuaciones en el instante (k+1), resultando así la representación de estado
de la ecuación (2.8). La demostración puede encontrarse en [15].
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 18
kss
ss
kx
x
tcostsin
tsintcos
x
x
2
1
12
1
(2.8)
En la Figura 2.3 se puede ver el significado gráfico de la representación de
estado de la ecuación (2.8). El vector espacial avanza cada periodo de
muestreo un arco que vale ωts.
x1
x2ωts
ωts
x2(k+1)
re
im
x1(k+1)
Figura 2.3: Interpretación gráfica de la representación de estado de una señal sinusoidal
4.2 Modelo para una sinusoidal de frecuencia variable
En el caso de que la frecuencia sea una función del tiempo, se debe de
añadir la frecuencia como una tercera variable de estado. Como la
frecuencia es una magnitud que varía lentamente con el tiempo, se puede
escribir la ecuación (2.9), donde λ es un factor de olvido. Generalmente al
factor de olvido se le da el valor la unidad, excepto en casos en los que la
frecuencia varía muy rápidamente.
103)1(3 kk xx (2.9)
Finalmente, la representación de estado para identificar una magnitud
sinusoidal de frecuencia variable se puede escribir como:
k
ss
ss
kx
x
x
txcostxsin
txsintxcos
x
x
x
3
2
1
33
33
13
2
1
00
0
0
(2.10)
Nótese que para el caso de identificar la magnitud y el ángulo una
sinusoidal, la representación de estado era lineal (2.8), pero para el caso en
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 19
el que la frecuencia es una variable de estado, la representación es no
lineal (2.10). Las ecuaciones de medida para la representación de estado de
ecuación (2.10) se pueden escribir como:
k
k
x
x
x
z
3
2
1
001 (2.11)
En la Figura 2.4 se puede observar la simulación para la extracción
tanto de la magnitud como de la frecuencia de una sinusoidal de 51Hz
y amplitud la unidad. Se puede observar como la medida tarda pocos
ciclos en establecerse al valor de régimen permanente.
Figura 2.4: Simulación para la extracción da la componente fundamental de una sinusoidal de
50Hz de y su frecuencia fundamental
4.3 Modelo para una sinusoidal y sus armónicos
Para identificar la componente fundamental y sus armónicos se define la
matriz (2.12), que es función del número de armónico h.
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 20
ss
ss
htcoshtsin
htsinhtcosh
(2.12)
La matriz de estado del filtro de Kalman se define juntando las matrices
(4.12) en la diagonal de A. Así todos los armónicos deseados están
modelados.
n
A
000
000
0020
0001
(2.13)
La matriz de medidas se modifica teniendo en cuenta que todos los
armónicos se incluyen en la medida:
010101 H (2.14)
En la Figura 2.5 se muestra una simulación para la extracción de
armónicos de una onda cuadrada. El resultado es satisfactorio.
Figura 2.5: Simulación para la extracción del primer y tercer armónico de una onda cuadrada de
51Hz
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 21
Para la estimación de la frecuencia de la red se utiliza un EKF a partir de la
tensión de red. La estimación de frecuencia del EKF introduce en el LFK,
que estima el valor de los armónicos de la corriente de carga. Así, se evita
calcular la linealización de la matriz (2.13).
EKFω
VL
LKFIL
Armónicos
Figura 2.6: Estructura para la estimación de armónicos con un EKF y un LKF
5 Ejes móviles
En algunos de los sistemas de control que se diseñarán en capítulos
posteriores serán necesarios los valores de las perturbaciones en forma de
números complejos. Para tal fin se propone hacer una transformación de
ejes fijos (salida del filtro de Kalman) a ejes móviles. El croquis de la
transformación de forma vectorial se puede ver en la Figura 2.7.
ax1
x2 b
re
im
re’
im’
Figura 2.7: Croquis de la transformación de ejes fijos a ejes móviles
La matriz de transformación se puede escribir como:
2
1
x
x
hθcoshθsin
hθsinhθcos
b
a (2.15)
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 22
En la ecuación (2.15) h es número de armónico y valor del ángulo θ se
toma como:
dttt
0
(2.16)
De esta manera si x1 es una sinusoidal y x2 es su componente en
cuadratura, la salida será una magnitud continua de la forma a+bj en los
nuevos ejes. Si la pulsación de la ecuación (2.16) es una variable
desconocida, se deberá estimar con el EKF descrito en este mismo
Capítulo.
En la Figura 2.8 se observa el cambio de ejes para una sinusoidal de 50Hz.
El resultado es la representación de la forma a+bj de la señal de entrada.
Figura 2.8: Cambio de ejes fijos a ejes móviles de la estimación de un filtro de Kalman
La referencia de ángulos utilizada para la estimación es el inicio de la
aplicación en tiempo real, momento a partir del cual se comienza a
integrar el valor estimado de la frecuencia de la red.
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 23
6 Ensayo de Laboratorio
En la plataforma experimental se ensaya el filtro de Kalman con para
realizar medidas tanto de tensión como de corriente.
6.1 Estimación de la frecuencia de la red
En primer lugar se estima la frecuencia de la red y se extrae la componente
fundamental de la tensión. Esta tarea se realiza mediante el EKF discutido
en secciones anteriores. En la Figura 2.9, en la parte superior, se observa el
valor real de la tensión de red en régimen permanente. En esa misma
Figura, en la parte inferior, se puede ver la estimación de la frecuencia de
red. La frecuencia de la red se midió con un osciloscopio de precisión,
estableciéndose su valor en 49.978 Hz, que coincide aproximadamente con
el valor estimado.
Figura 2.9: Estimación de la componente fundamental de tensión y de la frecuencia de la red
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 24
6.2 Estimación de los armónicos de la corriente de carga
Para este ensayo se diseña un LKF que tiene modelado los armónicos 1, 3,
5, 7, 9 y 11, y se conecta a la corriente de carga. Para la estimación de la
frecuencia de la red se utiliza un EKF conectado a tensión del punto de
conexión. La estimación de frecuencia del EKF introduce en el LFK, que
estima el valor de los armónicos de la corriente de carga.
En la Figura 2.10 se puede observar el valor de corriente de carga y los
armónicos estimados. El valor de la frecuencia de red estimada es
f=49.98Hz. En la Figura 2.11 se puede observar la suma de las
estimaciones de las corrientes mostradas en la Figura 2.10. Aún faltando
armónicos de alta frecuencia, la estimación refleja bien la realidad.
Figura 2.10: Extracción de los armónicos de la corriente de carga de un rectificador
CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 25
Figura 2.11: Suma de las estimaciones de los armónicos 1, 3, 5, y 7 de la carga
26
Capítulo 3 CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO
PARALELO
1 Introducción
En este capítulo se estudia la organización del control y el modelado de un
filtro activo en conexión paralelo. Se estudiará con especial cuidado la
formulación de las ecuaciones que rigen el comportamiento de las
corrientes inyectadas a la red.
El modelado se hará teniendo en cuanta la impedancia de la red, ya en
caso de tratarse de una red de distribución débil puede afectar al
comportamiento del filtro activo.
Se hará uso la Transformada de Laplace para el modelado de las
ecuaciones dinámicas del filtro activo. El modelado del filtro activo,
aunque con matices, es una versión monofásica del estudio realizado en
[1].
RL
LL
L
zS
vS
VCC
Control
iS iL
iFA
+
_
vL
Figura 3.1: Posicionamiento y medidas del control de un filtro activo paralelo
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 27
En la Figura 3.1 se puede observar un diagrama de las medidas, el control
y la actuación sobre el inversor.
2 Organización del control
Los lazos de control que se van a utilizar para controlar el filtro activo se
muestran en la Figura 3.2. El control consta de un lazo interno y otro
externo. El lazo interno se diseñará como un regulador dead beat, para
lograr una respuesta del filtro activo lo más rápida posible. El lazo
externo, más lento que el interno, se compone de un controlador más
avanzado, destinado al seguimiento y eliminación de señales periódicas.
_ iFA
Control Interno
d
Cálculo de
Referencia
Ci(z) P(s)Ce(z)_
Control Externo
VS
iL
_
Figura 3.2: Diagrama de la organización del control de un filtro activo paralelo
Externo al sistema de control se encuentra la elaboración de la referencia.
Los mecanismos de adaptación también son externos al sistema de control,
y se utilizarán cuando sea necesaria una adaptación del regulador externo,
pero no para modificar los parámetros del regulador interno. El esquema
del mecanismo de adaptación se puede observar en la Figura 3.3.
_
iFA
Filtro de
Kalman
Ce(z) P*(s)
VS
IL
Ley de
adaptación
r
Mecanismo de adaptación
Figura 3.3: Esquema completo del mecanismo del mecanismo de adaptación
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 28
La configuración de los mecanismos de adaptación dependerá de las
necesidades del regulador externo. Estos aspectos se discutirán en el
Capítulo 4 y en el Capítulo 5, donde se diseñan los reguladores externos
de corriente.
3 Modelo en tiempo continuo
En este apartado se escribirán las ecuaciones en tiempo continuo de un
filtro activo paralelo. Para el modelado se tendrá en cuenta tanto la
impedancia de conexión a red como la impedancia de la propia línea.
e
iL
iFACarga
vS
iS
RS R
LS L
vL
Figura 3.4: Esquema equivalente monofásico para un filtro activo paralelo
Tomando la transformada de Laplace sobre el circuito de la Figura 3.4 se
puede extraer la función de transferencia entre la tensión de salida del
inversor e y la corriente del filtro activo:
sEsLR
sFsI
TT
A
FA
(3.1)
La función de transferencia sFA
es representa el actuador que se utiliza
para generar la tensión de entrada, RT=RS+R y LT=LS+L. Nótese que la
intensidad que circula por el filtro activo no es solo la mostrada en la
ecuación (3.1), si no que la tensión L
V y la corriente de la carga influyen en
la corriente FA
I , según la expresión (3.2).
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 29
sIsLR
sLRsV
LsRsE
sLR
sFsI L
TT
SSL
TT
AFA
1 (3.2)
Los términos de la ecuación (3.2) que no están contenidos en la función de
transferencia (3.1) se tomarán como perturbaciones. Los términos extra de
la ecuación (3.2) también serán necesarios para dimensionar la plataforma
experimental, en el Capítulo 6.
4 Modelo en tiempo discreto
Para transformar el modelo de la planta a tiempo discreto se utilizará un
método de simulación invariante con retenedor de orden cero [14]. De esta
manera, se define la planta digital como:
Z
FAFA
sE
sI
sz
z
zE
zI
11
(3.3)
Como el amplificador de audio que se utilizará como actuador tiene un
ancho de banda mucho mayor que la frecuencia de muestreo que va a ser
utilizada, se puede modelar como una ganancia. La ganancia del
amplificar es de 30dB, pero se compensa a la salida del sistema de control,
resultando una ganancia unidad. Entonces (3.3) se simplifica a (3.4).
ZTTT
T
T
FA
RsLR
L
sRz
z
zE
zI
111
(3.4)
Utilizando las conversiones de transformadas entre las variables z y s, se
obtiene la función de transferencia (3.5), donde además se modela el
retraso en los cálculos multiplicando la función de transferencia resultante
por z-1.
s
T
T tL
R
T
FA ezzRzE
zI
11
(3.5)
Sustituyendo los valores medidos de resistencia e inductancia en la
ecuación (3.5), con una frecuencia de muestreo de 4.5kHz, se obtiene (3.6).
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 30
9275.0
0735.0
zzzE
zIFA
(3.6)
5 Identificación de la planta
Aunque se poseen medidas más o menos razonables de los parámetros
estándar de la planta, va a realizarse una identificación del modelo de la
planta. Este modelo de identificación servirá para:
Establecer unos parámetros en condiciones estándar del modelo de
la planta.
Establecer la estructura exacta del sistema en tiempo discreto para
disponer ella en caso de que se necesite identificar el modelo de la
planta en tiempo real.
Figura 3.5: Diagrama de Black del modelo de la planta con control proporcional
Con el modelo de la Sección 4 del Capítulo 3 se diseña un control
proporcional. El único motivo de este control es proporcionar un
amortiguamiento adecuado para que la identificación de la planta sea lo
más precisa posible. El control proporcional se diseña con 15P
K . El
diagrama de Black de lazo abierto de la planta con el regulador se puede
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 31
observar en la Figura 3.5. Los márgenes de estabilidad en lazo abierto,
como se puede observar, son correctos.
En el ensayo se usará una señal PRBS de 50 ciclos y 1023 muestras por
ciclo. De todo el ensayo se elige un intervalo 20000 muestras, que se
dividen a partes iguales en muestras para identificar y validar. Los datos
serán manipulados con la Toolbox de Identificación de Sistemas de Matlab.
Figura 3.6: Comparación de el diagrama de Bode de la planta modelo y de la planta identificada
Los detalles técnicos sobre la identificación se muestran en Anexo C. El
proceso de identificación procura el modelo en lazo cerrado, del cual se
puede extraer la función de transferencia de lazo abierto (3.7).
1176.01276.09382.0
0444.00211.0
zzz
zzP
d (3.7)
Se puede observar tanto en la respuesta en frecuencia es muy parecida. El
modelo identificado aporta un cero no modelado y un par de polos de
pequeña magnitud, además de modificar la ganancia estática. La
modificación de la ganancia estática puede ser debida a errores en la
compensación de la ganancia del amplificador usado como actuador.
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 32
6 Control interno de corriente
El control interno de corriente tiene la estructura mostrada en la Figura
3.7. Para el diseño de este control se usará el modelo identificado de la
planta en el apartado anterior.
_r
VL
Ci(z) P(s)_
iFA
D(s)
Figura 3.7: Diagrama del control interno de corriente de un filtro activo teniendo en cuenta la
perturbación de VL
6.1 Prealimentación de la tensión VL
Como L
V es la perturbación más acusada en el modelo del filtro activo, y
además es medible, se va a hacer uso de la técnica de prealimentación. El
esquema de uso de la prealimentación se puede observar en la Figura 3.8.
La función de transferencia D(s) se define a partir de (3.2) como:
sLRsV
sIsD
TTS
FA
1
(3.8)
_r Ci(s) P(s)_
iFA
VL
D(s)
CP(s)
Figura 3.8: Diagrama del control interno de corriente de un filtro activo con prealimentación
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 33
La función de transferencia sCP
de la ecuación (3.8) debería tener la
expresión (3.9) para compensar perfectamente la perturbación.
sFsLR
sLR
sFsD
sPsC
ATT
TT
A
P
11
(3.9)
Como el amplificador de audio se modelo como una ganancia de valor
unidad, se puede decir que el valor de (3.9) se puede tomar como (3.10).
1sCP (3.10)
Desde un punto de vista lógico, la prealimentación de la tensión L
V ,
suponiendo que el inversor tiene una respuesta instantánea, evita que
circulen corrientes de la componente fundamental correspondientes al
segundo término de la ecuación (3.2). El lazo de prealimentación no
requiere un estudio de estabilidad, ya que opera en lazo abierto. Esta
suposición puede no ser cierta en casos de redes muy débiles, en las que la
corriente inyectada por el filtro afecte en gran cuantía a la tensión L
V .
6.2 Diseño del control interno
En este apartado se plantea el diseño de un control interno para hacer más
rápida la respuesta del lazo interno de corriente y procurar error nulo en
régimen permanente. Para ello se diseña un regulador dead beat.
El diseño del regulador por síntesis de polinomios, utilizando la
formulación de [14]. La especificación de lazo cerrado es:
2
1
zzF
(3.11)
Con el modelo de la planta identificado, el regulador obtenido tiene la
expresión (3.12), que tiene el mismo orden tanto en el numerador como en
el denominador, así que resulta realizable.
0444.011
1176.01276.09382.03784.47
zzz
zzzzC
(3.12)
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 34
El diagrama de Bode la sensibilidad del diseño de muestra en la Figura
3.9. El máximo de la sensibilidad es 6dB, que es un valor aceptable para el
diseño.
Figura 3.9: Diagrama de Bode de la sensibilidad de la planta con el regulador dead beat
7 Ensayo de laboratorio
7.1 Prealimentación de la tensión VL
En este apartado se prueba la conexión del filtro activo a la red. Esta
conexión se realiza únicamente midiendo la tensión del punto VL e
introduciéndola por el camino de la prealimentación, como se observa en
la Figura 3.10. Este ensayo se realiza en lazo abierto, y lo que se pretende
es evaluar las suposiciones hechas sobre la prealimentación y sus efectos
beneficiosos.
P(s)_
iFA
VL
D(s)
CP(s)
Figura 3.10: Diagrama de bloques del ensayo de la prealimentación
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 35
Se puede observar en la Figura 3.12 que la tensión de red y la tensión en la
entrada del filtro activo son prácticamente iguales. La corriente que circula
por el filtro tiene una magnitud comparable a la corriente de la carga. En
la Figura 3.11 se muestran los nombres de las magnitudes medidas en los
ensayos.
LS
L
vS
iRED iCARGA
iFACarga
VRED
VFA
Figura 3.11: Nombres de las variables utilizadas para realizar los ensayos.
Figura 3.12: Tensiones y corrientes por el filtro activo usando prealimentación en lazo abierto
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 36
7.2 Control interno de corriente
Es este prueba se muestra la mejora del sistema ensayado en la Sección 6.2
para la conexión del filtro activo a red. Para el ensayo la referencia de
corriente se pone a cero, ya que objetivo es que no circule ningún tipo de
corriente por la rama del filtro activo.
_ Ci(s) P(s)_
iFA
VL
D(s)
CP(s)
Figura 3.13: Diagrama de bloques del ensayo para supresión de corrientes en la rama del filtro
Figura 3.14: Tensiones y corrientes del filtro activo conectado a la red usando prealimentación y el
control interno de corriente.
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 37
En la Figura 3.14 se pueden ver los resultados del ensayo. Existen todavía
pequeñas corrientes residuales que circulan por la rama del filtro activo,
pero son despreciables en comparación con las corrientes que circulan por
la rama de la carga.
7.3 Supresión de armónicos con el control interno
Para evaluar el funcionamiento de los controles externos que se diseñarán
en posteriores secciones, es útil ver el resultado de ensayar la capacidad
del control interno de corriente para eliminar armónicos de la corriente iL.
_ Ci(s) P(s)_
iFA
VL
D(s)
CP(s)
EKF
_IL
IL1
ref
Figura 3.15: Ensayo del control interno de corriente para la supresión de armónicos
Figura 3.16: Corrientes en el nudo de conexión del filtro activo usando el control interno con
prealimentación
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 38
En la Figura 3.15 se muestra el ensayo realizado para suprimir armónicos
con el control interno de corriente. La referencia se genera eliminado la
componente fundamental de la corriente de carga con un EKF.
En la Figura 3.16 se muestran las corrientes que circulan por las tres ramas
del punto de conexión del filtro activo. Se suprimen algo los armónicos
bajos, pero a medida que los armónicos son de mayor frecuencia
incrementa el error. Este hecho se puede observar en los pasos por ceros,
donde el error es mayor.
Figura 3.17. Tensiones y corrientes del filtro activo conectado a la red usando prealimentación y el
control interno de corriente.
La tensión del filtro activo en comparación con la tensión de la red se
puede ver en la Figura 3.17. El control interno genera grandes picos de
tensión. Estos picos de tensión generan los picos de corriente que se
pueden ver en la parte baja de la Figura 3.17.
En la Figura 3.18 se muestra una comparativa del contenido armónico de
la corriente de la red y la corriente de la carga. La supresión de armónicos
CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 39
no es satisfactoria para los armónicos bajos, pero menos aún para los
armónicos, donde el error se amplifica.
La conclusión de los ensayos es que con el control interno con
prealimentación se puede conectar el filtro activo a la red, pero la
supresión de armónicos con el mismo no resulta satisfactorio.
Figura 3.18. Contenido armónico de las corrientes de red y carga con el control interno
40
Capítulo 4 CONTROL REPETITIVO
En este capítulo se explica el sistema de control repetitivo (RC) que sirve
para el rechazo o seguimiento de referencias periódicas.
Primero se estudian las técnicas de diseño ya existentes y posteriormente
se explican las propuestas para crear un sistema de control adaptativo
basado en el control repetitivo. Para ello se hará uso de filtro de Kalman,
explicado en el Capítulo 2.
En el capítulo se exponen tanto los resultados de simulación como los
resultados en la plataforma experimental.
1 Introducción
El RC ha sido utilizado por diversos autores [1], [9] o [20] para el
seguimiento y rechazo de perturbaciones en sistemas de control. La idea
original es tratada por Inoue [21] para el seguimiento de señales
periódicas en fuentes de alimentación. El sistema de control de basa en la
translación temporal de la señal de referencia o la perturbación,
aprovechando así las condiciones de simetría de la señal, para lograr un
seguimiento con error cero a las frecuencias armónicas.
2 Características
2.1 Control repetitivo en tiempo continuo
El sistema de control de la Figura 4.1 se compone de un regulador, que
recibe el nombre de C(s) y una planta P(s).
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 41
_ C(s) P(s)_
iFA
d
re u
Figura 4.1: Diagrama de bloques para un sistema de control con realimentación
La perturbación d(t) se supone periódica de periodo tp. Para obtener error
cero en régimen permanente basta con que se cumpla (4.1). Así, para t=tp,
se cumple que el error es cero.
tuttuttepp (4.1)
Tomando la Transformada de Laplace en (4.1), se llega a:
p
p
st
st
e1
e
sE
sUsC
(4.2)
Figura 4.2: Diagrama de bode de lazo abierto del regulador repetitivo
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 42
El diagrama de Bode de amplitud de C(s) de la ecuación (4.2) se muestra
en la Figura 4.2. Se puede observar como la ganancia del control es infinito
a las frecuencias armónicas. De algún modo, este controlador tiene el
mismo efecto que un PI (ganancia infinito cuando la frecuencia es cero),
pero ampliado a todas las frecuencias armónicas de periodo tp.
2.2 Control repetitivo en tiempo discreto
Para el uso de este tipo de controladores en un microprocesador en
necesario discretizar C(s). Para que la discretización sea exacta se toma ts
como un submúltiplo de tp.
s
p
t
tN (4.3)
La relación entre ts y tp de la ecuación (4.3) será nombrada como N. Así, la
función de transferencia del regulador en tiempo discreto, tomando
stjez
se puede escribir como:
N
N
z
zzC
1 (4.4)
Para la implementación de zC de la ecuación (4.4) se le puede asociar el
diagrama de bloques de la Figura 4.3.
z-NX(z) Y(z)
Figura 4.3: Diagrama de bloques de un regulador repetitivo en tiempo discreto
Para ilustrar el funcionamiento del sistema de control se simula el sistema
de sistema de control de la Figura 4.4. Para esta simulación se ha utilizado
como perturbación una señal cuadrada de frecuencia f=50Hz y amplitud 1.
La referencia se establece como una señal sinusoidal de la misma
frecuencia, algo desfasada con respecto y de magnitud algo mayor que la
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 43
señal cuadrada. El tiempo de muestreo se establece a 5kHz, por lo que
N=100.
_ 1_
z-100 Red
e m
Figura 4.4: Diagrama de bloques del ejemplo de funcionamiento del regulador repetitivo
En la Figura 4.5 se puede ver la evolución de la salida (que se ha llamado
red), y el mando. Una vez transcurrido un ciclo de la onda cuadrada el
mando genera la tensión precisa para que en la salida únicamente quede la
señal sinusoidal de la referencia.
Figura 4.5: Salida y mando para simulación con P(z)=1 y onda cuadrada de un regulador
repetitivo
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 44
En la Figura 4.6 se puede ver la evolución del error y el mando. El mando
copia exactamente el valor de la referencia tras hacer pasado un ciclo. Este
mando es que hace que la salida sea la de la Figura 4.5.
Figura 4.6: Error y mando para simulación con P(z)=1 y onda cuadrada de un regulador
repetitivo
3 Bloques del control repetitivo
Este apartado se dedica exclusivamente a explicar la notación de los
bloques utilizados en este sistema de control. El diagrama de bloques
completo se puede que se va a utilizar se puede ver en la Figura 4.7. La
explicación de cada uno de los bloques es la siguiente:
zW representa la función retraso. Se puede escribir como:
i
n
iN
izWzW
1
(4.5)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 45
zQ representa un filtro que limita el ancho de banda del
regulador. Se tratará su diseño en la Sección 7 del presente
Capítulo.
zL es un filtro adaptativo. Se utilizará para adaptar el sistema de
control a cambios en la frecuencia fundamental de la perturbación.
Se estudiará en la Sección 9.
zGx
es un compensador. Se utilizará para garantizar la estabilidad
del sistema de control. Se estudiará en la sección 4, dedicada al
estudio de estabilidad.
Se define por comodidad zH como: zWzLzQzH
x
K es una ganancia de realimentación. Se utilizará para garantizar
la estabilidad. Se estudia en la Sección 8.
zP representa la planta con el control interno de corriente
zGc
representa un regulador previo a la planta que se utiliza para
mejorar las prestaciones del regulador repetitivo
Kx Gx(z)Q(z)L(z)W(z)
P(z)
Regulador Repetitivo Plug-in
R(z) Y(z)E(z)
_
D(z)
Gc(z)
Figura 4.7: Diagrama de bloques completo del regulador repetitivo tipo Plug-In
La estructura tipo Plug-In del regulador es ampliamente usada en la
literatura [21] por sus cualidades en torno a rapidez de respuesta, y por
tener unas condiciones de estabilidad menos restrictivas que en el
regulador repetitivo convencional [42].
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 46
4 Estabilidad
La estabilidad del control repetitivo es un punto delicado. Muchos autores
dedican gran parte de su esfuerzos a buscar criterios robustos para
garantizar la estabilidad como R. Longman [5], [6], T. Inoue [21] o J.
Hätönen [7] son algunos ejemplos. El criterio de estabilidad que se va usar
en este proyecto es el mismo que el utilizado por O. Pinzón [1] y K. Zhou
[9]-[11], por su eficacia y su simplicidad.
4.1 Estudio de estabilidad
La función de transferencia del error zE se puede escribir como:
zGzGKzH
zH
zPzG
pxx
e
11
1
1
1 (4.6)
Donde zGp se define en (4.7). Si zG
p es estable, entonces aplicando el
teorema de la ganancia pequeña [1] una condición suficiente para la
estabilidad es (4.8). En tal caso el sistema en lazo abierto (4.6) produce un
sistema estable en bucle cerrado.
zP
zPG
p
1
(4.7)
11
)(
zM
pxx zGzGKzH (4.8)
s
tj
tyezcon s
Si se desea minimizar (4.8) para garantizar el mayor cumplimiento posible
de la condición de estabilidad, el objetivo es lograr 1zM .
s
tj
tezH s
1)( (4.9)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 47
re
im
1 ω
11 zM
zM
Figura 4.8: Diagrama vectorial de la condición de estabilidad de la ecuación (4.8)
Bajo la suposición de (4.9) y tomando zMzT 1 la condición
suficiente de estabilidad se reduce a (4.10). Se puede observar un croquis
de la región de estabilidad en función del vector M(z).
1zT (4.10)
Sabiendo que 1zQ y 1zL , también es necesario que se cumpla
(4.11) para asegurar el cumplimiento de la suposición (4.9).
1zW
(4.11)
Para minimizar zM , los resultados del estudio del estudio de estabilidad
sugieren seleccionar zGx
como:
zP
zPzGzG
px ˆ
ˆ1ˆ 1
(4.12)
Donde zP es un modelo de la planta y zGpˆ es el modelo de la planta en
bucle cerrado. Para poder actuar con este criterio es necesario que zGp
no tenga ceros fuera del círculo unidad, ya que si no la inversa de la planta
es un sistema inestable.
Para el caso anteriormente mencionado en [29] se expone un método de
uso general. Otros autores como R. Longman [5], [6] o K. Tammy [3],
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 48
sugieren utilizar un filtro FIR de fase cero que minimice el criterio de
estabilidad. Para el caso de funciones de transferencia que varíen
lentamente con el tiempo, Y. Tzou [39] propone identificar el modelo de
planta en tiempo real, para actualizar el compensador.
4.2 Conclusiones sobre estabilidad
Si para algún valor de pulsación se cumple que 0zQ , entonces
no es necesario que se cumpla que 1zT , por que la condición de
estabilidad suficiente (4.8) ya se cumple.
En el caso de que se cumpla que 1zT (en otras palabras, que el
modelo de la planta sea exacto), se podría elegir 20 x
K para
garantizar la estabilidad. Se recomienda usa 10 x
K para dar
cierto margen de estabilidad teniendo en cuenta los errores de
modelado de la planta [1]. Tampoco se recomienda usar valores de
xK muy pequeños, ya que hacen muy lenta la respuesta en lazo
cerrado, como se explica en [11].
En caso de que zGx
no estimase correctamente la planta, el ajuste
de x
K podría no ser suficiente para garantizar la estabilidad. En tal
caso, se diseña el filtro zQ para disminuir la acción del control
repetitivo a frecuencias altas, donde la incertidumbre es mayor [1].
En la Sección 8 se estudiará más a fondo los valores que debe
tomar Kx.
5 Control repetitivo de orden superior
Una mejora del RC es propuesta por M. Steinbuch [4] y se denomina
regulador repetitivo de orden superior (High-Order Repetitive Control,
HORC). La ley de control de (4.1) se modifica a:
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 49
n
i
pip tuittuWtte1
(4.13)
En la ecuación (4.13) Wi son unos coeficientes de ponderación que se
pueden diseñar según distintos criterios. La base del HORC es que la
información de la señal a seguir no sólo se toma del periodo
inmediatamente anterior sino también de periodos anteriores. Los
coeficientes Wi indican el peso al ponderar los distintos periodos.
5.1 Formulación
La función de transferencia del regulador zC se escribe como:
n
i
iN
n
i
iN
z
z
zC
1
1
1
(4.14)
El diagrama de bloques de (4.14) se puede ver en la Figura 4.9.
z-NX(z) z
-Nz
-N...
W1
W2
Wn Y(z)
Figura 4.9: Diagrama de bloques del regulador repetitivo de orden superior (HORC)
La formulación para hallar los valores de los coeficientes es complicada
aunque resulta útil saber de dónde proceden. Existen infinitas
combinaciones, pero son dos las configuraciones típicamente usadas:
Period Robust (PR) – Configuración que hace que el sistema de
control sea más robusto frente a cambios en el periodo de la
componente fundamental.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 50
Noise Robust (NR) – Configuración que mejora el comportamiento
del HORC a frecuencias interarmónicas.
Para que la ganancia en lazo abierto del controlador sea infinito a las
frecuencias armónicas (error cero en régimen permanente), se debe
cumplir que 1zH para Ptjkez 2 , donde k son todos los números
enteros positivos.
121
2
1
n
ii
tjkn
iiP
WeWtjkH P
(4.15)
11
n
ii
W
(4.16)
De la ecuación (4.15), se llega a la ecuación (4.16), que es la primera
restricción de todos los HORC, las siguientes se definen a continuación.
5.2 Configuración “Period Robust”
Esta formulación es originaria de M. Steinbuch [4]. La base es hacer H(z) lo
más robusto posible frente a cambios en el periodo de muestreo, para lo
cual se plantea la ecuación (4.17).
0
Pt
zH
(4.17)
Al igual que la restricción (4.16), también se plantea para todas las
frecuencias armónicas, por tanto Ptjkez 2 , obteniéndose el siguiente
resultado:
0
2
1
1
2
n
i P
i
P
n
i
tjk
i
Pt
ijkWt
eW
t
zHP
(4.18)
La expresión (4.19) cumple la restricción (4.18), y por tanto es una solución
que anula la derivada H(z) con respecto a tP para las frecuencias
armónicas.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 51
01
iWn
ii
(4.19)
Si se quiere aumentar más la robustez, se pueden aumentar el número de
derivadas que son iguales a cero. Para lo cual se deben imponer n-1
derivadas iguales a cero, como se observa en la ecuación (4.20).
01
1
n
i
n
iiW
(4.20)
Por ejemplo para 2n , se obtienen las ecuaciones 121WW de la
restricción (4.16), y 0221 WW , de la restricción (4.20), resultando 2
1W
y 12
W . La respuesta de lazo abierto del controlador calculado se puede
ver en la Figura 4.10 comparada con la del RC. También se puede ver un
HORC de orden 3. A medida que aumenta el orden del controlador
aumenta la anchura de las resonancias, que se aprecia en la Figura 4.10.
Figura 4.10: Respuesta de lazo abierto del regulador RC y PR
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 52
Aunque se aumenta robustez frente a cambios en el periodo de la
perturbación, otros aspectos del regulador empeoran con esta
configuración, entre las cuales están:
Aumenta el tiempo del transitorio a medida que aumenta el orden
del controlador. Esto se puede ver reflejado en la Figura 4.12 donde
se observan el transitorio de la respuesta, para el ejemplo de la
Figura 4.11.
_ 1_
z-100 Red
e m
Figura 4.11: Ejemplo para la simulación de la respuesta transitoria del control PR
Figura 4.12: Respuesta transitoria del regulador PR ante referencia sinusoidal
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 53
No se cumple 1
zH , ya que no se cumple la restricción (4.21).
Al no cumplirse que 1
zH
no se asegura la condición de
estabilidad. La demostración de (4.21) se puede encontrar en la
referencia [36]. La representación visual de esta restricción puede
verse en la Figura 4.13.
1011
i
n
i
in
i WzWzH
(4.21)
Como última conclusión cabe decir que la cantidad de memoria
utilizada en este caso es mayor, ya que se requiere almacenar n
veces más datos que para el RC.
re
im
a
re
im
b
r=1 r=1
Figura 4.13: Si todos los coeficientes sumados son positivos y menores que uno b), o en caso
contrario a).
5.3 Configuración “Noise Robust”
La configuración NR fue propuesta en 1990 por T. Inoue [21]. La
formulación se basa en minimizar el error cuadrático medio de H(z) sobre
todas las frecuencias. Debido a la dificultad de la demostración, esta no se
incluye en el proyecto, pero está disponible en [45]. El valor resultante
para los valores de los pesos es el siguiente:
n
inW
i2
1
(4.22)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 54
Por ejemplo, para el NR de orden 3 los pesos serán W1=3/6, W2=2/6 y
W3=1/3. La respuesta de lazo abierto del controlador se puede ver en la
Figura 4.14 comparada con la del RC. También se puede ver un HORC de
orden 2. A medida que aumenta el orden del controlador aumenta la
selectividad, siendo los picos de las resonancias más estrechos.
Figura 4.14: Respuesta de lazo abierto del regulador NR y RC
Aunque se aumenta robustez frente a ruido ya que la ganancia a las
frecuencias interarmónicas es menor que para el RC, otros aspectos del
regulador empeoran con esta configuración, entre las cuales están:
Aumenta el tiempo del transitorio a menudo que aumenta el orden
del controlador, como se observa en la Figura 4.15, al igual que
ocurría con el PR, aunque en este caso la salida está acotada entre
el valor inicial y el valor de régimen permanente. El esquema de
simulación utilizado ha sido el mismo que para el regulador PR.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 55
Figura 4.15: Respuesta transitoria del regulador NR
La cantidad de memoria utilizada en este caso es mayor que en el
caso simple, ya que se requiere almacenar n veces más datos que
para el RC.
6 Precisión
En este apartado se estudia la precisión en régimen permanente para los
algoritmos de control repetitivo. Se estudian herramientas para evaluar su
comportamiento en distintas circunstancias.
6.1 Función de transferencia del error
De la Figura 4.7 se puede escribir la función de transferencia del error
como:
zGzG
e
eres
zMzH
zH
zPzG
11
1
1
1
(4.23)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 56
El primer término se corresponde con la función de transferencia del error
de la planta sin regulador repetitivo, y el segundo término se corresponde
con el error que introduce el RC.
Si el modelo de la planta es perfecto y además se cumple que 1zM ,
entonces la función de transferencia del error introducido por el regulador
zGer
se simplifica a:
zHzGer
1 (4.24)
Si se descompone zH en módulo y fase (4.25) se puede obtener la
amplitud del error para diferentes valores de ω, como se puede observar
en la
Figura 4.17.
HjeHzH
(4.25)
En la Figura 4.16 se observa que para el error sea es necesario que la
amplitud de zH tenga el valor de la unidad. Cada 360º se produce una
anulación del error, que coinciden con las resonancias que se pueden ver
el diagrama de Bode de lazo abierto del RC, en la Figura 4.2.
Ger(z)
ω
re
im
H(z)
Figura 4.16: Interpretación gráfica del error para un regulador repetitivo
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 57
Figura 4.17: Amplitud del error para
6.2 Función de sensibilidad complementaria
La función de sensibilidad complementaria se usa es muchas referencias
como [4], [26] o [28], para estudiar el comportamiento del regulador
repetitivo. Se define la función de sensibilidad complementaria como:
zMzH
zHzM
S
11
1
(4.26)
Expresión que coincide con el valor de zGer
. Al igual que la anterior,
suponiendo que 1zM , se simplifica a:
zHzMS
1 (4.27)
La diferencia fundamental entre zGer
y zMS
es la forma de
representación. Si el valor de la función de sensibilidad complementaria es
cero a una frecuencia, significa el rechazo completo de la perturbación. Si
es distinta de cero, entonces al excitar el regulador a esa frecuencia, la
salida será amplificada tanto como valga el módulo de zM S .
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 58
Por ejemplo, para el RC se toma MS(z) como (4.27), y H(z) como (4.28), la
función de sensibilidad complementaria se representa en Figura 4.18.
HjezH (4.28)
Figura 4.18: Función de sensibilidad complementaria para el RC con Kx=1
La herramienta de la sensibilidad complementaria se utilizará en
apartados posteriores para evaluar el comportamiento del regulador a
diferentes frecuencias.
6.3 Error con los cambios de frecuencia
Una de las principales debilidades del control repetitivo, además de
necesitar un modelo de la planta para su correcto funcionamiento, es su
alta sensibilidad a los cambios en el periodo de la perturbación [29].
En este apartado se estudian los errores que se producen en el seguimiento
de los armónicos los errores en la frecuencia de diseño y se estudian
algunas técnicas ya utilizadas para paliar esta deficiencia.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 59
En primer lugar se define la frecuencia fundamental de la red como f1, en
Hz, y sus armónicos como hf1, donde h toma valores enteros mayores que
uno. Se define el error en la frecuencia como:
1
11
%f
fff
(4.29)
Para evaluar el funcionamiento de los reguladores ante los cambios de
frecuencia, se sustituye en la función de transferencia del error (4.24) los
valores correspondientes a cada armónico con el cambio de frecuencia:
nhfhfHfhfGer
,...,2,11%1%1
(4.30)
En la Figura 4.19 se muestra a modo de curva tridimensional para cada
armónico entre el 1 y el 20 el error producido en su módulo por el cambio
de frecuencia de la componente fundamental.
Figura 4.19: Módulo del error en el RC por armónico en función de los cambios de frecuencia
Se puede observar como los cambios de frecuencia afectan bastante al
error, sobre todo en los armónicos altos. En la Figura 4.20 se muestra esta
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 60
misma gráfica para el controlador PR de orden 3 y en la Figura 4.21 para el
NR también de orden 3.
Figura 4.20: Módulo del error en el PR de orden 3 por armónico en función de los cambios de
frecuencia
Figura 4.21: Módulo del error en el NR de orden 3 por armónico en función de los cambios de
frecuencia
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 61
El regulador PR es muy robusto frente a cambios en el periodo de la
perturbación, pero el error se dispara cuando se sale de ciertos límites de
variación. El regulador NR resulta menos robusto contra errores en la
frecuencia, pero en cambio el valor máximo que alcanzan el valor de los
armónicos resulta menor.
7 Diseño del filtro Q(z)
El filtro Q(z) tiene como objetivo limitar el funcionamiento del regulador
repetitivo a altas frecuencias, donde el modelo de la planta puede diferir
de la planta real, y causar inestabilidad. La posición del filtro está marcada
en la Figura 4.22.
z-Nx[k] y[k]Q(z)
Figura 4.22: Posición del filtro Q(z) en la celda repetitiva
El modulo de Q(z) no afecta de forma negativa a la estabilidad siempre
que esta sea menor que la unidad. La fase tampoco modifica la estabilidad,
aunque si la eliminación correcta de los armónicos. El diseño óptimo del
filtro Q(z) sería:
c
j
c
j
eQ
eQ
0
1
(4.31)
Además la fase del filtro debería de ser lineal para todo el rango de
actuación del regulador, por tanto:
c
j keQ
(4.32)
De forma general, un filtro paso bajo de fase lineal se puede escribir como
[1]:
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 62
c
c
tj
j
DeeQ
0
(4.33)
Donde ωtD es el retardo que introduce el filtro. Para el regulador repetitivo
este retardo debe de ser cero. También se puede diseñar el filtro con un
retraso constante de valor kωts, con k entero positivo, ya que en este caso el
retraso puede ser compensado quitando retrasos de W(z), siempre que la
estructura resultante sea causal. En el diseño propuesto, se va a utilizar un
filtro FIR de fase cero con la siguiente estructura:
MM
M
MM zazazazazazQ 1
1
2
01
21)(
(4.34)
Los coeficientes de (4.34) se pueden obtener a partir de la respuesta
impulsional [38] o planteando un problema de optimización, como en la
referencia [5]. En este proyecto se usa la respuesta impulsional ya que los
resultados son similares y la complicación del cálculo es mucho menor. La
expresión de la respuesta impulsional del filtro es:
MnMn
n
nqc
c
c
c
c
sinc
sin
][
(4.35)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 63
Figura 4.23: Filtro FIR con M=25 con y sin ventana de filtrado
Donde M es la longitud del filtro. Un valor de M mayor supondrá una
pendiente mayor en la banda pasante del filtro, pero también
incrementará el coste computacional. El valor de M también está limitado
por el numero de retrasos posibles de compensar con el control.
Un inconveniente de diseñar los filtros mediante la respuesta impulsional
es que se produce un rizado, ligeramente acusado, tanto en la banda
pasante como en la banda de rechazo, según se puede observar en la
Figura 4.23. Para evitar este rizado, se aplica una ventana de pesos para
alisar la respuesta en frecuencia [1]. La ventana para el alisado de la
respuesta en frecuencia será la ventana de Hamming.
En la literatura es muy común encontrar diseños de controladores
repetitivos que usan un filtro FIR de orden bajo [1], [9] o [40]. El uso de
este tipo de filtros se justifica si no importa demasiado la precisión de la
eliminación de los armónicos, o si se requiere una carga computacional
baja. Un ejemplo y una comparativa se puede encontrar en la Figura 4.24.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 64
Figura 4.24: Figura comparativa de dos filtros FIR de fase lineal diferentes
En la Figura 4.24 se muestra una comparativa del filtro FIR tipo sinc con
ventana de filtrado en comparación en el filtro FIR binomial, que es de
común uso, y que tiene la siguiente estructura:
11
4
1
2
1
4
1 zzzQ (4.36)
Con el filtro de orden superior el módulo se mantiene a uno en toda la
banda pasante, por tanto el rechazo de armónicos será mucho más
satisfactorio que para el filtro binomial, cuyo módulo empieza a decrecer
mucho antes.
Es importante remarcar que aunque el filtro Q(z) sea no causal (4.34), al
estar multiplicado por z-N se convierte en una estructura realizable,
siempre y cuando M sea menor que N.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 65
8 Diseño de la ganancia Kx
Como se discutió en la Sección 4.2 del presente Capítulo, la ganancia Kx
modifica el comportamiento del regulador. El valor de la misma debe de
ser elegido teniendo en cuenta el compromiso entre rapidez y estabilidad.
Del estudio de la misma se pueden sacar conclusiones interesantes sobre el
regulador repetitivo.
8.1 Influencia de Kx en la estabilidad
Una primera estimación del valor que debe tomar esta ganancia se puede
hallar en [1]. En esta sección se va a discutir un criterio más elaborado
según las referencias [11] o [25] para la estimación de los valores límite
que puede tomar la ganancia de aprendizaje Kx, en función de los errores
de modelado.
En el estudio de estabilidad se concluía que la condición suficiente para
garantizar la misma era 1stjeT
. Para el caso a estudio el modelo de la
planta no tiene por qué ser perfecto, y justamente es la influencia de los
errores lo que se va a intentar cuantificar.
Suponiendo que 1
jeH se cumple, y sustituyendo la variable
compleja jsencose j en la ecuación 11 zMzH , se puede
resolver la desigualdad, y simplificar a (4.38). Para la demostración ver la
referencia [25].
x
p
j
x
j
x
j
p
j
p
eGeG
eGeG
(4.37)
0cos22
xpxxpxpx
GGKGGK
(4.38)
De la ecuación (4.38) se puede despejar el valor de Kx que asegura la
estabilidad, resultando tal valor ser (4.39). Además, se puede obtener otra
restricción (4.40), ya nombrada en otras referencias como [21] o [29].
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 66
xp
xp
xGG
K
cos2
0
(4.39)
22
xp
(4.40)
Claramente, si se elige zGzGpx
1 , entonces se puede elegir 20
xK ,
pero si el modelo de la planta difiere, entonces el valor máximo que puede
Kx será distinto. Una conclusión importante es que por muy pequeña que
se elija la ganancia, para satisfacer la condición (4.40), el sistema puede no
cumplir la condición de suficiente estabilidad si el modelo de la planta en
bucle cerrado difiere más de ±90º del de la planta original.
Definiendo los errores de modelado de la planta en bucle cerrado como
(4.41), se puede ver gráficamente, en la Figura 4.25, el valor máximo que
de Kx en función de tales errores, de la forma ememx
GfK , .
xpem
xpem
GGG
(4.41)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 67
Figura 4.25: Valores de máximos de Kx que aseguran la estabilidad para distintos valores del error
de modelado.
En la Figura 4.25 se han omitido los valor de em
G menores que 1 ya que
mejoran la Kx, y lo que se busca en este análisis es un peor caso para el
cálculo de la ganancia.
8.2 Influencia de Kx en el error
Otro análisis interesante que se puede hacer sobre la ganancia Kx es la
influencia que tiene sobre el error en régimen permanente. En el análisis
del error en régimen permanente, se llegó a la conclusión de que H(z)
debía de tener fase lineal. Visto que H(z) se diseñará para que tenga fase
lineal, se supondrá que H(z)=W(z), y se verá el impacto que tiene Kx sobre
la ganancia de atenuación de los armónicos. Bajo estas suposiciones, se
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 68
puede extraer de la función de transferencia del error del controlador
repetitivo (4.42).
x
eKzW
zWzG
11
1
(4.42)
wjj eeW (4.43)
En la Figura 4.26 se ha representado gráficamente la ecuación (4.43). Se
puede decir que independientemente de Kx, cuando se tienen 0º el error es
cero. Al aumentar la Kx, se consigue una mejorar de la sensibilidad frente a
cambios en la frecuencia, en detrimento de la magnificación del error a las
frecuencias interarmónicas. Por tanto, con una Kx baja, se puede tener
error cero, y se magnifican menos las frecuencias interarmónicas, aunque
los cambios en la frecuencia afectan más al error.
Figura 4.26: Modulo del error en función del ángulo de W(z) para RC, con distintos valores de Kx.
Por último se discutirá el error en régimen permanente del regulador
repetitivo de orden superior para distintos valores de Kx. La Figura 4.27
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 69
viene a concluir que la elección de la ganancia Kx puede cambiar el
comportamiento supuesto para un conjunto de valores de un controlador
repetitivo de orden superior. La Figura 4.27 muestra que para el
controlador tipo PR es muy importante que se cumpla que 8.00 xK o
en todo caso que valga la unidad.
Figura 4.27: Modulo del error en función del ángulo de W(z) para el controlador PR de orden 3,
para distintos valores de Kx.
9 Diseño del filtro L(z)
El filtro L(z) es artificio para hacer el controlador adaptable frente a
cambios en el periodo de la perturbación [3], sin necesidad de cambiar el
periodo de muestreo. El filtro L(z) se formula como una función de
transferencia que cambia su estructura en función de la frecuencia
estimada, sin necesidad de cambiar el resto del diseño. Para estimar la
frecuencia se puede utilizar el filtro de Kalman descrito en el Capítulo 2.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 70
9.1 Adaptación redondeando el valor de N
Una de las primeras ideas para hacer el regulador repetitivo adaptativo a
la frecuencia es ajustar el valor al entero más cercano en función de la
frecuencia estimada de la red. Esta idea ha sido tratada por diversos
autores como [31], [46] o [47]. El valor de N se estipula como (4.44).
S
P
t
troundN
(4.44)
Utilizando esta estrategia se define el error en la elección de N como (4.45).
2
1
2
1 N
t
t
S
P
(4.45)
Para pasar este error a formato de tiempo se divide entre el valor de N,
obteniendo así la desviación en tiempo del periodo de muestreo con el
periodo de la perturbación:
NNN 2
1
2
1
(4.46)
Según (4.46) cuanto mayor sea el valor de N, menor será la discrepancia
entre el periodo de la perturbación y el periodo de muestreo. Para N=100
se cumple que δ<0.5%, y para que el regulador repetitivo tenga buenos
resultados hace falta que δ<0.1%.En tal caso sería necesario aumentar el
periodo de muestreo, lo que puede ocasionar problemas (modelado a altas
frecuencias, ruido, etc.).
En el siguiente apartado se da una solución a este problema, mediante el
ya nombrado filtro L(z).
9.2 Filtro L(z) para el regulador repetitivo
La idea principal del artificio es elegir el valor de N como:
S
P
t
tfloorN
(4.47)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 71
Elegido el valor de N, se calcula su error relativo le (del inglés “long error”),
según la ecuación (4.48).
1,0
e
S
P
S
P
S
P
elN
t
t
t
tfloor
t
tl
(4.48)
La interpretación de este resultado para un valor de tp dado es la cantidad
que le queda a N para abarcar el periodo completo de la perturbación. Por
tanto, una posible implementación del filtro L(z) es ponderar la cantidad
de error entre un retraso y la muestra actual, como en la ecuación (4.49).
11 zllzLee (4.49)
Existe otra posible realización de este filtro que se ha desarrollado en el
transcurso de este proyecto, y se describe a continuación. Si le es la
cantidad que le falta a N para abarcar todo el periodo de la perturbación,
entonces se puede decir (4.50) es esa cantidad. Haciendo una
aproximación de Padé de primer orden [14], se puede llegar a (4.51), y
tomando la transformada bilineal se llega a (4.51), de manera que (4.52) es
la nueva expresión para L(z).
slt
eeSel
(4.50)
1
1
11
11
21
21
zll
zll
slt
slt
eee
eezs
eS
eS
slt eS
(4.51)
1
1
11
11
zll
zllzL
ee
ee
(4.52)
También se pueden tomar aproximaciones de Padé de orden mayor, pero
hay que tener en cuenta que cuanto mayor sea el orden de la aproximación
mayor será el coste computacional. Para la aplicación que se está tratando
una aproximación de primer orden es suficiente, ya que la fase se
mantiene prácticamente lineal en el intervalo de frecuencias de interés,
como se demostrará posteriormente.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 72
En este proyecto este filtro utilizará en la posición marcada en la Figura
4.29 y no la de la Figura 4.28, de manera que no se afecte a la condición de
estabilidad. En [3], donde se propone el filtro L(z), no se llegó a conseguir
un sistema estable por este motivo. El uso del filtro L(z) en esta posición
hará posible su implementación en el controlador repetitivo de orden
superior adaptativo, como se estudiará en detalle más adelante.
z-Nx[k] y[k]
L(z)
Figura 4.28: Posición del filtro L(z) en la referencia [3]
z-Nx[k] y[k]L(z)
Figura 4.29: Posición del filtro L(z) actual
Figura 4.30: Diagrama de bode de L(z) como de la ecuación (4.49) para distintos valores de le.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 73
Uno defecto del uso del filtro L(z) en la versión de la ecuación (4.49) es,
como se puede observar en la Figura 4.30, que no solo se introduce la fase
necesaria, sino que además se está actuando a modo de filtro paso bajo.
Esto deteriora la respuesta del algoritmo a frecuencias altas para algunos
casos de le, obteniendo la peor respuesta cuando le=0.5, y mejorando
cuando le se acerca a los extremos del intervalo (0,1].
Para la versión del filtro que se sugiere en este proyecto (4.52), el diagrama
de Bode es el de la Figura 4.31. Se observa que la ganancia del filtro es
siempre la unidad, y analíticamente se puede demostrar que la fase es
aproximadamente lineal.
Para todas las comparaciones que se van a hacer a continuación se usará el
armónico 20, ya que representa un armónico de alta frecuencia, en la zona
donde más difícil suele resultar la compensación.
Figura 4.31: Diagrama de bode del filtro L(z) como en la ecuación (4.52) para distintos valores de
le. Se han utilizado los mismo valores de le que para la Figura 4.30.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 74
En la Figura 4.32 se ha representado el diagrama de Bode de amplitud
ampliado al armónico 20 para el regulador RC con el filtro L(z) de la
ecuación (4.49), propuesto en la referencia [3]. Se puede observar que
cuando le=0.5 la atenuación es menor que para el resto de casos.
Figura 4.32: Diagrama del RC con filtro L(z) con la estructura de la ecuación (4.49) [3]. La
atenuación es muy baja cuando le se acerca a su valor central.
En la Figura 4.32 se ha representado un equivalente de la Figura 4.30 pero
para la configuración del filtro dada por la ecuación (4.52). Se puede
observar que los picos de resonancia se mantienen aproximadamente
constantes, como se preveía en la Figura 4.31. Cabe destacar que al no ser
la fase completamente lineal se produce un pequeño desplazamiento de
frecuencia. Notar que las resonancias no están centradas en las frecuencias
exactas que le corresponden. Para un seguimiento perfecto para el máximo
de la resonancia debería coincidir el valor de le con el valor de incremento
de la frecuencia. Esta casualidad se debe a que se ha elegido N=100 para
realizar la Figura (si Δf=1%, entonces N=0.99·100=99 y le=0)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 75
Figura 4.33: Diagrama del RC con filtro L(z) con aproximación de Padé de primer orden, para las
mismas condiciones que la Figura 4.32
9.3 Filtro L(z) para el control repetitivo de orden superior
En este apartado se estudiará como ubicar el filtro L(z) para el caso del
repetitivo de orden superior, y estudiar cómo se comporta el regulador en
comparación con el repetitivo de orden simple.
z-N
z-N
L(z)x[k] y[k] x[k] y[k]
Figura 4.34: Posición del filtro L(z) en para el HORC
Según el razonamiento hecho en el comienzo del apartado, el filtro L(z) se
ubica según lo descrito en la Figura 4.29, siguiendo el camino lógico. En
consecuencia, una posible colocación de este filtro para el caso del
repetitivo de orden superior es el mostrado en la Figura 4.34. Según los
análisis de estabilidad presentados en [4] que concuerdan con lo citado en
[1] y [9] para el repetitivo simple, que se complementan con [22] para el
repetitivo de orden superior, la colocación del filtro L(z) en estas
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 76
posiciones no afecta significativamente la estabilidad del sistema en bucle
cerrado. Comprobado que no se pone en peligro la estabilidad del sistema,
se estudia el comportamiento para distintas configuraciones de repetitivo
de orden superior.
Se puede concluir de la observación de la Figura 4.35 que el
posicionamiento del filtro L(z) es el correcto, ya el efecto es el esperado.
Figura 4.35: Diagrama del controlador PR de orden 3 con filtro L(z) para distintos valores de le
para una variación de frecuencia del 0-1%.
9.4 Errores con los métodos de adaptación
Al igual que se hizo anteriormente parar el RC, NR y PR, se estudia el
módulo del error para las frecuencias armónicas sustituyendo %1
fhfGer
para nh ,...,2,1 , que era equivalente a hacer %1
1 fhfH .
En primer lugar se muestra el diagrama tridimensional para la adaptación
en N, en la Figura 4.36, tomando N=100 y una frecuencia de muestreo de
5KHz. Aunque mejora bastante el comportamiento, cuando δ=0.5 el error
se hace mayor sobre todo para armónicos altos.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 77
Figura 4.36: Error por armónico en función de la frecuencia para el RC con adaptación en N
En la Figura 4.37 se puede el resultado del error utilizado el filtro L(z) en
la versión propuesta en este proyecto. Mediante la utilización del filtro se
ha conseguido reducir mucho el mal comportamiento del regulador
repetitivo a las frecuencias interarmónicas.
Figura 4.37: Error por armónico en función de la frecuencia para el RC con adaptación en N y
filtro L(z) propuesto
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 78
10 Ensayo de Laboratorio: Control repetitivo
Se diseña un control repetitivo con filtro L(z) con un periodo de muestreo
de 4.525kHz, resultando así un valor de N=90 y le=0.5. En la Figura 4.40 se
muestra la generación de referencia. La componente fundamental de la
corriente se estima con un EKF y se le resta a la corriente consumida por la
carga. De esta manera se genera la forma de onda que debe de seguir el
regulador externo de corriente.
EKF
_IL
IL1
ref
Figura 4.38: Generación de la referencia utilizando un filtro de Kalman
El periodo de muestreo utilizado se modifica a 4.525kHz para poder ver el
efecto del filtro L(z). En la Figura 4.39 el esquema completo del sistema de
control. Se utiliza el control interno diseñado en el Capítulo 3, y se le
añade el control repetitivo. El filtro Q(z) se diseña de longitud M=25
_ P(s)_
iFA
VL
D(s)
CP(s)
r
CR(z)
CI(z)_
Figura 4.39: Sistema de control probado en la plataforma experimental
En la Figura 4.40 se muestran los resultados del ensayo para la generación
de la referencia. Esta referencia será la introducida en el sistema de control
de la Figura 4.39.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 79
Figura 4.40: Generación de la referencia de corriente para el control repetitivo mediante un filtro
de Kalman
En la Figura 4.42 se muestra el comportamiento en régimen permanente
del regulador RC con filtro L(z). Se observa que la corriente de la red es
prácticamente sinusoidal. Prácticamente el 100% de los armónicos son
eliminados de manera satisfactoria, como se observa en la Figura 4.41.
Figura 4.41: Contenido armónico de las corrientes para el RC con filtro L(z)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 80
Figura 4.42: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando el esquema de control
repetitivo adaptativo
Figura 4.43: Datos de laboratorio de las tensiones de un filtro activo usando un esquema de control
repetitivo adaptativo
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 81
En la Figura 4.43 se pueden observar las tensiones de red y salida del filtro
activo. Los picos de tensión en el actuador para eliminar los armónicos de
alta frecuencia son muy acusados. Nótese que cuanto mayor es la
frecuencia del armónico a eliminar, mayor es la impedancia de la red RL
de la carga, y más alta debe ser la tensión del actuador.
Figura 4.44: Transitorio de arranque del regulador repetitivo una vez estabilizado el control
interno de corriente
En la Figura 4.44 está capturado el transitorio de arranque del regulador
repetitivo. En un primer momento solo actúa el regulador interno, y la
eliminación de armónicos no acaba de ser satisfactoria. Cuando se activa el
regulador repetitivo solo tarda un ciclo en alcanzar el régimen
permanente.
11 Ensayo de Laboratorio: Regulador NR
En esta sección se muestran los datos de laboratorio de los ensayos
realizados al controlador NR.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 82
El regulador NR se diseña de orden 3. Se le añade el filtro L(z) para la
regulación continua en función de la frecuencia de la red. Para la
generación de la referencia se utiliza el mismo método que para el RC
ensayado en la Sección 10 del presente Capítulo. El valor de Kx se ajusta a
0.8.
Se observa en la Figura 4.45 que el contenido armónico se elimina muy
satisfactoriamente, aunque los picos son más acusados en los pasos por
cero que para el RC. En la Figura 4.47 se puede observar el contenido
armónico separado en armónicos de la carga. Para altas frecuencias, el
regulador empieza a volverse menos eficiente, aunque sigue rechazando
los armónicos.
En la Figura 4.46 se observa que los picos de tensión en el mando para el
regulador NR son menos acusados que para el RC que se transforma en
una peor eliminación de los armónicos de alta frecuencia.
Figura 4.45: Corrientes en el punto de conexión para el NR de orden 3 con filtro L(z)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 83
Figura 4.46: Tensiones del filtro activo para el regulador NR de orden 3 con filtro L(z)
Figura 4.47: Contenido armónico de las corrientes para el NR de orden 3 con filtro L(z)
En la Figura 4.48 se prueba a introducir artificialmente una frecuencia
estimada errónea en el regulador NR. Se observa que la cancelación no
resulta satisfactoria con un ligero cambio en la frecuencia de la
perturbación. Los armónicos bajos se siguen compensando pero los altos
se empeoran, como se observa en el contenido armónico de la Figura 4.49.
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 84
Figura 4.48: Corrientes en el punto de conexión para el NR de orden 3 con filtro L(z) con una
frecuencia estimada errónea f=49.75Hz (fijada manualmente)
Figura 4.49: Contenido armónico de las corrientes para el NR de orden 3 con filtro L(z) con una
frecuencia estimada errónea f=49.75Hz (fijada manualmente)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 85
12 Ensayo de Laboratorio: Regulador PR
Se diseña un regulador PR de orden 2. No se usa el de orden 3 ya que se
probó en el laboratorio pero saturaba el actuador, razón por la que se
decidió bajar a orden 2. Se utiliza el filtro L(z) para la adaptación a la
frecuencia. Se diseña con Kx=0.65 para dar cierto margen de estabilidad
adicional.
La referencia se genera utilizando un EKF para estimar la componente
fundamental que se resta a la corriente medida de la carga, de la misma
manera que para el RC.
En la Figura 4.51 y Figura 4.50 se pueden ver las corrientes y el contenido
armónico de las mismas. La supresión de armónicos no es tan buena como
en el RC sobre todo en los armónicos 11 y 13.
Figura 4.50: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando PR de orden 2 con L(z)
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 86
Figura 4.51: Contenido armónico de la corriente de red para el regulador PR
Figura 4.52: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando PR de orden 2 con una
frecuencia estimada errónea f=49.75Hz (fijada manualmente)
Es interesante ver el comportamiento del regulador PR si la frecuencia
para el filtro L(z) no se estima correctamente. En tal caso, se puede
CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 87
observar el comportamiento en la Figura 4.52. En la Figura 4.53 se puede
ver el contenido armónico. Este se parece mucho al de la Figura 4.53,
donde la frecuencia estaba correctamente estimada. Se puede concluir que
este tipo de regulador es robusto frente a errores en la estimación de la
frecuencia.
Figura 4.53: Contenido armónico para el PR de orden 2 con una frecuencia estimada errónea
f=49.75Hz (fijada manualmente)
88
Capítulo 5 REGULADOR BASADO EN EL
FILTRO DE KALMAN
En este capítulo se estudia una propuesta de regulador que tiene como
base el filtro de Kalman. Este se plantea como una alternativa al regulador
repetitivo estudiado en el Capítulo 4.
La base de este sistema es incluir un filtro de Kalman en la realimentación
del sistema de control. El objetivo es lograr identificar cada armónico de la
perturbación por separado para así poder diseñar controladores para cada
armónico de manera independiente.
Para el caso en el cual la frecuencia de la perturbación es constante es
común el uso de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) para la
identificación de las componentes armónicas. Cuando la frecuencia es
variable este método no es válido, ya que la FFT necesita un número
exacto de muestras en un periodo [43].
1 Introducción
El sistema de control para tratar las componentes armónicas por separado
se explica a modo de croquis en la Figura 3.1. Cada componente es
identificada por el filtro de Kalman y para cada una se diseña un
regulador. Finalmente se suman todas las componentes para dar lugar al
mando que se aplicará en la planta. Nótese que el problema de control se
puede dividir en dos partes claramente diferenciadas: La identificación de
las frecuencias armónicas y el control adaptado a cada armónico.
La identificación de los armónicos se hace mediante un filtro de Kalman
en el error del sistema de control (Figura 3.1). Como se mostró en la
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 89
Sección 4.3 del Capítulo 2, el filtro de Kalman se puede diseñar para
separar componentes armónicas.
_r P(s)Filtro de
KalmanControl
n
n
d
_e
Figura 5.1: Regulador basado en el filtro de Kalman
Los reguladores de la Figura 5.1 tienen muchas posibilidades para ser
diseñados. Cabe destacar las dos técnicas que se exponen a continuación.
Identificar las componentes como números complejos, usando ejes
móviles y diseñar un regulador para cada par a+bj. Luego se
reconstruye cada señal y finalmente se suman todas las
componentes. Se puede ver el sistema de control en la Figura 5.2.
Identificar las componentes como sinusoidales y diseñar los
reguladores para que eliminen una sola frecuencia. Estos
reguladores pueden ser, por ejemplo, reguladores selectivos. Para
una introducción a los reguladores selectivos pueden consultarse
las referencias [1] o [44].
ControlFiltro de
Kalman
Sistema de control en ejes móviles
n n n n
ω
x1 x2
a b
a b
x1 x2
Figura 5.2: Sistema de control usando un filtro de Kalman y ejes móviles
Notar que en el sistema de control en ejes móviles recibe la frecuencia de
manera externa. El motivo de identificar la frecuencia de manera externa
es que es más sencillo identificar la frecuencia de la tensión de red que
hacerlo de la corriente, que tiene mucho mayor contenido armónico.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 90
PIn n n nx1 x2
a b
a b
x1 x2
ω
= Selectivon n
ω
Figura 5.3: Similitud entre usar ejes móviles con regulador PI y un regulador selectivo
En la referencia [44] se demuestra que un regulador PI en ejes móviles
tiene una representación equivalente como regulador selectivo.
2 Modelo dinámico del filtro de Kalman
Como en los reguladores que se van a estudiar se incluye un filtro de
Kalman en el lazo de realimentación, es interesante estudiar la posibilidad
de obtener un modelo dinámico válido.
2.1 Componentes desacopladas
Es interesante estudiar si las componentes del filtro de Kalman están
desacopladas entre sí. Para realizar esta prueba primero se lleva al filtro a
estado de reposo, y luego se le aplica una sinusoidal de una sola
frecuencia. Esta prueba permitirá de una manera sencilla evaluar a simple
vista si las componentes se pueden considerar desacopladas.
Se debe tener en cuenta que en el diseño del filtro de Kalman influyen
fuertemente los parámetros R y Q.
En la Figura 5.4 se observa la respuesta de la componente fundamental y
los armónicos cercanos 2, 3 y 5, con R=1000. Se puede observar que en
régimen dinámico no pueden considerarse del todo desacopladas, aunque
el nivel de acoplamiento es bajo. Se estudian los casos de variación de los
parámetros R y Q por separado.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 91
Figura 5.4: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con R=1000
Figura 5.5: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con R=10
En la Figura 5.5 se ha utilizado un valor de R=10. La respuesta transitoria
en más rápida, y el nivel de acoplamiento también en mucho mayor.
Además, al bajar el valor de R el filtro resulta más sensible frente a ruido.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 92
En la Figura 5.6 se ha tomado un valor de Q diez veces más pequeño que
para la Figura 5.4. Se observa el mismo hecho que para la Figura 5.5, de
hecho, la Figura 5.6 es prácticamente idéntica que la Figura 5.5. En
régimen dinámico las componentes están más acopladas, y el transitorio
dura menos tiempo. Hay que tener en cuenta que tampoco se puede
disminuir Q indefinidamente, ya que cuando más se disminuya más
sensible será el filtro frente a señales no modeladas.
Figura 5.6: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con Q diez veces menor que en la Figura
5.4
2.2 Modelo lineal
Para el estudio de la posibilidad de un modelo lineal se supondrá que se
han elegido unos valores coherentes de R y Q, y por tanto las componentes
del filtro están desacopladas.
De la observación de la Figura 5.5 y la Figura 5.6 se puede pensar en que el
filtro de Kalman admite un modelo lineal, ya que su respuesta se asemeja
a la de este tipo de sistemas. Para la correcta visualización de las
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 93
magnitudes se utilizan ejes móviles para visualizar tanto la salida como la
entrada, como se muestra en la Figura 5.7.
Filtro de
Kalman
y1 y2
a b
x1 x2
a b
x[k] y[k]
x*[k] y*[k]
Figura 5.7: Ensayo para la obtención de un modelo lineal del filtro de Kalman
Se ensaya inyectando una única señal sinusoidal de amplitud unidad.
Cada cierto tiempo cambia la fase de la sinusoidal 180º. Este tipo de
excitación equivale a la situación de que la entrada sea a=1 y b=0, y pase a
ser a=-1 y b=0. En la Figura 5.8 se ve puede observar la señal de
excitación. Para el ensayo se utilizarán los ciclos necesarios para que la
salida del filtro de Kalman se estabilice, y así poder evaluar el modelo
dinámico.
Figura 5.8: Ejemplo de señal de excitación en ejes fijos y en ejes móviles
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 94
La respuesta se puede observar en la Figura 5.9, donde se han tomado
150ms de longitud de la excitación. Se puede observar como las variables a
y b no son del todo independientes en el transitorio, aunque si en régimen
permanente.
Figura 5.9: Ensayo en ejes móviles para las magnitudes a y b
Para hallar un modelo se puede pensar a simple vista que el sistema tiene
un polo dominante de primer orden, y un par de polos complejos de con
un módulo mucho mayor. El modelo propuesto es de una constante de
tiempo, que ajuste el tiempo de establecimiento (5.1).
1
1*
ssKF h
(5.1)
Donde la notación KF*
h(s) es la función de transferencia del filtro de
Kalman en ejes móviles. Para pasar a ejes fijos, se busca que la respuesta
dinámica a la frecuencia de interés sea una sinusoidal amortiguada con la
misma constante de tiempo que KF*
h(s). Planteando lo anteriormente
mencionado usando la transformada de Laplace, se tiene la entrada de
ecuación (5.2).
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 95
22
sin
ssUttu (5.2)
De igual manera se pretende que la salida del modelo ante una entrada
sinusoidal sea esa misma sinusoidal amortiguada, como la de la ecuación
(5.3).
2222
sin1
asssYtety at
(5.3)
Se plantea la igualdad (5.4) para que la respuesta de KFh(s) sea la esperada
ante la entrada de la ecuación (5.3). Despejando de esta igualdad, se
obtiene la función de transferencia del filtro de Kalman en ejes fijos, que se
muestra en la ecuación (5.5).
sYsUsKFh
(5.4)
2222
22
ass
ssKF
h
(5.5)
La ecuación (5.5) se puede cambiar de formato para resultar más visual:
2
2
22
11
s
ssKF
h
(5.6)
La expresión (5.6) será utilizada para modelar el comportamiento del filtro
de Kalman cuando se necesite un modelo de respuesta en frecuencia.
2.3 Conclusiones
En base a lo observado, las conclusiones sobre el comportamiento
dinámico del filtro de Kalman son las siguientes:
Se puede considerar la respuesta entre armónicos desacoplada,
siempre que se usen valores coherentes de R y Q.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 96
Se usarán los valores de R y Q, que sin deteriorar la respuesta en
régimen permanente y transitorio, hagan la respuesta del filtro más
rápida.
Se puede obtener un modelo lineal del filtro de Kalman, ya que se
régimen dinámico se parece mucho al régimen dinámico de
sistemas lineales.
3 Control integral en ejes móviles
3.1 Introducción
La primera estrategia dentro de los algoritmos en ejes móviles es utilizar
un regulador PI para cada armónico a+bj. El uso de un regulador PI tiene
como objetivo hacer cero el error el régimen permanente. Para eliminar los
armónicos es necesario minimizar tanto la magnitud a como la magnitud
b, por tanto será necesario poner dos reguladores por armónico. En la
Figura 5.10 se puede encontrar un croquis sobre la evolución de las
magnitudes dentro del sistema de control.
x1 a
b
a
b
Filtro de
Kalman
Ejes
Móviles
Regulador
PI
m
Reconstrucción
x2
Figura 5.10:. Croquis del funcionamiento del regulador basado en el filtro de Kalman y control PI
Una de las ventajas de este sistema de control es que solo se tienen que
ajustar los parámetros del regulador PI, y no se requiere un modelo
implícito de la planta, como en el RC. En los apartados posteriores se
estudiará un criterio de estabilidad para este tipo de regulador.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 97
3.2 Estudio de estabilidad
Para realizar el estudio de estabilidad se usará la teoría de respuesta en
frecuencia usada para analizar los sistemas lineales de control. Para ello se
supondrá que la frecuencia de la red es una magnitud constante,
suposición realista teniendo en cuenta la velocidad de variación de la
frecuencia de la red.
Como ya se comentó, es equivalente utilizar un regulador selectivo que un
regulador PI con ejes móviles. Para el caso a estudio es más sencillo
utilizar un regulador selectivo, y después generalizarlo para reguladores
PI. El modelo de respuesta en frecuencia de todo el sistema se puede ver
en la Figura 5.11. Se ha supuesto que el filtro de Kalman tiene una
respuesta en frecuencia con las características de un sistema lineal para
poder hacer el análisis.
_ P(s)C(s)n n
d
_KF(s)
r
Figura 5.11: Croquis del funcionamiento del regulador basado en el filtro de Kalman y control PI
La función de transferencia de lazo abierto se puede tomar como (5.7).
sPsCsKFsGhh
(5.7)
Si se considera que la planta es lineal, se puede interpretar este resultado
como tener h lazos de control independientes, ya que al excitar la planta a
una frecuencia, la respuesta en régimen permanente solo incluye esa
misma frecuencia. En la Figura 5.12 se muestra el modelo equivalente del
sistema de control.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 98
_r G(s)
Figura 5.12:. Sistema equivalente por armónico para el estudio de estabilidad
Si se consideran que los lazos están desacoplados entre ellos, se puede
pensar que cada lazo por separado sea estable. Si todos los lazos de
control son estables, entonces el sistema será estable.
Para analizar la estabilidad del sistema de control se utiliza el criterio de
Nyquist. Para más información ver la referencia [1].
Con el modelo propuesto se podrán obtener índices de respuesta en
frecuencia para la evaluación la estabilidad del sistema en bucle cerrado.
Los principales problemas para la aplicación de este criterio se enumeran a
continuación:
Linealidad del modelo del filtro de Kalman
Validez de la suposición de lazos de control desacoplados
3.3 Respuesta en frecuencia de un regulador PI en ejes móviles
Para conseguir un modelo del regulador PI que funciona en ejes móviles,
en ejes fijos, se va a utilizar la misma técnica que se utilizó para hallar la
respuesta temporal del filtro de Kalman. La expresión utilizada para el
regulador PI es la siguiente:
IsKsC
ph
11
(5.8)
Para una entrada sinusoidal pura (5.9), la respuesta se dividir en dos
partes, una integral yI (5.10) y otra proporcional yK (5.11). Estas respuestas
temporales tienen una expresión equivalente en s (5.10) y (5.11).
22
sin
ssUttu
(5.9)
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 99
222
2sin
s
s
I
KsYtt
I
Kty
p
I
p
I
(5.10)
22
sin
sKsYtKty
pKpK
(5.11)
La salida será la suma de la operación proporcional e integral (5.12). Con
estos datos se puede plantear la igualdad (5.13).
sYsYsYKI
(5.12)
sYsUsCh
(5.13)
Despejando de la igualdad (5.13), se llega a (5.14). Para una formulación
más compacta se simplifica la expresión (5.14) hasta reducirla a (5.15).
22
22
22
222
2
s
sK
s
s
s
I
KsC
p
p
h
(5.14)
22
21
s
s
IKsC
ph
(5.15)
Los resultados de esta demostración se han comprobado mediante
métodos de simulación, resultando respuestas iguales para el regulador PI
en ejes móviles y para el regulador selectivo.
3.4 Diseño de un regulador PI en ejes móviles
Posteriormente se hace un análisis por armónico del filtro de Kalman para
establecer su dinámica con el método que se explicó en la Sección 2 del
presente Capítulo.
Una vez obtenido el modelo dinámico del LKF se diseñan reguladores PI
en ejes móviles según el análisis de estabilidad realizado en la Sección 3.3.
Por tratarse de un proceso relativamente largo aunque mecánico no se
entra en detalle de cómo se ha realizado. Destacar que para algunos
armónicos se han tenido que retocar los valores de las ganancia del
regulador manualmente para lograr un sistema estable en bucle cerrado.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 100
3.5 Ensayo de Laboratorio
En la Figura 5.13 se observan los valores de las corrientes en el nudo de
conexión del filtro en régimen permanente. La eliminación de armónicos
parece correcta excepto en los pasos por cero, ya que contienen armónicos
no incluidos en el control.
Figura 5.13: Datos experimentales de las corrientes del filtro activo para un control con regulador
PI en ejes móviles
Figura 5.14: Contenido armónico de las corrientes con el regulador PI en ejes móviles
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 101
Figura 5.15: Datos experimentales de las tensiones del filtro activo para un control con regulador
PI en ejes móviles
Figura 5.16: Estimación de la componente fundamental de la tensión de red y su frecuencia
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 102
En la Figura 5.15 está representada la tensión del punto de conexión, que
es prácticamente sinusoidal, junto con la tensión generada por el filtro
activo. El armónico fundamental es prácticamente igual, siendo la gran
diferencia los armónicos superpuestos, que son los que producen las
corrientes que circulan por la rama del filtro.
En la Figura 5.16 se puede ver la tensión de red junto con la tensión de red
identificada por el EKF. Como el contenido armónico es muy pequeño, no
existe casi diferencia entre ambas. La frecuencia real medida en el
laboratorio era de 49.98Hz.
4 Regulador selectivo en ejes fijos
4.1 Introducción
Como ya se comentó en la introducción del presente capítulo, otra opción
es para el diseño es utilizar reguladores selectivos sintonizados a las
frecuencias de interés. Esta técnica es utilizada en [1] y [44], y tiene como
cualidad que no es necesario hacer la transformación de ejes, con lo cual se
ahorran muchos cálculos.
4.2 Forma de un regulador selectivo
La forma del regulador selectivo que se va a implantar es la
transformación del regulador PI explicado en la Sección 3 del presente
Capítulo pero transformado a ejes fijos. La transformación del regulador
PI a ejes fijos da como resultado la función de transferencia de la ecuación
(5.16).
22
21
s
s
IKsC ph
(5.16)
El diagrama de Bode de Ch(s) para KP=1, I=1 y ω=50Hz se puede visualizar
en la Figura 5.17. La integración del regulador PI se ha desplazado hasta
alcanzar la frecuencia de diseño.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 103
El efecto de un regulador selectivo es el mismo que el del regulador
repetitivo del Capítulo 4, pero para una sola frecuencia. Si se desea
información más detallada se pueden ver las referencias [1] o [44], donde
el tema de los reguladores selectivos es tratado en profundidad.
Figura 5.17: Diagrama de Bode de un PI transformado a regulador selectivo
4.3 Estudio de estabilidad
El estudio de estabilidad es prácticamente idéntico al realizado para el
regulador PI en ejes fijos. Si el sistema de control es el mostrado en la
Figura 5.18 se puede definir la función de transferencia de lazo abierto
como en la ecuación (5.17).
sPsCsKFsGhh
(5.17)
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 104
_ P(s)C(s)n n
d
_KF(s)
r
Figura 5.18: Diagrama de bloques de un sistema con regulador selectivo y filtro de Kalman
Se utiliza el criterio de Nyquist para estudiar la estabilidad. Para más
información ver [1].
4.4 Ensayo de laboratorio
El diseño del regulador selectivo se realiza con los mismos valores de los
parámetros del regulador PI para ejes móviles diseñado en la Sección 3.4
del presente Capítulo.
Figura 5.19: Contenido armónico de las corrientes para el regulador selectivo en ejes fijos
En la Figura 5.19 se puede observar los resultados parecen similares a los
del regulador PI en ejes móviles, excepto para los armónicos altos, en los
cuales no se aprecia casi atenuación. Se ha estudiado en el laboratorio la
causa de este fenómeno pero no ha encontrado respuesta. En la Figura 5.20
se pueden observar las corrientes para el nudo de conexión del filtro
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 105
activo y en la Figura 5.27 las tensiones de la red y conexión del filtro
activo.
Figura 5.20: Corrientes del filtro activo para el regulador selectivo en ejes fijos
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 106
Figura 5.21: Tensiones en el filtro activo para el regulador selectivo en ejes fijos
5 Regulador Óptimo
5.1 Introducción
En este apartado se plantea la supresión de armónicos mediante un
problema de optimización. Como se verá posteriormente, con este sistema
no será necesario tener un modelo del mecanismo físico de producción de
armónicos, por que se basa en el cálculo recursivo de sensibilidades de la
planta a las frecuencias de interés.
El diagrama de bloques es el mismo que el del control integral en ejes
móviles, pero en el control en si se sustituye el regulador PI por una
función de coste, según se muestra en la
n
ihhh
baV1
22
(5.18)
5.2 Algoritmo de control
En este apartado se plantea la supresión de armónicos mediante un
problema de optimización. El diagrama de bloques es el mismo que el del
control integral en ejes móviles.
Función
de coste
Filtro de
Kalman
Sistema de control en ejes móviles
n n n n
ω
x1 x2
a b
a b
x1 x2
Figura 5.22: Diagrama de bloques para el regulador óptimo
Para cada armónico que se desee eliminar se calculan las sensibilidades
(5.19). Se señalan con subíndice y los armónicos en la salida y con
subíndice u los armónicos en el mando.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 107
uh
yh
uh
yh
uh
yh
uh
yh
hb
b
a
b
b
a
a
aS ,,,
(5.19)
Para realizar este cálculo se incrementan ligeramente y de forma
secuencial las partes reales auh e imaginaria buh de los armónicos en el
mando y se determinan en cada caso las variaciones producidas en las
partes real ayh e imaginaria byh de los armónicos para cada sensor.
Posteriormente se calcula el vector de sensibilidades por diferencias finitas
a partir de los incrementos obtenidos.
Cálculo de
sensibilidades n n nx1 x2
a b
a b
x1 x2
Cálculo de
incrementos
nn
ω
Figura 5.23: Diagrama de bloques de la estructura interna del regulador óptimo
En la obtención de sensibilidades se supone que los armónicos están
desacoplados, lo que reduce considerablemente el tiempo de cálculo. Esta
suposición es correcta si el comportamiento de la planta no es demasiado
no lineal.
Cada vez que se modifica el contenido armónico del mando para el cálculo
de sensibilidades es necesario esperar un cierto tiempo hasta que se
alcance el régimen permanente, y hasta que el filtro de Kalman llegue a
régimen permanente.
Para realizar las tareas ya mencionadas se establece un planificador de
cuatro estados que determina la situación en la que se encuentra el
algoritmo. Los cuatro estados son los siguientes:
1. Actualización del mando
2. Perturbación en la parte real del mando
3. Perturbación en la parte imaginaria del mando
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 108
4. Cálculo del nuevo mando
_r P(s)Filtro de
KalmanControl
n
n
d
_
PlanificadorEstado
(1,2,3,4)
Figura 5.24: Diagrama de bloques del planificador utilizado en el control óptimo
El algoritmo se ejecuta hasta que el módulo de todos los armónicos es
menor que un umbral, que no nombra como MUh, y que tiene la expresión
de la ecuación (5.20). A partir de este valor dejan de perturbarse la parte
real e imaginaria.
n
iyhyhUh
baM1
22
(5.20)
Esta restricción se ejecuta para cada armónico, es decir, solo se perturban
los armónicos cuyo módulo no haya alcanzado un valor menor que MUh.
El bloque de cálculo de incrementos permite resolver el problema de
optimización planteado en la ecuación (5.18) para cada armónico. Como el
algoritmo de optimización es complejo y se ha incluido en el Anexo B.
Si se analiza la estructura del algoritmo se observará que el regulador
óptimo, aunque muy parecido a al regulador PI en ejes móviles, opera en
lazo abierto. No existe una realimentación en el sentido estricto, el único
requisito para su correcto funcionamiento es que el algoritmo de
optimización converja al resultado correcto. Es por ello que no es
necesario hacer un estudio de estabilidad.
5.3 Ensayo de laboratorio
El control interno de la planta se realiza como en el Capítulo 3. El
regulador óptimo se diseña para eliminar los armónicos 3, 5 y 7. El motivo
de no compensar más armónicos es que el algoritmo contiene demasiados
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 109
cálculos, y hace imposible su implantación con los medios que se disponen
en este proyecto. Se establece en 8 el número de ciclos por estado del
planificador. Se establece el límite de compensación de cada armónico en
50mA para una correcta eliminación de los armónicos. Se hace uso de un
EKF para estimar la frecuencia de la red y actualizar el LKF y los ejes
móviles.
Figura 5.25: Corrientes en el nudo de conexión para el regulador óptimo
Las corrientes en régimen permanente del ensayo pueden verse en la
Figura 5.25. La eliminación de los armónicos no es tan efectiva como en los
otros sistemas de control por los motivos mencionados en el párrafo
anterior. En la Figura 5.27 pueden observarse las tensiones del filtro
activo.
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 110
Figura 5.26: Contenido armónico de las corrientes para el regulador óptimo
El límite de atenuación de los armónicos se establece en 50mA. El límite es
algo alto, y se establece así porque si no la aplicación en tiempo real no
llegada a converger.
Figura 5.27: Tensiones de red y del filtro activo junto con la corriente de red para el regulador
óptimo
CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 111
Figura 5.28: Varios instantes de la perturbación de la corriente de red para alcanzar la solución
óptima
En la Figura 5.28 se han seleccionado varias etapas de cambio del
algoritmo de control, para ilustrar el procedimiento de cálculo. Se puede
observar como el algoritmo perturba la señal, espera unos ciertos ciclos, y
luego vuelve a perturbar la corriente, hasta que finalmente converge.
112
Capítulo 6 PLATAFORMA EXPERIMENTAL
En este capítulo se explica detalladamente la plataforma experimental
utilizada para la realización de los ensayos del presente proyecto. El
objetivo del desarrollo de esta plataforma es demostrar la viabilidad de los
algoritmos de control que se han estudiado en el transcurso del proyecto
bajo situaciones lo más parecidas a la realidad posible.
La descripción de la plataforma experimental incluye, además de los
elementos Hardware, el Software utilizado tanto para el diseño como para
la implantación de los sistemas de control en tiempo real
RL
LL
VCC
+
_
LR
iS iL VL
iFVS
Figura 6.1: Diagrama esquemático de la plataforma experimental
CAPÍTULO 6 – PLATAFORMA EXPERIMENTAL 113
1 Descripción del Hardware
En la Figura 6.1 se puede observar un diagrama esquemático de la
plataforma experimental construida para la realización del proyecto.
1.1 Red de alimentación
Se usa alimentación a partir de una red trifásica, de la cual se extraen dos
fases, que se conectan a un autotransformador monofásico, seguido de un
transformador.
VS
220/220 220/24
VL
Figura 6.2: Diagrama explicativo de la conexión de los transformadores
El autotransformador tiene una relación variable con máximo de 1/1, con
lo cual se puede regular la tensión entre 0V y 220V. El segundo
transformador tiene una relación de transformación de 220/24 voltios. Se
puede ver un croquis en la Figura 6.2. Con este diseño, se puede regular la
baja tensión entre 0V y 24V de manera dinámica. La justificación del uso
de un segundo transformador es asegurar que el voltaje máximo en baja
tensión no exceda de 24V, para no dañar el resto de elementos.
Se ha hecho un ensayo de cortocircuito al transformador de 200/24,
resultando una inductancia de cortocircuito de LS=1.7mH, y una
resistencia entre los dos devanados reducidos al lazo de baja de RS=0.3Ω.
1.2 Carga
La carga no lineal se ha realizado a partir de un puente de diodos, que
alimenta a una carga RL con reóstato, con valores RL y LL. La corriente de
la carga está limitada por la bobina a 2 amperios de corriente continua.
CAPÍTULO 6 – PLATAFORMA EXPERIMENTAL 114
1.3 Conexión del filtro activo
La conexión del filtro activo a red se hace mediante un reóstato, que se
ajusta a un valor R. Aunque teóricamente este valor debería de ajustarse a
cero para minimizar las pérdidas, se ajusta su valor a 4Ω, para limitar la
corriente que circula por el filtro en caso de corto.
Para la bobina de conexión se calculó un valor de unos 10mH. Como no se
disponía de bobinas tan pequeñas, se optó por usar 4 bobinas de 46mH y
de resistencia de 1Ω, puestas en paralelo.
1.4 Amplificador de audio
Para la emulación del inversor se ha utilizado un amplificador de audio
TDA7294. Este integrado es un amplificador de tensión con tecnología
DMOS, capaz de operar con cargas inductivas. También posee protección
contra cortocircuitos, protección altamente útil para el uso que se le va a
dar. La alimentación del integrado se ajusta a ±32V, referenciados a la
misma tierra que el circuito de potencia. Para asegurar el aislamiento entre
la tarjeta de adquisición de datos y el amplificador de audio se utiliza un
amplificador operacional LF411 como seguidor de emisor, según se
observa en la Figura 6.3.
Vcc
-Vcc
Conexión a red
Figura 6.3: Diagrama de conexión del amplificador de audio a la tarjeta de adquisición de datos
El amplificador operacional se alimenta a partir de una fuente de
alimentación de DC, a ±12V, ya que no es capaz de resistir los 32 voltios
del amplificador de audio.
CAPÍTULO 6 – PLATAFORMA EXPERIMENTAL 115
Debido a la gran cantidad de calor disipada por el amplificador de audio
se le añadió un disipador de calor y un ventilador de la marca Delta
Electronics, modelo DFB0616L alimentado a ±12V, que mantienen la
temperatura del amplificador dentro de los rangos admisibles.
El amplificador TDA7294 debe ajustarse con una ganancia de lazo cerrado
de al menos 24dB, según el Datasheet. Se ha ajustado a 30dB para dar
cierto margen. Esta ganancia se compensa en el sistema control para evitar
modificaciones de los algoritmos.
1.5 Sondas de medida
Para las mediciones de corriente se han utilizado sondas de efecto Hall de
la marca Tektronic, modelo A622 con una ganancia de 100mV/A. Una mide
la corriente inyectada por el filtro, en el sentido marcado en la Figura 6.1 y
otra mide la corriente de la carga, también con el mismo sentido.
Para la medida de la tensión en la carga se ha utilizado una sonda
diferencial de tensión de la marca Chauvin Arnoux, modelo DP25 con
ganancia 1/20.
1.6 Tarjeta de adquisición de datos
La tarjeta de adquisición de datos utilizada es el modelo PCI 6229 de
National Instruments. Tiene la posibilidad de tener hasta 32 canales
analógicos de entrada y 4 de salidas analógicas. Para el experimento
únicamente se utilizarán 3 entradas, que se corresponden con las sondas
de medida utilizadas. La única salida utilizada será la tensión de mando
del amplificador de audio. Para el correcto funcionamiento de los
algoritmos se estableció un tiempo de muestreo máximo de 4.5kHz, valor
utilizado en todos los ensayos, excepto en el del regulador óptimo que
utilizaron 4kHz por cuestión de cálculos.
La tarjeta de adquisición de datos está ubicada en un ordenador
únicamente destinada a realización de tareas en tiempo real (Target), con el
CAPÍTULO 6 – PLATAFORMA EXPERIMENTAL 116
sistema operativo Real Time Windows Target. Los algoritmos de control se
cargan en el mismo a través de otro ordenador (Host), a través de una
conexión con protocolo de comunicaciones TCP/IP. Con esta estrategia se
consigue un uso más eficiente de los recursos del ordenador destinado a la
ejecución de tareas en tiempo real.
2 Descripción del Software
Los diagramas de bloques se diseñan utilizando Matlab y Simulink. Este
último programa es una herramienta de Software que permite simular
diagramas de bloques. Usando la herramienta Real Time Workshop se
compila el código del diagrama de bloques y posteriormente se carga en
una aplicación de tiempo real.
Para cargar los algoritmos de control en tiempo real, se utiliza la
aplicación xPC Target.
Este software permite, además de ejecutar los algoritmos en tiempo real,
guardar datos de los ensayos, para la posterior recogida de datos y
evaluación.
117
Capítulo 7 CONCLUSIONES
En este Capítulo se resumen las conclusiones al trabajo desarrollado en el
transcurso del proyecto. Se recapitula brevemente sobre los avances
conseguidos en los aspectos que se han tratado.
1 Introducción
En este proyecto se han estudiado algoritmos para el control de filtros
activos de electrónica de potencia. Se ha realizado un profundo estudio
teórico de los mismos y se ha construido una plataforma experimental
para contrastar los resultados empíricos con los teóricos.
2 Resumen
Estimación de medidas eléctricas:
Se ha estudiado el uso del filtro de Kalman para la estimación de
medidas eléctricas. Se ha propuesto un método para estimar
múltiples armónicos de una corriente con el filtro lineal de Kalman.
El método se basa en utilizar un filtro extendido de Kalman que
estime la frecuencia de la tensión de red, tomando la frecuencia
como entrada del filtro lineal de Kalman. Este método no había sido
probado antes y ha dado muy buenos resultados, disminuyendo el
coste computacional.
Modelado de un filtro activo:
Se ha modelado un filtro activo en conexión paralelo, incluyendo la
impedancia de la red. Se ha realizado una identificación del modelo
de la planta para conseguir unos de parámetros de diseño precisos.
El proceso ha resultado un éxito.
CAPÍTULO 7 – CONCLUSIONES 118
Control interno de corriente:
Con los parámetros el modelo identificados se ha realizado un
control dead beat con prealimentación que hace que el control
interno sea rápido. Se ha demostrado que con el control interno no
es suficiente para mitigar armónicos de corriente, y que es necesario
el uso de un regulador externo.
Control repetitivo:
Gran parte de los esfuerzos de este proyecto se han volcado en
control repetitivo. Se ha estudiado en regulador repetitivo de orden
superior y se ha adaptado a las necesidades del proyecto. Se ha
hecho un estudio exhaustivo de la estabilidad y la precisión en
régimen permanente.
Se ha propuesto el método de adaptación continua a la frecuencia
del regulador utilizando un filtro de Kalman como estimador de la
frecuencia. Se ha desarrollado el filtro L(z) y se ha reformulado el
regulador para lograr su implantación sin afectar a la estabilidad.
Los resultados de laboratorio confirman los resultados positivos de
los estudios teóricos.
Con los resultados obtenidos para el control repetitivo se ha escrito
un artículo de investigación para la revista internacional Electronic
Letters. En la fecha de entrega del proyecto se está esperando para la
aceptación del mismo.
Regulador basado en filtro de Kalman:
Además del filtro de L(z) del regulador repetitivo, una de las
principales aportaciones de este proyecto ha sido el incluir el filtro
de Kalman en el lazo de realimentación. Mediante esta técnica se
consigue un seguimiento desacoplado de armónicos.
CAPÍTULO 7 – CONCLUSIONES 119
Mediante el control integral en ejes móviles se ha dejado totalmente
claro que lo dicho anteriormente es cierto, habiendo realizado una
prueba en laboratorio para la supresión de los armónicos 3, 5, 7, 9 y
11, diseñando los reguladores por separado.
Se ha probado que realizar un control integral en ejes móviles es
similar a realizar un regulador selectivo en ejes fijos. Se han
probado en el laboratorio y los resultados han arrojado algunas
dudas sobre el funcionamiento del regulador selectivo en ejes fijos,
aunque el funcionamiento resultaba parecido.
Se ha adaptado el regulador óptimo para poder trabajar con
frecuencia variable. Antes, como se utilizaba la FFT, esto era
imposible. Los resultados de este regulador no han sido probados
modelando todas las componentes armónicas, ya que la aplicación
en tiempo real no tenía suficiente capacidad de cálculo para
soportar el peso del algoritmo.
Plataforma experimental:
Se ha construido un prototipo experimental de filtro activo para
realizar ensayos y contrastar las simulaciones. El prototipo se ha
desarrollado en el laboratorio de electrónica de potencia del ICAI,
tomando prestado del mismo el material necesario.
Para emular el inversor se ha utilizado un amplificador de audio
que se ha soldado a una placa de puntos junto con los componentes
necesarios para su funcionamiento. La descripción de la plataforma
experimental se encuentra el Capítulo 6. Los detalles del
amplificador de audio se encuentran en el Anexo E y los detalles de
implantación de los algoritmos en el Anexo D.
Los diagramas de bloques se han realizado en Simulink y han sido
probados con Real Time Windows Target.
CAPÍTULO 7 – CONCLUSIONES 120
El prototipo ha resultado versátil y todos los algoritmos han podido
ser probados.
3 Concusiones finales
El regulador repetitivo ha resultado ser un sistema de control rápido y se
han obtenido resultados excelentes con el mismo. Los mecanismos de
adaptación ideados en este proyecto lo hacen más versátil que en
versiones anteriores.
Como alternativa al regulador repetitivo se ha utilizado un sistema de
control basado en el filtro de Kalman. Este sistema de control requiere la
realización de un mayor número de cálculos, pero es más robusto frente a
cambios en el modelo de la planta a controlar.
121
Capítulo 8 FUTUROS DESARROLLOS
En este capítulo se comentan las posibles líneas futuras de desarrollo e
investigación sobre la compensación de armónicos de corriente con filtros
basados en electrónica de potencia.
1 Introducción
En este proyecto se ha profundizado ampliamente en los algoritmos de
control de filtros activos en conexión paralelo, dedicándose una gran
porción de tiempo al estudio de teórico de los mismos.
Estos algoritmos han sido probados en una plataforma experimental para
validar los resultados.
2 Futuros desarrollos
Extensión de la formulación a variables trifásicas:
Los algoritmos tratados en este proyecto se han formulado para
dispositivos que operen en redes monofásicas. Una de las tareas
pendientes es ampliar el estudio de las técnicas para variables
trifásicas.
Prueba en un inversor trifásico:
Para validar el trabajo realizado sería necesario aplicar los
algoritmos a un inversor trifásico.
Extensión de la formulación al filtro serie:
En la actualidad se están empezando a realizar prototipos del filtro
en conexión serie. Muchos de los aspectos tanto de modelado como
de control son parecidos entre el filtro serie y el filtro paralelo. Una
de las posibles líneas de investigación podría ser intentar aplicar los
CAPÍTULO 8 – FUTUROS DESARROLLOS 122
algoritmos de mitigación de armónicos aquí propuestos al
compensador serie.
Estudio exhaustivo del filtro de Kalman para la supresión de
armónicos:
En este proyecto se ha dedicado una Sección al estudio de la
dinámica del filtro de Kalman en el lazo de realimentación. Una de
las líneas de investigación podría ser la búsqueda de modelo teórico
para la dinámica del mismo.
El desarrollo de un modelo teórico en función de los parámetros
característicos del filtro de Kalman sería ampliamente útil para el
diseño de sistema de control.
Estudio de una variante de control repetitivo:
Recientemente se han publicado algunos artículos donde se
propone una mezcla del control repetitivo con un algoritmo de
optimización que mejora las condiciones de estabilidad. Este
algoritmo se puede encontrar en la referencia [7], y en más a fondo
en la referencia [36].
Esta podría ser una futura línea de investigación, que mejoraría las
cualidades del regulador repetitivo frente a cambios en el modelo
del proceso a controlar.
Estudio de nuevas técnicas de control:
Además de las técnicas utilizadas en el presente proyecto se puede
pensar en otras técnicas diferentes de control avanzado que
pudiesen ser beneficiosas para el control de filtros activos en
conexión paralelo, como el control predictivo.
123
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Mechatronics, vol. 7, nº 3, September 2002.
[47] T. Tsao, Y. Qian and M. Nemani “Repetitive control for asymptotic
tracking of periodic signals with an unknown period” Transactions of the
ASME, vol. 122, pp 364-369, June 2000.
[48] H. Fujimoto, F. Kawakami and S. Kondo “Multirate repetitive control and
applications” IEEE Proceedings of the American Control Conference, pp. 2875-
2880, June 2003.
128
ANEXO A ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN
1 Algoritmo del filtro lineal de Kalman
El proceso que se pretende estimar viene dado por la representación de
estado de la ecuación (A.1).
kkk
kkkk
vHxz
wBuAxx
1
(A.1)
Se puede definir el error en los estados estimados a priori, marcadas con el
superíndice “-“, y a posteriori como se muestra en (A.2), y también las
matrices de covarianza de dichos errores. Asimismo se definen las
matrices de covarianza del ruido en la medida y del ruido en el proceso en
la ecuación (A.3).
kT
kk
kT
kk
kkk
kkk
eeEP
eeEP
xxe
xxe
ˆ
ˆ
(A.2)
T
kk
T
kk
wwEQ
vvER
(A.3)
Suponiendo que se tiene una estimación a priori de las variables de estado,
y la medida actual, la ecuación (A.4) puede verse como una interpolación
del residuo de la medida actual (la discrepancia entre el modelo y la
medida) y la estimación a priori, ponderado por una ganancia K,
denominada ganancia de Kalman.
kkkk xHzKxx ˆˆ
(A.4)
El criterio para calcular la ganancia de Kalman es minimizar la matriz de
covarianza del error a posteriori (A.2). La expresión que minimiza el error
medio cuadrático de esta función es (A.5). Para la demostración ver [15].
ANEXO A – ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN 129
1 RHHPHPK T
k
T
kk (A.5)
Por tanto, la ganancia de Kalman se calcula para cada iteración, en función
de la matriz de covarianza y del ruido de medida, teniendo como criterio
de cálculo la minimización del error medio cuadrático.
Existen otras posibles expresiones que minimizan el error medio
cuadrático, pero la dada en la ecuación (A.5) es la más popular, y
corresponde con el algoritmo de mínimos cuadrados recursivos en su
versión de covarianzas. Para más información sobre el algoritmo de
mínimos cuadrados recursivos ver [41].
Una vez realizado el cálculo de la ganancia de Kalman, se debe obtener la
nueva matriz de covarianzas, que será utilizada en la siguiente iteración.
Esta matriz de covarianzas actualizada de puede obtener como la ecuación
(A.6). Esta ecuación procede del cálculo directo de la matriz de
covarianzas de (A.2)
kkkPHKIP
(A.6)
La matriz de covarianzas puede verse como una memoria de la “historia”
del filtro, con la peculiaridad de que toda esta “historia” se guarda en una
sola matriz, y solo depende de los datos de la iteración anterior.
Llegados a este punto sólo queda definir como se a hacer la estimación a
priori de los estados. Para tener una estimación de las variables de
estados, basta con realizar el cálculo con la matriz de estado (A.1). Para la
predicción de la ecuación (A.8), se puede sustituir en el resultado anterior
(A.7) en la matriz de covarianzas a priori (A.2).
kkkBuxAx
ˆˆ
1
(A.7)
QAAPP T
kk
1 (A.8)
Nótese que el algoritmo es “cerrado”, es decir, para poder calcular las
predicciones a priori se necesita la predicción anterior, y lo mismo para la
ANEXO A – ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN 130
matriz de covarianzas. Por tanto, para comenzar el algoritmo, será
necesario dar unas condiciones iniciales tanto a la predicción de las
variables de estado como a la matriz de covarianzas. De los valores
iniciales de los estados como de la matriz de covarianzas depende la
convergencia final del algoritmo [41].
De manera secuencial, los pasos de ejecución del filtro de Kalman son los
expuestos en la Figura A.1
kkkBuxAx
ˆˆ
1
QAAPP T
kk
1
1 RHHPHPK T
k
T
kk
kkkkxHzKxx ˆˆ
kkkPHKIP
00 kkxP
Figura A.1: Diagrama de cálculo recursivo del filtro lineal de Kalman
2 Algoritmo del filtro extendido de Kalman
El algoritmo de filtro extendido de Kalman es tiene la misma base que el
del filtro lineal, pero en este caso no estará bajo la suposición de un
sistema lineal. El primer paso es redefinir las ecuaciones del Filtro de
Kalman como (A.9).
kk
kkk
vtxhz
wutxfx
,
,,1
(A.9)
Para poder usar el algoritmo del filtro lineal de Kalman con estas
ecuaciones se linealizan sobre la trayectoria. El término linealizar sobre la
ANEXO A – ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN 131
trayectoria quiere decir que el estado actual del filtro de Kalman se utiliza
como punto de equilibrio para las estimaciones del siguiente periodo de
cálculo. El diagrama de la Figura A.2 puede resultar esclarecedor.
ts ts
Figura A.2: Croquis explicativo de linealización sobre la trayectoria
1 RHHPHPK T
k
T
kk
kkkPHKIP
00 kkxP
utxfxkkk,,ˆˆ
1
kkkkkkzzKxxxx ˆˆ*
QFFPP T
kk
1
kkkk
Hxxhz *
Figura A.3: Diagrama de cálculo recursivo del filtro extendido de Kalman
El algoritmo del filtro extendido de Kalman es el mismo que el filtro lineal,
pero calculado por incrementos, sobre la trayectoria linealizada. Para el
cálculo de los incrementos es necesario calcular las matrices jacobianas de
las ecuaciones del sistema, Fk y Hk. Estas matrices se recalculan cada
ANEXO A – ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN 132
periodo de muestreo. En la Figura A.3 se muestra el diagrama de cálculo
secuencial. Para más información sobre el algoritmo ver [15].
k
H
xx
kkk
k
F
xx
kkkk
vx
hxtxhz
wx
fxutxfxx
k
k
k
k
*
*
,
,,
*
*
1
*
(A.10)
133
ANEXO B ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN
Para resolver el problema de optimización planteado en la Sección 5 del
Capítulo 5, se utiliza el método Gauss Newton. Como se mencionó
previamente, la función objetivo es la suma de los cuadrados del módulo
de cada armónico, que también se puede expresar como un producto
escalar de vectores (vector fila por vector columna):
h
Th
E
yh
yh
E
yhyhh
T
huhuhyhuhuhyhuhuhhb
abaEEbabbaabaV
..,,, 22
(B.1)
En el punto óptimo de uhuhh
baV , se debe anular el gradiente de dicha
función uhuhh
baV ˆ,ˆˆ , y por tanto se debe cumplir (B.2).
0
0.2
ˆ
ˆ,ˆ
ˆ
h
T
h
h
bauh
h
uh
h
h
h EE
b
V
a
V
V
h
uhuh
h
(B.2)
Siendo la matriz jacobiana (B.2) el vector columna h
E con respecto al
vector de parámetros correspondiente al armónico h, y que se puede
calcular como (B.3).
uh
yh
uh
yh
uh
yh
uh
yh
h
h
b
b
a
b
b
a
a
a
E
(B.3)
Si se aproxima la función gradiente de h
V por el desarrollo en serie de
Taylor de primer orden en su valor actual para posteriormente
particularizar en el punto óptimo, resulta (B.4).
ANEXO B – ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN 134
0
0ˆ.2.2
ˆ2
2
ˆ
hh
h
h
T
h
h
h
T
h
h
hh
h
h
h
h
h
h
hhh
hhh
EEE
E
VVV
(B.4)
Donde se han despreciado las segundas derivadas (método de Gauss-
Newton) en el cálculo de la matriz hessiana de la función de coste. Si se
despeja el incremento del vector de parámetros necesario para alcanzar el
punto óptimo, se obtiene:
h
T
h
h
h
h
T
h
h
h
h
h
h
uhuh
uhuh
nnE
EEEVV
bb
aa
hhhh
hi
ii..ˆ
ˆˆ
11
2
2
(B.5)
Estos incrementos determinan la dirección en la que hay que actualizar el
mando para buscar el óptimo y minimizar los armónicos en la salida.
135
ANEXO C IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA
En este Anexo se explica paso a paso el procedimiento seguido para
identificar el modelo de la planta. Con el modelo teórico se calcula un
control proporcional de manera que proporcione un amortiguamiento
adecuado para identificar la planta. Acto seguido, y según se muestra en
la Figura C.1, se introduce un señal PRBS de 50 ciclos y 1023 muestras por
ciclo. De todo el ensayo se elige un intervalo 20000 muestras, que se
dividen a partes iguales en muestras para identificar y validar.
_ iFAKP P(s)_
PRBS
d
Figura C.1: Diagrama del ensayo para la identificación del sistema
Figura C.2: Estimación de la respuesta al escalón mediante técnicas de correlación
ANEXO C – IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA 136
La notación utilizada para la identificación coincide es la misma utilizada
en [33]. La identificación de la respuesta al escalón se realiza mediante la
función de auto-correlación de la entrada y la salida. La respuesta al
escalón identificada se muestra en la Figura C.2. Parece que el número de
retardos de la función de transferencia es 2, por tanto se tomará nk=2.
La estructura elegida para el modelo de la planta en bucle cerrado será
ARX y el algoritmo utilizado será variables instrumentales (IV). Usando
esta estrategia se puede llegar a identificar el modelo exacto de la planta
sin necesidad de identificar la estructura del ruido.
Se hace un barrido de modelos ARX posibles con nk=2. Parece que el
modelo (na=4 nb=4 nk=2) tiene una varianza inexplicable suficientemente
baja, además de tener parámetros de sobra para reducir. Una vez
decidido, se estima (na=4 nb=4 nk=2) con IV, obteniéndose el diagrama de
ceros y polos de la Figura C.3.
Figura C.3: Diagrama de polos y ceros para (na=4 nb=4 nk=2)
Parece que existen dos polos que se cancelan con dos ceros en el eje real. El
tercer cero no puede cancelar con los polos que están en cero por que estos
son los dos retrasos identificados mediante la respuesta al escalón. Así se
ANEXO C – IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA 137
prueba con (na=2 nb=2 nk=2). El diagrama de polos y ceros esta nueva
configuración es el de la Figura C.4.
Figura C.4: Diagrama de polos y ceros para (na=2 nb=2 nk=2)
La correlación de los residuos de la entrada y la salida se muestran en la
Figura C.5. Como no existe realimentación debe ser menor que la banda
del 99% en todo momento. El modelo probado cumple.
Figura C.5: Correlación cruzada entrada y residuos para ARX (na=2 nb=2 nk=2)
Aunque se puedan buscar modelos con menos parámetros a simple vista
parece que no los va a haber. Los polos complejos parecen bien
identificados y cuadran con la respuesta temporal, al igual que los dos
retardos. El cero, de magnitud reducida, parece no poderse cancelar.
ANEXO C – IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA 138
De todas formas se prueban los modelos (na=2 nb=1 nk=1), en el que el cero
se cancela con el retardo, y (na=2 nb=1 nk=2), eliminando directamente el
cero. Ninguna de las dos soluciones hace que la correlación de los residuos
y la salida esté dentro de la banda del 99%, como se observa en la Figura
C.6.
Figura C.6: Correlación cruzada entrada y residuos para (na=2 nb=1 nk=1) y (na=2 nb=1 nk=2)
Una vez estimada la estructura del modelo, se observa para ver si la
magnitud de los parámetros estimados es muy pequeña. Los polinomios
característicos del modelo (na=2 nb=2 nk=2) se muestran en (C.1).
32
21
0140.03166.0
311.09482.01
zzzB
zzzA
(C.1)
La función de transferencia de la planta con el control proporcional
resultante es (C.2).
311.09482.0
04447.03166.012
zzz
z
zA
zBzF
(C.2)
ANEXO C – IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA 139
Abriendo el lazo se puede estimar el modelo de la planta según la
ecuación (C.3).
zF
zF
KzP
P
1
1
(C.3)
Abriendo el lazo resulta la planta de la ecuación (C.4).
1176.01276.09382.0
0444.00211.0
zzz
zzP
(C.4)
140
ANEXO D IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS
En este anexo se explica el detalle de la implantación en Simulink de los
algoritmos de control para su posterior ejecución en tiempo real.
1 Filtro de Kalman
En esta Sección se explican los procedimientos seguidos para la
implantación de un filtro de Kalman en Simulink. Se explican las
peculiaridades tanto del EKF como del LKF.
1.1 Método general de implantación
A lo hora de la implantación, el filtro de Kalman se resume como un
conjunto de cálculos que se ejecutan para cada periodo de muestreo. Entre
una ejecución y otra se guardan los valores de la matriz de covarianzas y
de los estados estimados. En la Figura D.1 se muestra el esquema interno
del filtro de Kalman. En trazo más grueso se indica que la variable
realimentada se corresponde con una matriz.
z-1
Cálculos
z-1
z[k] x[k]
P[k]
Figura D.1: Vista externa del filtro de Kalman implantado en Simulink
Gracias a que en las últimas versiones de Simulink se puede trabajar con
matrices, la implantación de los mismos mediante diagrama de bloques ha
resultado sencilla.
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 141
1.2 Matriz de estado para el LKF
La matriz de estado para el LKF no se puede implantar como una
representación de estado común, ya que la frecuencia, aunque se toma
como si fuese una variable constante, en realidad proviene de una
estimación mediante un EKF.
cos
sin
xts
hω Ф(h)Reshape
Figura D.2: Creación de una matriz Ф(h) para el LKF
En la Figura () se muestra como se calculan las funciones no lineales seno
y coseno de la variable hωts. Estas variables se manipulan para formar una
matriz de 2x2, correspondiente al armónico h. Se realiza el cálculo de todas
la matriz Ф(h) para todos los armónicos que estén modelados en el filtro
de Kalman. Acto seguido, como se muestra en la Figura D.3, se juntan en
la diagonal de una matriz. El resto de valores se rellena con ceros.
Reshape
Ф(1)
Ф(2)
Ф(...)
Matrices con ceros
A
Figura D.3: Organización de las matrices Ф(h) para generar la matriz de estado del LKF
1.3 Matriz de estado y matriz jacobiana para el EKF
Aunque la matriz de estados del EKF es no lineal se utiliza la misma
técnica que para el LKF, pero se añade la frecuencia a la representación de
estado, como se muestra en la Figura D.4.
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 142
cos
sin
xts
ω AReshape
Figura D.4: Generación de la matriz de estado para el EKF
Para el cálculo de la matriz jacobiana de la representación de estado se
calculo primero de manera implícita. El resultado de la matriz jacobiana
del EKF para una senoidal de frecuencia variable es la matriz de la
ecuación (D.1). El factor de olvido se tomado como cero.
100
323133
323133
ssssss
ssssss
txsintxtxcostxtxcostxsin
txcostxtxsintxtxsintxcos
F
(D.1)
El procedimiento de cálculo de esta matriz es el mismo que el de la Figura
D.4, únicamente que el número de cálculos a realizar es mayor y se
requiere reorganizar más términos dentro de la matriz. Nótese que para el
cálculo de esta matriz las variables de estado que se utilizan son las del
estado anterior, para linealizar sobre la trayectoria.
1.4 Ejes móviles
En la Figura D.5 se observa el diagrama para la implantación de los ejes
móviles. El valor de la frecuencia se integra y se multiplica por el periodo
de muestreo, que a su vez multiplica a las entradas correspondientes para
realizar el cambio de ejes fijos a ejes móviles.
cos
sin
xω
1
12
z
z
ts
ts
θ
Figura D.5: Diagrama de cálculo de las funciones trigonométricas en función del ángulo
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 143
2 Control repetitivo
2.1 Causalidad de los bloques por separado
Para hacer posible la implantación por bloques diferenciados del
regulador repetitivo es necesario hacer ciertos ajustes dentro del mismo,
para que todos los bloques por separado sean causales y no se modifiquen
las propiedades del regulador. En la Figura D.6 se muestran las
modificaciones necesarias para lograr la causalidad.
z-N+M+Cx[k] y[k]Q(z)z
-M
z-C
z-C
Gx(z)L(z)
Figura D.6: Estructura causal para el regulador repetitivo adaptativo
La variable M es el orden del filtro de Q(z). Para hacer que el mismo sea
causal es necesario multiplicarlo por z-N, resultando así un filtro de fase
lineal. La variable C es el número de retardos necesarios para que Gx(z)
resulte realizable. El filtro L(z) no requiere modificaciones.
2.2 Función retardo
La función retardo está disponible en las librerías de Simulink, pero no está
disponible un retardo que pueda cambiar según el momento de ejecución.
Una posible solución se plantea en la Figura D.7.
z-N+N’
z-1
z-1
z-1
N*+1
y[k]
x[k]
Figura D.7: Esquema de un retardo variable en el tiempo con la variable N*
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 144
Las variables N y N’ son números constantes. Con el valor de N* se
selecciona el número de retardos deseados. Por ejemplo, para el caso de la
Figura D.7, si N=90, se puede tomar N’=2. Si N*=0, entonces el número de
retardos es de 88. Si por el contrario N*=3 el número de retardos es 91.
2.3 Filtro L(z)
Como Simulink no permite la implantación directa de filtros adaptativos,
se deben proceder manualmente. Para el caso del filtro L(z) implantado en
este proyecto, el diagrama de bloques se puede observar en la Figura D.8.
z-1
z-1
+
+
-
x[k]
y[k]
1-le
1+le
1-le
1+le
Figura D.8: Esquema de un retardo variable en el tiempo con la variable N*
Como el valor de la variable le cambia con el tiempo, se utiliza el diagrama
de bloques de la Figura D.9, que permite variar el valor de le mientras el
programa se ejecuta.
xle
x[k]le
Figura D.9: Implantación de una ganancia variable en Simulink
2.4 Habilitador del regulador repetitivo
Para evitar problemas con el transitorio del regulador repetitivo se utiliza
un bloque habilitador. En la Figura D.10 se muestra un diagrama de
bloques de un habilitador. En el disparo se pone el tiempo inicial que se
desea que el regulador esté desactivado, por ejemplo, 1 segundo. Cuando
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 145
el reloj llega a un segundo el seleccionador cambia de estado y selecciona
la entrada al regulador.
Clock
0
x[k]
y[k]
Threshold
Figura D.10: Implantación de una ganancia variable en Simulink
La posición del habilitador en el regulador repetitivo tipo Plug-In se
muestra en la Figura D.11. Primero se espera a que el lazo de control se
estabilice. Para ello se espera un tiempo prudencial. Una vez estabilizado
se habilita el regulador repetitivo. El valor de la entrada del regulador
antes de habilitarse debe de ser cero, porque en caso contrario, el
regulador repetitivo integraría el valor del error.
Repetitivo
P(z)R(z)
Y(z)_
Enable
Figura D.11: Posición del bloques habilitador en el regulador repetitivo tipo Plug-In
3 Regulador selectivo e integral
Para conseguir que el regulador PI y el regulador selectivo diseñado en
anteriores capítulos mantenga los mismos polos que el diseñado en
tiempo continuo se utiliza el método de discretización descrito en la
referencia [14].
1
1
1
z
cI
cIz
kzC dPI
(D.2)
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 146
cI
cIKky
tc Pd
s
12
El regulador PI se convierte en la función de transferencia de la ecuación
(D.2). La discretización del regulador selectivo es algo más complicada y
se corresponde con la ecuación (D.3). La implantación del regulador PI se
hace mediante un bloque de función de transferencia de Simulink. La
función de transferencia del regulador selectivo es función de la frecuencia
y por tanto hay que realizar la función de transferencia de manera manual,
igual que el filtro L(z).
122
ztcosz
tcoszzzC
s
sSEL
(D.3)
4 Algoritmo de optimización
La implantación del algoritmo de optimización puede encontrarse de
manera detallada en la referencia [43].
5 Recogida de datos
5.1 Osciloscopio de laboratorio
Para la verificación del funcionamiento en los algoritmos en el laboratorio
se han utilizado dos osciloscopios de la marca Tektronik, con los que se
medían las corrientes y las tensiones necesarias.
Los osciloscopios utilizados permitían guardar datos en dispositivos de
almacenamiento USB. Los datos se guardaban en ficheros con la extensión
*.CSV, en formato de columnas de texto. No ha utilizado este método para
grabar datos por que las medidas tenían una resolución demasiado baja, lo
que limitada la calidad de las medidas.
ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 147
5.2 Medidas usando Simulink
La herramienta Simulink permite la toma de medidas utilizando la tarjeta
de adquisición de datos. La tarjeta permite guardar datos tanto en el
ordenador en el que se ejecuta la aplicación en tiempo real como en el
ordenador en el que se diseña el sistema de control.
Al guardar datos en el ordenador que funciona en tiempo real surgieron
problemas que hicieron imposible utilizar este método, por lo que optó
por guardar los datos utilizando el ordenador de diseño.
Estos osciloscopios se utilizan igual que un Scope de Simulink para
simulación. La única diferencia es que para ver su contenido se debe usar
la aplicación XPCxplorer.
148
ANEXO E ACONDICIONAMIENTO DEL
AMPLIFICADOR DE AUDIO
El actuador utilizado para la realización de la plataforma experimental
está basado en un amplificador de audio SGS-Thomson TDA7294. Este
amplificador de audio es versátil y se ajusta perfectamente a los
requerimientos de este proyecto.
1 Alta impedancia entre tarjeta y amplificador
Para evitar problemas con la tarjeta de datos y el amplificador de audio se
utiliza un amplificador operacional LF411 en configuración seguidor. La
alimentación se fija a 12V. Para evitar problemas de oscilación con las
fuentes conmutadas se utilizan dos condensadores electrolíticos de 100uF.
2 Esquema de montaje
El amplificador de audio TDA7294 dispone de 15 pines. El fabricante
facilita unos valores estándar de componentes a añadir para el correcto
funcionamiento.
100nF 1mF
22uF
1mF100nF10uF10uF
22K
680Ω
22k
In
10K
22K
+12V
+32V
TDA7294
Out
-32V
2
3
4
10
9 1 156
14137
Figura E.1: Acondicionamiento del amplificador de audio TDA7294 realizado en el proyecto
ANEXO E – ACONDICIONAMIENTO DEL AMPLIFICADOR DE AUDIO 149
La elección de los valores de los parámetros para el montaje ha sido la
misma que la especificación del fabricante, a excepción de los
condensadores de desacoplo de corriente continua, que se han eliminado.
La razón se comenta en la Sección 3 del presente Anexo.
La alimentación del buffer se aprovecha para alimentar las entradas 9 y 10
del integrado, ya que el fabricante recomienda alimentarlas a menor
tensión que la de alimentación.
3 Desacoplo de corriente continua
Los esquemas utilizados para los amplificadores de audio no suelen dejar
el paso de la corriente continua. Esta realidad puede acarrear problemas
cuando se usen reguladores de tipo integral. Por ejemplo, para el
regulador repetitivo, requiere ciertos ajustes, comentados en [3] o [39].
Para lograr el paso de la corriente continua se han eliminado los
condensadores de desacoplo que el fabricante recomienda utilizar. Una
vez comprobada experimentalmente la validez de esta idea, se probó el
regulador repetitivo y no tuvo ningún tipo de problema.
150
Parte II ESTUDIO ECONÓMICO
ESTUDIO ECONÓMICO 151
El auge en la tecnología de semiconductores ha permitido en las últimas
décadas el desarrollo de nuevas tecnologías para la mejora de la calidad
de la energía en redes de distribución eléctrica.
El uso de inversores para la mitigación de armónicos permite reducir
costes en pérdidas óhmicas. Son un claro sustitutivo para los filtros
pasivos actualmente usados, ya que reducen los costes de equipo y el
tamaño de la instalación. Los algoritmos de control de filtros activos
permiten mitigar muchos más armónicos que un filtro pasivo, además de
hacerlo de una manera más eficiente.
Los filtros activos en conexión paralelo permiten además la compensación
de corrientes desequilibradas en redes trifásicas y la compensación de
potencia reactiva. Al poder actuar sobre la potencia reactiva se convierte
en una futura variable de control para las redes de distribución que
también puede incrementar la eficiencia de la distribución eléctrica.
Los filtros activos son claramente una tecnología en auge que permitirá en
el futuro mejorar el rendimiento de las instalaciones eléctricas y por ello es
de interés optimizar su funcionamiento para poder utilizar de la manera
más eficiente posible los recursos disponibles.
Por último cabe destacar que el estudio de algoritmos de control para
filtros activos en conexión paralelo permite el avance de la tecnología de
los filtros activos en conexión serie, que también son de gran utilidad en
las redes de distribución de energía eléctrica.
PRESUPUESTO
ÍNDICE DE CONTENIDOS
ÍNDICE DE CONTENIDOS 2
Parte I Presupuesto ................................................................................... 3
Capítulo 1 Coste de ingeniería ....................................................................... 4
1 Horas de investigación...................................................................................... 4
2 Horas de diseño y simulación ......................................................................... 5
3 Horas de implementación hardware .............................................................. 6
4 Horas de otras tareas ......................................................................................... 7
5 Coste total de ingeniería ................................................................................... 8
Capítulo 2 Coste de material .......................................................................... 9
1 Programas de Software ..................................................................................... 9
2 Material de la universidad ............................................................................... 9
3 Hardware para la realización del proyecto ................................................. 10
4 Coste total de material .................................................................................... 12
Capítulo 3 Coste de los intereses en curso .................................................. 13
Capítulo 4 Coste total de ejecución del proyecto ...................................... 14
Parte I PRESUPUESTO
4
Capítulo 1 COSTE DE INGENIERÍA
En este Capítulo se estima el coste del proyecto en concepto de horas de
horas de ingeniería invertidas en su realización. El coste de la ingeniería se
divide en tres secciones
1 Horas de investigación
Gran parte de los esfuerzos de este proyecto se han destinado a la
búsqueda, lectura y síntesis de artículos, proyectos y tesis doctorales en los
cuales era tratado el problema de control que se ha abordado en el
proyecto. Por este hecho se ha dedicado una sección completa al estudio
del tiempo invertido. Las horas estimadas se muestran en la Tabla 1.
Parte del trabajo Horas estimadas
Búsqueda de artículos 10
Lectura de trabajos de investigación 60
Verificación y discusión de trabajos existentes 15
Clasificación de la información 3
Total 83
Tabla 1. Estimación de las horas invertidas en investigación
Para el tiempo empleado en la lectura de trabajos de investigación se ha
estimado un tiempo de treinta minutos por artículo y dos horas por tesis
doctoral, habiéndose revisado unos 90 artículos de investigación, de los
cuales se han incluido unos 40 en la bibliografía. El número de tesis de
investigación consultadas ha sido aproximadamente 10, de las cuales 4
están presentes en la bibliografía.
CAPÍTULO 1 – COSTE DE INGENIERÍA 5
2 Horas de diseño y simulación
Para el diseño y la simulación del sistema se ha invertido gran cantidad de
tiempo. Parte del mismo se ha destinado al aprendizaje del uso de
Simulink y Matlab, así como la implementación teórica de los sistemas de
control diseñados. Las horas estimadas se muestran en la Tabla 2.
Parte del trabajo Horas estimadas
Aprendizaje de la herramientas de diseño
Modelo del filtro activo
10
5
Control interno 10
Identificación de la planta
Filtro de Kalman
Ejes móviles
Control repetitivo
Control repetitivo adaptativo
Control integral en ejes móviles
Control selectivo
Adaptación del algoritmo de optimización
5
30
5
30
40
15
5
10
Modelo del filtro activo 5
Total 170
Tabla 2. Estimación de las horas de trabajo en simulación y diseño para las tecnologías
implementadas
Por otra parte también se comenzaron algunas líneas de investigación que
al final no dieron resultado. Las horas de diseño invertidas en estas líneas
de investigación que al final no llegaron a ser implementadas o que por
diferentes motivos se descartaron se ven retratadas en la Tabla 3.
CAPÍTULO 1 – COSTE DE INGENIERÍA 6
Parte del trabajo Horas estimadas
Variación del periodo de muestreo 15
Filtros tipo peine 5
Identificación en tiempo real
Estimación de frecuencia con filtro selectivo
10
10
Filtro FIR para estabilizar el control repetitivo 15
Total 55
Tabla 3. Estimación de las horas de trabajo en simulación y diseño para las tecnologías descartadas
3 Horas de implementación hardware
Dentro de las horas de implementación hardware se incluyen las horas
que han sido dedicadas a la elección, montaje y verificación del buen
funcionamiento de la plataforma experimental sobre la que se han
probado los algoritmos de control. Estas horas se muestran en la Tabla 4.
Parte del trabajo Horas estimadas
Dimensionado de componentes 5
Soldaduras del amplificador de audio 15
Problemas con la tarjeta de adquisición
Montaje del prototipo
5
5
Otros problemas de implementación
Toma de medidas
2
15
Total 47
Tabla 4. Estimación de horas empleadas para la realización de la plataforma experimental
Además de la plataforma experimental de la cual se han tomado los datos
expuestos en este proyecto, a mediados del transcurso del proyecto se creó
CAPÍTULO 1 – COSTE DE INGENIERÍA 7
una pequeña plataforma experimental para verificar el funcionamiento de
manera experimental de algunos de los algoritmos, aunque no de manera
rigurosa. Las horas invertidas se muestran en la Tabla 5.
Parte del trabajo Horas estimadas
Diseño del circuito
Montaje del prototipo
2
3
Problemas con la tarjeta 5
Prueba de algoritmos 10
Otros problemas de implementación 1
Total 21
Tabla 5. Estimación de horas utilizadas para una realización de una pre-plataforma experimental
4 Horas de otras tareas
Dentro de esta sección se computan las horas utilizadas para la realización
de documentos y creación de imágenes para correcta visualización de los
resultados. También se computa el tiempo utilizado para la realización de
un artículo de investigación fruto de los resultados de este proyecto. Los
resultados se muestran en la Tabla 6.
Parte del trabajo Horas estimadas
Memoria 30
Estudio económico 2
Artículo de investigación 10
Presentación de resultados 15
Total 47
Tabla 6. Estimación de las horas utilizadas para la realización de la documentación
CAPÍTULO 1 – COSTE DE INGENIERÍA 8
5 Coste total de ingeniería
Los datos en horas estimadas se han desglosado en las Secciones 1, 2, 3 y 4
del presente Capítulo. Se supone un coste de hora de trabajo de ingeniero
de 12€, teniendo en cuenta el coste de la seguridad social. Los resultados
se muestran en la Tabla 7.
Programa Horas estimadas Coste estimado
Investigación 83 996
Diseño y simulación 225 2700
Implementación
Otras tareas
68
47
816
564
Total 423 5076
Tabla 7. Coste total de las horas de ingeniería.
9
Capítulo 2 COSTE DE MATERIAL
Dentro de los costes relacionados con el material utilizado se distinguen
dos grandes partes. La primera parte es el uso de los programas de
Sotfware y la amortización del material que ha sido prestado de la
universidad. La segunda parte es el coste monetario de los elementos de
hardware que han sido comprados exclusivamente para la realización del
proyecto.
1 Programas de Software
Los programas de Software utilizados poseen licencia de la Universidad
Pontificia Comillas, por tanto se toman como coste nulo. Los programas
utilizados se muestran en la Tabla 8.
Programas de Software Precio
Matlab (Toolbox incluidas) 0
Simulink 0
Microsoft Word, Visio y Power Point 0
InkScape
GSScript & GSView
0
0
Total 0
Tabla 8. Programas utilizados para la realización del proyecto
2 Material de la universidad
El material utilizado ha sido tomado del laboratorio de investigación para
la elaboración del primer prototipo y del laboratorio de electrónica de
potencia para la elaboración del segundo prototipo. Ambos laboratorios se
encuentran en la segunda planta de la ETSI del ICAI.
CAPÍTULO 2 – COSTE DE MATERIAL 10
El material utilizado se muestra en la Tabla 9. Se estima una amortización
del 5% para los ordenadores y para el resto de componentes electrónicos.
Elemento Cantidad Unitario Amortización Total
Ordenador 2 500 5% 50
Cable 60 0.20 5% 0.6
Reóstato
Bobina
Rectificador
Transformador
Autotransformador
Fuente conmutada
Sonda
Polímetro
Soldador
2
2
1
1
1
2
4
3
1
20
10
3
20
100
500
15
15
15
5%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
5%
2
1
0.15
1
5
50
3
2.25
0.75
Total - - - 115.75
Tabla 9. Material de la universidad utilizado en el proyecto
3 Hardware para la realización del proyecto
En esta Sección se computan los costes asociados a los componentes
electrónicos que han sido pedidos especialmente para la realización del
proyecto, que se muestran en la Tabla 10.
Las tarjetas de adquisición de datos aunque serán utilizados en posteriores
proyectos, se han computado completamente como gastos del proyecto
porque fueron pedidas de forma exclusiva.
CAPÍTULO 2 – COSTE DE MATERIAL 11
Elemento Cantidad Unitario Coste
Tarjeta PCI 6229
Conector SHC-68
Terminales de tornillo SCB-68
Condensador electrolítico 1mF 63V
Condensador electrolítico 100uF 63V
Condensador electrolítico 22uF 63V
Condensador electrolítico 10uF 63V
Condensador papel 470nF 63V
1
2
2
2
2
2
2
1
749
99
279
0.73
0.18
0.13
0.07
0.06
749
198
558
1.46
0.36
0.26
0.14
0.06
Condensador papel 100nF 63V 2 0.06 0.12
Resistor 10kΩ
Resistor 22kΩ
Resistor 680Ω
Amplificador TDA7294*
Amplificador LF411
Cable
Bornas
Ventilador
Disipador
Placa de puntos
Tornillos, arandelas y similares
1
3
1
2
1
1
6
1
1
1
15
0.04
0.04
0.04
8.50
0.50
0.40
0.20
12
3
0.30
0.05
0.04
0.12
0.04
17
0.50
0.40
1.20
12
3
0.30
0.75
Total - - 1538.05
Tabla 10. Componentes utilizados exclusivamente para la realización del proyecto
CAPÍTULO 2 – COSTE DE MATERIAL 12
* Se utilizaron dos amplificadores de audio por que el primero
implementado llegó al término de su vida útil por sobrecalentamiento.
4 Coste total de material
El coste total por material utilizado en el proyecto se calcula como la suma
de los costes de material calculados en las distintas secciones de este
Capítulo, y se muestra en la Tabla 11.
Sección Precio
Programas 0
Material de la universidad 115.75
Hardware 1538.05
Total 1653.80
Tabla 11. Coste total de los materiales del proyecto
13
Capítulo 3 COSTE DE LOS INTERESES EN
CURSO
Suponiendo un coste del dinero del 15% anual, podemos hallar el coste en
por mes usando la fórmula:
011715.015.0112
ii
Por tanto en 9 meses:
11.01011715.019
ii
Aplicando el interés al coste de ingeniería hallamos la estimación del coste
por los intereses en curso:
82.74011.0·80.6734 €
14
Capítulo 4 COSTE TOTAL DE EJECUCIÓN DEL
PROYECTO
En la Tabla 12 se muestra el coste total de la ejecución del proyecto,
desglosado según los cálculos realizados en los Capítulos 1, 2 y 3.
Coste de ingeniería 5076 €
Coste de material 1658.80 €
Coste de los intereses en curso 740.82 €
Coste total 7475.62 €
Tabla 12. Coste total del proyecto.