automorfisma aljabar lie skripsirepository.ub.ac.id/4777/1/bagian depan.pdf · untuk menyelesaikan...
TRANSCRIPT
AUTOMORFISMA ALJABAR LIE
SKRIPSI
oleh:
RAMBU MAYA I. MAHARANI
125090407111001
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2017
AUTOMORFISMA ALJABAR LIE
SKRIPSI
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang Matematika
oleh:
RAMBU MAYA I. MAHARANI
125090407111001
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2017
i
ii
iii
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI
AUTOMORFISMA ALJABAR LIE
oleh:
RAMBU MAYA I. MAHARANI
125090407111001
Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji
pada tanggal 09 Agustus 2017
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains dalam bidang Matematika
Pembimbing
Drs. Bambang Sugandi, M.Si
NIP. 195905151992031002
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si.,M.Si., Ph.D.
NIP. 197509082000031003
iv
v
LEMBAR PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Rambu Maya I. Maharani
NIM : 125090407111001
Jurusan : Matematika
Penulis Skripsi berjudul : AUTOMORFISMA ALJABAR
LIE
dengan ini menyatakan bahwa:
1. isi Skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya
sendiri dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama-
nama yang termaktub di isi dan tertulis di Daftar pustaka
dalam Skripsi ini.
2. Apabila dikemudian hari ternyata Skripsi yang saya tulis
terbukti hasil jiplakan, maka saya akan bersedia
menanggung segala resiko yang akan saya terima.
Demikian pernyatan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang, 09 Agustus 2017
Yang menyatakan,
Rambu Maya I. Maharani
NIM 125090407111001
vi
vii
AUTOMORFISMA ALJABAR LIE
ABSTRAK
Aljabar Lie atas suatu field adalah suatu ruang vektor yang
dilengkapi dengan Lie bracket yang memenuhi aksioma tertentu.
Pada skripsi ini membahas himpunan semua automorfisma aljabar
Lie adalah aljabar Lie dan himpunan semua automorfisma aljabar
Lie yang isomorfik dengan aljabar Lie yang lain.
Kata Kunci: Lie bracket, Aljabar Lie, Automorfisma aljabar
Lie.
viii
ix
AUTOMORPHISMS OF LIE ALGEBRA
ABSTRACT
The Lie Algebra of a field is a vector space with a Lie bracket and
satisfies certain axioms. In this final project, we discuss about the set
of all automorphisms of Lie algebra is Lie algebra dan the set of all
automorphisms of Lie algebra isomorphic with other lie algebra.
Keywords: Lie bracket, Lie algebra, automorphism of Lie algebra
x
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus
atas tuntunan dan rahmat-Nya sehingga penulis diberi kesempatan
untuk menyelesaikan Skripsi yang berjudul “Automorfisma Aljabar
Lie” ini dengan baik.
Atas terselesaikannya Skripsi ini, penulis mengucapkan rasa
hormat dan terima kasih kepada:
1. Drs. Bambang Sugandi M.Si. selaku Dosen Pembimbing atas
arahan, saran, motivasi , nasehat dan kesabaran yang telah
diberikan kepada penulis selama pengerjaan dan penyusunan
Skripsi ini.
2. Drs. Abdul Rouf Alghofari, M.Sc.,Ph.D dan Dra. Ari Andari,
M.Si. selaku dosen penguji atas segala kritik dan saran yang
diberikan untuk perbaikan Skripsi ini.
3. Dr. Sobri Abusini selaku Dosen Penasehat Akademik penulis
atas saran dan arahan selama kuliah.
4. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua
Jurusan Matematika dan Dr. Isnani Darti, M.Si. selaku Ketua
Program Studi Matematika.
5. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan
ilmunya kepada penulis, serta segenap staf dan karyawan TU
Jurusan Matematika atas segala bantuannya.
6. Drs.ec. Yohanis Ngg. Nday (papa) dan Korlina Rambu Tamar,
S.Pd (mama) yang selalu mendoakan dan mendukung penulis
serta adik ku tercinta Manuel Umbu Madiaha dan Juan Umbu
Ngunju serta seluruh keluarga yang selalu mendukung,
mendoakan, memotivasi saat penulis berada dalam kesulitan
maupun kebahagiaan.
7. Para sahabat, PMK Philadelphia, teman-teman kos
(Bendungan Tangga 08) dan teman-teman Matematika 2012
atas doa, semua motivasi, semangat, keceriaan dan bantuannya
selama ini.
8. Semua pihak yang tak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga Tuhan YME senantiasa memberikan anugerah dan
rahmat kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan
Skripsi ini.
xii
Penulis menyadari pada Skripsi ini masih terdapat kekurangan
atau kesalahan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari
pembaca dan dapat disampaikan melalui email penulis
Malang, 09 Agustus 2017
Penulis
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................. i
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ................................ iii
LEMBAR PERNYATAAN ...................................................... v
ABSTRAK ................................................................................. vii
ABSTRACT ................................................................................ ix
KATA PENGANTAR .............................................................. xi
DAFTAR ISI ............................................................................. xiii
DAFTAR NOTASI ................................................................... xv
DAFTAR TABEL ..................................................................... xvii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................ 1
1.3 Tujuan ................................................................. 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Hasil kali Cartesian dan Relasi ........................... 3
2.2 Pemetaan,Operasi biner dan Struktur Aljabar .... 3
2.3 Matrik .................................................................. 5
2.4 Ruang vektor ....................................................... 13
2.5 Pemetaan linear dan Pemetaan Bilinear .............. 20
2.6 Aljabar Lie .......................................................... 24
2.7 Homomorfisma Aljabar Lie ................................ 44
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Himpunan Automorfisma Aljabar Lie ................. 55
3.2 Sifat-sifat Himpunan Automorfisma Aljabar Lie . 67
BAB IV KESIMPULAN
4.1 Kesimpulan ......................................................... 79
4.2 Saran ................................................................... 79
DAFTAR PUSTAKA ............................................................... 81
xiv
xv
DAFTAR NOTASI
Simbol Keterangan
Elemen atau anggota
Hasil kali kartesius dari ke
Pemetaan dari ke
Maka
Isomorfik
ℝ Himpunan semua bilangan real
Himpunan semua bilangan bulat [ ] Lie Bracket
determinan sari matriks
ℝ Himpunan matrik berukuran yang semua
elemennya adalah bilangan rill
Himpunan matrik berukuran yang semua
elemennya adalah bilangan rill dan untuk setiap
Himpunan matrik skew-simetri berukuran
yang semua elemennya adalah bilangan rill
Himpunan automorfisma dari aljabar Lie
Akhir dari pembuktian
xvi
xvii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Operasi penjumlahan dan pergandaan pada ............ 14
xviii