aulas ef i e ef ii

8/15/2019 Aulas Ef i e Ef II

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Ensino Fundamental (primeiro grau no Brasil) Roteiro geral

1. Dicionário de Matemática Elementar Pequeno dicionário de Matemática Elementar.

2. Origem dos númerosO surgimento do processo de numeração. Representação numérica. capacidade !umana dequanti"icar o#$etos. O á#aco. O sistema de numeração indo%ará#ico. &otação posicional e a criação do'ero. O sistema de numeração. O#seraçes so#re a numeração eg*pcia. O sistema de numeraçãoromana.

3. Números naturais (primeira parte)+ntrodução, construção, igualdade, desigualdades e operaçes com n-meros naturais.

4. Números naturais (segunda parte)M-ltiplos e iisores naturais. &-meros primos. /rio de Erat0stenes. M*nimo M-ltiplo /omum (MM/)e o algoritmo para a sua o#tenção. Má1imo iisor /omum (M/) e o algoritmo para a sua o#tenção.Relação entre MM/ e M/. Primos entre s*. Radiciação.

5. rit!rios de di"isi#ilidade2ista *mpar de /ritérios de diisi#ilidade por3 4, 5, 6, 7, 8, 9, :, ;,


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E1erc*cios resolidos de "raçes decimais e n-meros ecimais.

12. E0ua+,es do 1o. grau+ntrodução as equaçes e sentenças matemáticas. Equaçes do primeiro grau (< ariáel).esigualdades do primeiro grau (< ariáel). esigualdades do primeiro grau (4 ariáeis). @istemas deequaçes primeiro grau. esigualdades com duas equaçes.

13. a,es e propor+,esRa'es. Proporçes. Propriedade "undamental das proporçes. Ra'es e Proporçes de @egmentos.Pol*gonos e Figuras @emel!antes. plicaçes práticas das ra'es.

14. plica+,es das a,es e propor+,esProporçes com n-meros e propriedades. Crande'as direta e inersamente proporcionais. Elementos!ist0ricos so#re a Regra de tr>s. Regras de tr>s simples direta e inersa. Regras de tr>s composta.Porcentagem. Guros simples.

15. Di"iso proporcionalecomposição de um n-mero em n partes3 diretamente proporcionais, inersamente proporcionais,simultaneamente em n partes direta e inersamente proporcionais. Regras de @ociedade.

1$. E%press,es alg!#ricasE1presses &uméricas e a sua importHncia. Elementos !ist0ricos. E1presses algé#ricas. Prioridadedas operaçes numa e1pressão algé#rica. Monmios e polinmios. Ialor numérico de uma e1pressãoalgé#rica. regra dos sinais (multiplicação ou diisão). Regras de potenciação. Eliminação depar>nteses em Monmios. Operaçes com e1presses algé#ricas de Monmios. lguns Produtosnotáeis.

1. E0ua+,es do 2o.grauEquaçes do segundo grau. "0rmula de @ridara (con!ecida como sendo de B!asJara). E1erc*cios ealgumas ta#elas interessantes.

1. *un+,es 0uadráticas "unção quadrática ou trinmia do segundo grau. Duatro importantes aplicaçes das pará#olas nemsempre encontradas em liros #ásicos de Matemática até mesmo porque tais aplicaçes enolemcon!ecimento de assuntos tratados num curso superior.

1-. eometria6 Elementos+ntrodução K Ceometria Euclidiana. Ponto, Reta e Plano. &otaçes de Ponto, Reta e Plano. Pontos/olineares. @emi%reta. @egmentos3 Retil*neos, /onsecutios, /olineares, /ongruentes e d$acentes.Ponto médio de um segmento. Posiçes relatias de retas. Paralelas e Perpendiculares com régua ecompasso.

2. eometria6 7ngulosO conceito de Lngulo e notas !ist0ricas. Lngulos3 /onsecutios, ad$acentes, opostos pelo értice econgruentes. Medida de um Hngulo. nidades de medida de Hngulos. &otas !ist0ricas so#re grau eradiano. lguns Hngulos especiais. +nterior e E1terior de um Hngulo. Lngulos3 /omplementares,@uplementares e Replementares.

21. eometria6 8ol&gonos@egmentos 2ineares. Poligonais a#ertas. Pol*gono. Região poligonal. Poligonais e cone1idade. Pol*gonos e o

n-mero de lados. Pol*gono Regular. riHngulos. riHngulos quanto aos lados e quanto aos Hngulos. Lngulos emum triHngulo. /ongru>ncia de triHngulos e estudos de casos. Ra'ão entre segmentos de reta. @egmentosProporcionais. Fei1e de retas paralelas. @emel!ança de riHngulos e estudos de casos. Os quadriláteros e sua dessa cur"a ocorre no ponto m!dio entre %9 e %91' logo' o pontode má%imo desta cur"a ocorre em %9-. O#ser"amos 0ue este no !um ret:ngulo 0ual0uer mas ! um 0uadrado pois %9;9- e

a área má%ima será 91m


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Ensino Fundamental3 Mini icionário de Matemática Elementar

= D E * > ? @ M N O 8 A B C

á#aco ma calculadora com "árias Fastes de metal' sustentando

#olinFas 0ue podem ser manipuladas' ser"indo para realiaropera+,es matemáticas.

a#scissa er coordenadas

adi+o ma das 0uatro opera+,es #ásicas da aritm!tica' utiliadapara adicionar um número a outro.

3G29(1G1G1)G(1G1)9(1G1G1G1G1)95

algarismo B&m#olo utiliado para escre"er os números. Em nossosistema de numera+o de #ase 1' e%istem de algarismos6

' 1' 2' 3' 4' 5' $' ' e -

algoritmo m conHunto de regras necessárias I resolu+o de umpro#lema ou cálculo. onsideremos o pro#lema6 Bo#re o conHuntodos números reais' resol"er a e0ua+o a.%G#9' sendo a constantea di/erente de ero. 8ara resol"er este pro#lema' podemos utiliar o6

lgoritmo

1. Escre"er a e0ua+o a.%G#9.

2. Bomar o oposto de #' 0ue ! J# a am#os os mem#ros daigualdade.

3. sar o /ato 0ue #G(J#)9' sendo 0ue ! o elemento neutro daadi+o de números reais.

4. eri/icar 0ue6 a%9J#.5. Multiplicar am#os os mem#ros da no"a igualdade por a%


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. O#ter a solu+o %9a%


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área L a medida de uma super/&cie' muitas "ees mal denominadatam#!m como super/&cie.

aresta interse+o de duas /aces de um slido. No desenFo emane%o' ! o segmento de reta 0ue representa a interse+o de duas/aces coloridas.

aritm!tica L o ramo da Matemática dedicado ao estudo das regrasde cálculo com números.

arredondar *aer uma apro%ima+o do "alor de um número.

3'14 ! um arredondamento de 8i93'1415-...

associati"a @ei 0ue permite reagrupar os termos de uma adi+o oumultiplica+o sem alterar o resultado.

(G=)G 9 G(=G)(=) 9 (=)

multiplica+o ! associati"a6

a(#c) 9 (a#)c2(35) 9 (23)5 93

adi+o ! associati"a6

aG(#Gc) 9 (aG#)Gc2G(3G5) 9 (2G3)G5 91

atri#uto ma 0ualidade ou caracter&stica de um o#Heto matemático.

#aricentro de um tri:ngulo s trKs medianas de um tri:ngulo seencontram num mesmo ponto' o #aricentro' este ponto di"ide cada

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mediana em duas partes tais 0ue' a parte 0ue cont!m o "!rtice ! odo#ro da outra. ma lamina tri:ngular com densidade uni/orme temeste ponto como centro de massa.

#ase de um tri:ngulo L con"eniente considerar um dos lados dotri:ngulo como sendo sua #ase' a dist:ncia entre a #ase e o "!rticeoposto a #ase ! a altura do tri:ngulo.

#ilFo 1;91. Número 1 seguido de - eros.

#issetri L a semiJreta 0ue di"ide um :ngulo em dois :nguloscongruentes. Na /igura a semiJreta OM ! a #issetri do :ngulo =pois os :ngulos M e M= so congruentes.

#iun&"oca orrespondKncia de cada o#Heto a um único o#Heto. 8ore%emplo' uma pessoa para cada carteira de identidade.

#locos lgicos =locos utiliados em ati"idades didáticas declassi/ica+o e seria+o grá/ica. Cais o#Hetos normalmente socoloridos e tKm /ormas distintas.

calcular ealiar uma opera+o' como por e%emplo' a adi+o' asu#tra+o' a multiplica+o' a di"iso ou potencia+o' "isando o#terum resultado.


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superestimado (acima do "alor)' para cFegar a um resultadoapro%imado mais pr%imo da realidade.

comutati"a @ei 0ue permite mudar a ordem dos termos de umaadi+o ou multiplica+o sem alterar o resultado.

G= 9 =G = 9 =

multiplica+o ! comutati"a6

a# 9 #a52 9 25 9 1

adi+o ! comutati"a6aG# 9 #Ga

5G2 9 2G5 9

concKntrico *iguras concKntricas so a0uelas 0ue possuem omesmo centro.

cone ma /igura espacial tendo (em geral) uma #ase circulardelimitada por uma super/&cie cur"a o#tida pela rota+o de uma reta

em torno de um ei%o /i%o' sendo 0ue estas duas retas cruamJse no"!rtice do cone.

congruKncia aracter&stica do 0ue ! congruente.

congruente *iguras congruentes so a0uelas 0ue tKm a mesma/orma e a mesma medida.


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consecuti"o Números consecuti"os so números 0ue se seguem.8or e%emplo' 3' 4' 5 e $ so números consecuti"os.

contar ssociar o#Hetos de uma /orma un&"oca aos númerosnaturais.

coordenadas s coordenadas de um ponto no plano soidenti/icadas por um par ordenado 89(%';) de números' 0ue ser"empara determinar a posi+o deste ponto em rela+o ao sistemaconsiderado de ei%os. primeira coordenadado par ordenado ! aabscissa e a segunda coordenada ; ! a ordenada.

s coordenadas de um ponto no espa+o so identi/icadas por umterno ordenado 89(%';') de números 0ue ser"em para determinar a

posi+o do ponto no espa+o em rela+o ao sistema considerado deei%os. primeira coordenadade um terno ordenado ! a abscissa' asegunda ; ! o afastamento e a terceira ! a cota.

corda Dois pontos e = pertencentes a uma cur"a de/inem umsegmento de reta = denominado corda.

criptograma m Hogo no 0ual os algarismos so trocados por letrasou outros s&m#olos de uma opera+o aritm!tica.

cu#o m prisma retangular 0ue tem as seis /aces 0uadradas. adaconHunto de trKs arestas se encontra num ponto denominado "!rticee duas destas arestas sempre /ormam um :ngulo reto. s seis /acesso paralelas duas a duas.


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dados Elementos num!ricos ou alg!#ricos de in/orma+o de umpro#lema.

decágono m pol&gono com 1 lados.

denominador Na /ra+o ! o número 0ue /ica em #ai%o. L o número0ue indica em 0uantas partes iguais será di"idido o número de cima.

Na /ra+o 3P4 o denominador ! o número 4.

desigualdade Desigualdade ! uma e%presso em uma das /ormas6a #' aQ#' aQ#' aR#' aR#' onde a e # so 0uantidades oue%press,es. Em desigualdades so usados os seguintes s&m#olos6

no ! igual (di/erente)' Q ! menor do 0ue' Q ! menor ou igual a' R !maior do 0ue e R ! maior ou igual a.

diagonal Begmento de reta 0ue liga dois "!rtices no consecuti"osde um pol&gono.

di:metro No c&rculo' ! a medida do segmento de reta 0ue passapelo centro e 0ue une dois pontos da circun/erKncia do c&rculo.


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di/eren+a O resultado de uma su#tra+o.

2 ! a di/eren+a entre 5 e 3' por0ue 295J3.

5J39(1G1G1G1G1)J(1G1G1)9(1G1)92

d&gitos B&m#olos usados para escre"er números em representa+odecimal ou alguma outra #ase. Em nota+o decimal os d&gitosusados so ' 1' 2' 3' 4' 5' $' ' e -. Em nota+o #inária sousados apenas dois d&gitos e 1.

distri#uti"a @ei 0ue permite distri#uir uma adi+o ou su#tra+o emrela+o ao produto' sem alterar o resultado.

a(#Gc) 9 (a#)G(ac)a(#Jc) 9 (a#)J(ac)

multiplica+o ! distri#uti"a so# a adi+o6

5(1G2) 9 (51)G(52)

multiplica+o ! distri#uti"a so# a su#tra+o6

5(1J1) 9 (51)J(51)

di"idendo O número 0ue será di"idido em uma opera+o de di"iso.Na opera+o 1S-92' 1 ! o di"idendo.

di"iso ma das 0uatro opera+,es #ásicas da aritm!tica. sadapara sa#er o número de "ees 0ue um número está contido emoutro número.

$S3 9 (2G2G2)S3 9 2

di"isor L o segundo termo da di"iso. L o 0ue di"ide o di"idendo.Na opera+o 1S-92' - ! o di"isor.

dodecaedro m poliedro com 12 /aces.

dodecágono m pol& com com 12 lados.


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ei%o de simetria reta 0ue separa uma /igura de sua re/le%o oure#atimento.

elemento m o#Heto de um conHunto ! um elemento deste conHunto.

eneágono m pol&gono com - lados.

enumerar ssociar o#Hetos de uma /orma un&"oca aos númerosnaturais.

es/era ma /igura /ormada pelo conHunto de todos os pontos doespa+o tridimensional' e0uidistantes de um ponto /i%o denominadocentro da es/era' por uma dist:ncia /i%a conFecida como o raio daes/era.

estimati"a titude de estimar um resultado num!rico. L o resultado

apro%imado de uma opera+o. 8ode ser /eito mentalmente ou porescrito. Em#ora sai#amos 0ue 8i93'1415-2$535...' podemos /aeruma estimati"a para o "alor de 8i como sendo a di"iso de 22 por .

e%presso num!rica ma e%presso matemática 0ue pode tam#!mconter termos no matemáticos.

/aces Bo os pol&gonos 0ue delimitam um slido.

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/ator Os números inteiros multiplicados em uma multiplica+o so os/atores. Na e0ua+o 2$ 9 12' 2 e $ so os /atores de 12.

/igura geom!trica m desenFo ser"e para representar di"ersasno+,es matemáticas. ma /igura geom!trica pode ter dimenso6 '1' 2' 3' ...'n. 8or e%emplo' o ponto ! uma /igura geom!trica semdimenso' ou seHa Jdimensional' a reta ! 1Jdimensional' o tri:ngulo! 2Jdimensional e o cu#o ! 3Jdimensional. Ts "ees' simplesmenteescre"emos 0ue o cu#o ! 3D.

/igura plana L uma /igura em duas dimens,es' como o c&rculo' o0uadrado' o pentágono' o trap!io' etc.

/ra+o epresenta as partes de um todo ou de um conHunto' a raoentre dois números inteiros ou uma di"iso.

/ra+o decimal m numero /racionário 0ue e%pressa uma /ormadecimal como 4' ou '23.

4'924P5'23 9 23P1

/ra+o irredut&"el ma /ra+o onde o numerador e o denominadorno tKm um /ator comum maior do 0ue 1. /ra+o 3P4 ! irredut&"el'mas 5P25 no !.

/ra+o ordinária L a /ra+o 0ue no ! decimal. /ra+o 1P4 !ordinária.


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/ra+o simpli/icada "er /ra+o irredut&"el

/ra+,es e0ui"alentes Bo /ra+,es 0ue representam a mesma0uantidade. s /ra+,es 1P2' 2P4 e P1$ so e0ui"alentes.

/undo de um grá/ico eralmente ! a regio so#re a 0ual umdesenFo ! colocado.

ga#arito m modelo 0ue permite reproduir /iguras.

geoplano ma prancFeta de madeira ou de plástico composta depregos ou metais disposta em 0uadrado' permitindo a constru+o de"ários pol&gonos e apro/undamento de uma "ariedade de conceitosgeom!tricos.

grá/ico m 0uadro 0ue permite representar os dados.

grá/ico de #arras m grá/ico onde os dados so representados com/ai%as "erticais ou Foriontais.

grá/ico de linFa m grá/ico /ormado por uma linFa constru&da pelaliga+o de segmentos de reta' unindo os pontos 0ue representam osdados.


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grau nidade de medida de :ngulo muito utiliada nos primeirosn&"eis educacionais. Ela ! o#tida pela di"iso da circun/erKncia em3$ partes iguais' o#tendoJse assim um :ngulo de um grau' sendo0ue a nota+o desta medida usa um pe0ueno N colocado como

e%poente do número' como 1U.Feptágono m pol&gono com lados.

Fe%aedro m prisma retangular 0ue tem as seis /aces 0uadradas.ada conHunto de trKs arestas se encontra num ponto denominado"!rtice e duas destas arestas sempre /ormam um :ngulo reto. sseis /aces so paralelas duas a duas.

Fe%ágono m pol&gono com $ lados.

Fistograma m diagrama com /ai%as representando "alorescont&nuos.


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multiplicador O número pelo 0ual se multiplica. No produto %4932'4 ! o multiplicador.

multiplicando O número 0ue será multiplicado por outro. No produto%4932' ! o multiplicando.

múltiplo m múltiplo de um número inteiro ! o produto deste númeropor um outro número inteiro. ' 4' ' 1$... so múltiplos de 4.

mult&"oca orrespondKncia de um o#Heto com "ários. 8or e%emplo'um carro de ]1.' corresponde a de motos de ]1.''pelo menos em termos monetários.

numerador ?ndica o número de partes em considera+o com o todo.

Na /ra+o ! o número 0ue /ica em cima. L o número 0ue ! di"ididopelo número de #ai%o. Na /ra+o 3P4 o numerador ! o número 3.

número m s&m#olo 0ue representa uma 0uantidade' umagrandea' uma posi+o. Os s&m#olos utiliados podem ser dealgarismos (2$)' de letras ("inte e seis) ou outros (l)' sendo 0ueeste último ! uma mistura de letras e números e corresponde aonúmero 2$ na #ase Fe%adecimal.

número cardinal L o número de elementos de um conHunto. acaracter&stica associada ao número cardinal ! a cardinalidade.

número composto L um número 0ue tem mais do 0ue dois di"isoresnaturais distintos' tais como 4' $' 12' 15' 4-.

número decimal Número no 0ual a parte inteira ! separada da partedecimal por uma "&rgula.

número &mpar m número inteiro 0ue no ! múltiplo de 2. E%emplos

de tais números so6...' J' J5' J3' J1' 1' 3' 5' ' -' ...

número inteiro Números inteiros so os números naturais e seusopostos' reunidos ao ero.


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...' J3' J2' J1' ' 1' 2' 3' 4' 5' $' ...

número irracional m número 0ue no pode ser escrito so# a /ormada di"iso de dois números inteiros' tais como pi93'1415-2$535... ee92'12...

número misto L um número o#tido pela soma de um número inteirocom uma /ra+o ordinária' como6

$2

9 $ G

2

número natural Números naturais so a0ueles pro"enientes dosprocesso de contagem na naturea. E%iste discusso so#re o /atodo (ero) ser considerado um número natural uma "e 0ue este /oicriado pelos Findús para dar sentido I nulidade de algo.

1' 2' 3' 4' 5' $' ' ' -' 1' 11' ...

número ordinal O ordinal de um número e%prime sua posi+o emuma se0uKncia' tal como primeiro' segundo' terceiro' "ig!simo.

número par m número inteiro 0ue ! múltiplo de dois. E%emplos de

tais números so6...' J$' J4' J2' ' 2' 4' $' ' ...

número primo m número inteiro maior do 0ue 1' 0ue no ! di"is&"elpor 0ual0uer outro número e%ceto por ele e por 1. m número primotem somente dois di"isores naturais di/erentes.

número racional m número 0ue pode ser colocado so#re a /ormade uma /ra+o' sendo 0ue o numerador e o denominador de"em ser

dois números inteiros' sendo 0ue o denominador no pode ser ero().

octaedro m poliedro com /aces.

octgono m pol&gono com lados.


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pentadecágono m pol&gono com 15 lados.

pentágono m pol&gono com 5 lados.

pentomin Codas as /iguras em duas dimens,es /ormadas pelacom#ina+o de 5 0uadrados congruentes adHacentes.

per&metro O comprimento da cur"a em torno de uma /igura /ecFadae limitada.

per&metro da circun/erKncia L a medida do comprimento dacircun/erKncia. Be esta tem o raio igual a r e 8i ! a constante cuHo"alor ! 3'1415-2$535...' ento o per&metro 8 ! calculado por6


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8 9 2 8i r

peso er massa.

pictograma m grá/ico no 0ual os dados so representados pordesenFos ou imagens.

pir:mide m poliedro 0ue tem como #ase um pol&gono e comolados' tri:ngulos 0ue se reunem em um ponto comum.

plur&"oca orrespondKncia de "ários o#Hetos com "ários o#Hetos.Auatro doces de ]5' correspondem a cinco doces de ]4'' pelomenos no pre+o.

poliedro m slido limitado por pol&gonos.

pol&gono ma regio plana /ecFada limitada por segmentos deretas.

pol&gono circunscrito m pol&gono ! circunscrito a umacircun/erKncia se todos os seus lados so tangentes Icircun/erKncia. Neste caso podeJse dier 0ue a circun/erKncia !inscrita no pol&gono.


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pol&gono inscrito m pol&gono ! inscrito a uma circun/erKncia setodos os seus "!rtices so pontos da circun/erKncia. Neste casopodemos dier 0ue a circun/erKncia ! circunscrita ao pol&gono.

pol&gono regular m pol&gono 0ue tem todos os :ngulos e ladoscongruentes.

ponto ma /igura geom!trica sem dimenso.

ponto de re/erKncia m dado conFecido 0ue nos permite estimaruma 0uantidade desconFecida.

predi+o declara+o de 0ue se de"e cFegar' /undamentada noracioc&nio ou e%periKncia cient&/ica. 8odeJse /aer pre"is,es so#re ameteorologia' tremores de terra' resultados de competi+,esesporti"as' etc.

pre"iso er predi+o

prisma m poliedro limitado por dois pol&gonos paralelos econgruentes reunidos por dois paralelogramos.

prisma retangular m prisma 0ue tem pol&gonos 0uadriláterosparalelos e congruentes.

prisma triangular m prisma 0ue tem pol&gonos triangularesparalelos e congruentes.

pro#a#ilidade L o 0uociente entre o número de casos /a"orá"eis e onúmero total de casos poss&"eis em uma e%periKncia. pro#a#ilidade de o#ter o número 4 no lan+amento de um dado semde/eito ! 1P$.

produto ma das 0uatro opera+,es #ásicas da aritm!tica' 0uerealia o produto de dois ou mais termos denominados /atores.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#predicaohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#predicao


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multiplica+o ! uma adi+o repetida6 %4 ! a mesma coisa 0ueGGG932.

0uadrado m 0uadrilátero 0ue tem todos os 0uatro :ngulos retos eos 0uatro lados congruentes' paralelos dois a dois.

0uadrado mágico Os números so dispostos em 0uadrados (3%3'4%4' 5%5' ...) de modo 0ue a soma dos números na "ertical' naForiontal ou na diagonal ! sempre a mesma. presentamos dois0uadrados mágicos' o primeiro com os números 1' 2 e 3 e o outrocom os números 1' 2' 3' 4' 5' $' ' e -. s ta#elas /oram postas aolado para apro"eitar o espa+o.

1 3 2 1 $

3 2 1 3 5

2 1 3 4 - 2

0uadrante ma regio do plano cartesiano delimitada por duassemiJretas. O plano cartesiano possui 4 0uadrantes.

0uadrilátero m pol&gono com 0uatro lados.

0uociente O resultado de uma di"iso. Na di"iso de por 4 o

0uociente ! 2radiano L a unidade de medida de :ngulo no Bistema ?nternacional'o procedimento para o#ter um radiano ! o seguinte6 Comamos umsegmento de reta O. om um compasso centrado no ponto O ea#ertura O' tra+amos um arco de circun/erKncia =' sendo 0ue =de"e pertencer ao outro lado do :ngulo O=. Be o comprimento do


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arco /or igual ao comprimento do segmento O' diremos 0ue este:ngulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).

raio O segmento de reta 0ue liga o centro do c&rculo a 0ual0uer

ponto da circun/erKncia do c&rculo.

rede O#t!m um padro 0uando se desen"ol"e um slido' isto !' se

estende a super/&cie e%terior de um slido para o#ter uma super/&cieplana.

re/le%o /orma+o dos pontos de um o#Heto de modo 0ue a no"a/igura o#tida se pare+a como uma imagem re/letida em um espelFo.


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rela+o de Euler (lKJse6V^ilerV) Num poliedro con"e%o' a soma donúmero de "!rtices com o número * de /aces ! igual ao número de arestas mais dois.

G* 9 G2

resto 0uantidade 0ue so#ra aps a di"iso de um número inteiropor outro. o di"idir 13 por 4' o 0uociente ! 3 e o resto ! 1.

reta (onceito primiti"o) L um conHunto in/inito de pontos alinFadosde tal /orma 0ue os segmentos com e%tremidades em dois

0uais0uer desses pontos tKm sempre a mesma inclina+o.

reta numerada ma reta graduada 0ue tem o número = (ero) comoponto inicial' um número


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senten+a num!rica er e%presso num!rica

simetria com respeito a um ponto Auando uma /igura ! rodada deum :ngulo de 114 graus' podeJse dier 0ue ela ! sim!trica com

respeito a um ponto.

simetria de rota+o er simetria com respeito a um ponto

simetria com respeito a uma reta Auando uma /igura ! re#atida emrela+o a uma reta' diJse 0ue ela ! a re/le%o de uma outra /iguraou sim!trica em rela+o a uma reta.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#expressaohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#simetriahttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#expressaohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#simetria


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sim!trico ma /igura em uma' duas ou trKs dimens,es ! ditasim!trica se ela possui um ente de simetria (ponto' ei%o ou plano)'

de modo 0ue do outro lado deste ente de simetria a /igura seHasemelFante porem in"ertida como se ti"esse sido colocada na /rentede um espelFo.

slido ma /igura em trKs dimens,es. E%emplos de slidos so6cu#o' paralelep&pedo' pir:mide.

soma ma das principais opera+,es #ásicas da aritm!tica' 0ueresulta na adi+o de números.

2G39(1G1)G(1G1G1)9(1G1G1G1G1)95

su#tra+o ma das 0uatro opera+,es #ásicas da aritm!tica' 0ueo#Heti"a retirar um número de outro. L uma opera+o arti/icial criadaa partir da adi+o.

5J39(1G1G1G1G1)J(1G1G1)9(1G1)92

super/&cie m ente geom!trico #idimensional sua"e (0ue no possui#icos ou autointerse+,es) 0ue possui medida de área' isto !' umaregio 0ue pode ser plani/icada (colocada so#re um plano) de modo0ue a no"a regio plani/icada tenFa a área e0ui"alente I de um0uadrado.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#cubohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#paralelepipedohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#piramidehttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#cubohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#paralelepipedohttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/diciomat/diciomat.htm#piramide


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tangram onHunto de pe+as grá/icas espec&/icas 0ue pode serreunido para montar /iguras geom!tricas. Muito utiliado nasati"idades práticas de eometria.

tentati"a e erro' cFute ma estrat!gia de resolu+o de pro#lemasonde se /a uma escolFa para "ia#iliar o resultado e assim seprocede "árias "ees at! 0ue 0ue se cFegue a alguma conclusopr%ima ao o#Heti"o para a resolu+o do pro#lema.

termo m dos o#Hetos matemáticos em uma opera+o.

tetraedro m poliedro com 4 /aces. Be o tetraedro /or regular' eleterá 4 /aces congruentes' 4 "!rtices e $ arestas tam#!mcongruentes.

total O resultado de uma adi+o ou de um produto.

trans/eridor m instrumento 0ue ser"e para medir :ngulos.

transla+o O deslocamento paralelo em linFa reta de um o#Heto ou/igura. m ele"ador realia uma opera+o de transla+o.

trapeide m 0uadrilátero 0ue tem dois lados paralelos.

tri:ngulo m pol&gono com trKs lados.

"alor a#soluto O "alor a#soluto de um número real a tam#!mcFamado Vmdulo de aV ! denotado por _a_ e de/inido como o

má%imo "alor entre a e Ja' isto !6

_a_9ma%Za'Ja[

"alor posicional O "alor da posi+o de um algarismo depende desua posi+o no número. No número 2' o algarismo ocupa a


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posi+o das centenas' o 2 ocupa a posi+o das deenas e o aposi+o das unidades.

"!rtice O ponto de Hun+o de duas semiJretas de um :ngulo' de doislados de um pol&gono ou de trKs (ou mais) /aces de um slido.

"etor nulo etor nulo ou "etor ero de um esapa+o "etorial'denotado neste tra#alFo por `.

"&rgula L um sinal matemático 0ue separa a parte inteira da partedecimal de um número.

8i 9 3'1415-2$535

"olume O "olume de um o#Heto ! de/inido como a medida do lugarocupado pelo o#Heto no espa+o. 8or e%emplo' o "olume de umacai%a ! medido em cm\. No conte%to das artes "isuais' o "olumerepresenta uma caracter&stica do o#Heto e no uma medida doespa+o ocupado.

Ensino Fundamental3 origem dos n-meros origem dos n-meros

+n*cio do processo de contagem

Representação numérica

lguns s*m#olos antigos

O á#aco

@istema +ndo%rá#ico

ist0rico3 notação Posicional

ist0rico3 criação do 'ero

&otação Posicional

@istema numérico Romano

+ntrodução so#re a origem dos n-meros

ocK Há usou muitas "ees os números' mas será 0ue Há parou para

pensar so#re6a. O modo como surgiram os números#. omo /oram as primeiras /ormas de contagemc. omo os números /oram criados' ou' será 0ue eles sempre

e%istiram

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10101http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10102http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10102http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10103http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10104http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10105http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10105http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10106http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10107http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10108http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10109http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10109http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10110http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10101http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10102http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10103http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10104http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10105http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10106http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10107http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10108http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10109http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm#m10110


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O Fomem come+ou a plantar' produir alimentos' construir casas'prote+,es' /orti/ica+,es e domesticar animais' usando os mesmospara o#ter a l e o leite' tornandoJse criador de animais dom!sticos'o 0ue trou%e pro/undas modi/ica+,es na "ida Fumana.

s primeiras /ormas de agricultura de 0ue se tem not&cia' /oramcriadas Fá cerca de de mil anos na regio 0ue FoHe ! denominadaOriente M!dio.

agricultura passou ento a e%igir o conFecimento do tempo' dasesta+,es do ano e das /ases da @ua e assim come+aram a surgir asprimeiras /ormas de calendário.

No pastoreio' o pastor usa"a "árias /ormas para controlar o seure#anFo. 8ela manF' ele solta"a os seus carneiros e analisa"a ao/inal da tarde' se algum tinFa sido rou#ado' /ugido' se perdido dore#anFo ou se Fa"ia sido acrescentado um no"o carneiro aore#anFo. ssim eles tinFam a correspondKncia um a um' onde cadacarneiro correspondia a uma pedrinha 0ue era armaenada em umsaco.

No caso das pedrinFas' cada animal 0ue sa&a para o pasto demanF correspondia a uma pedra 0ue era guardada em um saco decouro. No /inal do dia' 0uando os animais "olta"am do pasto' era/eita a correspondKncia in"ersa' onde' para cada animal 0ue


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retorna"a' era retirada uma pedra do saco. Be no /inal do diaso#rasse alguma pedra' ! por0ue /alta"a algum dos animais e sealgum /osse acrescentado ao re#anFo' era s acrescentar mais umapedra. pala"ra 0ue usamos FoHe' cálculo' ! deri"ada da pala"ra

latina calculus' 0ue signi/ica pedrinFa. correspondKncia unidade a unidade no era /eita somente compedras' mas eram usados tam#!m ns em cordas' marcas nasparedes' talFes em ossos' desenFos nas ca"ernas e outros tipos demarca+o.

Os talFes nas #arras de madeira' 0ue eram usados para marcar0uantidades' continuaram a ser usados at! o s!culo b??? na?nglaterra. pala"ra talFe signi/ica corte. >oHe em dia' usamosainda a correspondKncia unidade a unidade.

Representação numérica

om o passar do tempo' as 0uantidades /oram representadas pore%press,es' gestos' pala"ras e s&m#olos' sendo 0ue cada po"otinFa a sua maneira de representa+o.

/aculdade Fumana natural de reconFecimento imediato de0uantidades se resume a' no má%imo' 0uatro elementos. Este sensonum!rico 0ue ! a /aculdade 0ue permite reconFecer 0ue alguma


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coisa mudou em uma pe0uena cole+o 0uando' sem seuconFecimento direto' um o#Heto /oi tirado ou adicionado' I cole+o.

O senso num!rico no pode ser con/undido com contagem' 0ue !um atri#uto e%clusi"amente Fumano 0ue necessita de um processomental.

VDistingimos' sem erro e numa rápida "ista um' dois' trKs e mesmo0uatro elementos. mas a& para nosso poder de identi/ica+o dosnúmeros.V >istria ni"ersal dos lgarismosV' eorges ?/raF.

Cemos tam#!m' alguns animais' ditos irracionais' como os rou%inise os cor"os' 0ue possuem este senso num!rico onde reconFecem0uantidades concretas 0ue "o de um at! trKs ou 0uatro unidades.E%iste um e%emplo c!le#re so#re um cor"o 0ue tinFa capacidade dereconFecer 0uantidades.

uriosidade6 m /aendeiro esta"a disposto a matarum cor"o 0ue /e seu ninFo na torre de o#ser"a+o

de sua manso. 8or di"ersas "ees' tentousurpreender o pássaro' mas em "o6 I apro%ima+odo Fomem' o cor"o sa&a do ninFo. De uma ár"ore distante' eleespera"a atentamente at! 0ue o Fomem sa&sse da torre e s ento"olta"a ao ninFo. m dia' o /aendeiro tentou um ardil6 dois Fomensentraram na torre' um /icou dentro e o outro saiu e se a/astou. Maso pássaro no /oi enganado6 mante"eJse a/astado at! 0ue o outro


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Fomem sa&sse da torre. e%periKncia /oi repetida nos diassu#se0uentes com dois' trKs e 0uatro Fomens' ainda sem sucesso.*inalmente' /oram utiliados cinco Fomens como antes' todosentraram na torre e um permaneceu lá dentro en0uanto os outros

0uatro sa&am e se a/asta"am. Desta "e o cor"o perdeu a conta.?ncapa de distinguir entre 0uatro e cinco' "oltou imediatamente aoninFo.

lguns s*m#olos antigos

No come+o da Fistria da escrita de algumas ci"ilia+,es como aeg&pcia' a #a#ilnica e outras' os primeiros no"e números inteiroseram anotados pela repeti+o de tra+os "erticais6

? ?? ??? ???? ????? ?????? ??????? ???????? ?????????

1 2 3 4 5 $ -

Depois este m!todo /oi mudado' de"ido I di/iculdade de se contarmais do 0ue 0uatro termos6

? ?? ??? ?????????

??????

???????

????????

?????????

1 2 3 4 5 $ -

m dos sistemas de numera+o mais antigos 0ue se tem not&cia ! oegípcio. L um sistema de numera+o de #ase de e era composto

pelos seguintes s&m#olos num!ricos6


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Outro sistema de numera+o muito importante /oi o da =a#ilnia'

criado a apro%imadamente 4 mil anos. lgumas das primeiras /ormas de contagem /oram utiliadas com aspartes do corpo Fumano' sendo 0ue em algumas aldeias osindi"&duos cFega"am a contar at! o número 33.

O á#aco

O á#aco' em sua /orma geral' ! uma moldura retangular com /ileiras

de arame' cada /ileira representando uma classe decimal di/erente'nas 0uais correm pe0uenas #olas

No princ&pio' os sistemas de numera+o no /acilita"am os cálculos'logo' um dos instrumentos utiliados para /acilitar os cálculos /oi oá#aco muito usado por di"ersas ci"ilia+,es orientais e ocidentais.


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No apo' o á#aco ! cFamado de soro#an e na Fina de suánpan'0ue signi/ica #andeHa de calcular.

O @istema de numeração +ndo%rá#ico

Nosso sistema de numera+o surgiu na fsia' Fá muitos s!culos noale do rio ?ndo' onde FoHe ! o 8a0uisto.

O primeiro número in"entado /oi o 1 e ele signi/ica"a o Fomem esua unicidade' o segundo número 2' signi/ica"a a mulFer da /am&lia'a dualidade e o número 3 (trKs) signi/ica"a muitos' multido. curiosidade so#re os nomes do 3' no de"e ter ocorrido por acaso.

?nglKs *rancKs @atim rego ?taliano EspanFoltFree trois tres treis tre tres

Bueco lemo usso 8olonKs >indu 8ortuguKs

tre drei tri tr; tri trKs

&otas !ist0ricas so#re a atual notação posicional

*oi no Norte da ndia' por "olta do s!culo da era crist' 0uenasceu o mais antigo sistema de nota+o pr%imo do atual' o 0ue !compro"ado por "ários documentos' al!m de ser citado por ára#es(a 0uem esta desco#erta /oi atri#u&da por muitos anos).

ntes de produir tal sistema' os Fa#itantes da ndia setentrionalusaram por muito tempo uma numera+o rudimentar 0ue apareceem muitas inscri+,es do s!culo ??? antes de risto.

Esta numera+o tinFa uma caracter&stica do sistema moderno. Beusno"e primeiros algarismos eram sinais independentes6

1' 2' 3' 4' 5' $' ' ' -

o 0ue signi/ica"a 0ue um número como o 5 no era entendido como5 unidades mas como um s&m#olo independente.


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8or muito tempo' estes algarismos /oram denominados algarismosará#icos' de uma /orma errada.

inda e%istia nesta !poca a di/iculdade posicional e os Finduspassaram a usar a nota+o por e%tenso para os números' pois nopodiam e%primir grandes números por algarismos.

Bem sa#er' esta"am criando a nota+o posicional e tam#!m o ero.

ada algarismo tinFa um nome6

1 2 3 4 5 $ -

eha d"i tri catur paca sat sapta asta na"a

Auando /oi criada pelos Findús a #ase 1' cada deena' cadacentena e cada milFar' rece#eu um nome indi"idual6

10 = dasa

100 = sata

1.000 = sahasra

10.000 = ayuta

100.000 = laksa

1.000.000 = prayuta

10.000.000 = koti

100.000.000 = vyarbuda

1.000.000.000 = padma

o in"!s de /aer como FoHe' de acordo com as potKnciasdecrescentes de 1' os Findus escre"iam os números em ordemcrescente das potKncias de 1 por "olta do s!culo ? depois donascimento de esus risto. Eles come+a"am pelas unidades'


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depois pelas deenas' pelas centenas e assim por diante. O número3.- /ica"a6

- 3

no"e sete centos trKs milna"a sapta sata tri saFasra

8oderiamos escre"er o número 12.345 como

paca caturdasa trisata d"isaFasra a;uta

pois' 12.345 9 5 G 4 G 3 G 2. G 1.' logo6

5 = pañca

40 = catur dasa

300 = tri sata

2.000 = dvi sahasra

10.000 = ayuta

paca catur dasa trisata d"isaFasra a;uta

Esta Há era uma /orma especial.

Em "irtude da grande repeti+o 0ue ocorria com as potKncias de 1'por "olta do s!culo depois do nascimento de esus risto' osmatemáticos e astrnomos Findus resol"eram a#re"iar a nota+oretirando os múltiplos de 1 0ue apareciam nos números grandes'

assim o número 12.345 0ue era escrito como6paca catur dasa trisata disa!asra auta

passou a ser escrito apenas6

7654< Q paca catur tri di dasa


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12345 9 7 G 61 G 51 G 41 G


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Os !indus tin!am aca#ado de desco#rir o 'ero.

8or!m' estas nota+,es s ser"iam para as pala"ras e no para osnúmeros' mas reunindo essas id!ias apareceram Huntos o ero #emcomo o atual sistema de nota+o posicional.

m dos primeiros locais onde aparece a nota+o posicional ! umtratado de cosmologia denominado6 @oha"i#Faga' pu#licado na datade 25 de agosto de 45 do calendário Huliano' por um mo"imentoreligioso Findú para enaltecer as suas prprias 0ualidadescient&/icas e religiosas. Neste te%to' aparece o número 14.23$.13escrito claramente6

trin; eham sapta sat trini d"e cat"ar; ehaham

trKs um sete seis trKs dois 0uatro um

Escre"er tais números na ordem in"ertida' /ornece6

um 0uatro dois trKs seis sete um trKs

1 4 2 3 $ 1 3

Números como 123. eram escritos como6

sun;a sun;a sun;a tri d"i dasa

0ue signi/ica6

ero ero ero trKs dois um

0ue escrito na ordem in"ertida /ornece6

um dois trKs ero ero ero

No te%to e%iste a pala"ra Findú sthanakramad 0ue signi/ica Vporordem de posi+oV.


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O#ser"amos 0ue tal nota+o posicional Há era ento conFecida no0uinto s!culo de nossa era por uma grande 0uantidade de cientistase matemáticos.

8ara escre"er este material' usamos alguns tpicos do e%celenteli"ro6 VOs números6 Fistria de uma grande in"en+oV' eorges?/raF' Editora lo#o' 3a.edi+o' 1-5.

&otação Posicional

O sistema de numera+o posicional indiano surgiu por "olta dos!culo . Este princ&pio de numera+o posicional Há aparecia nossistemas dos eg&pcios e cFineses.

No sistema de numera+o indiana no posicional 0ue aparece nos!culo ? no e%istia a necessidade do número ero.

Nota+o (ou "alor) posicional ! 0uando representamos um númerono sistema de numera+o decimal' sendo 0ue cada algarismo temum determinado "alor' de acordo com a posi+o relati"a 0ue eleocupa na representa+o do numeral.

Mudando a posi+o de um algarismo' estaremos alterando o "alor

do número. 8or e%emplo' tomemos o número 12. Mudando asposi+,es dos algarismos teremos 21.

12 9 1 1 G 221 9 2 1 G 1

O ero /oi o último número a ser in"entado e o seu uso matemáticoparece ter sido criado pelos #a#ilnios. Os documentos maisantigos conFecidos onde aparece o número ero' no so

anteriores ao s!culo ??? antes de risto. Nesta !poca' os númeroscontinFam no má%imo trKs algarismos.

m dos grandes pro#lemas do Fomem come+ou a ser arepresenta+o de grandes 0uantidades. solu+o para isto /oiinstituir uma #ase para os sistemas de numera+o. Os numeraisindoJará#icos e a maioria dos outros sistemas de numera+o usam


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@etra ? b @ D M

alor 1 5 1 5 1 5 1

@eitura m inco De in0uenta em AuinFentos Mil

Estas letras o#edeciam aos trKs princ&pios6

1. Codo s&m#olo num!rico 0ue possui "alor menor do 0ue o0ue está I sua es0uerda' de"e ser somado ao maior.

? 9 5 G 1 9 $b?? 9 1 G 1 G 1 9 12

@??? 9 1 G 5 G 3 9 153

2. Codo s&m#olo num!rico 0ue possui "alor menor ao 0ue estáI sua direita' de"e ser su#tra&do do maior.

?b 9 1 J 1 9 -b@ 9 5 J 1 9 4

D 9 5 J 5 9 4-53. Codo s&m#olo num!rico com um tra+o Foriontal so#re ele

representa milFar e o s&m#olo num!rico 0ue apresenta doistra+os so#re ele representa milFo.

Ensino Fundamental3 &-meros &aturais3 Primeira parte

Introdução aos Nos. Naturais

A construção dos Nos. Naturais

Igualdade e Desigualdades

Operações com Nos. Naturais

Adição de Números naturais

Propriedades da multiplicação

Propriedade Distributiva

Divisão de Números Naturais

Potenciação de Nos. Naturais

Propriedades da Potenciação

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10201http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10202http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10202http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10203http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10203http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10204http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10205http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10205http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10209http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10210http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10210http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10211http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10212http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10212http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10213http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10201http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10202http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10203http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10204http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10205http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10209http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10210http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10211http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10212http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/naturais/naturais1.htm#m10213


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Propriedades da Adição

Curiosidade: abela de adição

!ultiplicação de Nos. Naturais

Números grandes

"#erc$cios

+ntrodução aos &-meros &aturais

O conHunto dos números naturais ! representado pela letramaiúscula N e estes números so constru&dos com osalgarismos6 ' 1' 2' 3' 4' 5' $' ' ' -' 0ue tam#!m soconFecidos como algarismos indoJará#icos. No s!culo ??' osára#es in"adiram a ndia' di/undindo o seu sistema num!rico.

Em#ora o ero no seHa um número natural no sentido 0ue tenFa

sido pro"eniente de o#Hetos de contagens naturais' iremosconsideráJlo como um número natural uma "e 0ue ele tem asmesmas propriedades alg!#ricas 0ue os números naturais. Na"erdade' o ero /oi criado pelos Findus na montagem do sistemaposicional de numera+o para suprir a de/iciKncia de algo nulo. 8arasa#er mais' cli0ue nos linhs6 Notas Fistricas so#re o ero ouNota+o 8osicional. aso 0ueira se apro/undar no assunto' "eHa o#el&ssimo li"ro6 V>istria ni"ersal dos lgarismos' Comos ? e ??'Editora No"a *ronteira' 1-- e 1---V' de eorges ?/raF.

Na se0uKncia consideraremos 0ue os naturais tKm in&cio com onúmero ero e escre"eremos este conHunto como6

N 9 Z ' 1' 2' 3' 4' 5' $' ...[

epresentaremos o conHunto dos números naturais com a letra N. s reticKncias (trKs pontos) indicam 0ue este conHunto no tem /im.N ! um conHunto com in/initos números.

E%cluindo o ero do conHunto dos números naturais' o conHunto serárepresentado por6

Nj 9 Z1' 2' 3' 4' 5' $' ' ' -' 1' ...[

construção dos &-meros &aturais

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1. Codo número natural dado tem um sucessor (número 0ue"em depois do número dado)' considerando tam#!m o ero.

E%emplos6 BeHa m um número natural.

(a) O sucessor de m m!1.

(b) O sucessor de 0 1.

(c) O sucessor de 1 2.

(d) O sucessor de 1" 20.

2. Be um número natural ! sucessor de outro' ento os doisnúmeros Huntos so cFamados números consecuti"os.

E%emplos6

(a) 1 e 2 s#o $%meros co$secutivos.

(b) 5 e & s#o $%meros co$secutivos.

(c) 50 e 51 s#o $%meros co$secutivos.

3. ários números /ormam uma cole+o de números naturaisconsecuti"os se o segundo ! sucessor do primeiro' oterceiro ! sucessor do segundo' o 0uarto ! sucessor doterceiro e assim sucessi"amente.

E%emplos6

(a) 1' 2' 3' 4' 5' & e s#o co$secutivos.

(b) 5' & e s#o co$secutivos.

(c) 50' 51' 52 e 53 s#o co$secutivos.


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4. Codo número natural dado n' e%ceto o ero' tem umantecessor (número 0ue "em antes do número dado).

E%emplos6 Be m ! um número natural /inito di/erente deero.

(a) O a$tecessor do $%mero m m1.

(b) O a$tecessor de 2 1.

(c) O a$tecessor de 5& 55.

(d) O a$tecessor de 10 ".

O conHunto a#ai%o ! conFecido como o conHunto dos númerosnaturais pares. Em#ora uma se0Kncia real seHa um outro o#Hetomatemático denominado /un+o' algumas "ees utiliaremos adenomina+o se0uKncia dos números naturais pares pararepresentar o conHunto dos números naturais pares6

8 9 Z ' 2' 4' $' ' 1' 12' ...[

O conHunto a#ai%o ! conFecido como o conHunto dos números

naturais &mpares' Is "ees tam#!m cFamado' a se0uKncia dosnúmeros &mpares.

? 9 Z 1' 3' 5' ' -' 11' 13' ...[

+gualdade e esigualdades

Diremos 0ue um conHunto ! igual a um conHunto = se' e somentese' o conHunto está contido no conHunto = e o conHunto = estácontido no conHunto . Auando a condi+o acima /or satis/eita'

escre"eremos 9= (lKJse6 ! igual a =) e 0uando no /or satis/eitadenotaremos tal /ato por6


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(lKJse6 ! di/erente de =). Na de/ini+o de igualdade de conHuntos'"emos 0ue no ! importante a ordem dos elementos no conHunto.

E%emplo com igualdade6 No desenFo' em ane%o' o#ser"amos 0ueos elementos do conHunto so os mesmos elementos do conHunto=. Neste caso' 9=.

onsideraremos agora uma situa+o em 0ue os elementos dosconHuntos e = sero distintos.

BeHam 9Za'#'c'd[ e =9Z1'2'3'd[. Nem todos os elementos doconHunto esto no conHunto = e nem todos os elementos doconHunto = esto no conHunto . Cam#!m no podemos a/irmar 0ueum conHunto ! maior do 0ue o outro conHunto. Neste caso'a/irmamos 0ue o conHunto ! di/erente do conHunto =.

E%erc&cio6 >á um espa+o em #ranco entre dois números em cadalinFa. Aual ! o sinal apropriado 0ue de"e ser posto neste espa+o6 Q'R ou 9

15- 1

52 321

5 5

E%erc&cio6 epresentar analiticamente cada conHunto' isto !' atra"!sde alguma propriedade e depois por e%tenso' apresentando oselementos6

a. onHunto N dos números Naturais


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#. onHunto 8 dos números Naturais 8aresc. onHunto ? dos números Naturais mparesd. onHunto E dos números Naturais menores 0ue 1$e. onHunto @ dos números Naturais maiores 0ue 11

/. onHunto dos números Naturais maiores ou iguais a 2g. onHunto dos números Naturais 0ue esto entre $ e 1

Operaçes com &-meros &aturais

Na se0uKncia' estudaremos as duas principais opera+,es poss&"eisno conHunto dos números naturais. 8raticamente' toda a Matemática! constru&da a partir dessas duas opera+,es6 adi+o e multiplica+o.

adição de n-meros naturais

primeira opera+o /undamental da ritm!tica' tem por /inalidadereunir em um s número' todas as unidades de dois ou maisnúmeros. ntes de surgir os algarismos indoJará#icos' as adi+,espodiam ser realiadas por meio de tá#uas de calcular' com o au%&liode pedras ou por meio de á#acos.

Propriedades da dição

1. *ecFamento6 adi+o no conHunto dos números naturais !/ecFada' pois a soma de dois números naturais ! ainda umnúmero natural. O /ato 0ue a opera+o de adi+o ! /ecFadaem N ! conFecido na literatura do assunto como6 adi+o !

uma lei de composi+o interna no conHunto N.


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m.(pG0) 9 m.p G m.0$%(5G3) 9 $%5 G $%3 9 3 G 1 9 4

iisão de &-meros &aturais

Dados dois números naturais' Is "ees necessitamos sa#er0uantas "ees o segundo está contido no primeiro. O primeiro

número 0ue ! o maior ! denominado di"idendo e o outro número0ue ! menor ! o di"isor. O resultado da di"iso ! cFamado0uociente. Be multiplicarmos o di"isor pelo 0uociente o#teremos odi"idendo.

No conHunto dos números naturais' a di"iso no ! /ecFada' poisnem sempre ! poss&"el di"idir um número natural por outro númeronatural e na ocorrKncia disto a di"iso no ! e%ata.

ela+,es essenciais numa di"iso de números naturais1. Em uma di"iso e%ata de números naturais' o di"isor de"e

ser menor do 0ue o di"idendo.

35 6 9 52. Em uma di"iso e%ata de números naturais' o di"idendo ! o

produto do di"isor pelo 0uociente.

35 9 5 %

3. di"iso de um número natural n por ero no ! poss&"elpois' se admit&ssemos 0ue o 0uociente /osse 0' entopoderiamos escre"er6

n S 9 0


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e isto signi/icaria 0ue6

n 9 % 0 9

o 0ue no ! correto ssim' a di"iso de n por no temsentido ou ainda ! dita imposs&"el.

E%erc&cio6 Bu#stituindo b por $ e por -' 0ual ! o "alor da soma dodo#ro de b pelo triplo de .

Potenciação de &-meros &aturais

8ara dois números naturais m e n' a e%presso mn ! um produto de

n /atores iguais ao número m' ou seHa6

mn 9 m . m . m ... m . mm aparece n "ees

O número 0ue se repete como /ator ! denominado #ase 0ue nestecaso ! m. O número de "ees 0ue a #ase se repete ! denominadoe%poente 0ue neste caso ! n. O resultado ! donominado potKncia.

Esta opera+o no passa de uma multiplica+o com /atores iguais'como por e%emplo6

25 9 2 2 2 9 45 9 4 4 4 9 $4

Propriedades da Potenciação

1. ma potKncia cuHa #ase ! igual a 1 e o e%poente natural ! n'denotada por 1n' será sempre igual a 1.

E%emplos6

a. 1n 9 11...1 (n "ees) 9 1#. 15 9 111 9 1

c. 19 9 1111111 9 1


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2. Be n ! um número natural no nulo' ento temos 0ue n o91.8or e%emplo6

3.(a) $* = 1

4.(b) 5* = 1

5.(c) 4"* = 1

6. potKncia ero ele"ado a ero' denotada por o' ! carentede sentido no conte%to do Ensino *undamental. O "isitante0ue necessitar apro/undamento neste assunto' de"e "isitarnosso linh ero ele"ado a ero

. Aual0uer 0ue seHa a potKncia em 0ue a #ase ! o númeronatural n e o e%poente ! igual a 1' denotada por n


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1 oogol 9 1


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-. CrKs Fomens 0uerem atra"essar um rio. O #arco 0ue elespossuem suporta no má%imo 15 hg. m deles pesa 5 hg'o segundo pesa 5 hg e o terceiro pesa 12 hg. Aual será oprocesso para eles atra"essarem o rio sem a/undar

1. *orme um 0uadrado mágico com os números 1' 2' 3' 4'5' $' ' e - tal 0ue' a soma dos números de 0ual0uer linFa'0ual0uer coluna ou 0ual0uer diagonal de"erá ser sempreigual a 15.

Ensino Fundamental3 &-meros &aturais3 @egunda parte M-ltiplos de &os. naturais

iisores de &os. naturais

&-meros primos

/rio de Erat0stenes

M*nimo M-ltiplo /omum

Método para o#ter o MM/

Má1imo iisor /omum

Método para o#ter o M/

Relação entre o MM/ e M/

Primos entre si

Radiciação de &os. naturais

M-ltiplos de n-meros &aturais

DiJse 0ue um número natural a ! múltiplo de outro natural #' see%iste um número natural h tal 0ue6

a 9 h #

E%emplos6

(a) 15 m%ltiplo de 5' pois 15=365.

(b) 24 m%ltiplo de 4' pois 24=&64.

(c) 24 m%ltiplo de &' pois 24=46&.

(d) 2 m%ltiplo de "' pois 2=36".

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Be a9h#' ento a ! múltiplo de #' mas tam#!m' a ! múltiplo de h'como ! o caso do número 35 0ue ! múltiplo de 5 e de ' pois6

3595

Be a9h#' ento a ! múltiplo de # e se conFecemos # e 0ueremoso#ter todos os seus múltiplos' #asta /aer h assumir todos osnúmeros naturais poss&"eis. 8ara o#ter os múltiplos de 2' isto !' osnúmeros da /orma a9h2 onde h ! su#stitu&do por todos os númerosnaturais poss&"eis. ta#ela a#ai%o nos au%iliará6

92' 2912' 4922' $932' 942' 1952' 129$2

O conHunto dos números naturais ! in/inito' assim e%istem in/initosmúltiplos para 0ual0uer número natural. Be ; ! um número natural'o conHunto de todos os múltiplos de ;' será denotado por M(;). 8ore%emplo6

M()9Z ' ' 14' 21' 2' 35' 42' ... [M(11)9Z ' 11' 22' 33' 44' 55' $$' ' ... [

O#ser"a+o6 omo estamos considerando como um númeronatural' ento o ero será múltiplo de todo número natural.Comando h9 em a9h.# o#temos a9 para todo # natural. 8ore%emplo6

92' 95' 912' 915

O#ser"a+o6 m número # ! múltiplo dele mesmo.

a 9 1 # se' e somente se' a 9 #

8or e%emplo' #asta tomar o mesmo número multiplicado por 1 parao#ter um múltiplo dele prprio' como6 391%3' 591%5 e 1591%15.


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mas no e%iste um número # 0ue multiplicado por (ero) seHa iguala $' portanto a di"iso de $ por ! impossível .

di"iso de P (zero por zero) ! indeterminada' o 0ue signi/ica 0uepode e%istir uma situa+o 0ue ela passe a ter signi/icado' no sentidoseguinte6

Be aceitarmos 0ue S9b' ento poderemos escre"er 0ue6

S 9 b S 1

omo temos uma igualdade de /ra+,es' gerando uma propor+o'

de"eremos aceitar 0ue o produto dos meios ! igual ao produto dose%tremos nesta propor+o e assim6

1 9 b 9

0ue no ! contraditrio e isto pode ser realiado para todo b real'rao pela 0ual a e%presso da /orma S ! dita indeterminada.

&-meros primos

m número primo ! um número natural com e%atamente doisdi"isores naturais distintos.

E%emplos6

(a) 1 $#o primo pois 7(1)=819

(b) 2 primo pois 7(2)=81'29

(c) 3 primo pois 7(3)=81'39

(d) 5 primo pois 7(5)=81'59

(e) primo pois 7()=81'9


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(:) 14 $#o primo pois 7(14)=81'2''149

O#ser"a+o6 1 no ! primo pois tem apenas 1 di"isor e todo númeronatural pode ser escrito como o produto de números primos' de

/orma única.

/rio de Erat0stenes

L um processo para o#ter números primos menores do 0ue umdeterminado número natural n. De"emos construir uma ta#elacontendo os primeiros n números naturais. 8ara determinar osnúmeros primos nesta ta#ela' #asta seguir os seguintes passos.

1. ntes de iniciar' lem#ramos 0ue 1 no ! um número primo.2. Marcamos o número 2' 0ue ! o primeiro número primo eeliminamos todos os múltiplos de 2 0ue encontrarmos nata#ela.

3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 30ue encontrarmos na ta#ela.

4. Determinamos o pr%imo número primo' 0ue será o pr%imonúmero no marcado da ta#ela e eliminamos todos os

múltiplos desse número primo 0ue encontrarmos na ta#ela.5. ontinuamos o processo' sempre "oltando ao passo

anterior' com o pr%imo número primo.

$. Os números 0ue no /oram eliminados so os númerosprimos.

1 2 3 4 5 $ - 1

11 12 13 14 15 1$ 1 1 1- 2

21 22 23 24 25 2$ 2 2 2- 3

31 32 33 34 35 3$ 3 3 3- 4

41 42 43 44 45 4$ 4 4 4- 5

51 52 53 54 55 5$ 5 5 5- $

$1 $2 $3 $4 $5 $$ $ $ $-


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1 2 3 4 5 $ -

1 2 3 4 5 $ - -

-1 -2 -3 -4 -5 -$ - - -- 1

Na ta#ela' listamos os 1 primeiros números naturais' indicandocom a cor mais /orte os números primos e com a cor clara osnúmeros 0ue no so primos. omo e%emplo' 2 ! primo' en0uanto25 no ! primo' pois ! múltiplo de 5.

No 0uadro a#ai%o' mostramos os números primos menores do 0ue1' o#tidos pelo cri"o de Eratstenes.

8 9Z2'3'5''11'13'1'1-'23'2-'31'3'41'43'4'53'5-'$1'$'1'3'-'3'

-'-[

M*nimo M-ltiplo /omum

DiJse 0ue um número m ! múltiplo comum dos número a e # se m! múltiplo de a e tam#!m ! múltiplo de #' ou seHa.

m 9 h a e m 9 #onde h e números naturais.

E%emplos6 Múltiplos comuns

(a) 24 m%ltiplo comum de & e +.

(b) 15 m%ltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números 0ue tem 1 como múltiplocomum' o 0ue ! o mesmo 0ue o#ter todos os di"isores naturais de1.


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1 ! múltiplo comum de 1 e 1 pois 191%11 ! múltiplo comum de 2 e - pois 192%-1 ! múltiplo comum de 3 e $ pois 193%$

O número 1 ! múltiplo comum de todos os seus di"isores' logo6D(1) 9 Z 1' 2' 3' $' -'1 [

gora o#teremos os múltiplos comuns dos números a e #. 8ara issodenotaremos por M(a) o conHunto dos múltiplos de a' por M(#) oconHunto dos múltiplos de # e tomaremos a interse+o entre osconHuntos M(a) e M(#).

E%emplo6 Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)9Z'3'$'-'12'15'1'21'24'2'3'33'3$'3-'42'45'...[M(5)9Z'5'1'15'2'25'3'35'4'45'5'55'...[

M(3) M(5)9Z'15'3'45'...[

omo estamos considerando (ero) como número natural' ele irá/aer parte dos conHuntos de todos os múltiplos de números naturais

e será sempre o menor múltiplo comum' mas por de/ini+o' oM&nimo Múltiplo omum (MM) de dois ou mais números naturais !o menor múltiplo comum a esses números 0ue ! di/erente de ero.@ogo' no conHunto6

M(3) M(5)9Z' 15' 3' 45' ...[

o M&nimo Múltiplo omum entre 3 e 5 ! igual a 15.

o tra#alFar com dois números a e #' utiliamos a nota+oMM(a'#) para representar o M&nimo Múltiplo omum entre osnúmeros naturais a e #' lem#rando sempre 0ue o menor múltiplocomum de"e ser di/erente de ero. 8or e%emplo6


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M(4)9Z'4''12'1$'2'24'...[M($)9Z ' $' 12' 1' 24' ...[

MM(4'$)9min Z12'24'3$'...[912

O conHunto dos múltiplos do MM(a'#) ! igual ao conHunto dosmúltiplos comuns de a e #. 8or e%emplo' se a93 e #956

M(3)9Z'3'$'-'12'15'1'21'24'2'3'...[M(5)9Z'5'1'15'2'25'3'35'4'45'...[

M(3) M(5)9Z'15'3'45'...[M(15)9Z'15'3'45'$'...[

O#ser"e 0ue M(15)9M(3) M(5)

Método prático para o#ter o MM/

Do ponto de "ista didático' o processo acima ! e%celente paramostrar o signi/icado do MM mas e%iste um m!todo prático pararealiar tal tare/a sem tra#alFar com conHuntos.

1. Em um papel /a+a um tra+o "ertical' de /orma 0ue so#re

espa+o li"re tanto I direita como I es0uerda do tra+o. _

__

2.

3. T es0uerda do tra+o escre"a os números naturais como umalista' separados por "&rgulas' para o#ter o MM(a'#'c'...).8or e%emplo' tomaremos 12' 22 e 2 do lado es0uerdo do

tra+o "ertical e do lado direito do tra+o poremos o menornúmero primo 0ue di"ide algum dos números da lista 0ueestá I es0uerda. 0ui usamos o 2.

12 22 2 _ 2 _

_


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4.

5. Di"idimos todos os números da lista da es0uerda' 0ue somúltiplos do número primo 0ue está I direita do tra+o'criando uma no"a lista de#ai%o da lista anterior com os

"alores resultantes das di"is,es (poss&"eis) e com osnúmeros 0ue no /oram di"ididos.

12 22 2 _ 2$ 11 14 _

__

$.

. epetimos a partir do passo 3 at! 0ue os "alores da lista0ue está do lado es0uerdo do tra+o se tornem todos iguais aum.

12 22 2 _ 2$ 11 14 _ 23 11 _ 31 11 _ 1 11 1 _ 111 1 1 _ -24

.

-. O MM ! o produto dos números primos 0ue colocamos dolado direito do tra+o e neste caso6 MM(12'22'2)9-24.

E%emplo6 O#temos o MM dos números 12 e 15' com a ta#ela6

12 15 __

_e depois di"idimos todos os números da lista da es0uerda pelosnúmeros primos (0uando a di"iso /or poss&"el)' criando no"as listasso# as listas anteriores. O MM(12'15)9$ ! o produto de todos osnúmeros primos 0ue colocamos do lado direito do tra+o.


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Denotaremos por MD(a'#)' o Má%imo Di"isor omum entre osnúmeros naturais a e #. 8or e%emplo' tomemos os conHuntos dedi"isores D(1$)9Z1'2'4''1$[ e D(24)9Z1'2'3'4'$''12'24[' ento6

MD(1$'24)9ma%( D(1$) D(24))9

Método prático para o#ter o M/

De /orma similar ao cálculo do MM(a'#)' temos tam#!m umprocedimento prático para determinar o MD(a'#) entre doisnúmeros naturais' pois encontrar conHuntos de di"isores para cadanúmero pode ser tra#alFoso. 8ara introduir este m!todo'

determinaremos o MD entre os números 3 e 2' a t&tulo dee%emplo.

1. onstru&mos uma grade com 3 linFas e algumas colunas'pondo os números dados na linFa do meio. Na primeiracoluna colo0ue o maior deles e na segunda coluna o menor.

2 3

2.

3. ealiamos a di"iso do maior pelo menor colocando o0uociente no espa+o so#re o número menor na primeiralinFa e o resto da di"iso no espa+o logo a#ai%o do maiornúmero na terceira linFa.

2

2 312

4.

5. 8assamos o resto da di"iso para o espa+o localiado Idireita do menor número na linFa central.


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Bolu+o6 Be b e so os números procurados' eles de"emser múltiplos de 1 e podem ser escritos na /orma b91a e91# onde a e # de"em ser determinados. ssim6 1aJ1#912$' de onde segue 0ue 1(aJ#)91' o 0ue !

e0ui"alente a6 aJ#9. Comando a9 e #91 teremos b9144 e91.

#. Be a soma de dois números naturais ! 42 e o má%imodi"isor comum entre eles ! $' 0uais so esses números

Bolu+o6 BeHam b e os números procurados. BeMD(b')9$' os números b e de"em ser múltiplos de $'logo podem ser escritos na /orma b9$a e 9$# onde a e #so números inteiros positi"os. ssim6 $aG$#942' o 0ue

garante 0ue aG#9. De"emos escolFer números naturais tal0ue aG#9' e assim' temos "árias op+,es.

= &0

=120

=1+0

=240

=300

=3&0

c. Be a di"iso entre dois números naturais ! igual a $P5 e omá%imo di"isor comum entre eles ! 15' 0uais so essesnúmeros

Bolu+o6 BeHam b e os números procurados. BeMD(b')915' ento b e de"em ser múltiplos de 15' logopodem ser escritos na /orma b915a e 915#. ssim6 (15a)P(15#)9$P5' logo aP#9$P5. lgumas solu+,es para o pro#lema'so6


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=150

=225

Relação entre o MM/ e M/

ma rela+o importante e #astante útil entre o MM e o MD ! o/ato 0ue o MD(a'#) multiplicado pelo MM(a'#) ! igual ao produtode a por #' isto !6

MD(a'#) MM(a'#) 9 a #MD(12'15) MM(12'15)912 15

Esta rela+o ! útil 0uando precisamos o#ter o MM e o MD dedois números' #asta encontrar um deles e usar a rela+o acima.

E%emplo6 8ara o#ter o MM(15'2) e o MD(15'2)' o primeiropasso ! o#ter o 0ue /or poss&"el. Be MD(15'2)95 e 15 % 293'#asta lem#rar 0ue MD(15'2)MM(15'2)9152 e /aer6

5 MM(15'2) 9 3

de onde se o#t!m 0ue MM(15'2)9$.

E%erc&cio6 Be a soma de dois números ! 32 e o m&nimo múltiplocomum entre eles ! $' 0uais so esses números Aual ! omá%imo di"isor comum entre eles

Bolu+o6 Be b e so os números procurados' eles de"em serdi"isores de $' logo de"em pertencer ao conHunto D($)6

Z1'2'3'4'5'$''1'12'15'2'24'25'3'5'1'12'15'2'3'$[

8ares de números deste conHunto 0ue somam 32' so6 3 e 2 ou2 e 12. O primeiro par no ser"e pois MM(3'2)93. Os


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números 0ue ser"em so b92 e 912 pois MM(2'12)9$e MD(2'12)94.

Primos entre si

Dois números naturais so primos entre si 0uando o MD entre eles! igual a 1. 8or e%emplo' 1$ no ! um número primo' 21 tam#!mno ! um número primo mas 1$ e 21 so primos entre si poisMD(1$'21)91.

Radiciação de n-meros naturais

adicia+o de ordem n ! o processo pelo 0ual dado um númeronatural a de"emos determinar um número natural # tal 0ue6

#n 9 a

onde n ! um número natural. L o processo in"erso da potencia+o.

Neste tra#alFo' representaremos a opera+o de radicia+o por

nXaY' a


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legria Financeira Fundamental Médio Ceometria rigonometria @uperior /álculos

Ensino Fundamental3 /ritérios de iisi#ilidade

@o#re adiisi#ilidade

iisi#ilidade por 4

iisi#ilidade por 5

iisi#ilidade por 6

iisi#ilidade por 7

iisi#ilidade por 8

iisi#ilidade por 9

iisi#ilidade por :

iisi#ilidade por ;

iisi#ilidade por


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E%emplos6 O número 5$36 ! di"is&"el por 2' pois o seu últimoalgarismo ! 4' mas 137 no ! di"is&"el por 2' pois ! um númeroterminado com o algarismo 5 0ue no ! par.

Di"isi#ilidade por 3

m número ! di"is&"el por 3 se a soma de seus algarismos !di"is&"el por 3.

E%emplos6 1 ! di"is&"el por 3 pois 1G9- 0ue ! di"is&"el por 3' 5$! di"is&"el por 3 pois6 5GG$91 0ue ! di"is&"el por 3' mas 134 no! di"is&"el por 3' pois 1G3G49 0ue no ! di"is&"el por 3.


m número ! di"is&"el por 4 se o número /ormado pelos seus doisúltimos algarismos ! di"is&"el por 4.

E%emplos6 43


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m número ! di"is&"el por $ se ! par e a soma de seus algarismos !di"is&"el por 3.

E%emplos6 5$ ! di"is&"el por $' pois 5$ ! par e a soma de seusalgarismos6 G5G$91 ! di"is&"el por 3' 52 no ! di"is&"el por $'pois no ! par e 2 ! par mas no ! di"is&"el por $ pois a soma deseus algarismos6 GG291 no ! di"is&"el por 3.

Di"isi#ilidade por

m número ! di"is&"el por se o do#ro do último algarismo'su#tra&do do número sem o último algarismo' resultar um número

di"is&"el por . Be o número o#tido ainda /or grande' repeteJse oprocesso at! 0ue se possa "eri/icar a di"iso por .

E%emplo6 1$5-2 ! di"is&"el por pois6

1$5-2 Número sem o último algarismo

J1$ Do#ro de (último algarismo)

1$5$ Di/eren+a

epeteJse o processo com este último número.

1$5 Número sem o último algarismo

J12 Do#ro de $ (último algarismo)

1$45 Di/eren+a


1$4 Número sem o último algarismoJ1 Do#ro de 5 (último algarismo)

154 Di/eren+a



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15 Número sem o último algarismo

J Do#ro de 4 (último algarismo)

Di/eren+a

di/eren+a ! di"is&"el por ' logo o número dado inicialmentetam#!m ! di"is&"el por .

E%emplo6 42$1 no ! di"is&"el por ' pois6

42$ Número sem o último algarismo

J2 Do#ro do último algarismo

424 Di/eren+a



J Do#ro do último algarismo

34 Di/eren+a

última di/eren+a ! 34 0ue no ! di"is&"el por ' logo o número42$1 dado inicialmente no ! di"is&"el por .

Di"isi#ilidade por

m número ! di"is&"el por se o número /ormado pelos seus trKsúltimos algarismos ! di"is&"el por .

E%emplos6 45


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m número ! di"is&"el por - se a soma dos seus algarismos ! umnúmero di"is&"el por -.

E%emplos6 1-35 ! di"is&"el por - pois6 1G-G3G591 0ue ! di"is&"elpor -' mas 531 no ! di"is&"el por - pois6 5G3GG191 0ue no !di"is&"el por -.


m número ! di"is&"el por 1 se termina com o algarismo (ero).

E%emplos6 542= ! di"is&"el por 1 pois termina em (ero)' mas

$344 no termina em (ero).


m número ! di"is&"el por 11 se a soma dos algarismos de ordempar Bp menos a soma dos algarismos de ordem &mpar Bi ! umnúmero di"is&"el por 11. omo um caso particular' se BpJBi9 ou seBiJBp9' ento o número ! di"is&"el por 11.

E%emplo6 1353 ! di"is&"el por 11' pois6

Número 1 3 5 3Ordem &mpar par &mpar par

O primeiro e o terceiro algarismos tKm ordem impar e a sua soma !6

Bi91G59$' o segundo e o 0uarto algarismos tKm ordem par e a suasoma !6 Bp93G39$' assim a soma dos algarismos de ordem par Bp! igual I soma dos algarismos de ordem &mpar Bi' logo o número !di"is&"el por 11.


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E%emplo6 2-45 ! di"is&"el por 11' pois6

Número 2 - 4 5 Ordem &mpar par &mpar par &mpar

soma dos algarismos de ordem &mpar' Bi92G4G914' a soma dosalgarismos de ordem par' Bp9-G5914 e como am#as as somas soiguais' o número 2-45 ! di"is&"el por 11.

E%emplo6 2543 no ! di"is&"el por 11' pois6

Número 2 5 4 3Ordem ímpar par ímpar par

soma dos algarismos de ordem impar ! Bi92G49$' a soma dosalgarismos e ordem par ! Bp95G39 e como a di/eren+a BiJBp no! di"is&"el por 11' o número original tam#!m no ! di"is&"el por 11.

E%emplo6 $52 ! di"is&"el por 11' pois6

Número $ 5 2 Ordem ímpar par ímpar par ímpar

soma dos algarismos de ordem impar ! Bi9$G2G91$' a somados algarismos de ordem par ! Bp95G95. omo a di/eren+a BiJBp911' o número $52 ! di"is&"el por 11


m número ! di"is&"el por 13 se o 0uádruplo (4 "ees) do últimoalgarismo' somado ao número sem o último algarismo' resultar umnúmero di"is&"el por 13. Be o número o#tido ainda /or grande'


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repeteJse o processo at! 0ue se possa "eri/icar a di"iso por 13.Este crit!rio ! semelFante I0uele dado antes para a di"isi#ilidadepor ' apenas 0ue no presente caso utiliamos a soma ao in"!s desu#tra+o.

E%emplo6 1$5$2 ! di"is&"el por 13 amos "eri/icar.

1$5$ Número sem o último algarismo

G Auatro "ees o último algarismo

1$$4 Boma


1$$ Número sem o último algarismo

G1$ Auatro "ees o último algarismo

12 Boma



G Auatro "ees o último algarismo

2$ Boma

omo a última soma ! di"is&"el por 13' ento o número dadoinicialmente tam#!m ! di"is&"el por 13.

Di"isi#ilidade por 1$m número ! di"is&"el por 1$ se o número /ormado pelos seus0uatro últimos algarismos ! di"is&"el por 1$.


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E%emplos6 56=;8 ! di"is&"el por 1$ pois 4-$ di"idido por 1$/ornece 25$' mas 4554


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Di"isi#ilidade por 1-

m número ! di"is&"el por 1- 0uando o do#ro do último algarismo'

somado ao número 0ue no cont!m este último algarismo'proporcionar um número di"is&"el por 1-. Be o número o#tido ainda/or grande' repeteJse o processo at! 0ue se possa "eri/icar a di"isopor 1-.

E%emplo6 1$5-2 ! di"is&"el por 1- amos "eri/icar.

1$5-2 Número sem o último algarismoG1$ Do#ro do último algarismo

1$$ Boma


1$$ Número sem o último algarismo

G1$ Do#ro do último algarismo

1$$ Boma


1$ Número sem o último algarismo

G12 Do#ro do último algarismo

1- Boma

epeteJse o processo com este último número.1 Número sem o último algarismo


35 Boma


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omo a última soma no ! di"is&"el por 1-' ento o número dadoinicialmente tam#!m no ! di"is&"el por 1-.

E%emplo6 425 ! di"is&"el por 1-' pois6



43 Boma


43 Número sem o último algarismoG14 Do#ro do último algarismo

5 Boma




1- Boma

omo a última Boma ! o prprio 1-' segue 0ue ! di"is&"el por 1-'ento o número 425 dado inicialmente ! di"is&"el por 1-.


m número ! di"is&"el por 23 0uando o F!ptuplo ( "ees) do últimoalgarismo' somado ao número 0ue no cont!m este últimoalgarismo' proporcionar um número di"is&"el por 23. Be o númeroo#tido ainda /or grande' repeteJse o processo at! 0ue se possa"eri/icar a di"iso por 23.


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E%emplo6 15-- ! di"is&"el por 23 amos "eri/icar.

15- Número sem o último algarismo

G$3 Do#ro do último algarismo

1$53 Boma


1$5 Número sem o último algarismo


1$ Boma




23 Boma

omo a última soma ! di"is&"el por 23' ento o número dadoinicialmente tam#!m ! di"is&"el por 23.


m número ! di"is&"el por 2- 0uando o triplo (3 "ees) do últimoalgarismo' su#tra&do do número 0ue no cont!m este últimoalgarismo' proporcionar um número di"is&"el por 2-. Be o númeroo#tido ainda /or grande' repeteJse o processo at! 0ue se possa"eri/icar a di"iso por 2-.

E%emplo6 O número 5- ! di"is&"el por 2-




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35 Di/eren+a


3 Número sem o último algarismoJ15 Do#ro do último algarismo

$ Di/eren+a


$ Número sem o último algarismo


J1 Di/eren+a

di/eren+a' em#ora negati"a' no ! di"is&"el por 2-' logo o númerodado inicialmente tam#!m no ! di"is&"el por 2-.


m número ! di"is&"el por 31 0uando o triplo (3 "ees) do últimoalgarismo' somado ao número 0ue no cont!m este últimoalgarismo' proporcionar um número di"is&"el por 31. Be o númeroo#tido ainda /or grande' repeteJse o processo at! 0ue se possa"eri/icar a di"iso por 31.

E%emplo6 5- ! di"is&"el por 31

5- Número sem o último algarismoG24 Criplo do último algarismo

3 Boma



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Número sem o último algarismo

G- Criplo do último algarismo

- Boma


- Número sem o último algarismo

G21 Criplo do último algarismo

3 Boma

soma no ! di"is&"el por 31' logo o número dado inicialmentetam#!m no ! di"is&"el por 31.


m número ! di"is&"el por 4- 0uando o 0u&ntuplo (5 "ees) doúltimo algarismo' somado ao número 0ue no cont!m este últimoalgarismo' proporcionar um número di"is&"el por 4-. Be o númeroo#tido ainda /or grande' repeteJse o processo at! 0ue se possa"eri/icar a di"iso por 4-.

E%emplo6 5- ! di"is&"el por 4-


G4 inco "ees o último algarismo

-- Boma


- Número sem o último algarismo


134 Boma


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33 Boma

soma no ! di"is&"el por 4-' logo o número dado inicialmentetam#!m no ! di"is&"el por 4-.

Ensino Fundamental3 E1erc*cios Resolidos de M/, MM/ eiisores

XnY 9 rai 0uadrada de (R) e \XY 9 rai cú#ica de .

1. m conHunto possui 1 elementos. Auais as possi#ilidadese%istentes para se di"idir esse conHunto em grupos com0uantidades iguais de elementos

esposta6 s possi#ilidades esto apresentadas na ta#elaa#ai%o6

1 grupo com 18 elementos

2 grupos com 9 elementos em cada grupo





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18 grupos com 1 elemento em cada grupo

O conHunto dos di"isores de 1 ! D(1)9Z1'2'3'$'-'1[.

2. De 0ue /orma e%pl&cita podemos escre"er o conHunto detodos os múltiplos de um número natural n

esposta6 O conHunto dos números naturais !N9Z'1'2'3'4'5'...[. Be n ! um número para o 0ual 0ueremoso#ter os múltiplos' ento a multiplica+o de n por cada

elemento de N será6 M(n)9Z'n'2n'3n'4n'...[.

3. Auantos elementos possui e como ! escrito o conHunto dosmúltiplos do elemento

esposta6 O conHunto de múltiplos de possui apenas umelemento e ! denotado por M()9Z[' poisM()9Z%'%1'%2'%3'%4'%5'...[.

4. Maria possui 3 tias. No ani"ersário de Maria' ela rece#eu 2presentes de cada tia. Auantos presentes Maria ganFou nototal

esposta6 No total' Maria ganFou $ presentes.

5. 8ara o#ter os di"isores de um número natural a' #asta sa#er0uais os elementos 0ue' multiplicados entre si' tKm porresultado o número a. om #ase nessa a/irma+o' o#tenFao conHunto de di"isores de cada um dos números6 13' 1. 25'32 e $.


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esposta6 D(13)9Z1'13[' D(1)9Z1'2'3'$'-'1['D(25)9Z1'5'25[' D($)9Z1'2'3'4'5'$'1'12'15'2'3'$[ eD(32)9Z1'2'4''1$'32[. O#ti"emos apenas alguns númerosnaturais 0ue' multiplicados entre si' tKm por resultado 326

132932 21$932 4932' 4932' 1$2932' 321932.

$. Aual o elemento do conHunto dos números naturais 0ue !di"isor de todos os números

esposta6 O número 1' pois se di"idirmos um númeronatural n por 1 o#teremos o prprio n. 8or e%emplo' 2 ma+spara 1 garoto' 3 #alas para 1 crian+a' 5 lápis para 1

estudante' etc...

. oo tinFa 2 #olinFas de gude e 0ueria distri#u&Jlas entreele e 3 amigos de modo 0ue cada um /icasse com umnúmero par de #olinFas e nenFum deles /icasse com omesmo número 0ue o outro. om 0uantas #olinFas /icoucada menino

esposta6 Be o primeiro menino /icar com 2 #olinFas'so#raro 1 #olinFas para os outros 3 meninos. Be osegundo rece#er 4' so#raro 14 #olinFas para os outros doismeninos. O terceiro menino rece#erá $ #olinFas e o 0uartorece#erá #olinFas.

. Auando poss&"el' complete o espa+o entre parKnteses com

números naturais.".56( ) = 20

10. ( )63 = 1+

11. 46( ) = 10


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12. ( )?2 = +

13. 3?( ) = 4

14. ( )?3 = 4

esposta6 No e%iste número natural 0ue multiplicado por 4produa 1 e no e%iste número natural 0ue di"ide o número3 e tem por resultado o número 4.

15. O número 5 ! di"isor do número 1$ usti/i0ue a suaresposta.

esposta6 No' por0ue no e%iste 0ual0uer número natural0ue multiplicado por 5 seHa igual a 1$.

1$. Na 8áscoa' um comerciante de O"os de 8áscoa /e aseguinte promo+o6

1. 1 ovo = @A &'00

1+. 2 ovos = @A 11'00

1". 3 ovos

aulas ef i e ef ii

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