aula3 cap 02

Estatística e Probabilidade

Prof. Dr. Alysson Steimacher


Aula 3 – Cap 02

Estatística Descritiva




estudaremos medidas de tendência central, medidas de variação

e medidas de posição.

Nesta aula...




Medidas de tendência central

Uma medida de tendência central é um valor que representa uma entrada típica, ou central, de um conjunto de dados.

Os três tipos de medidas de tendência central mais usadas são:

• Média • Mediana • Moda




MédiaA média de um conjunto de dados éa soma de toda as entradas de dados dividida pelo números de entradas.

Em uma população:

Em uma amostra:

Dica de estudo

Média de uma amostra

Média de uma população

μ

Número de entradas em uma amostra

n

Número de entradas em uma população

N

Variável que representa uma entrada de dados

x

Indica uma soma de valores

Σ

DescriçãoSímbolo

x




A Mediana de um conjunto de dados é o dado que fica no meio quando as entradas são colocadas em ordem crescente ou decrescente.

Mediana

Moda

A Moda de um conjunto de dados é o dado que ocorre com maior freqüência.

Se nenhuma entrada é repetida, o conjunto de dados não possui moda.

Se duas entradas ocorrem com freqüência elevada → dados são bimodais




0 2 2 2 3 4 4 6 40

2 4 2 0 40 2 4 3 6Calcule a média, a mediana e a moda.

Média:

Mediana: Ordene os dados.

O valor que fica no meio é 3, logo a mediana é 3.

Moda: A moda é 2, pois esse é o valor que ocorre mais vezes.

Um instrutor registra a média de faltas de seus alunos emdeterminado semestre. Em uma amostra aleatória, os dados são:

Exemplo...




Exemplo...Em um debate político pediu-se que uma amostra dos membros do público citasse o partido a qual eles pertenciam. As respostas estão na Tabela abaixo:

21PMDB9Outros

56PSDB34PT

frequênciaPartido Político Qual é a moda das respostas?

A moda é a única medida de tendência central que pode ser utilizada para descrever dados no nível nominal de medida.




Uma média ponderada é a média de um conjunto de dados cujas entradas tem pesos variáveis. Uma média ponderada é dada por:

∑∑=

wwx

x).(

Onde w é o peso de cada entrada

Média Ponderada



Prof. Dr. Alysson SteimacherΣw=1

0,05

0,10,2

0,150,5

Pesos, w

Σ(xw)=8,86

10,0

9,88,2

9,68,6

notas,x

0,98Laboratório de computação

1,64Exame final

0,5Trabalho extra-classe

1,44Exame no meio do semestre

4,3Média dos testes

xwFonte

Exemplo...Você está fazendo uma disciplina na qual sua nota final é composta por:

Assim, sua média ponderada para a disciplina é de 88,6




A média de uma distribuição de freqüências de uma amostra éaproximada por:

nfx

x ∑= ).(

Onde x e f são os pontos médios e freqüências, respectivamente.

∑= fn

Média de uma distribuição de freqüência




Aspecto das distribuições de freqüência As distribuições de frequência podem ser:

Simétricas: Quando pudermos traçar uma linha vertical pelo ponto médio do gráfico e as duas metades forem iguais.

As distribuições de freqüência podem ser:

Simétricas: Quando todas as entradas, ou classes na distribuição tiverem freqüências iguais

Uniforme:




Média > Mediana Média < Mediana

Se a ‘cauda’ do gráfico se prolongar mais para a direita, a distribuição échamada de assimétrica à direita.

Assimétricas à direita:

Se a ‘cauda’ do gráfico se prolongar mais para a esquerda, a distribuição échamada de assimétrica à esquerda.

Assimétricas à esquerda:




Medidas de variação

• Desvio, • Variância e• Desvio padrão




O desvio de uma entrada x em um conjunto de dados de uma população ou amostra é a diferença entre a entrada e a média (μ ou ) do conjunto de dados

Desvio populacional

Em uma população, o desvio de cada valor x é:

Em uma amostra, o desvio de cada valor x é:

x

Como a soma dos desvios de todas as entradas é igual a zero, não faz sentido determinar a média dos desvios.

Desta maneira, você pode elevar ao quadrado cada desvio e obter a média...




Variância populacional

( )N

x∑ −=

22 μ

σ

É a média da soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados de uma população com N entradas, ou seja

Desvio Padrão populacional

( )N

x∑ −==

22 μ

σσ

É a raiz quadrada da variância populacional:




Variância amostralA média dos quadrados dos desvios padrão é chamada de variância amostral. Para um conjunto de dados de uma amostra com n entradas é:

Desvio Padrão amostral

Uma desvantagem da variância consiste no fato de suas unidades normalmente não terem sentido (como dólares ao quadrado, por exemplo). Assim, pode-se retornar a unidade original dos dados tomando sua raiz quadrada.

( )1

22

−

−= ∑

nxx

s

( )1

22

−

−== ∑

nxx

ss

É a raiz quadrada da variância amostral:




Resumindo...Para obter a variância e o desvio padrão

1. Obtenha a média do conjunto de dados

2. Obtenha o desvio de cada entrada

3. Eleve ao quadrado cada desvio

4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados

5. Divida por (n – 1) para obter a variância

6. Determine a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão

( )1

22

−

−= ∑

nxx

s

( )1

22

−

−== ∑

nxx

ss

( )2x x−∑

xxx −=

( )2x x−

xx

n= ∑




Existe ainda...

Desvio Padrão para dados agrupados

Grandes conjuntos de dados são normalmente mais bem representados por uma distribuição de freqüência.

A fórmula para o desvio padrão da amostra de uma distribuição de freqüência é

( )1

2

−

−= ∑

nfxx

s

na qual n=Σf é o número de entradas no conjunto de dados.




Definição:

Os três quartis Q1, Q2 e Q3 dividem aproximadamente um conjunto ordenado de dados em quatro partes.

• 1/4 dos dados ficam dentro ou abaixo do primeiro quartil

• metade dos dados ficam dentro ou abaixo do segundo quartil (éigual a mediana do conjunto de dados)

• ¾ dos dados ficam dentro ou abaixo de terceiro quartil

Medidas de PosiçãoSão utilizadas para identificar a posição de uma entrada dentro de um conjunto de dados. Quartis, por exemplo, são números que dividem em partes iguais um conjunto de dados ordenados.




A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento estão dispostos abaixo. Obtenha Q1, Q2 e Q3.

13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17

5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37

Q1Q2 Q3

Metade inferior Metade superior

Exemplo:

Q2 = Mediana Q1 = Mediana dos dadosabaixo de Q2

Q3 = Mediana dos dadosacima de Q2




Amplitude interquartil (AIQ)A amplitude interquartil (AIQ) de um conjunto de dados é a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis.

A AIQ é uma medida da variação que fornece uma idéia de quanto os 50% médios dos dados variam.

A AIQ também serve para identificar dados estranhos (discrepantes).

Qualquer valor acima de 1,5 AIQ à esquerda de Q1 ou a direita de Q3 é estranho.

No exemplo anterior, 37 é um dado estranho as pontuações.

Amplitude interquartil (AIQ)= Q3 – Q1

(AIQ)= Q3 – Q1 = 18-10 = 8 (as pontuações no teste na metade do conjunto de dados varia em 8 pontos)




Outras medidas de posição...

• Decis → Divide o conjunto de dados em dez partes iguais (D1, D2, D3.......D9)

• Percis → Divide o conjunto de dados em cem partes iguais (P1, P2, P3.......P99)

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