aula - integrais multiplas

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Integrais múltiplas

Recordando Integral Definida para uma variável

Sabemos até o momento encontrar áreas abaixo de curvas utilizando o conceito

de Integral Definida para uma variável. Definimos que a área abaixo da curva f(x), no

intervalo � ≤ � ≤ � é dado por

� ��

Para tanto, dividimos a área abaixo da curva f(x) em n intervalos de igual

comprimento, ∆� = �� . A área de todos os n retângulos formados fornece uma noção

sobre a área abaixo da curva de f(x). Então escolhemos pontos arbitrários ��∗ em cada

um desses subintervalos e formamos a soma de Riemann

� ��∗�∆��

��

E tomando o limite dessa soma quando n cresce indefinidamente obtemos a

integral definida de a até b da função f.

� �� = lim�→� � ��∗��

��

�

No caso em que f(x)é maior ou igual a zero, a soma de Riemann pode ser

interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproximadores da figura abaixo e a

integral representa a área sob a curva y = f(x) de a até b.



Volumes e integrais duplas

Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida num retângulo

fechado � ≤ � ≤ �, � ≤ � ≤ , ou seja,

� = ��, �! × ��, ! = {��, �� ∈ �%'�()*+� ≤ � ≤ �+� ≤ � ≤ }

Interessa-nos a região formada entre o domínio R e a curva f(x,y) = z (suponho ��, �� ≥ 0). Seja S o sólido formado nessa região, ou seja,

/ = {��, �, 0� ∈ �1'�()*+0 ≤ 0 ≤ ��, �� ∈, ��, �� ∈ �%}

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir R em sub-retângulos. Faremos isso

dividindo o intervalo [a,b] em m retângulos de tamanho ∆� = ��2 e o intervalo [c,d] em

n retângulos de tamanho ∆� = 3�4� . Formamos assim os sub-retângulos:

��5 = ��, ��! × 6�5��, �57 = {��, ��'�()*+�� ≤ � ≤ �� +�5�� ≤ � ≤ �5}

cada um com área ∆8 = ∆�. ∆�.



Escolhendo um ponto arbitrário ��∗, �5∗� podemos calcular o volume de uma

caixa retangular com base ��5 = ∆8 e altura ��∗, �5∗�. Se seguirmos esse procedimento

para todos os retângulos de R, teremos uma aproximação do volume V desejado.

Assim

: ≈ � � ��∗, �5∗�∆8�

5��

2

��



A aproximação desse volume pode ser melhorada aumentando o número de

retângulos. Portanto devemos esperar que

: = lim�2,��→� � � ��∗, �5∗�∆8�

5��

2

��

Limites como esse não são apenas utilizados para determinar volumes, mas para

diversas outras áreas, inclusive na economia. Esse limite, quando existe é chamado de

Integral dupla de f sobre o retângulo R. O ponto ��∗, �5∗� pode ser tomado em qualquer

parte de ��5. Porém, se escolhermos o canto superior direito do retângulo ��5 nossa

expressão ficará mais simples. Assim chegamos a seguinte definição:

Def.: A integral dupla de f sobre o retângulo R é dada por

< ��, ��8 ==

lim�2,��→� � � ��, ��∆8�

5��

2

��

se esse limite existir.

Logo temos que o volume V do sólido que procuramos é dado por

: = < ��, ��8 ==

A soma ∑ ∑ ��, �5�∆8�5��2�� é chamada de Soma dupla de Riemann.



Algumas propriedades

<��, �� + @��, ��!8 = < ��, ��8 + < @��, ��8===

< ��, ��8 = �. < ��, ��8==

Se ��, �� ≥ @��, �� para todo (x, y) em R, então:

< ��, ��8 ≥ < @��, ��8==

Obs: em relação ao cálculo I, é muito importante que saber as técnicas de integração,

como o método da substituição, a integração por partes, as transformações

trigonométricas etc.

Integrais Iteradas

Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo � =��, �! × ��, !. Usaremos a notação A ��, ��3

4 significando que x é mantido fixo e

f(x,y) é integrada em relação a y de y = c até y = d. Esse procedimento é chamado

integração parcial em relação a y. Como A ��, ��34 é um número que depende do

valor de x, ele define uma função de x:

8�� = � ��, ��34

se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x = a até x = b, obteremos

� 8�� = � B� ��, ��34

C ��

�

A equação do lado direito da equação acima é chamada de integral iterada. Em

geral, os colchetes são omitidos, então

� � ��, ��34

=�

� B� ��, ��34

C ��

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Significa que primeiro integramos com relação a

até b (ou vice-versa).

Exemplo 1 - Calcule o valor das integrais iteradas

(a) A A �%��%�

1D

(b) A A �%��1D

%�

(lousa)

Exemplo 2 – Calcule a integral dupla

E ≤ F,G ≤ H ≤ F} (lousa)

Exemplo 3 – Calcule ∬ J(lousa)

Exemplo 4 – Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide

elíptico EF + FHF + K = GLcoordenados.



ntegramos com relação a y e c a d e depois em relação a

Calcule o valor das integrais iteradas

Calcule a integral dupla ∬ �E M NHF�OPJ onde J = {�

HQRS�EH�OP onde J = �G, F! × �T, U!

Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide GL, pelo planos x = 2 e y =2 e pelos três planos

e depois em relação a x de a

{�E, H� ∈ JFVT ≤

Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide

e pelos três planos

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Exercícios 1)- Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.

(a) ∬ 10�²�8,0

(b) ∬��1�% + ��8, M 1

(c) ∬ 2�Z[�. �Z[�8, 0 ≤

2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide �H M F�F e pelos planos z = 1, x = 1, x =



Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.

≤ � ≤ 1,1 ≤ � ≤ 2. 1 ≤ � ≤ 1,0 ≤ � ≤ 1. ≤ � ≤ \, 0 ≤ � ≤ ]

% . 2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide

e pelos planos z = 1, x = 1, x = -1, y = 0 e y = 4.

Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.

2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide K = F + EF +



Integrais duplas em Regiões gerais

Em alguns casos precisamos integrar a função f(x, y) não somente sobre

retângulos, mas também em uma região D de forma mais geral, como a figura abaixo.

Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D está contida

em uma região retangular R como na figura abaixo.

Definimos então uma nova função F, com domínio R, dada por:

Se F for integrável em R, então definimos a integral dupla de f em D por

< ��, ��8 = < ^��, ��8=

Z_+^é��a+(�+)*�çãZ�_'+deZdf



A definição a cima faz sentido porque R é um retângulo e, portanto, podemos

calcular a integral iterada. O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y)

são 0 quando (x, y) está fora da região D, e dessa forma não contribuem para o valor da

integral.

No caso em que ��, �� ≥ 0, podemos ainda interpretar a integral dupla sobre a

região D como o volume do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z = f(x,

y).

Tipos de regiões

Tipo I – uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas

funções contínuas de x, ou seja, g = {��, ��|� ≤ � ≤ �, @�� ≤ � ≤ @%��}

Exemplos:



Tipo II – uma região plana D é dita do tipo II se for a região entre o gráfico de duas

funções contínuas de y, ou seja,

g = {��, ��|� ≤ � ≤ , ℎ�� ≤ � ≤ ℎ%��}

Exemplos:

Exemplo 1: Calcule ∬ �� + 2��8f onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x²

e y = 1 + x².



Exemplo 2: Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x² + y² e

acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x².

(lousa)

Figura-Sólido gerado pelas intersecções do paraboloide com y = 2x e y = x²

Exemplo 3: Calcule ∬ ��8f onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela

parábola y² = 2x + 6.

Exemplo 4: Calcule a integral iterada A A [+_��%��j

�D .

(lousa)



Exercícios:

Determine as integrais duplas abaixo:

1. ∬ �1�%8,gf = {��, ��|0 ≤ � ≤ 2, M� ≤ � ≤ �}

2. ∬ kljmn% 8,g = {��, ��|1 ≤ � ≤ 2,0 ≤ � ≤ 2�}f

3. ∬ � + 2�8 onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1+x²

Determine o volume do sólido dado

4. Abaixo do paraboloide z = x² + y² e acima da região delimitada por y = x² e x = y².

5. Abaixo do paraboloide z = 3x² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = y² - y

6.

Evaluate the double integral.

∫∫D

dAyx cos D is bounded by y = 0, y = x2, and x = 2.

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