aula do 3º ano
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Estatística BásicaAula 2
Medidas de Dispersão
PROFESSORES:EDU /VICENTE
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Complementos de Estatística
• Medidas de Dispersão:
• Considere a seguinte situação:• Dois candidatos disputam uma única vaga
em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos nesses testes:
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Tabela de DesempenhoEduardo Vicente
Português 8,5 9,5
Matemática 9,5 9,0
Física 8,0 8,5
Inglês 7,0 8,0
Espanhol 7,0 5,0
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Note que as médias de Eduardo e Vicente são iguais:
• Eduardo:
• Vicente:
0,85
7785,95,8
Ex
0,85
585,895,9
Vx
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Os dois candidatos obtiveram a mesma média!
• Como proceder matematicamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação?
• A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:
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I) Desvio absoluto médio(D.AM.) :
• Determina o quanto cada nota está afastada da média. Essas diferenças são chamadas de desvio:
• Exemplo: D.A.M(Eduardo)
8,05
87878885,985,8..
MAD
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Vicente:
2,15
858885,88985,9..
MAD
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Conclusão:
• As notas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0).
• Isso mostra que as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.
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VARIÂNCIA
• É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética.
• Define-se Variância como a média aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra:
)( 2
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Exemplo:
• Eduardo
• Vicente:
5
)87(2)88()85,9()85,8( 22222 9,02
5
)85()88()85,8()89()85,9( 222222 5,22
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Conclusão
• Por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.
• Quanto menor a variância, menos dispersas são as notas.
• Logo, Eduardo teve um desempenho mais regular.
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Desvio Padrão
• Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância.
• Eduardo:
• Vicente:
9,0 94868,0
5,2 58114,1
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Conclusões
• Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente.
• Quanto menor for o desvio padrão, menos dispersas são as notas.
• Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.
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Exercício
• Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:
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Turma Número de Alunos
Média Desvio Padrão
A 15 6,0 1,31
B 15 6,0 3,51
C 14 6,0 2,61
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• Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas:
• 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas.
• 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente.
• 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.
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• Assinale a alternativa correta.• a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.• b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.• c) Somente as afirmativas 2 e 3 são
verdadeiras.• d) Somente as afirmativas 1 e 2 são
verdadeiras.• e) Somente as afirmativas 1 e 3 são
verdadeiras.•
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• (1) Verdadeira. Como o desvio padrão dessa turma é o mais alto, as notas são as mais dispersas, portanto mais heterogêneas.
• (2) Verdadeira. Cada turma tem um desvio padrão diferente, logo as variações são diferentes.
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• (3) Falsa. Como o desvio padrão dessa turma é o menor, suas notas são menos dispersas.
• OPÇÃO D
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ENEM 2010
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A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve o menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português.
D) Paulo, pois obteve a maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
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Resposta certa letra....
B
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FUVEST-SP
• A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir:
Salário(em Reais) Número de Funcionários
500,00 10
1.000,00 5
1.500,00 1
2.000,00 10
5.000,00 4
10.500,00 1
Total 31
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• a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários dessa empresa?
• b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$2.000,00 cada, A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? Justifique.
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• Solução:a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela frequência em que ocorreram e o total de dados:
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00,200031
11050045000102000115005100010500
Ex
A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 16ª posição ou seja, R$1.500,00.
Moda= R$500,00 e Moda =R$2.000,00(BIMODAL)
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• Como os dois novos funcionários tem salário igual a média, no cálculo da nova variância, o valor do numerador não se altera, uma vez que os dois novos valores,(x-média), são iguais a zero e o denominador aumenta, de 31 para 33. Logo a variância diminui.