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CARREGAMENTO AXIAL

SUMÁRIO

DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB

CARREGAMENTO AXIAL;

DIAGRAMA TENSÃO × DEFORMAÇÃO

(PROPRIEDADES MECÂNICAS)

DEFORMAÇÕES DE COMPONENTES SOB

CARREGAMENTO AXIAL;

CONVENÇÃO DE SINAL;

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO;

PROBLEMAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADOS;

PROBLEMAS ENVOLVENDO MUDANÇA DE

TEMPERATURA;

SUMÁRIO

INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA;

CARREGAMENTO MULTIAXIAL; LEI DE

HOOKE GENERALIZADA;

CARREGAMENTO MULTIAXIAL; LEI DE

HOOKE GENERALIZADA; (PRINCÍPIO DA

SUPERPOSIÇÃO);

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO;

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB

CARREGAMENTO AXIAL

Define-se deformação específica normal em uma barra sob

carregamento axial como a deformação por unidade de comprimento

daquela barra.

𝜺 = 𝜹

𝑳

No caso de uma barra de seção transversal variável,

a deformação específica normal foi definida em um

ponto qualquer 𝑄 considerando um pequeno elemento

da barra em 𝑄. Designando por ∆𝑥 o comprimento do

elemento e por ∆𝛿 sua deformação sob uma dada força:

𝜺 = lim∆𝒙→𝟎

∆𝜹

∆𝒙=𝒅𝜹

𝒅𝒙



Máquina usada para ensaios de corpo de

prova em tração.

Corpo de prova

para ensaio de tração.



Comportamento Elástico

Se as deformações provocadas em um corpo de prova pela aplicação de uma certa

força desaparecem quando a força é removida, dizemos que o material se comporta

elasticamente e a maior tensão na qual isso ocorre é chamado de limite elástico do

material. A parte inicial do diagrama tensão-deformação é uma linha reta. Isso

significa que para pequenas deformações a tensão é diretamente proporcional à

deformação específica 𝜎 = 𝐸휀 . Essa relação é conhecida como Lei de Hooke e o

coeficiente 𝐸, como módulo de elasticidade do material. A maior tensão para a qual

se aplica a equação acima é o limite de proporcionalidade do material.

Escoamento

Um leve aumento na tensão, acima do limite elástico, resultará numa acomodação do

material causando uma deformação permanente. A tensão que causa o escoamento

é chamada de tensão de escoamento 𝜎𝑦 . Nesse caso, mesmo se o carregamento

for removido, o corpo de prova continuará deformado. O corpo de prova poderá

continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta região, o

material é denominado perfeitamente plástico.



Deformação específica por endurecimento

Se ao término do escoamento, uma carga adicional for aplicada ao corpo de prova, a

tensão continuará a aumentar com a deformação específica continuamente até

atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última 𝜎𝑢 . Durante a

execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo de prova é alongado, sua área

da seção transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto que

a deformação corresponda a tensão última.

Estricção

Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a diminuir em uma

região localizada do corpo de prova, e não mais ao longo do seu comprimento

nominal. Este fenômeno é causado pelo deslizamento de planos no interior do

material e as deformações reais produzidas pela tensão cisalhante (necking). Uma

vez que a área da seção transversal diminui constantemente, esta área só pode

sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se

para baixo até a ruptura do corpo de prova com uma tensão de ruptura 𝜎𝑅 .



Diagrama tensão × deformação de material dúcteis.



Diagrama tensão × deformação de material frágil.


CARREGAMENTO AXIAL

A partir da lei de Hooke e das definições de tensão e deformação,

pode-se desenvolver uma equação para determinar a deformação

elástica de um elemento submetido a carga axiais.

𝝈 = 𝑬 𝜺

Desde que a tensão resultante 𝜎 = 𝑃 𝐴 não ultrapasse o limite de

proporcionalidade do material, pode-se escrever:

𝜺 = 𝝈

𝑬= 𝑷

𝑨𝑬

mas, a deformação específica normal sob

carregamento axial é definida como:

𝜹 = 𝜺 𝑳

onde, pode-se escrever:

𝜹 = 𝑷𝑳

𝑨𝑬


CARREGAMENTO AXIAL

Se a barra é carregada em vários pontos ou se ela consiste em várias

partes de seções transversais diferentes e materiais possivelmente

diferentes, a deformação 𝛿 da barra deve ser expressa como a soma

das deformações de suas partes componentes.

𝜹 = 𝑷𝒊 𝑳𝒊𝑨𝒊 𝑬𝒊𝒊


CARREGAMENTO AXIAL

A deformação específica 휀 depende da posição do ponto 𝑄 onde ela é

calculada e definida como:

𝒅𝜹 = 𝜺 𝒅𝒙 = 𝑷 𝒅𝒙

𝑨𝑬

𝜹 = 𝑷 𝒅𝒙

𝑨𝑬

𝑳

𝟎

A deformação total 𝛿 da barra é obtida

integrando-se essa expressão sobre o

comprimento 𝐿 da barra:

onde:

𝛿: deslocamento de um ponto da barra em relação a outro;

𝐿: distância entre pontos;

𝑃: Força axial interna da seção, localizada a uma distância 𝑥 de uma

extremidade;

𝐴: área da seção transversal da barra é uma função de 𝑥;

𝐸: módulo de elasticidade do material.

CONVENÇÃO DE SINAIS

Considera-se força e deslocamento como

positivos se provocarem, respectivamente

tração e alongamento; ao passo que a

força e deslocamento são negativos se

provocarem compressão e contração

respectivamente.

EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Determine a deformação da barra de aço submetida às forças dadas 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎


Solução

𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 = 𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒎

𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 = 𝟓𝟖𝟎 𝒎𝒎𝟐

𝑳𝟑 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎𝒎

𝑨𝟑 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟐

Dividindo a barra em três partes

componentes, pode-se escrever:


Solução

Impondo a condição de que cada

um dos corpos livres está em

equilíbrio, obtém-se as forças

internas: 𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3.

𝑷𝟏 = 𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵

𝑷𝟐 = −𝟓𝟎 𝑲𝑵

𝑷𝟑 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵


Solução

Logo, podemos encontrar o valor da deformação da barra:

𝜹 = 𝑷𝒊 𝑳𝒊𝑨𝒊 𝑬𝒊

𝒊

= 𝟏

𝑬 𝑷𝟏 𝑳𝟏𝑨𝟏+ 𝑷𝟐 𝑳𝟐𝑨𝟐+ 𝑷𝟑 𝑳𝟑𝑨𝟑

𝜹 = 𝟏

𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 × 𝟑𝟎𝟎

𝟓𝟖𝟎+ − 𝟓𝟎 𝟑𝟎𝟎

𝟓𝟖𝟎+ 𝟏𝟓𝟎 × 𝟒𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎

𝜹 = 𝟒𝟐𝟗, 𝟑𝟏

𝟐𝟎𝟎= 𝟐, 𝟏𝟓 𝒎𝒎

PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADO

São problemas nos quais as reações e as forças internas não podem ser

determinadas apenas por meio da estática. As equações de equilíbrio determinadas

pelo diagrama de corpo livre do componente em consideração serão

complementadas por relações envolvendo deformações e obtidas da geometria do

problema.

PROBLEMAS ENVOLVENDO MUDANÇA DE TEMPERATURA

Se a temperatura da barra for aumentada de ∆𝑇 , oberava-se que a barra se alonga

𝛿𝑇, que é proporcional à variação de temperatura ∆𝑇 e ao comprimento 𝐿 da barra:

𝜹𝑻 = 𝜶 ∆𝑻 𝑳

onde:

𝜶: coeficiente de dilatação térmica;

∆𝑻: variação de temperatura;

𝑳: comprimento da barra.

A deformação específica 휀𝑇 é conhecida

como deformação específica térmica, pois

ela é provocada pela variação de

temperatura da barra.

𝜺𝑻 = 𝜶 ∆𝑻

PROBLEMAS ENVOLVENDO MUDANÇA DE TEMPERATURA

𝜹𝑻 = 𝜶 ∆𝑻 𝑳

Deformação devido a variação de temperatura ∆𝑇:

Deformação devido a força 𝑷 aplicada à extremidade

de B:

𝜹𝑷 = 𝑷𝑳

𝑨𝑬

A deformação total 𝛿 deve ser zero, têm-se:

𝜹 = 𝜹𝑻 + 𝜹𝑷 = 𝜶 ∆𝑻 𝑳 +𝑷𝑳

𝑨𝑬= 𝟎

De onde conclui-se que:

𝑷 = −𝑨𝑬𝜶 ∆𝑻

A tensão na barra devido à mudança de temperatura

∆𝑇:

𝝈 =𝑷

𝑨= −𝑬𝜶 ∆𝑻

INFLUÊNCIA DA TEMPERATURA

O espaçamento entre os trilhos das ferrovias, ou entre os tabuleiros das pontes

rodoviárias, como também a colocação de juntas de expansão em canalizações

de instalações a vapor, são exemplos de providências adotadas na construção

civil e mecânica objetivando eliminar as chamadas tensões térmicas decorrentes

de um impedimento para a expansão dos materiais, decorrentes de variações de

temperatura a que foram submetidos.

(b) Em uma ponte

(a) Em uma linha de ferroviária

CARREGAMENTO MULTIAXIAL; LEI DE HOOKE

GENERALIZADA

CARREGAMENTO MULTIAXIAL; LEI DE HOOKE

GENERALIZADA (Princípio da Superposição)

O efeito de determinado carregamento combinado em uma estrutura

pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos das várias

forças e combinando os resultados obtidos, desde que sejam satisfeitas as

seguintes condições:

1. Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o

produz;

2. A deformação resultante de uma dada força é pequena e não

afeta as condições de aplicação das outras forças.

Combinando os resultados obtidos têm-se que:

𝜺𝒙 = +𝝈𝒙𝑬−𝝂𝝈𝒚

𝑬−𝝂𝝈𝒛𝑬

𝜺𝒚 = −𝝂𝝈𝒙𝑬+𝝈𝒚


𝜺𝒛 = −𝝂𝝈𝒙𝑬−𝝂𝝈𝒚

𝑬+𝝈𝒛𝑬


O bloco de aço está submetido a uma pressão uniforme em todas as suas faces.

Sabendo que a variação no comprimento da aresta AB é −0,03 𝑚𝑚 , determine (a)

a variação no comprimento das outras arestas, (b) a pressão 𝑝 aplicada às faces do

bloco. Suponha 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝜈 = 0,29 .


Solução

Variação no comprimento das outras arestas.

𝜺𝒙 = +𝝈𝒙𝑬−𝝂𝝈𝒚


𝜺𝒙 = +−𝒑

𝑬−𝝂 −𝒑

𝑬−𝝂 −𝒑

𝑬

𝜺𝒙 = −𝒑

𝑬𝟏 − 𝟐𝝂

logo, têm-se que:

𝜺𝒙 = 𝜺𝒚 = 𝜺𝒛 = −𝒑

𝑬𝟏 − 𝟐𝝂

Substituindo 𝜎𝑥 = 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = −𝑝 tem-se:

𝜺𝒙 = 𝜹𝒙 𝑳𝑨𝑩

𝜺𝒙 = −𝟎, 𝟎𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎

𝜺𝒙 = 𝜺𝒚 = 𝜺𝒛 = −𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝒎

como,

obtém-se,

de onde se segue que

𝜺𝒚 = −𝟎, 𝟎𝟑 𝒎𝒎 𝟓𝟎 𝒎𝒎 = −𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒎𝒎

𝜺𝒛 = −𝟎, 𝟎𝟑 𝒎𝒎 𝟖𝟎 𝒎𝒎 = −𝟎, 𝟎𝟐𝟒 𝒎𝒎

Pressão

𝒑 = −𝑬𝜺𝒙𝟏 − 𝟐𝝂

= −𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟎𝟗 −𝟑𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔

𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟖

𝒑 = 𝟏𝟒𝟐, 𝟗 𝑴𝑷𝒂

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Básica HIBBELER, Russell C, Resistência dos Materiais, 7. ed., Pearson, São Paulo,

2010.

BEER, Ferdinand P. e JOHNSTON JR., E. Russell, Resistência dos Materiais, 4. ed., McGraw-Hill, São Paulo, 2006.

Complementar GERE, J. M. – Mecânica dos Materiais – Pioneira Thomson Learning Ltda.,

2003.

CRAIG Jr., R. R. – Mecânica dos Materiais – LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2a edição, 2003.

TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. – Mecânica dos Sólidos – LTC - Livros Técnicos e Científicos S. A., 2 volumes, 1994 (vol. 1), 1998 (vol. 2).

POPOV, E. P. – Introdução à Mecânica dos Sólidos – Editora Edgard Blücher Ltda., 1978.

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