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Mecânica dos Fluidos Computacional

Aula 5Leandro Franco de Souza

Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 1/15

Equacoes Diferenciais Parciais – EDP

⇒ A mecânica dos fluidos computacional trata da obtençãonumérica para EDP;

⇒ As EDP’s que descrevem fenômenos de interesse emmecânica dos fluidos podem ser classificadas em trêscategorias:• Elípticas• Parabólicas• Hiperbólicas

⇒ Cada classe de equações está associada a uma categoriade fenômeno físico;

⇒ o método numérico que funciona para uma classe pode nãofuncionar para outra.


Equacoes Diferenciais Parciais Elıpticas

⇒ Representam problemas de equilíbrio, ou seja, aspropriedades de interesse não se alteram com o passar dotempo;

⇒ A equação modelo é a equação de Laplace:

∇2φ = 0

onde φ é a variável dependente e ∇2 é o operadorlaplaciano, que em coordenadas cartesianasbi-dimensionais, é dado por:

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2



Como exemplo, considere-se uma chapa de metal, isoladatermicamente nas faces, podendo trocar calor pelas bordaslaterais, que são mantidas às temperaturas T1, T2, T3 e T4.

T1

T2T4

T3

Chapa plana com bordas à diferentes temperaturas

Quando uma placa está em equilíbrio térmico, a temperaturaem cada ponto interno satisfaz:

∇2T =∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2= 0



Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=T3=10e T4=5:

x

y

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1




Resultados com a chapa com bordas mantidas a T1=T2=10 eT3=T4=5:

x

y

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1




⇒ Um característica dos problemas regidos por Eq. Elípticas éque toda a região estudada é imediatamente afetada porqualquer mudança no valor da variável dependente em umponto do domínio no interior desta região;

⇒ As soluções numéricas variam suavemente no domínioestudado;

⇒ Este tipo de equação precisa de condições de contorno,que podem ser de dois tipos:• condições de contorno com valor fixo: Dirichlet;• condições de contorno com derivada fixa: Neumann;

⇒ Exemplo físico: aquecimento de uma panela;⇒ A equação de Poisson é também uma equação elíptica:

∇2φ = f(x, y) → ∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= f(x, y)



Métodos iterativos para solução da Equação de Poisson:

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2= f(x, y).

Utilizando aproximações de 2a ordem de precisão temos:

φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j

(∆x)2+

φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1

(∆y)2= f(x, y),

multiplicando a equação por (∆x)2, e adotando β = ∆x/∆y,obtemos:

φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)



Método de GAUSS-SEIDEL por ponto

Isolando-se o termo φi,j , temos:

φi,j =1

2(1 + β2)[φi+1,j+φi−1,j+β2φi,j+1+β2φi,j−1−(∆x)2f(x, y)].

⇒ Exemplo malha 5x5 com temperatura diferentes;⇒ Condição de contorno do tipo Dirichlet;⇒ Esta equação deve ser resolvida para cada ponto interno

da malha, já que inicialmente só são conhecidos os valoresda função nos contornos.

Resolvendo a equação nos pontos, observa-se que com estemétodo:

φ(k+1)i,j =

1

2(1 + β2)[φ

(k)i+1,j+φ

(k+1)i−1,j +β2φ

(k)i,j+1+β2φ

(k+1)i,j−1 −(∆x)2f(x, y)].



Método de GAUSS-SEIDEL por linha

φi+1,j − 2φi,j + φi−1,j + β2(φi,j+1 − 2φi,j + φi,j−1) = (∆x)2f(x, y)

⇒ Neste caso queremos encontrar os valores da função aolongo de uma linha j = constante;

⇒ Para isto devemos isolar os termos que possuem j àesquerda na equação;

⇒ O sistema a ser resolvido, neste caso, é tri-diagonal.

A equação pode ser escrita como:

φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)



Método de GAUSS-SEIDEL por linha

φi+1,j−2(1+β2)φi,j +φi−1,j = −β2φi,j+1−β2φi,j−1+(∆x)2f(x, y)

⇒ O custo computacional é mais alto por iteração, pois há anecessidade de se resolver um problema tri-diagonal paracada linha do domínio;

⇒ A taxa de convergência é melhor do que a do Gauss-Seidelpor ponto, justificando o seu uso;

⇒ Esta melhor taxa de convergência se deve a propagaçãomais rápida das informações.



Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto

⇒ Conforme progridem as iterações do método deGauss-Seidel, as diferenças entre sucessivasaproximações diminuem e faz com que o método necessitede muitas iterações para obter uma boa solução;

⇒ Pode-se reduzir o número de iterações extrapolando(sobre-relaxando) o valor de φk+1 de tal forma que ele seaproxime mais rapidamente da solução numérica.

Partindo da equação obtida para o método de Gauss-Seidel porponto:

φ(k+1)i,j =

1

2(1 + β2)[φ

(k)i+1,j+φ

(k+1)i−1,j +β2φ

(k)i,j+1+β2φ

(k+1)i,j−1 −(∆x)2f(x, y)]



Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por ponto ou PSOR

Pode-se adicionar e subtrair o valor de φ(k)i,j do lado direito da

equação temos:

φ(k+1)i,j = φ

(k)i,j +

1

2(1 + β2)[φ

(k)i+1,j + φ

(k+1)i−1,j +

+β2φ(k)i,j+1 + β2φ

(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y) − 2(1 + β2)φ

(k)i,j ].

Adotando um fator de sobre-relaxação, que é ótimo entre1 ≤ rf < 2, obtemos:

φ(k+1)i,j = φ

(k)i,j +

rf

2(1 + β2)[φ

(k)i+1,j + φ

(k+1)i−1,j +

+β2φ(k)i,j+1 + β2φ

(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y) − 2(1 + β2)φ

(k)i,j ].



Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR

⇒ Da mesma forma que o método Gauss-Seidel o SORtambém pode ser escrito na versão linha (LSOR);

⇒ Pode ser implementado de duas formas diferentes:

1) Sobre-relaxação aplicada após os cálculos com o método deGauss-Seidel por linha:

φ(k+1)SOR = φ

(k+1)GS + rf

(

φ(k+1)GS − φ

(k)GS

)

;



Método da Sobre-relaxação Sucessiva - SOR por linha ou LSOR

2) Inserção do fator de sobre-relaxação diretamente na equaçãodo método de Gauss-Seidel por linha:

rfφ(k+1)i+1,j − 2(1 + β2)φ

(k+1)i,j + rfφ

(k+1)i−1,j =

= −(1 − rf)[2(1 + β2)]φ(k)i,j − rfβ2

“

φ(k)i,j+1 + φ

(k+1)i,j−1 − (∆x)2f(x, y)

”

.

⇒ A taxa de convergência do LSOR é√

2 vezes melhor doque o PSOR;


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