Aula-4O potencial elétrico

A energia potencial elétrica

Analogia gravitacional

No caso de forças conservativas (como o nosso)

U f −U i=−W =−∫r i

r f

qoE r . d l

onde U é a energia potencial associada ao campo da força gravitacional .

U f −U i=−W =−∫i

f

mg . d l =−mgh

No caso eletrostático, como F=q0E

, o resultado destaintegral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontosinicial e final.

:

A energia potencial elétrica

F r

Cr i

r f

Q

Se a força é devida a uma distribuição finita de cargas, convém tomar como a configuração de referência tal que

U ( r⃗ )=−∫0

r⃗

q0 E⃗ .d l⃗

∣r i∣∞

U i=0

x

y

z

d l

é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico para trazer a partícula com carga desde o infinito até .

U r r

Ou seja,

Com isto podemos definir a função energia potencial :U r

q0

O potencial elétrico É a energia potencial por unidade de carga:

V ≡Uq

ΔV ≡ΔUq

Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da distribuição de cargas. Unidade: volt = joule/coulomb = J/C

Unidade de energia conveniente para cargas elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J

Potencial em função do campo:

V f −V i=−∫r i

r f

E r . d l

Se escolhermos o infinito como referência:

V r =−∫∞

r

E r . d l

O potencial elétrico

Superfícies equipotenciais

São superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial.

W I ,W II , W III e W IV =?

As linhas de são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê?

E

O potencial elétrico

V de um campo uniforme

a b

a

b

V f −V i=−Ed

V f −V i=−Ed

i f

Vemos que o resultado não depende do caminho da integração.

Portanto, para se calcular V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples.

V f −V i=−∫r i

r f E r . dl

O potencial elétrico

O potencial de uma carga puntiforme

E=1

4 πε0

q

r 2r V f −V i=−∫

r i

r f

E r dr =−∫∞

r1

4 πε 0

qr 2 dr

V r =q

4πε 0 r

V f −V i=−∫r i

r f E r . dl

O potencial elétrico

O potencial de um sistema de cargas puntiformes

-

- -

-

-

+

+

+

+

x

y

z

r

V r =∑i

V i r =∑i

q i

4πε 0∣r−r i∣

V i r =q i

4πε0∣r −r i∣

r i

r −r i

(soma escalar!)

O potencial elétrico

O potencial de um sistema de cargas puntiformes (exemplo)

q1=12 nC

q2=−24 nC

q3=31 nC

q4=17 nC

V P=?

q=12×e

V C=? EC=?

d=1,3 m

O potencial elétrico

O potencial de um dipolo elétrico

V r =∑i

V i r =∑i

q i

4 πε 0∣r−r i∣V r =

q4πε 0 r

−q

4πε 0 r−

r −−r ≈d cos θ

r −r ≈r2

V r =p cos θ

4πε 0 r2

O potencial elétrico

O potencial de um dipolo elétrico

O dipolo elétrico pode ser permanente ou induzido por um campo externo que separa o centro de cargas positivas do das negativas.

Distribuição contínua de cargas

r '

y

x

z

r −r '

r

Pdq r '

V r = ∫V , S ou L

14 πε0

dq r ' ∣r −r '∣

dV r ,r '

Distribuição contínua de cargas

superficial : dq ( r⃗ ' )=σ ( r⃗ ' ) dA( r⃗ ' )

volumétrica : dq r ' = ρ r ' dV r '

linear : dq r ' = λ r ' dl r ' dqr '

dq r '

dq r '

Distribuição contínua de cargas

O potencial de uma linha de carga dq=λ dx

V =∫0

L1

4 πε0

λ dx

x 2d 2

V r = ∫V , S ou L

14 πε0

dq r ' ∣r −r '∣

V =λ

4 πε0

ln [ LL2d 2

d ]

Distribuição contínua de cargas

O potencial de um disco carregado

dq=2πσ R' d R'

V r = ∫V , S ou L

14 πε0

dq r ' ∣r −r '∣

V ( z )=∫0

R1

4 πε0

2π σ R' d R'

√ z 2+R ' 2

¿

V z =σ

2ε0

z 2R2−∣z∣

O campo elétrico

Obtenção do campo a partir do potencial elétrico

dV =−E cosθ ds −dVds

=E cosθ

E s=−∂V∂ s

=− ∇ V⋅s

E=− ∇ V

que é a derivada direcional do campo elétrico na direção do deslocamento

,

Dedução alternativa

V f −V i=−∫r i

r f

E r . d l dV =−E .d l (1)

Sejam, em coordenadas cartesianas:

E=E xiE y

jE zk

V =V x , y , z

Então: E⃗ . d l⃗ =E x dx+E y dy+E z dz

dV =∂V∂ x

+∂V∂ y

+∂ V∂ zPor (1):

E x=−∂V∂ x

; E y=−∂V∂ y

; E z=−∂ V∂ z

Ou seja: E=− ∇ V

O campo elétrico

Campo de um disco uniformemente carregado

E=− ∇ V

V z =σ

2ε0

z 2R2−∣z∣

E z =σ

2ε0 z∣z∣

−z

z2R2 z

Neste caso, somente. Então:V =V z

E z=−∂V∂ z

ou

Vimos:

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas É o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada. Dada a energia potencial elétrica entre cada par de cargas

U =12∑i≠ j

q i q j

4 πε0 r ij

=12∑

i

q i V r i

U ij=qi q j

4πε0∣r i−r j∣temos que:

q1=q

q2=−4q

q3=2q

W =?

,

A generalização para uma distribuição contínua de cargas com densidade é:

U =12∫ ρ r V r dv

ρ

,

onde é o potencial na posição da carga i.V r i

Potencial de um condutor carregado isolado

V f −V i=−∫r i

r f

E r ⋅d r

E=− ∇ V

ou

+

E

+

++

+

+

+ +

+

E=0+

+

Condutor esférico

V r =Q

4 πε0 RV r =

Q4 πε0 r

Fora: r > RDentro: r < R

Potencial de um condutor carregado isolado

Exemplos

A superfície de um condutor isolado, carregado ou não, é uma equipotencial.