DualidadeIntroduo:

Uma das mais importantes descobertas no incio do desenvolvimento da programao linear foi o conceito de dualidade. Esta descoberta revelou que todo o problema de programao linear tem associado a ele outro problema de programao linear chamado de dual. As relaes entre o problema dual e o problema original (chamado de primal) provam ser extremamente teis.1

DualidadeIntroduo:

Dualidade um fenmeno que ocorre freqentemente na formulao de problemas.

Algumas caractersticas:

Se no problema primal uma restrio for do tipo igualdade, a varivel dual correspondente livre e vice-versa. As variveis duais y, poder ser interpretadas como sendo os preos associados s restries do problema primal.

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DualidadePRIMAL Max Z = cx s. a: Ax < b x>0n

DUAL Min D = bT y s. a: AT y > c y>0 D Min D =i=1 i yi b s. a: m a y < cj (j=1, ..., n) i=1 ij j yi > 0 (i= 1, ..., m)m

ou P Max Z =j=1 j xj c s. a: n a x < bi (i=1, ..., m) j=1 ij j xj > 0 (j= 1, ..., n)

PRIMAL n variveis m restries

PRIMAL m variveis n restries3

DualidadeAlguns exemplos:Dado o Primal: Max 2x1+ x2 Sujeito a x1 + x 2 < 5 x1 + 2x2 < 8 x1 0; X2>0

O Dual associado : Min 5y1+8y2 + 4y3 Sujeito a y1+y2+y3>2 y1+2y2 >1 y1>0; y2>0; y3>0

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DualidadeAlguns exemplos:Dado o Primal: Max 3x1+ 5x2 Sujeito a x1 c, y>0}x

y

A

< b

c6

DualidadePRIMAL DUAL Variveis Naturais Variveis de folga VB VNB VB VNB VNB VB VNB VB Variveis de folga Variveis Naturais

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DualidadeProblema da Dieta:

Sabe-se que os alimentos , leite carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminas dadas na tabela abaixo:Vitaminas A C D CUSTO UNITRIO Leite (litro) 0,25 mg 25 2,5 $2,20 Carne (kg) 2 mg 20 200 $17,00 Ovos (dzia) 10 mg 10 10 $4,208

Quantidade diria mnima 1mg 50 10

DualidadeDeseja-se calcular as quantidades de leite , carne e ovos, a fim de satisfazer as quantidades dirias mnimas de nutrientes (vitaminas) a um mnimo custo. Montar o problema Primal.

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DualidadeInterpretao Econmica do Problema Dual

Imagine que uma companhia farmacutica fabrica essas vitaminas e que deseja que o pblico obtenha os nutrientes a partir das plulas, em vez dos alimentos. O problema determinar os preos mximos yA, yC, yD, por miligrama, para as plulas, de modo a maximizar a renda e, assim mesmo manter competitivo com os alimentos em forma natural. Para manter-se competitivo, o custo dos nutrientes sintticos oriundos de plulas no pode ser superior ao custo cj dos mesmos nutrientes a partir de alimentos verdadeiros.10

Dual- SimplexProcura-se maximizar a renda (yb), j que pelo menos bi unidades (plulas) da isima vitamina tero que ser compradas, a fim de satisfazer aos requisitos dirios.

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DualidadePROPRIEDADES:

O Dual do Dual o Primal Se a restrio k do Primal igualdade, ento a varivel yk do Dual livre. Se a varivel xp do Primal livre, ento a restrio p do Dual uma igualdade. Se x for uma soluo vivel do primal e y uma soluo vivel do dual, entocx < by (Z < D)

Se existe uma soluo tima finita para cada problema, ento cx*=by* (Z*=D*)12

DualidadePROPRIEDADES:

Se no primal Z, ento o dual no tem solues compatveis. Se no dual D -, ento o primal no tem solues compatveis. Dado uma par de problemas duais, uma e somente uma das trs afirmaes seguintes verdadeira:

Nenhum dos problemas admite soluo vivel Um problema no admite soluo vivel e o outro admite solues viveis, mas o timo no finito. Os dois problemas admitem solues timas finitas.13

Interpretao econmica do DualP Max Z =j=1 j xj c s. a: n a x < bi (i=1, ..., m) j=1 ij j xj > 0 (j= 1, ..., n)n

D

Min D =i=1 i yi b s. a: m a y > cj (j=1, ..., n) i=1 ij j yi > 0 (i= 1, ..., m)

m

Seja uma firma que tem custos marginais constantes e vende seus produtos em mercados puramente competitivos. No primal temos:bi= unidades do recurso i disponvel num dado perodo xi=unidades do produto j produzido num dado perodo aij=unidades do recurso i por unidade do produto j cj=$ por unidade do produto j14

Interpretao econmica do DualNo dual temos:yi= $ por unidade do recurso i aij yi= $ por unidade do produto j m aij yj > cj =indica que o custo dos recursos usados para i=1 produzir uma unidade marginal do produto j , pelo menos, igual ao lucro recebido por uma unidade de j.

Sendo x* e y* solues timas podemos escrever:m

Z*=D*=by*=bi yi i=1

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DualidadeTeorema das folgas complementares:

Dado um par de problemas duais, uma condio necessria e suficiente para x e y sejam solues timas que verifiquem: n y*i (aij x*j - bi ) =0 j=1( cj - aij y*j ) x*ji=1 m

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Dual- SimplexRetirar da base a varivel mais incompatvel, isto , a linha piv deve ser escolhida de tal maneira que br= min bi < 0 Introduzir na base a varivel xs tal que:

cs ars

mina rj 0

cj arj

Fazemos o pivoteamento para que a coluna S tenha a forma cannica Se bi>0 para todo i (i), a soluo tima. Caso contrrio volta-se ao item (a).17

Problema de DistribuioUm grande comerciante baiano, tem dois grandes depsitos nos arredores de Salvador. Depsito A contendo 150 toneladas de carne seca e depsito B contendo 200 toneladas de jab. Atravs de pesquisa de mercado, foi informado que existe uma grande demanda por comida baiana nos restaurantes de So Paulo. O comerciante pretende maximizar seus lucros e, ao mesmo tempo atender a 100% o mercado de So Paulo18

Problema de DistribuioDepsito A 95

5540

45

Vitria

63

So Paulo

Vitria de Conquista 60

50 Governador Valadares19

Depsito B

Problema de DistribuioDeterminar:

Dados os diversos custos de transporte por tonelada transportada, formule o problema sob forma de programao linear Resolva e mostre o fluxo em cada ramo Escreva a formulao do problema dual. Qual a interpretao fsica das variveis duais?

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Problema de DistribuioSoluo:J que tudo vai ser transportado, o problema minimizar custos de transporte. Nomenclatura: X13=Depsito A a Vitria da Conquista x23= Depsito B a Vitria da Conquista X14=depsito A a Vitria X35=Vitria da Conquista a Governador Valadares X34=Vitria da Conquista a Vitria X56=Governador Valadares a Vitria X46= Vitria a So Paulo21

Problema de DistribuioPrimal:Min Z=55X13+95x14+45x34+60x35+50x56+63x46+40x23 Sujeito a : X13 + X14= 150 x23=200 -x13-x23+x34+x35=0 -x14-x34+x46=0 -x35+x56=0 Z = $53.300 -x46-x56=-35022

Problema de DistribuioDual:Todos os yi so livres quanto Max D=150 y1+200y2 -350y6 ao sinal. Sujeito a : Yi o caminho mais curto do n i ao n 6. y1 - y3< 55 No problema primal, as y1 - y4< 95 variveis eram os fluxos y2 - y3< 40 pelos ramos (malhas); no y3 - y4< 45 problema dual, as variveis y3 + y5< 60 so as distncias ao n de referncia que So Paulo y4 + y6< 63 y5 + y6< 5023