aula 3 - transfeÊncia de calor - regime transiente - 2011
TRANSCRIPT
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
1
Fenômenos de Transporte II
CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
Prof. MsC. Antonio Batista de Oliveira Jr
UNIFEB
2
CAPÍTULO 4 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
Introdução
Trata da transferência de calor por condução em regimenão-estacionário, ou seja, dependente do tempo.
Objetivo
● Desenvolver procedimentos para determinar adependência da distribuição de temperaturas nointerior de um sólido em relação ao tempo durante umprocesso transiente;
● Determinar a transferência de calor entre o sólido e avizinhança.
3
CAPÍTULO 4 - CONDUÇÃO TRANSIENTE
4.1. Método da Capacitância Global
conv sai q E ====&
acu E&
Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente
Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniformeno espaço, em qualquer instante durante o processo transiente.
R cond pequena
R conv grande
4
acu ent sai gE E E E= − +& & & &
( )sdT
Vc hA T Tdt
ρρρρ ∞= − −
s
Vc d
hA dt
ρ θρ θρ θρ θθθθθ= −
i
t
s 0
Vc d dthA
θθθθ
θθθθ
ρ θρ θρ θρ θθθθθ
= −
∫ ∫
T Tθθθθ ∞= −
Aplicando a equação da Energia
Fazendo
Separando as variáveis e integrando a partir dascondições iniciais et 0= iT(0) T=
∞= −i iT Tθθθθonde
4.1. Método da Capacitância Global
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
5
s i
Vcln t
hA
ρ θρ θρ θρ θ
θθθθ= −
Efetuando as integrações
ou
5.1. Método da Capacitância Global
shAt
Vc
i i
T Te
T Tρρρρθθθθ
θθθθ
−
∞
∞
−= =
−
i
s
Vct ln
hAρ θρ θρ θρ θ
θθθθ=
6
( )t t ts s
Vc 1Vc R C
hA hA
ρρρρτ ρτ ρτ ρτ ρ
= = =
Interpretando como uma constantede tempo térmica:
sVc/hAρρρρ
5.1. Método da Capacitância Global
onde tR
tC- Resistência a transferência de calor por convecção
- Capacitância térmica global do sólido
7
A distribuição de temperatura fica:
5.1. Método da Capacitância Global
s
1t
VchA
i i
T Te
T T
ρρρρθθθθ
θθθθ
−
∞
∞
−= =
−
t t
1t
R C
i i
T Te
T T
θθθθ
θθθθ
−
∞
∞
−= =
−
t1 t
i i
T Te
T T
ττττθθθθ
θθθθ
− ∞
∞
−= =
−
•••• Qualquer aumento em Rt ou Ct
causará uma resposta mais lentado sólido a mudanças em seuambiente térmico.
•••• Esse comportamento é análogo
ao decaimento da voltagem queocorre quando uma capacitor édescarregado através de umresistor em um circuito elétricoRC 8
t t
s0 0
Q qdt hA dtθθθθ= =∫ ∫ Para determinar o total de energia transferida Q
Substituindo da equação (5.6)
5.1. Método da Capacitância Global
θθθθ
integrando
shAt tVc
s io
Q hA e dtρρρρ
θθθθ
−
= ∫
( ) ( )
shAt
VciQ Vc 1 e ρρρρρ θρ θρ θρ θ
−
= −
Obs.:
tt atat
0 0
ee dt
a=∫
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
9
ou
ou ainda
5.1. Método da Capacitância Global
( ) ( )s
1t
Vc
hAiQ Vc 1 e
ρρρρ
ρ θρ θρ θρ θ
−
= −
( ) ( )t t
tR C
iQ Vc 1 eρ θρ θρ θρ θ
−
= −
finalmente
( ) ( )t
t
iQ Vc 1 e
ττττρ θρ θρ θρ θ
−
= −10
5.1. Método da Capacitância Global
Q está relacionada com a variação de energiainterna do sólido
acuQ E∆∆∆∆− =
( ) ( )
−
= − − t
1t
acu iE Vc 1 eττττ
∆ ρ θ∆ ρ θ∆ ρ θ∆ ρ θ
11
Seja considerada a figura a seguir
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Para regime estacionário
( ) ( )s1 s2 s2kA
T T hA T TL ∞− = −
Rearranjando
( )
( )s1 s2 cond
s2 conv
L/kAT T R hLBi
T T 1 / hA R k∞
−= = = =
−
hLBi
k=
onde
É o Número de Biot
12
Para a utilização do Método daCapacitância Global, deve-se ter:
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
chLBi 0,1
k= <
Fornece uma medida da queda de temperatura nosólido em relação a diferença de temperatura entrea superfície e o fluido
Bi −
onde
cL −Escala de comprimento correspondente amáxima diferença espacial de temperatura
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
13
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Fornece uma medida da queda de temperatura nosólido em relação a diferença de temperatura entrea superfície e o fluido
Bi −
14
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
onde
Por conveniência define-se:
cs
VL
A=
V −
sA −
Volume do sólido
Área superficial do sólido
15
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
Escrevendo o expoente da equação em função de Lc
Retomando a equação (5.6)
shAt
Vc
i i
T Te
T Tρρρρθθθθ
θθθθ
−
∞
∞
−= =
−
s
c
hA t ht
Vc cLρ ρρ ρρ ρρ ρ=
Multiplicando o numerador e o denominador por Lck
s c c2 2c c c
hA t hL hLht k t t
Vc cL k c kL L
αααα
ρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρρ ρ ρ= = =
16
5.2. Validade do Método da Capacitância Global
shA tBi Fo
Vcρρρρ= ⋅
Então ( )Bi Fo
i i
T T
eT T
θθθθ
θθθθ
− ⋅∞
∞
−
= =−
s c2c
hA t hL t
Vc k L
αααα
ρρρρ=
Definindo e lembrando que resulta:2c
tFo
L
αααα= chL
Bik
=
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
17
Exemplo 5.1
Uma placa de alumínio [k=160W/(m o C), ρ ρ ρ ρ = 2790 kg/m 3 ,c p =0,88kJ/(kg o C ) ] com L=3cm de espessura e umatemperatura uniforme T 0 =225 o C é repentinamente imersaem um fluido agitado, mantido a uma temperaturaconstante T oo =25 o C . O coeficiente de transferência decalor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m 2 o C). Determineo tempo necessário para que o centro da placa atinja 50 o C.
18
Exemplo 5.1
•••• Verificação do número de Biot
A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menorque 0,1
cV L.A L
L 1,5 cmA 2.A 2
= = = =
sh. L 320.0,015Bi 0,03
k 160= = =
s
c
hhAtt
cLVc
i i
T Te e
T Tρρρρρρρρθθθθ
θθθθ
−−
∞
∞
−= = =
−
Utilizando a equação (5.6)
19
Exemplo 5.1
•••• substituindo os valores
t 239 s 4 min= ≅
i
s
Vct ln
hA
ρ θρ θρ θρ θ
θθθθ=
2790.880.0,015 225 25t ln
320 50 25
−=
−
c icLt ln
h
ρρρρ θθθθ
θθθθ=
20
Exercícios
Exercício 5.5 do Incropera
Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadaspelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamentolento até 400K em um ambiente com ar a T
∞=325K e
h=20W/m2K. Supondo que as propriedades do aço sejamk=40W/mK, ρρρρ=7800kg/m3 e c=600J/kgK. Estime o temponecessário para o processo de resfriamento.
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
21
Exercícios
Exercício 5.7 do Incropera
O coeficiente de transferência de calor para o arescoando sobre uma esfera deve ser determinado pelaobservação do comportamento dinâmico da temperaturade uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esferaque possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66oCantes de ser inserida em uma corrente de ar que tem atemperatura de 27oC. Um termopar sobre a superfícieexterna da esfera indica 55oC após 69s da inserção daesfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que aesfera se comporta como um objeto espacialmenteisotérmico e calcule o coeficiente de transferência decalor.
22
5.4. Efeitos Espaciais
Quando os gradientes de temperatura no interior do meionão são desprezíveis a aplicação do Método daCapacitância Global é inadequada e outras alternativas deabordagem devem ser utilizadas.
Em problemas de condução transiente de calor umaalternativa é a solução da equação do calor desenvolvidano Capítulo 2.
No caso de coordenadas retangulares a equação de calortem a forma:
pT T T T
k k k q cx x y y z z t
ρρρρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
&
23
5.4. Efeitos Espaciais
2
2T 1 T
tx αααα
∂ ∂=
∂∂
iT(x,0) T=
x 0
T0
x =
∂=
∂
x L
Tk h[T(L,t) T ]
x ∞=
∂− = −
∂
Considerando uma parede plana, sistema unidimensional,sem geração interna e k constante, a equação de calortoma a forma:
Para resolver a equação (5.26) é necessário especificaruma condição inicial e duas condições de contorno:
24
5.4. Efeitos Espaciais
As temperaturas na parede dependem de uma série deparâmetros físicos, como segue:
iT T(x, t,T ,T ,L,k, ,h)αααα∞=
Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar otratamento do problema a adimensionalização dasequações pode ser utilizada, como segue:
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
25
5.4. Efeitos Espaciais
i i
T T*
T T
θθθθθθθθ
θθθθ∞
∞
−= =
−
xx*
L=
2t
t* FoL
αααα= =
Temperaturas adimensional
Coordenada espacial adimensional
Tempo adimensional
26
5.4. Efeitos Espaciais
2
2* *
Fox*
θ θθ θθ θθ θ∂ ∂=
∂∂
*(x*,0) 1θθθθ =
x* 1
*
Bi *(1,t*)x*
θθθθ
θθθθ=
∂
= −∂
A equação da condução de calor juntamente com ascondições de contorno na forma adimensional tomam aforma
x* 0
*0
x*
θθθθ
=
∂=
∂
Condições iniciais e de contorno.
27
5.4. Efeitos Espaciais
A dependência funcional fica:
* f(x*,Fo,Bi)θθθθ =
iT T(x,t ,T ,T , L,k, ,h)αααα∞=
Comparando com a equação (5.30)
Para uma dada geometria a distribuição transiente detemperatura é uma função universal de ex*, Fo Bi
28
5.5. A Parede Plana com Convecção
Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperaturainicial uniforme submetido subitamente acondições convectivas.
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
29
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.1. Solução exata
A solução da equação (5.34) com ascondições iniciais e de contornodadas pelas equações de (3.35),(5.36) e (5.37) é dada por:
2n Fo
n n
n 1
* C e cos( x*)ζζζζθ ζθ ζθ ζθ ζ
∞
−
=
=∑Onde:
nn
n n
4senC
2 sen(2 )
ζζζζ
ζ ζζ ζζ ζζ ζ=
+
n ntg Biζ ζζ ζζ ζζ ζ =
2t
FoL
αααα=
30
5.5. A Parede Plana com Convecção
5.5.3. Transferência total de energia
iQ c[T(x, t) T ]dVρρρρ= − −∫ Adimensionalisando com a grandeza
o iQ cV(T T )ρρρρ ∞= −
resulta
Utilizando θθθθ* dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:
i
o i
Q [T(x, t) T ] dV 1(1 *) dV
Q T T V Vθθθθ
∞
−= − = −
−∫ ∫ *1
oo 1
Q sen1
Q
ζζζζθθθθ
ζζζζ= −
31
EXERCÍCIOS
Exercício 5.37 - Incropera
Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então,resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio dereaquecimento para uma placa de aço com 100mm deespessura (ρρρρ=7830kg/m3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que estáinicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200oC e deveser aquecida a uma temperatura máxima de 550oC. Oaquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, ondeprodutos de combustão a T
∞=800oC mantém um coeficiente
de transferência de calor de h=250W/m2K em ambas assuperfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada
dentro do forno?
32
5.7
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
33 34
5.7. Sólido Semi-Infinito
Idealização de um sólido finito de grande espessura
Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.
35
5.7. Sólido Semi-Infinito
Governado pela Equação (5.26)
2
2T 1 T
tx αααα
∂ ∂=
∂∂
iT(x,0) T=
iT(x , 0) T→ ∞ =→ ∞ =→ ∞ =→ ∞ =
36
5.7. Sólido Semi-Infinito
Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinitopara as três condições na superfície
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
37
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 1: Temperatura na superfície constante ( ) sT t ,0T =
38
39 40
Gráfico Função Erro
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
41
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante s oq q′′ ′′′′ ′′′′ ′′′′ ′′====
42
5.7. Sólido Semi-Infinito
Caso 3: Convecção na superfície: (((( ))))x 0
Tk h T T 0,t
x ∞∞∞∞====
∂∂∂∂ − = −− = −− = −− = − ∂∂∂∂
43 44
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
45 46
47 48
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
49 50
51 52
5/11/2018 Aula 3 - TRANSFE NCIA DE CALOR - REGIME TRANSIENTE - 2011 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aula-3-transfeencia-de-calor-regime-transiente-2011
53 54