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Estatística e Probabilidade

Aula 3

Distribuição de Frequências.Professor Luciano Nóbrega

Distribuição de frequência

Definições Básicas

FrequênciaÉ a quantidade de vezes que um mesmo valor de uma variável é repetida.

Dados Brutossão os dados originais que ainda não foram numericamente organizados após a coleta.

Rolé a ordenação dos valores obtidos em ordem crescente oudescrente de grandeza numérica ou qualitativa.

Vejamos alguns exemplos:

2

Dados Brutos

6 10 9 14 7 4

8 11 12 5 9 13

9 10 8 6 7 14

11 6 12 11 15 13

12 11 4 10 7 13

10 9 8 12 13 7

Faixa etária de crianças de um determinado acampamento

Observe a dificuldade de análise dos dados brutos:

Como estabelecer em torno de que idade estão a maioria dascrianças?

Quantas crianças tem idade maior ou igual à 10?Vamos colocar esses números em ordem crescente:

3

Rol

4 4 4 5 6 6

6 7 7 7 7 8

8 8 8 9 9 9

10 10 10 10 11 11

11 12 12 12 12 13

13 13 13 14 14 15

Dados organizados em ordem crescente

Observe a facilidade de análise dos dados em ROL:

Qual a idade da criança mais nova? E da mais velha?

Qual a amplitude de variação das idades?

Qual a idade predominante?

Vamos “contar” as repetições de cada idade:

4

Idade Frequência

4 3

5 1

6 3

7 4

8 3

9 4

10 4

11 3

12 4

13 4

14 2

15 1

Tabela de frequência

Com os dados em ROL,podemos facilmentemontar uma tabela defrequência.Observe a facilidade de análise dos dados em uma tabela de frequência:

Há quantas crianças com 5 anos? E com 12 anos?

Quantas crianças tem idade maior ou igual à 12?

Vamos formar grupos, classificando por idade:

5

Elementos de uma distribuição de Frequência

ClassesCaso as colunas da tabela de distribuiçao de frequênciacontenham muitos valores, podemos reduzi-los agrupando-osem intervalos.

Idade Frequência

4 |-------- 6 4

6 |------- 8 7

8 |------- 10 7

10 |------- 12 7

12 |------- 14 8

14 |------- 16 3

Limite inferior ( li )O menor número de cada classe é o limite inferior da classe. Na 1ª linha, temos:

l1 = 4.

Limite superior ( Li )O maior número da cada classe é o limite superior da classe. Na 2ª Linha, temos: L2 = 8.

4 |-------- 6 Significa inclusão do limite inferior

(4) e exclusão do limite superior (6).

6

Elementos de uma distribuição de Frequência

Amplitude de classes ( hi = Li – li )É a diferença entre o limite superior e inferior de uma classe.

Idade Frequência

4 |-------- 6 4

6 |------- 8 7

8 |------- 10 7

10 |------- 12 7

12 |------- 14 8

14 |------- 16 3

Exemplos:h1 = 6 – 4 = 2 anos;

h2 = 8 – 6 = 2 anos;

h3 = 10 – 8 = 2 anos;Ponto médio da classe

[ xi = (li + Li)/2 ]É o ponto que divide o intervalo em duas partes iguais.Ex: x1 = (4+6)/2 = 5.

7

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 7

10 |-------- 12 7

12 |-------- 14 8

14 |-------- 16 3

Frequência Absoluta

Tipos de Frequência

Frequência simples ou absoluta ( fi )É número de observações de um valor individual oude uma classe.

fr0,11

0,20

0,20

0,20

0,22

0,07

Frequência relativa ( fr )

Representa a proporçãode observações de um valor (ou de uma classe) em relação ao númerototal de observações, o que facilita a observação.

Frequência Relativa

8

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 7

10 |-------- 12 7

12 |-------- 14 8

14 |-------- 16 3

Frequência acumulada ( Fi )É a soma de todas as frequências abaixo do limitesuperior de uma classe considerada.F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 4 + 7 + 7 + 7 = 25;

F4 = 25

fr0,11

0,20

0,20

0,20

0,22

0,07

Tipos de Frequência

Fi4

11

18

25

33

36

Frequência Acumulada

9

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 7

10 |-------- 12 7

12 |-------- 14 8

14 |-------- 16 3

Frequência relativa acumulada ( Fri )É a soma de todas as frequências relativas abaixo do limite superior de uma classe considerada.Fr3 = Fr1 + Fr2 + Fr3 = 0,11 + 0,20 + 0,20 = 0,55;

Fr3 = 0,55

fr0,11

0,20

0,20

0,20

0,22

0,07

Tipos de Frequência

Fi4

11

18

25

33

36

Frequência Relativa Acumulada

Fri0,11

0,31

0,51

0,71

0,93

1,00

Frequência Acumulada

10

Testando os conhecimentos1 – Faça o que se pede em cada item:a) Tabule os seguintes dados;b) Elabore 6 classes com amplitude igual à 8;c) Calcular o ponto médio de cada classe;d) Calcule as respectivas frequências;

28 20 45 27 66 55 48 40

32 54 45 27 54 55 48 40

45 55 61 49 53 57 48 49

30 55 61 46 50 57 41 47

30 46 63 34 50 59 41 36

21 49 65 32 25 45 35 39

23 49 25 29 25 44 28 39

56 62 24 29 31 44 26 43

60 65 33 37 33 37 26 42

33 23 37 38 26 37 36 30

Idade dos principais clientes de uma empresa

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Resumo

Em uma tabela de distribuição de frequências, temos:

Vejamos mais alguns elementos:

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 7

10 |-------- 12 7

12 |-------- 14 8

14 |-------- 16 3

fr0,11

0,20

0,20

0,20

0,22

0,07

Fi

4

11

18

25

33

36

Fri

0,11

0,31

0,51

0,71

0,93

1,00

Classes

Limite Inferior ( li )Limite Superior ( Li )

Amplitude da Classe (h)

Frequência Absoluta (fi)

Frequência Relativa (fri)

Frequência Absoluta Acumulada (Fi)

Frequência Relativa Acumulada (Fri)

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Amplitude total (H)

É a diferença entre o maior e o menor valor das varíaveis observadas.Exemplo:

4 4 4 5 6 6

6 7 7 7 7 8

8 8 8 9 9 9

10 10 10 10 11 11

11 12 12 12 12 13

13 13 13 14 14 15

Aqui, temos:H = 15 – 4 = 11

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Número de classes (k)As primeiras preocupações que temos, na construção de uma tabela de distribuição de frequência, são:1º) A determinação da quantidade de classes;2º) Qual o tamanho do intervalo de cada classe?

Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes, mas as duas maneiras mais usuais são:

1ª) Até 100 elementos → k = √n2ª) Acima de 100 → k = 1 + 3,3. log n

(regra de Sturges)

Vejamos alguns exemplos:

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Número de classes (k)

1ª) Até 100 elementos → k = √n2ª) Acima de 100 → k = 1 + 3,3. log n

4 4 4 5 6 6

6 7 7 7 7 8

8 8 8 9 9 9

10 10 10 10 11 11

11 12 12 12 12 13

13 13 13 14 14 15

Aqui, temos:n = 36 e k = √36 = 6

Outro exemplo:Se n = 78, entãok = √78 = 8,83Portanto, k = 9

Mais um exemplo:Se n = 300, entãok = 1 + 3,3 x log 300k = 1 + 3,3 x 2,47k = 1 + 8,151k = 9,151Portanto, k = 9

15

Mais exemplos:

Utilize os dois métodos para calcular a quantidadede classes “k” quando:a) n = 24

b) n = 51

c) n = 100

d) n = 987

1ª) k = √n2ª) k = 1 + 3,3. log n

e) n = 97 535 376

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Tamanho do intervalo de classe (h)

Decidido a quantidade de classes, resta-nos resolver qual o tamanho de cada classe. Devemos fazer a divisão entre a amplitude total (H) e o número de classes (k).

h = H/kExemplo:

4 4 4 5 6 6

6 7 7 7 7 8

8 8 8 9 9 9

10 10 10 10 11 11

11 12 12 12 12 13

13 13 13 14 14 15

H = 15 – 4 = 11n = 6 e k = √36 = 6Então,h = 11/6 = 1,8Portanto, h = 2

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Mais exemplos:

// PremoniçãoAs notas obtidas peloalunos dessa turma na1ª prova:

1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4

4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8

8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10Faça o que se pede:a) Determine a quantidade de classes pelos dois métodos;

b) Considerando os doisresultados, determine o tamanho de cada classe ;

c) Ajustando “k” e “h”, complete a tabela de distribuição de frequências.

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1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4

4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8

8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10

Notas fi frFi Fri

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Testando os conhecimentosA tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência dos salários de uma determinada empresa:

Salários 300 |--- 500 |--- 700 |--- 900 |--- 1100 |--- 1300 |--- 1500 |--- 1700

Quantidades 12 8 22 36 18 10 2

Determine:a) A amplitude total (H);

b) O limite superior da 5ª classe (L5);

c) O limite inferior da 6ª classe (l6);

d) O ponto médio da 3ª classe (x3);

e) A amplitude da 2ª classe (h2);

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Testando os conhecimentosSalários 300 |--- 500 |--- 700 |--- 900 |--- 1100 |--- 1300 |--- 1500 |--- 1700

Quantidades 12 8 22 36 18 10 2

f) Complete a tabela de distribuição de frequências;

Salários fi Fi FrifrDetermine:g) A frequência da 4ª classe;h) A frequência relativa da 6ª classe;i) A frequência acumulada da 3ª classe;j) A frequência relativa acumulada da 7ª classe;

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Para a construção do histograma, colocamos no eixo x os limites de cada intervalo de classe e em y as freqüências das classes.

5

A área de um histograma é proporcional a soma das freqüências das classes;

HistogramaÉ a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos, de tal forma que:

As bases tem centro no ponto médio dos intervalos de classe e as larguras são iguais às amplitudes dos intervalos das classes;

7

4

2

22

Exemplo:

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 9

10 |-------- 12 6

12 |-------- 14 5

14 |-------- 16 3

Construa o histograma da tabela de distribuição de frequências ao lado, para isso siga o procedimento:1º Marque nos eixos x e y, respectivamente, as classes e as frequências;

2º Construa, um à um, os retângulos correspondentes à cada classe.

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Polígono de frequência

Para a construção do polígono de freqüência partimos do histograma e marcamos o topo dos pontos médios de cada retângulo e os unimos por meio de retas.

Devemos tomar o cuidado de deixar um espaço

correspondente a uma classe para a esquerda e outra para a direita.

5

7

4

2

24

Exemplo:

Idade fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 7

8 |-------- 10 9

10 |-------- 12 6

12 |-------- 14 5

14 |-------- 16 3

Construa o histograma da tabela de distribuição de frequências ao lado, para isso siga o procedimento:1º Marque nos eixos x e y, respectivamente, as classes e as frequências;

2º Construa, um à um, os retângulos correspondentes à cada classe.

Retomando o exemplo anterior...

OkConstrua um polígono de frequência.

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Curva de frequênciaImagine que considerássemos um grande número de classes. Ao esboçar o polígono de frequência, as retas se comportariam como curvas.

vv

Tamanho da classe

Tamanho da classe

Assim, esse resultado “perde” em exatidão, porém nos permite observar o comportamento para um grande número de dados.

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Curva de frequência

Algebricamente, obtemos uma curva de frequência aplicando a seguinte fórmula:

fci = fi-1 + 2fi + fi+1

4Onde:fci é a frequência calculada da classe considerada;fi é a sequência simples da classe considerada;

Vejamos um exemplo:

27

Curva de frequência

fci = fi-1 + 2fi + fi+1

4

Idade fi fci4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 9

8 |-------- 10 11

10 |-------- 12 8

12 |-------- 14 5

14 |-------- 16 3

fc1 = 0 + 2.(4) + 94

Complete a tabela:

fc2 =

fc3 =

fc4 =

fc5 =

fc6 =

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Formas da curva de frequênciaApós feita a curva de frequência, nós podemos classificá-las quanto ao seu comportamento, tirando conclusões importantes.Curva de GaussSimétricaDistribiuição perfeita

Curva de GaussAssimétricaDistribiuição natural

Curva em jotaComum em fenômenos econômicos

“jota” invertido

Parábola Representa máximos e mínimos

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Testando os conhecimentos

A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência dos salários de uma determinada empresa:

Salários 300 |--- 500 |--- 700 |--- 900 |--- 1100 |--- 1300 |--- 1500 |--- 1700

Quantidades 12 8 22 36 18 10 2

Confeccione o histograma; o polígono de frequência; a curva de frequência; e, por último, o polígonoacumulado.

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Polígono de frequência acumuladaO gráfico de frequência acumulada é traçado, relacionando as classes (eixo x) e frequûencia acumulada (eixo y) por meio de um plano cartesiano.Os pontos são marcados, relacionando as frequências acumuladas correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Classes fi4 |-------- 6 3

6 |-------- 8 2

8 |-------- 10 9

10 |-------- 12 2

Fi3

5

14

16

1416

5

3

4 6 8 10 12

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Exemplo:

Idade fi Fi4 |-------- 6 4

6 |-------- 8 9

8 |-------- 10 11

10 |-------- 12 8

12 |-------- 14 5

14 |-------- 16 3

Complete a coluna referente à frequência acumulada. Em seguida, faça um pollígono de frequência acumulada.

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