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UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 14 A equação de Schrödinger em 3D:

átomo de hidrogénio (parte 2)

1

A equação para a parte radial da função de onda é:

As soluções dessa equação podem sem encontradas analiticamente utilizando um método envolvendo séries de potência (veja apêndice N do livro Quantum Physics, Eisberg & Resnick).

As as autofunções da equação acima dependem de dois números quânticos, n e l, sendo rotuladas da seguinte maneira Rn,l (r) com o número quântico principal n satisfazendo n ≥ l+1.

2

Equação para a função radial R(r)

286 Chapter 7 Atomic Physics

Quantization of the EnergyThe results discussed so far apply to any system that is spherically symmetric, that is, one for which the potential energy depends on r only. The solution of the radial equa-tion for R(r), on the other hand, depends on the detailed form of V(r). The new quantum number associated with the coordinate r is called the principal quantum number n. This quantum number, as we will see, is related to the energy in the hydrogen atom. Figure 7-5 shows a sketch of the potential energy function of Equation 7-6. If the total energy is positive, the electron is not bound to the atom. We are interested here only in bound-state solutions, for which the values of E are negative. For this case, the potential energy function becomes greater than E for large r, as shown in the figure. As we have discussed previously, for bound systems only certain values of the energy E lead to well-behaved solutions. These values are found by solving the radial equa-tion, which is formed by equating the left side of Equation 7-12 to the constant�� 1�. For V(r) of hydrogen and hydrogenlike atoms, given by Equation 7-6, the radial equation is

� 62

2Mr 2 ��r 4r 2

�R�r��r 5 � 6 � kZe2

r �62�� 1�

2Mr 2 7R�r� � ER�r� 7-24

The radial equation can be solved using standard methods of differential equations whose details we will omit here, except to note that (1) we expect a link to appear between the principal quantum number n and the angular momentum quantum num-ber � (since the latter already appears in Equation 7-24) and (2) in order that the solu-tions of Equation 7-24 be well behaved, only certain values of the energy are allowed, just as we discovered for the square well and the harmonic oscillator. The allowed values of E are given by

En � � 4 kZe2

65 2 M

2n2 � � Z2

E1

n2 7-25

where E1 � �1�2� �ke2�6�2M � 13.6 eV and the principal quantum number n can take on the values n � 1, 2, 3, . . . , with the further restriction that n must be greater than �. These energy values are identical with those found from the Bohr model and,

FIGURE 7-5 Potential energy of an electron in a hydrogen atom. If the total energy is greater than zero, as E�, the electron is not bound and the energy is not quantized. If the total energy is less than zero, as E, the electron is bound. Then, as in one-dimensional problems, only certain discrete values of the total energy lead to well-behaved wave functions.

r

E�

E

Energy

0

V(r ) = – kZe2––––r

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Os autovalores da energia, i.e. as energias correspondentes aos autoestados do sistema, são

onde

Esses valores de energia são idênticos aos encontrados no modelo Bohr e, como esses, estão de acordo com o experimento.

3



� 62

2Mr 2 ��r 4r 2

�R�r��r 5 � 6 � kZe2

r �62�� 1�

2Mr 2 7R�r� � ER�r� 7-24


En � � 4 kZe2

65 2 M

2n2 � � Z2

E1

n2 7-25



r

E�

E

Energy

0

V(r ) = – kZe2––––r

TIPLER_07_277-324hr.indd 286 8/22/11 12:01 PM



� 62

2Mr 2 ��r 4r 2

�R�r��r 5 � 6 � kZe2

r �62�� 1�

2Mr 2 7R�r� � ER�r� 7-24


En � � 4 kZe2

65 2 M

2n2 � � Z2

E1

n2 7-25



r

E�

E

Energy

0

V(r ) = – kZe2––––r

TIPLER_07_277-324hr.indd 286 8/22/11 12:01 PM

n=0, 1, 2, …

Veja que, para o potencial considerado, as energias não dependem do número l denominado número quântico de momento angular orbital l = 0, 1, 2,...,(n−1) .

Assim, para um dado valor de n existem n funções de onda radiais correspondendo a mesma energia En.

Por exemplo, para n = 3 tem-se l = 0, 1, 2 e as seguintes funções de onda radiais são degeneradas em energia

En = �µ

2

Ze2

4⇡✏0~

!21

n2, n = 1, 2, 3, . . .

⇡ �Z2

n2⇥ 13.6 eV

µ ⇡ me

l

l = 0, 1, 2, ..., (n � 1) .

n nEn n = 3 l = 0, 1, 2

8>><

>>:

R3,0

R3,1

R3,2

) E3

7-2 Quantization of Angular Momentum and Energy in the Hydrogen Atom 287

like those, are in good agreement with experiment. The radial functions resulting from the solution of Equation 7-24 for hydrogen are given by Equation 7-26, where the �n��r�a0� are standard functions called Laguerre polynomials

Rn��r� � An� e � r�a0 n r � �n��r�a0� 7-26

and the Bohr radius a0 � 62� �ke2M�. The radial functions Rn��r� for n � 1, 2, and 3 are given in Table 7-2. (For a detailed solution of Equation 7-24 and an extended table of Laguerre polynomials see Weber and Arfken, Chapter 13.)

Summary of the Quantum NumbersThe allowed values of and restrictions on the quantum numbers n, �, and m associated with the variables r, U, and F are summarized as follows:

n � 1, 2, 3,c � � 0, 1, 2, c,�n � 1�

m � ��, �� 1�, c, 0, 1, 2, c, �� 7-27

The fact that the energy of the hydrogen atom depends only on the principal quantum number n and not on � is a peculiarity of the inverse-square force. It is related to the result in classical mechanics that the energy of a mass moving in an elliptical orbit in an inverse-square force field depends only on the major axis of the orbit and not on the eccentricity. The largest value of angular momentum (� � n � 1) corresponds most nearly to a circular orbit, whereas a small value of � corresponds to a highly eccentric orbit. (Zero angular momentum corresponds to oscillation along a line through the force center, i.e., through the nucleus in the case of the hydrogen atom.) For central forces that do not obey an inverse-square law, the energy does depend on the angular momen-tum (both classically and quantum mechanically) and thus depends on both n and �.

Table 7-2 Radial functions for hydrogen

n � 1 � � 0 R10 �2�a3

0

e � r�a0

n � 2 � � 0 R20 �1�2a3

0

41 � r2a05e � r�2a0

� � 1 R21 �1

2�6a30

r

a0 e � r�2a0

n � 3 � � 0 R30 �2

3�3a30

41 � 2r3a0

� 2r 2

27a205e � r�3a0

� � 1 R31 �8

27�6a30

r

a041 � r

6a05e � r�3a0

� � 2 R32 �4

8�30a30

r 2

a20

e � r�3a0

TIPLER_07_277-324hr.indd 287 8/22/11 12:01 PM

As primeiras funções de onda radiais são:

onde é o raio de Bohr.

7-2 Quantization of Angular Momentum and Energy in the Hydrogen Atom 287

like those, are in good agreement with experiment. The radial functions resulting from the solution of Equation 7-24 for hydrogen are given by Equation 7-26, where the �n��r�a0� are standard functions called Laguerre polynomials

Rn��r� � An� e � r�a0 n r � �n��r�a0� 7-26

and the Bohr radius a0 � 62� �ke2M�. The radial functions Rn��r� for n � 1, 2, and 3 are given in Table 7-2. (For a detailed solution of Equation 7-24 and an extended table of Laguerre polynomials see Weber and Arfken, Chapter 13.)

Summary of the Quantum NumbersThe allowed values of and restrictions on the quantum numbers n, �, and m associated with the variables r, U, and F are summarized as follows:

n � 1, 2, 3, c � � 0, 1, 2, c,�n � 1�

m � ��, �� 1�, c, 0, 1, 2, c, �� 7-27

The fact that the energy of the hydrogen atom depends only on the principal quantum number n and not on � is a peculiarity of the inverse-square force. It is related to the result in classical mechanics that the energy of a mass moving in an elliptical orbit in an inverse-square force field depends only on the major axis of the orbit and not on the eccentricity. The largest value of angular momentum (� � n � 1) corresponds most nearly to a circular orbit, whereas a small value of � corresponds to a highly eccentric orbit. (Zero angular momentum corresponds to oscillation along a line through the force center, i.e., through the nucleus in the case of the hydrogen atom.) For central forces that do not obey an inverse-square law, the energy does depend on the angular momen-tum (both classically and quantum mechanically) and thus depends on both n and �.

Table 7-2 Radial functions for hydrogen

n � 1 � � 0 R10 �2�a3

0

e � r�a0

n � 2 � � 0 R20 �1�2a3

0

41 � r2a05e � r�2a0

� � 1 R21 �1

2�6a30

r

a0 e � r�2a0

n � 3 � � 0 R30 �2

3�3a30

41 � 2r3a0

� 2r 2

27a205e � r�3a0

� � 1 R31 �8

27�6a30

r

a041 � r

6a05e � r�3a0

� � 2 R32 �4

8�30a30

r 2

a20

e � r�3a0

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As funções de onda (ou autofunções) do átomos de hidrogênio são da forma:

As funções de onda para o átomo de hidrogênio são determinadas pelos valores dos três números quânticos n, l e m. (Compare isso com a partícula em uma caixa tridimensional que consideramos antes. Lá, também, três números quânticos foram necessários para descrever cada estado estacionário.)

n : número quântico principal. l : número quântico de momento angularm : número quântico magnético, associado à projeção do momento angular no eixo z.

Números quânticos para o átomo de hidrogénio

n,l,m (r, ✓,�) = Rn,l (r)Yl,m (✓,�)

ˆtodo espaco

| nlm (r, ✓,') |2 dV =

ˆtodo espaco

| Rnl (r)Ylm (✓,') |2 dV =

ˆ 1

0| Rn,l (r) |2 r2dr

ˆ ⇡

0d✓

ˆ 2⇡

0d' sin ✓ | Ylm (✓,') |2 = 1

dV ⌘ r2sin ✓ dr d✓ d'

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, 2, ..., (n � 1)

m = �l, (�l + 1), (�l + 2) , ..., 0, 1, 2, ...l

n

l

m z

{E1, E2, E3...}

En = �µ

2

Ze2

4⇡✏0~

!21

n2

Estados com diferentes valores do número quântico l geralmente são designados por letras, de acordo com o seguinte esquema:

e assim por diante, alfabeticamente. Essa escolha aparentemente irracional das letras s, p, d e f tem sua origem no início dos estudos da espectroscopia e não tem nenhum significado fundamental.

Assim, um estado com n=2 e l=1 denomina-se estado 2p; um estado com n=4 e l=0 denomina-se estado 4s e assim por diante. Somente estados s (l=0) são esfericamente simétricos.

Capítulo 41 — Mecânica quântica II: estrutura atômica 333

módulo do momento angular orbital é determinado pelo número quântico orbital l de acordo com a Equação 41.22. O componente do momento angular orbital em uma direção específica (geralmente o eixo z) é determinado pelo número quântico magnético ml, como na Equação 41.23. A energia não depende dos valores de l ou ml (Figura 41.7), assim, para cada nível de energia En dado pela Equação 41.21, existe mais de um estado distinto com a mesma energia, mas números quânticos diferentes. Ou seja, esses estados são degenerados, exatamente como a maioria dos estados de uma partícula em uma caixa tridimensional. Assim como na caixa tridimensional, a degeneração ocorre porque o átomo de hidrogênio é simétrico: se você girar o átomo em qualquer ângulo, a função de energia potencial em uma distância r do núcleo possuirá o mesmo valor.


l ! 0: estados sl ! 1: estados pl ! 2: estados dl ! 3: estados fl ! 4: estados gl ! 5: estados h

e assim por diante, alfabeticamente. Essa escolha aparentemente irracional das letras s, p, d e f tem sua origem no início dos estudos da espectroscopia e não tem nenhum significado fundamental. Em uma forma importante da notação espectros-cópica que usaremos frequentemente, um estado com n ! 2 e l ! 1 denomina-se estado 2p; um estado com n ! 4 e l ! 0 denomina-se estado 4s e assim por diante. Somente estados s (l ! 0) são esfericamente simétricos.

Vejamos agora outras notações. A extensão radial da função de onda cresce com o número quântico principal n, e podemos chamar de camada uma região do espaço associada com um valor de n particular. Especialmente no estudo de átomos com muitos elétrons, é costume empregar as seguintes letras maiúsculas para essas camadas:

n ! 1: camada Kn ! 2: camada Ln ! 3: camada Mn ! 4: camada N

e assim por diante, seguindo a ordem alfabética. Para cada valor de n, diferentes valores de l correspondem a diferentes subcamadas. Por exemplo, a camada L (n ! 2) contém as subcamadas 2s e 2p.

A Tabela 41.1 mostra algumas combinações possíveis dos números quânticos n, l e ml para as funções de onda do átomo de hidrogênio. A notação espectroscópica e a notação usada para designar as camadas também são indicadas.

Figura 41.7 A energia de um satélite artificial em órbita, como o Telescópio Espacial Hubble, depende da distância média entre o satélite e o centro da Terra. Ela não depende do fato de a órbita ser circular (com um grande momento angular orbital L) ou elíptica (caso em que L é menor). Da mesma forma, a energia do átomo de hidrogênio não depende do momento angular orbital.

TABELA 41.1 Estados quânticos do átomo de hidrogênio.

n l mlNotação

espectroscópica Camada

1 0 0 1s K

2 0 0 2s L

2 1 "1, 0, 1 2p

3 0 0 3s

3 1 "1, 0, 1 3p M

3 2 "2, "1, 0, 1, 2 3d

4 0 0 4s N

e assim por diante

ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 41.1 ESTRUTURA ATÔMICA

IDENTIFICAR os conceitos relevantes: muitos problemas de es-trutura atômica podem ser resolvidos apenas recorrendo-se aos números quânticos n, l e ml, que descrevem a energia total E, o módulo do momento angular orbital , o componente z de

e outras propriedades de um átomo.

PREPARAR o problema: verifique qual é a variável-alvo e es-colha a equação apropriada. As equações 41.21, 41.22 e 41.23 podem ser especialmente úteis.

EXECUTAR a solução da seguinte forma: 1. Certifique-se de que você conhece os valores possíveis dos

números quânticos n, l e ml para os estados do átomo de hidrogênio. Todos eles são números inteiros: n é sempre maior que zero, l pode ser zero ou positivo e vai até n " 1, e ml varia segundo números inteiros de "l até l. Assegure-se de poder contar o número de estados (n, l e ml) em cada camada (K, L, M e assim por diante) e subcamada (3s, 3p,

(Continua)

Book_SEARS_Vol4.indb 333 16/12/15 5:46 PM

Vejamos agora outras notações.

A extensão radial da função de onda cresce com o número quântico principal n, e podemos chamar de camada uma região do espaço associada com um valor de n particular.

Especialmente no estudo de átomos com muitos elétrons, é costume empregar as seguintes letras maiúsculas para essas camadas:

e assim por diante, seguindo a ordem alfabética. Para cada valor de n, diferentes valores de l correspondem a diferentes subcamadas. Por exemplo, a camada L (n=2) contém as subcamadas 2s e 2p.












n l mlNotação


1 0 0 1s K

2 0 0 2s L

2 1 "1, 0, 1 2p

3 0 0 3s

3 1 "1, 0, 1 3p M

3 2 "2, "1, 0, 1, 2 3d

4 0 0 4s N

e assim por diante







(Continua)













n l mlNotação


1 0 0 1s K

2 0 0 2s L

2 1 "1, 0, 1 2p

3 0 0 3s

3 1 "1, 0, 1 3p M

3 2 "2, "1, 0, 1, 2 3d

4 0 0 4s N

e assim por diante







(Continua)


Estados quânticos do átomo de hidrogênio.

A energia En é determinada pelo número quântico principal n, de acordoo com:

O módulo do momento angular orbital é determinado pelo número quântico orbital l.

O componente do momento angular orbital em uma direção específica (geralmente o eixo z) é determinado pelo número quântico magnético m.

A energia não depende dos valores de l ou m, assim, para cada nível de energia En, existe mais de um estado distinto com a mesma energia, mas números quânticos diferentes.

Ou seja, esses estados são degenerados, exatamente como a maioria dos estados de uma partícula em uma caixa tridimensional.

Degenerescência dos estados

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, 2, ..., (n � 1)

m = �l, (�l + 1), (�l + 2) , ..., 0, 1, 2, ...l

n

l

m z

{E1, E2, E3...}

En = �µ

2

Ze2

4⇡✏0~

!21

n2

Para o estado de menor energia (estado fundamental) temos: n=1, l=0, m=0. A autofunção do estado fundamental é

e a energia é E1. Este estado não é degenerado.

(n, l,m)

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, 2, ..., (n � 1)

m = �l, (�l + 1), (�l + 2) , ..., 0, 1, 2, ...l

nlm (r, ✓,') = Rnl (r)Ylm (✓,')

n = 1 , l = 0, m = 0

100 (r, ✓,') = R10 (r)Y00 (✓,')

=2

qa30

e� ra0 ⇥

r1

4⇡

=1

q⇡a3

0

e� ra0

n = 2, l = 1, m = �1

Para n=2, temos os números quânticos:

Portanto, há 4 autofunções que correspondem à energia E2:

onde

2,1,�1 = R2,1 (r)Y1,�1 (✓,')

=1

2q

6a30

r

a0e� r2a0 ⇥

r3

8⇡sin✓ e�i'

=1

8q⇡a3

0

r

a0e� r2a0sin✓ e�i'

n

n � 2n = 2 l m

l = 0, m = 0

n = 2 )

l = 1 )

8>><

>>:

m = �1

m = 0

m = 1

2,1,�1 = R2,1 (r)Y1,�1 (✓,')

=1

2q

6a30

r

a0e� r2a0 ⇥

r3

8⇡sin✓ e�i'

=1

8q⇡a3

0

r


n

n � 2n = 2 l m

l = 0, m = 0

n = 2 )

l = 1 )

8>><

>>:

m = �1

m = 0

m = 1

8>>>><

>>>>:

2,0,0 = R2,0 (r)Y0,0 (✓,')

2,1,�1 = R2,1 (r)Y1,�1 (✓,')

2,1,0 = R2,1 (r)Y1,0 (✓,')

2,1,1 = R2,1 (r)Y1,1 (✓,')

E2 = �µ

2

e2

4⇡✏0~

!21

4=

E1

4

l m✓ '

n

•

n l

nlm (r, ✓,')

8>>>><

>>>>:

2,0,0 = R2,0 (r)Y0,0 (✓,')

2,1,�1 = R2,1 (r)Y1,�1 (✓,')

2,1,0 = R2,1 (r)Y1,0 (✓,')

2,1,1 = R2,1 (r)Y1,1 (✓,')

E2 = �µ

2

e2

4⇡✏0~

!21

4=

E1

4

l m✓ '

n

•

n l

nlm (r, ✓,')

Por exemplo, para o estado n=2, l=1, m=−1, a função de onda é:

2,1,�1 = R2,1 (r)Y1,�1 (✓,')

=1

2q

6a30

r

a0e� r2a0 ⇥

r3

8⇡sin✓ e�i'

=1

8q⇡a3

0

r


n

n � 2n = 2 l m

l = 0, m = 0

n = 2 )

l = 1 )

8>><

>>:

m = �1

m = 0

m = 1

Assim como na caixa tridimensional, a degenerescência ocorre porque o átomo de hidrogênio é simétrico: se você girar o átomo em qualquer ângulo, a função de energia potencial em uma distância r do núcleo possuirá o mesmo valor.

A experiência mostra que na verdade há uma pequena separação nas linhas espectrais (as estruturas denominadas fina e hiperfina) dos estados com mesmo número quântico n, e que pode ser em parte explicada por uma propriedade intrínseca do elétron, o spin.

Um tratamento mais completo dos sistemas tipo átomo de hidrogênio requer o uso da teoria quântica relativística.

Em vez de descrever o elétron como uma partícula puntiforme deslocando-se ao longo de uma circunferência perfeita, a equação de Schrödinger fornece uma distribuição de probabilidade de encontrar o elétron em torno do núcleo.

Como as distribuições de probabilidade para o átomo de hidrogênio são tridimensionais, elas são mais difíceis de serem visualizadas que as órbitas circulares bidimensionais do modelo de Bohr.

Por isso, é útil considerar a função de distribuição de probabilidade radial P(r), ou seja, a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar o elétron a certa distância do próton.

Distribuições de probabilidade do elétron

A probabilidade de encontrar o elétron em um elemento de volume dV é dada por |ψ|2 dV.

Estamos supondo que ψ seja normalizada, ou seja, a integral de |ψ|2 dV no espaço inteiro é igual a 1, de modo que existe 100% de probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar do universo.

Vamos tomar como elemento de volume uma fina camada esférica com raio interno r e raio externo r+dr.

O volume dV dessa camada é aproximadamente igual à área 4𝜋r2 multiplicada pela espessura da camada dr: dV = 4𝜋r2 dr

Vamos designar por P(r) dr a probabilidade de encontrar a partícula dentro da camada radial de espessura dr, portanto:

Para as funções de onda que, além de r, também dependem de 𝜃 e de 𝜙, devemos tomar a média de |ψ|2 sobre todos os ângulos.


radial P(r), ou seja, a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar o elétron a certa distância do próton. Conforme a Seção 41.1, a probabilidade de encontrar o elétron em um elemento de volume dV é dada por |c|2 dV. (Supomos que c seja normalizada de acordo com a Equação 41.6, ou seja, a integral de |c|2 dV no espaço inteiro é igual a 1, de modo que existe 100% de probabilidade de encontrar o elétron em algum lugar do universo.) Vamos tomar como elemento de volume uma fina camada esférica com raio interno r e raio externo r ! dr. O volume dV dessa camada é aproximadamente igual à área 4pr2 multiplicada pela espessura da camada dr:

dV " 4pr2 dr (41.24)

Vamos designar por P(r) dr a probabilidade de encontrar a partícula dentro da camada radial de espessura dr; portanto, usando a Equação 41.24, temos

P1r2 dr = 0c 02 dV = 0c 024pr2 dr (41.25)

Probabilidade de que o elétron esteja entrer e r + dr Volume da camada esférica com

raio interno r e raio externo r + drFunção de onda

Função de distribuição de probabilidade radial

Função de distribuição de probabilidade

Para as funções de onda que, além de r, também dependem de u e de f, devemos tomar a média de |c|2 sobre todos os ângulos na Equação 41.25.

A Figura 41.8 mostra gráficos da função radial P(r) para diversas funções de onda do átomo de hidrogênio. As escalas em r são indicadas em múltiplos de a, onde a é a menor distância entre o elétron e o núcleo no modelo de Bohr:

(41.26)

Massa reduzida

Raio da menor órbita no modelo de Bohr a = = = 5,29 * 10-11 m

mre2

4pP0U2

pmre2

P0h 2

Módulo da carga do elétron

Constante de Planck dividida por 2p

Constante de Planck

Constante elétrica

Assim como no caso de uma partícula em uma caixa cúbica (Seção 41.2), exis-tem certas posições em que a probabilidade é igual a zero. Essas superfícies são planas para uma partícula em uma caixa, mas, em um átomo de hidrogênio, elas são esféricas (ou seja, superfícies de constante r). Note que, nos estados com maior valor de l para um dado n (como os estados 1s, 2p , 3d e 4f ), P(r) apresenta apenas um máximo localizado no ponto n2a. Nesses estados, existe maior probabilidade de encontrar o elétron a uma distância r " n2a, o que está de acordo com a previsão do modelo de Bohr.

A Figura 41.8 mostra as funções de distribuição de probabilidade radial P(r) " 4pr2|c|2, que indicam a probabilidade relativa de encontrar o elétron dentro de uma fina camada esférica de raio r. Por outro lado, as figuras 41.9 e 41.10 ilustram as funções de distribuição de probabilidade em três dimensões |c|2, que indicam a probabilidade relativa de encontrar o elétron dentro de uma pequena caixa em uma determinada posição. Quanto mais escura a “nuvem”, maior o valor de |c|2. A Fi-gura 41.9 apresenta seções transversais das nuvens de probabilidade esfericamente simétricas das três subcamadas s mais inferiores, em que |c|2 depende apenas da coordenada radial r. A Figura 41.10 mostra seções transversais das nuvens em outros estados eletrônicos em que |c|2 depende tanto de r quanto de u. Nesses estados, a função de distribuição de probabilidade é zero para certos valores de u, bem como para certos valores de r. Em qualquer estado estacionário do átomo de hidrogênio, |c|2 é independente de f.

Figura 41.8 Funções de distribuição de probabilidade radial P(r) para diversas funções de onda do átomo de hidrogênio; cada curva é representada em função da razão r/a (veja a Equação 41.26). Para cada função, o número de máximos é igual a (n # 1). As curvas para l " n # 1 (1s, 2p , 3d,…) apresentam apenas um máximo localizado no ponto r " n2a.

0,6P(r)

0,50,40,30,20,1

10 20 30 40r>a

0

2s3s 4s

1s Estados com l = 0

Estados com l = 1

Estados com l = 2 ou l = 3

r>a10

P(r)

0,200,160,120,080,04

0 20 30 40

2p

3p4p

r>a10

P(r)

0,120,080,04

0 20 30 40

3d4f

4d


A Figura mostra gráficos da função radial P(r) para diversas funções deonda do átomo de hidrogênio. As escalas em r são indicadas em múltiplos de a, onde a é a menor distância entre o elétron e o núcleo no modelo de Bohr:



dV " 4pr2 dr (41.24)


P1r2 dr = 0c 02 dV = 0c 024pr2 dr (41.25)







(41.26)

Massa reduzida


mre2

4pP0U2

pmre2

P0h 2



Constante de Planck

Constante elétrica




0,6P(r)

0,50,40,30,20,1

10 20 30 40r>a

0

2s3s 4s


Estados com l = 1


r>a10

P(r)

0,200,160,120,080,04

0 20 30 40

2p

3p4p

r>a10

P(r)

0,120,080,04

0 20 30 40

3d4f

4d




dV " 4pr2 dr (41.24)


P1r2 dr = 0c 02 dV = 0c 024pr2 dr (41.25)







(41.26)

Massa reduzida


mre2

4pP0U2

pmre2

P0h 2



Constante de Planck

Constante elétrica




0,6P(r)

0,50,40,30,20,1

10 20 30 40r>a

0

2s3s 4s


Estados com l = 1


r>a10

P(r)

0,200,160,120,080,04

0 20 30 40

2p

3p4p

r>a10

P(r)

0,120,080,04

0 20 30 40

3d4f

4d




dV " 4pr2 dr (41.24)


P1r2 dr = 0c 02 dV = 0c 024pr2 dr (41.25)







(41.26)

Massa reduzida


mre2

4pP0U2

pmre2

P0h 2



Constante de Planck

Constante elétrica




0,6P(r)

0,50,40,30,20,1

10 20 30 40r>a

0

2s3s 4s


Estados com l = 1


r>a10

P(r)

0,200,160,120,080,04

0 20 30 40

2p

3p4p

r>a10

P(r)

0,120,080,04

0 20 30 40

3d4f

4d


Nas figuras seguintes vemos as funções de distribuição de probabilidade em três dimensões |ψ|2, que indicam a probabilidade relativa de encontrar o elétron dentro de uma pequena caixa em uma determinada posição. Quanto mais escura a “nuvem”, maior o valor de |ψ|2.

336 Física IV

0r>a3s

r

3s

0c 020

r>a2s

r

2s

0c 020

r>a1s

r

1s

0c 02Figura 41.9 Funções de distribuição de probabilidade tridimensional |c|2 para as funções de onda esfericamente simétricas 1s, 2s e 3s do átomo de hidrogênio.

zz z zz

z z

2p, ml = {1

z

1s, ml = 0 2p, ml = 0

z

2s, ml = 0

3d, ml = 03p, ml = 0 3d, ml = {1 3d, ml = {23p, ml = {1

Figura 41.10 Seções transversais das distribuições de probabilidades tridimensionais de alguns estados quânticos do átomo de hidrogênio. Os desenhos não foram feitos na mesma escala. A linha vertical escura representa o eixo z; imagine uma rotação da figura em torno desse eixo para visualizar a representação tridimensional de |c|2. Por exemplo, a distribuição de probabilidade do estado 2p, ml ! "1, lembra vagamente uma rosquinha.

A função de onda para o estado fundamental do átomo de hidro-gênio (o estado 1s) é

c1s 1r2 =1

"pa3 e-r>a

(a) Mostre que essa função de onda é normalizada. (b) Qual é a probabilidade de um elétron se encontrar a uma distância menor que a em relação ao núcleo?

SOLUÇÃO

IDENTIFICAR E PREPARAR: este exemplo é semelhante ao Exemplo 41.1 na Seção 41.2. Precisamos mostrar que essa

função de onda satisfaz a condição de que a probabilidade de en-contrar o elétron em algum lugar é 1. Precisamos, então, encon-trar a probabilidade de que o elétron seja encontrado na região r < a. Na parte (a), calculamos a integral ∫ |c|2 dV sobre todo o espaço; se ela for igual a 1, a função de onda é normalizada. Na parte (b), calculamos a mesma integral sobre um volume esférico que se estende da origem (o núcleo) até uma distância a do núcleo.EXECUTAR: (a) como a função de onda depende apenas da coor-denada radial r, podemos supor que nossos elementos de volume são camadas esféricas de raio r, espessura dr e volume dV dados pela Equação 41.24. Obtemos, então,

EXEMPLO 41.4 UMA FUNÇÃO DE ONDA PARA O HIDROGÊNIO

(Continua)


Funções de distribuição de probabilidade tridimensional |ψ|2 para as funções de onda esfericamente simétricas 1s, 2s e 3s do átomo de hidrogênio.

A Figura mostra seções transversais das nuvens em outros estados eletrônicos em que |ψ|2 depende tanto de r quanto de 𝜃. Em qualquer estado estacionário do átomo de hidrogênio, |ψ|2 é independente de 𝜙.

336 Física IV

0r>a3s

r

3s

0c 020

r>a2s

r

2s

0c 020

r>a1s

r

1s


zz z zz

z z

2p, ml = {1

z

1s, ml = 0 2p, ml = 0

z

2s, ml = 0




c1s 1r2 =1

"pa3 e-r>a


SOLUÇÃO




(Continua)


Os desenhos não foram feitos na mesma escala. A linha vertical escura representa o eixo z; imagine uma rotação da figura em torno desse eixo para visualizar a representação tridimensional de |ψ|2. Por exemplo, a distribuição de probabilidade do estado 2p, m=±1, lembra vagamente uma rosquinha.

336 Física IV

0r>a3s

r

3s

0c 020

r>a2s

r

2s

0c 020

r>a1s

r

1s


zz z zz

z z

2p, ml = {1

z

1s, ml = 0 2p, ml = 0

z

2s, ml = 0




c1s 1r2 =1

"pa3 e-r>a


SOLUÇÃO




(Continua)


336 Física IV

0r>a3s

r

3s

0c 020

r>a2s

r

2s

0c 020

r>a1s

r

1s


zz z zz

z z

2p, ml = {1

z

1s, ml = 0 2p, ml = 0

z

2s, ml = 0




c1s 1r2 =1

"pa3 e-r>a


SOLUÇÃO




(Continua)


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