aula 11 fábio nakano. aquecimento... demonstre por indução que: s n =1+3+5+...+(2n-1)=n 2
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Aula 11
Fábio Nakano
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Aquecimento...
• Demonstre por indução que:• Sn=1+3+5+...+(2n-1)=n2
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Projeto coletivoQuantos grupos já concluiram o projeto?
Tempo de execução (ns)
Número de comparações
comprimento do vetor
8696279276 391986000 2800018627460753 840479500 41000
2888617408 199990000 2000013134217896 903103750 42500
3355019982 231114250 215001048894482 71994000 12000
6107759 499500 1000
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São aprox. 11 grupos
• 1 roda problemas de tamanho até 2000 em intervalos de 10
• 2 rodam problemas de 2000 a 20000 em intervalos de 100
• 3 rodam problemas de 20000 até 40000 em intervalos de 200
• 5 rodam problemas de 40000 até 60000 em intervalos de 500
• Roda por algumas horas (6?), pode (deve) paralelizar
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Recursão
• É um conceito em computação.• É relacionado ao conceito de indução pois• É uma forma indutiva de definir programas.• Nesta, um método chama a si mesmo com os
parâmetros adequados.
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Exemplo
• Definição: n!=n*(n-1)! E 0!=1• Construa um método recursivo que calcula n!
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Como se implementa recursão em um computador?
• TAD - Pilha• Prog - Pilha de execução• Prog – Chamada de função• Prog - Recursão
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Como o método recursivo calcula 4!
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Alguns problemas práticos...
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Poupança!
• Capital: c• Capital inicial: c0
• Taxa mensal de juros: i
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Juros!
• Em um período: c=c0*(i+1)• Em n períodos: c=c0*(i+1)^n• Escreva o pseudo-codigo que calcula o capital
após n períodos iterativamente e recursivamente. Diga como funciona e qual a complexidade de tempo e de espaço contando também o espaço ocupado pela pilha de execução.
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Parcelamento
• Quando compramos algo à prestação, a operação financeira equivale a tomar um empréstimo para comprar o bem e pagar a dívida em prestações.
• Para quem empresta, é como se fosse um depósito em aplicação de renda fixa. É claro que se render menos que a poupança, é melhor nem emprestar.
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Amortização
• Dada uma dívida, amortizamos a dívida pelo seguinte processo:
• Di=Di-1*(1+i)-Pi , para i>0, quando o pagamento é feito a mês vencido
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Escreva um programa que simula a amortização de empréstimos
• ... Suponha que o valor da parcela seja fixo. Como você usaria o programa para calcular o valor da parcela??
• ... É o jeito mais eficiente??
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“Tabela” Price
• Parcelamento (amortização) com parcelas fixas.
• Di=Di-1*(1+i)-Pi , quando o pagamento é feito a mês vencido, para i>0
• D0=(P/i)*(1-(1/(1+i)^n)) para parcela constante e resíduo zero.
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Demonstre que a fórmula da tabela Price é correta
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• Um vendedor lhe oferece um conjunto de sala em 8 parcelas, sem entrada e “sem juros” com prestações mensais de R$100,00. A remuneração da poupança é de 0.5% a.m.
• De quanto deve ser o desconto mínimo para que seja vantagem pagar à vista??
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Actuarial analysis via branching processes
• O problema de cálculo do passivo atuarial de um fundo de pensão pode ser modelado e resolvido recursivamente.
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Mais sobre isso em...
Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas I
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Recorrência
• É o nome bonito que damos para séries em que os termos são definidos em função dos termos anteriores.
• Até agora trabalhamos definindo e resolvendo recorrências.
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Resolver os exercícios 1, 1,2, 1,2,3 de:
• http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/aulas/recorrencias.html
– Ex 1 depois do exemplo 1,– Ex 1,2 depois do exemplo 2– Ex. 1,2,3 depois do exemplo 3
• Ler e no mínimo pensar na solução dos demais exercícios.
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Sumário• Complexidade assintótica
– Pode ser aplicada para tempo de execução, espaço em memória ou qualquer outro fator limitante.– Dá uma idéia do crescimento do fator limitante em função do tamanho do problema.
• Indução matemática– Base, hipótese, passo
• Recursão– Está intimamente ligado ao conceito de indução matemática.– É uma maneira indutiva de definir programas– Em geral requer mais memória (implicitamente, pelo requisito de pilha de execução)– É mais poderoso que um programa monolítico
• Recorrências– Juros compostos– Tabela “price”– Como resolver uma recorrência: “adivinhar” e depois provar por indução.
• Complexidade de algoritmos recursivos– Geralmente recaem em uma recorrência.
• Teorema mestre – na próxima aula.