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Aula 1
Sistemas Realimentados
Prof. Wanderley
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Aula 1
Sistemas Realimentados - Motivação
Sistema Controlado
Unidade de Comando
Sinal de Referência
Sinal de Controle
Sinal de Realimentação
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Aula 1
Sistemas Realimentados - Motivação
Sistema Controlado
Unidade de Comando
Sinal de Referência
Sinal de Controle
Sinal de Realimentação
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Sistemas Realimentados - Motivação
Diagrama de Blocos
Especificações de DesempenhoPROJETO
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Especificações de Desempenho
São requisitos impostos aos sistemas de controle
Podem ser requisitos de resposta transitória ou requisitos em regime permanente
Exemplo de requisitos de resposta transitória: sobressinal e tempo de acomodação na resposta em degrau
Exemplo de requisitos em regime permanente: erro estacionário
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Metodologias de Projeto
Método do lugar das raízes – Capítulo 7
Método da resposta em frequência – Capítulo 9
Método do espaço de estados – Capítulo 12
Enfoque computacional baseado em controladores PID – Capítulo 10
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Projeto pelo Método do Lugar das Raízes
Consiste em redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na função de transferência de malha aberta do sistema, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha fechada desejados no plano s.
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Compensação de Sistemas
Primeira abordagem: aumento de ganho
Aumento do ganho melhora o comportamento em regime permanente, mas afeta a estabilidade do sistema
Abordagem posterior: alteração do comportamento dinâmico do sistema
Inclusão de compensador (dispositivo capaz de satisfazer as especificações do sistema), a fim de compensar a deficiência do sistema original
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Tipos de compensadores
Compensador de avanço de fase
Compensador de atraso de fase
Compensador de atraso e avanço de fase
Controladores PID (Capítulo 10)
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Tipos de compensação
Gc(s) G(s)
H(s)
+
-
G1(s) G2(s)
H(s)
+
-Gc(s)
+
-
Compensação em Série
Compensação em Paralelo ou por realimentação
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Tipos de Compensação
Vantagem da compensação em série: em geral, é mais simples de se implementar
desvantagens da compensação em série:
A compensação em série normalmente requer amplificadores adicionais para aumentar o ganho e/ou produzir isolamento;
Número mais elevado de componentes de compensação.
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O Método do Lugar das Raízes para o Projeto de Sistemas de Controle
Supõe-se que a planta é inalterável => O sistema deve ser melhorado através da inserção de um compensador
O compensadores poderão se do tipo:
Atraso de fase;
Avanço de fase;
Atraso e avanço de fase.
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O Método do Lugar das Raízes para o Projeto de Sistemas de Controle
Efeitos da adição de pólos
Diminui a estabilidade relativa
Diminui a velocidade da resposta transitória
x
jω
σx
jω
σx x
jω
σxx
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O Método do Lugar das Raízes para o Projeto de Sistemas de Controle
Efeitos da adição de zeros
Aumenta a estabilidade relativa
Aumenta a velocidade da resposta transitória
x
jω
σxx x
jω
σxxo x
jω
σxx o x
jω
σxx o
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Compensação por Avanço de Fase
Seja ,1
1
Ts
TsKsG cc
onde js
Então
Tj
TjKsG cc
1
1
TT
sGc
1tan
1tan
de modo que 0 sGc se 10
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)
2
4
sssGFT malha aberta:
jω
xσ
x-2 0
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)
3131
4
42
42 jsjssssR
sC
FT malha fechada:
jω
xσ
x-2 0
3
3
5,0sradd 2
Características atuais
5,0sradd 4
Características desejadas
Coef. Amort.
Freq. Nat.. Amort.
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)
dndn
n
nn
n
jsjssssR
sC
2
22
2
2
FT malha fechada de segunda ordem:
21 nd
322 js
Nova localização dos pólos de MF
jω
xσ
x-2 0
3
3
32
32
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: R(s) + G(s)-
C(s)Gc(s)
,1
1
Ts
TsKsG cc
com js onde
Nova FT de malha aberta: sGTs
TsKsGsG cc 1
1
Projeto: encontrar valores adequados para T e α.
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)Gc(s)
jω
σ
32PA
2
Procedimento de Projeto
O
ββ
BC DØ/2 Ø/2x
T1
T
1
T1
T
1
T1
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)Gc(s)
jω
σ
32PA
2
Procedimento de Projeto
OØ/2 Ø/2
2102
4322 jsss
sG
logo 30sGc
pois 12180 ksGsGcT
1T
1
xB
(condição de fase)
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)Gc(s)
O pólo e o zero de Gc(s) estão em 4,5s
345,09,2
1T
e , respectivamente (sai por trigonometria). Assim9,2s
537,0185,04,5
1 Tx
jω
σxx o
32
2
9,2
4,5
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)Gc(s)
x
jω
σxx o
32
2
9,2
4,5
4,52
9,2
2
4
4,5
9,2
sss
sK
sss
sKsGsG cc
cKK 4onde
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Compensação por Avanço de Fase
Exemplo 7.1: G(s)R(s) +
-
C(s)Gc(s)
O ganho K é calculado a partir da condição de módulo
7,181
4,52
9,2
322
Ksss
sK
js
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Compensação por Atraso de Fase
Aplica-se nos casos em que a resposta transitória de um sistema possui características satisfatórias, enquanto que a resposta em regime permanente possui características insatisfatórias.
Ts
TsKsG cc 1
1ˆ
A contribuição da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (por exemplo, 5º).
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Compensação por Atraso de Fase
Logo, o pólo e o zero de Gc(s) devem estar muito próximos.
Além disso, o pólo de Gc(s) deve estar próximo da origem do plano s.
Como resultado, os pólos de malha fechada do sistema compensado sofrerão apenas um pequeno deslocamento com relação às posições originais, alterando ligeiramente as características da resposta transitória.
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Compensação por Atraso de Fase
Seja s1 um dos pólos dominantes (mais próximo da origem do plano s) de um sistema. Então
ccc KTs
TsKsG ˆ
1
1ˆ1
11
Para fazer com que a contribuição angular do compensador seja pequena, então
01
15
1
11 Ts
TssGc
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Compensação por Atraso de Fase
Portanto, se , então as características transitórias serão, de fato, não alteradas.
Outra consequência é que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β, com β>1.
1ˆ cK
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Compensação por Atraso de Fase
O erro estático de velocidade do sistema não compensado é dado por
1ˆ cK
ssGKs
v0
lim
O erro estático de velocidade do sistema compensado com o controlador por atraso de fase é dado por
vvc
vcs
cs
v
KKK
KsG
sGssGK
ˆ
lim
limˆ
0
0
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Compensação por Atraso de Fase
O principal efeito negativo do compensador por atraso de fase é a criação de um pólo de malha fechada próximo da origem, o qual produz uma “cauda” alongada de pequena amplitude na resposta ao degrau, aumentando o tempo de acomodação do sistema.
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Compensação por Atraso de Fase
Exemplo 7.2:
21
06,1
ssssG
G(s)R(s) +
-
C(s)
x
jω
σxx
2 1
1j
1j
x
Pólo de malha fechada
Pólo de malha aberta
3386,25864,03307,05864,03307,0
06,1
06,121
06,1
sjsjs
ssssR
sC
Os pólos dominantes de malha fechada são: 5864,03307,0 js
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Compensação por Atraso de Fase
Exemplo 7.2: G(s)R(s) +
-
C(s)
x
jω
σxx
2 1
1j
1j
3386,25864,03307,05864,03307,0
06,1
sjsjssR
sC
sradn 673,0,491,0
dndn
n
nn
n
jsjsss
2
22
2
221 nd
1
053,0
21
06,1lim
s
ssssssGK
sve
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Compensação por Atraso de Fase
Exemplo 7.2:
Deseja-se aumentar a constante de erro estático de velocidade, Kv, para aproximadamente 5s-1, sem que haja modificação significativa na posição dos pólos dominantes de malha fechada.
Isso pode ser feito inserindo um compensador por atraso de fase, de modo que
e posicionando o zero e o pólo do compensador em s=-0,05 e s=-0,005, respectivamente.
Daí,
1053,0
5ˆ vv KK
G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
005,0
05,0ˆ
s
sKsG cc
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Compensação por Atraso de Fase
Exemplo 7.2:
Observe que a contribuição angular do compensador é de -3,5º, aproximadamente, a qual provoca uma pequena alteração no novo lugar das raízes, próximo dos pólos dominantes de malha fechada.
G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A compensação por avanço de fase aumenta a velocidade de resposta e a estabilidade do sistema.
A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em regime permanente, mas reduz a velocidade de resposta.
Logo, para melhorar ambas a resposta transitória e a resposta em regime permanente, pode-se utilizar simultaneamente os dois compensadores.
Outra opção mais econômica é utilizar um único compensador por atraso e avanço de fase.
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
1e1,1
11
2
2
1
1
Ts
Ts
Ts
TsKsG cc
Considere Kc pertencente à porção de avanço de fase do compensador.
Dois casos são possíveis:
1) γ≠β (exemplo 7.3);
2) γ =β (exemplo 7.4).
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
5,0
4
sssGExemplo 7.3: G(s)R(s) +
-
C(s)
Pólos de malha fechada em s=-0,25±j1,9843sradn 2,125,0 18 sKve
Deseja-se que o coeficiente de amortecimento dos pólos dominantes de malha fechada seja igual a 0,5, que a frequência natural não amortecida seja igual a 5rad/s e que a constante de erro estático de velocidade seja de 80s-1.
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
com1,1,1
11
2
2
1
1
Ts
Ts
Ts
TsKsG cc
sGTs
Ts
Ts
TsKsGsG cc
2
2
1
1
1
11
Função de transferência de malha aberta do sistema compensado
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
21, nddn js
A partir da especificações de desempenho, considerando que
temos que os pólos dominantes de malha fechada devem situar-se em s=-2,5±j4,33
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
Como
2355,0
4
33,45,2 jsss
55235180sGacentão
Posicionando o zero da parte de avanço de fase em s=-0,5, cancelamos o pólo da planta em s=-0,5.
Agora, posicionamos o pólo da parte de avanço de fase, de maneira a provocar a contribuição angular de 55º, ou seja, em s=-5
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
Deste modo, a parte relativa ao avanço de fase será
1
11
5
5,0
Ts
TsK
s
sKsG cc
ac
Logo, T1=2 e γ=5/0,5=10. Como
26,615,0
4
5
5,0
33,45,2
c
js
c Ksss
sK
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
A parte relativa ao atraso de fase pode ser projetada como segue: determina-se o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro estático de velocidade.
04,1680988,45,0
4
1026,6lim
limlim
0
00
sss
sGsKsGssGK
s
cs
cs
v
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Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo 7.3: G(s)-
C(s)Gc(s)
R(s)
Requisito de módulo
104,161
1
33,45,22
2
jsTs
Ts
Requisito de fase
0
04,161
15 33,45,2
2
2jsTs
Ts
Ambos os requisitos são satisfeitos escolhendo T2≥5.