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Aula 09
Regras de derivação: constante, potência, multiplicação por uma
constante, soma e diferença, exponencial
Introdução
Se tivéssemos que usar a definição de derivada toda
vez que quiséssemos calcular uma derivada, o
cálculo seria uma disciplina extremamente difícil e
tediosa. Felizmente isto não é necessário; nesta aula
e na próxima, apresentaremos algumas regras que
facilitam grandemente o processo de derivação.
Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais
O gráfico da função constante é a reta
horizontal , cuja inclinação é zero; logo
devemos ter .( ) 0f x
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE
0d
cdx
Função constante
( )f x c
y c
Função Potência
REGRA DA POTÊNCIA ( VERSÃO GERAL)
Se n for um número real qualquer, então:
1n ndx n x
dx
Exemplos
Exemplo 1
6(a) Se ( ) , então f x x f x
4(b) Se , então y t y
100(c) Se , então y x y
3(d) d
rdr
6 16x 56x
4 14x 34x
100 1100x 99100x
3 13x 23x
2
1(a) ( )f x
x
Derive:
3 2(b) y x
Exemplo 2
34
1(c) ( )f x
x
5 3
2(d) ( )
xf x
x
6
9 2(e) ( )
xf x
x
2( )f x x 2 12f x x 32x 3
2
x
2
3y x 2
132
3y x
1
32
3x
1
3
2
3x
3
2
3 x
3
43
4
1f x x
x
3
143
4f x x
7
43
4x
74
3
4 x
2
53
5
22
xf x x
x
21
522.
5f x x
3
54
5x
5 3
4
5 x
1
1 1 166 9 18
2
9
xf x x x
x
11
181
18f x x
18 17
1
18 x
Exemplo 3
Ache as equações da reta tangente e da reta normal
à curva no ponto (1,1).
Solução.
xxy
Equação da Reta Tangente no ponto 1 1 1 1x y f f x
1 3
2 2f x x x x x x 1
23 3
2 2
x xf x
3 1 31
2 2f 1 1 1 1f
3 3 11 1 1 1 1
2 2 2
xy f f x y x y
1Equação da Reta Normal no ponto 1 1 1
1x y f x
f
11 1
1y f x
f
1
1 132
y x
21 1
3y x
2 5
3 3
xy
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Se k for uma constante e f uma função derivável,
então:
(2) ( )kf p ( ) ( )
limx p
kf x kf p
x p
( ) ( )limx p
f x f pk
x p
( )kf p
( ) ( ) ( )d d
kf x k f x k f xdx dx
Demonstração:
Exemplos
4(a) 3d
xdx
Exemplo 4
(b)d
xdx
3
(c)6
d x
dx
Determine:
43d
xdr
33 4x 312x
1d
xdr
1 1 1
31
6
dx
dr
213
6x
2
2
x
REGRA DA SOMA
Se f e g forem ambas deriváveis, então:
Demonstração:
(1) ( )f g p ( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x g x f p g p
x p
( ) ( ) ( ) ( )
limx p
f x f p g x g p
x p x p
( ) ( )
limx p
f x f p
x p
( ) ( )limx p
g x g p
x p
( )f p ( )g p
( ) ( )d d d
f x g x f x g x f x g xdx dx dx
Exemplos
8 5 4 3(b) 12 4 10 6 5d
x x x x xdx
Exemplo 5
3 2(a) 5 4 12 8d
x x xdx
Determine:
5 41( ) 3 2
3
dc x x x
dx
22
1( )
dd x x
dx x
215 8 12x x
7 4 3 28 60 16 30 6x x x x
4 3415 1
3x x
12 2 2
dx x x
dx
13 2
12 2
2x x x
3
2 12
2x
x x
Funções Exponenciais
Definição do número e
h 0
1 é o número tal que lim 1
hee
h
Geometricamente, isso significa que, de todas as possíveis funções exponenciais y=ax, a função f(x)=ex é aquela cuja reta tangente em (0,1) tem inclinação f´(0) = 1 .
DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
x xde e
dx
A função exponencial f(x)=ex tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y=ex é igual à coordenada y do ponto.
Exemplos
Se ,ache e .xf(x) e x f f
Exemplo 8
Exemplo 9
Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x ?
Problemas de Aplicação(Opcional)
Circulação de um Jornal
Estima-se que daqui a t anos a circulação de um jornal será C(t)=100t²+400t+5000.
(a)Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos.
(b)Qual será a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesta ocasião?
Solução(a) A taxa de variação é dada pela derivada da função. Logo:
100 ² 400 5000C t t t 200 400C t t
b A taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5anos
é dada por C 5 , isto é:
5 200 5 400 1400C
Como a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5anos
é positiva, 1400, significa que a circulação do jornal estará aumentando
à uma taxa de 1400 unidades ao ano.
Poluição do Ar
Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela que daqui a t anos a concentração de monóxido de carbono no ar será Q(t)=0,05t²+0,1t+3,4 partes por milhão.
(a)Encontre a expressão para a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a t anos?
(b) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a 2 anos?
2
( ) 3,420 10
t tQ t
Solução(a) A expresssão para taxa de variação é dada por:
²3, 4
20 10
t tQ t 2 1 1 1
20 10 10 10 10
t t tQ t
b A taxa devariação da concentração de monóxido de carbono no ar com
o tempo daqui a 2 anos é dada por 2 , isto é:Q
2 1 32 0,3
10 10Q
Como a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar,
daqui a 2 anos é positiva, 0,3, significa que estará aumentando à uma taxa
de 0,3 partes por milhão ao ano.
RECEITA ANUAL
A receita anual bruta de uma certa
empresa foi R(t)=0,1t²+10t+20
milhares de reais t anos após a empresa
ter sido fundada no ano de 200. A que
taxa a receita anual bruta da empresa
estava variando com o tempo em 2004?
A receita estava aumentando ou
diminuindo naquele momento?
2
( ) 10 2010
tR t t
Solução A taxa de variação da receita anual bruta da empresa é dada por, :R t
²10 20
10
tR t t 5
5
tR t
t
Em 2004, 4, logo:t
4 54 0,8 2,5 3,3
5 4R
Como a taxa de variação da receita, em 2004 é positica, 3,3,
significa que estará aumentando à uma taxa de 3,3 milhares
de reais ao ano.
FÍSICO-QUÍMICA
De acordo com a fórmula de Debye da
físico-química, a polarização
orientacional P de um gás é dada pela
equação onde ,k e N
são constantes positivas e T é a
temperatura do gás. Determine a taxa
de variação de P com T.
24
3 3P N
kT
SoluçãoA taxa de variação de em relaçã a é dada por, .
Como:
dPP T
dT
24
3 3
NP T
kT
24 1
9
N
k T
214
9
NT
k
Temos que:
2
241
9
NdP
dTT
k
2
2
4 1
9
d
k T
P
T
N
d
2
2
4
9
N
kT
dP
dT
LISTA DE EXERCÍCIOS
Sugestão: Mostrar para os alunos os exercícios da lista
correspondentes a esta aula.