8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis

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  f   : A ⊂ R2 −→ R

 

 

f 

  f   : A ⊂ R2 −→ R  

Gf   = {(x,y,f  (x, y)) ∈ R3; (x, y) ∈ Df }

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f   

  R3

 

z

 

  xz

  yz

 

 

 

f   : A ⊂ R2 −→ R?

  f     f   

 f (x, y) = c  

  R3  

  f (x, y) =   c

z   =   c

 

{(x,y,c) ∈ Gf ; f (x, y) = c}

  f     f (x, y) = c    xy

   

 

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f (x, y) = x2 + y2 (    )  z  =  x2 + y2

•  

  xz

y  = 0 ⇒ z =  x2 (    )

•  

  yz

x = 0 ⇒ y  =  z2 (    )

•  

Imf  = [0, +∞)

 

x2 + y2 = 0 ⇒ x =  y  = 0

 

(0, 0)  

c > 0, x2 + y2 = c ⇒ x2 + y2 = (√ 

c)2

 

√ c

 

 

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•  

   

  z =  y2 − x2

•    xz

y = 0 ⇒ z  = −x2

(  

  )

 

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•  

  yz

x = 0 ⇒ y  =  z2 (    )

•  

Imf  = R

 

c = 0 ⇒ y2 − x2 = 0 ⇒ y2 = x2 ⇒ y = ±√ 

x2 ⇒ y  = ±|x| ⇒ y = |x|  

  y  = −|x|

 

c > 0, y2 − x2 = c   (  

  y  

  √ c

 

  −√ c)

 

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c < 0, y2 − x2 = c  (    x  

  √ c  

  −√ c)

•  

•  

 

f (x, y) = k, k  

  f     xy    z    k

 

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f (x, y) = x2

 

f   

  y

z  =  x2

•    xz

y  = 0 ⇒ z  =  x2 (  

  )

•  

  yz

x = 0 ⇒ z = 0

 

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•  

Imf  = [0, +∞)

 

c > 0, x2 = c ⇒ x =√ 

c  

  x = −√ c

•  

•  

 

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  f (x, y) = y2

  f (x, y) = sin y

 

f (x, y) = sin x cos y

  f (x, y) = −   3y

x2 + y2 + 1

 

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  f   : A ⊂ R3 −→ R    Gf   

 

Gf   =

{(x,y,z,f  (x,y,z))

∈R4 : (x,y,z)

∈Df 

}  

f   

  R4

 

 

 

 

f   :  A ⊂  R3 −→  R  

  c ∈ Imf   

  Df 

  c    f     f     c  

  f   

f (x,y,z) = c

   

  f (x,y,z) = z − x2 − y2

Imf  = R

 

c ∈ R, z − x2 − y2 = c ⇒ z  =  x2 + y2 + c

 

(0, 0, c)

 

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  f (x,y,z) = x2 + y2 + z2

Imf  = [0, +∞)

 

c = 0, x2 + y2 + z2 = 0 ⇒ x =  y  =  z  = 0

 

f   

c > 0, x2

+ y2

+ z2

= c

 

√ c 

 

f   

 

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  f   : A ⊂ Rn −→ R    µ  

|f (x1, x2,...,xn)| ≤ µ

  (x1, x2,...,xn) ∈ Df   

 

−µ ≤ f (x1, x2,...,xn) ≤ µ   (∀(x1, x2,...,xn) ∈ Df )

 

  xy    z  =  µ     z  = −µ 

 

   

 

f (x, y) =  x2

x2 + y2 

 

x2 ≤ x2 + y2 ⇒   x2

x+y2 ≤ 1 ⇒

x2

x+y2

≤ 1

  f     g(x, y) =  y2

x2 + y2  

  f (x, y) =  x 

x2 + y2 

 

x x2 + y2

=  |x|

| 

x2 + y2| =√ x2 x2 + y2

=

   x2

x2 + y2 ≤ √ 

1 = 1

  f   

  f (x, y) =  x

x2 + y2 + 1 

 

 

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x

x2 + y2 + 1

=  |x|

x2 + y2 + 1 ≤   |x|

x2 + y2  =

√ x2 

(x + 1)2=

   x2

x2 + 1

1

x2 + 1 ≤

√ 1.1 = 1

  f     f (x, y) =  y

x2 + y2 + 1  

 

f (x, y) =  xy

x2 + y2 

 

xy

x2 + y2

=  |xy|x2 + y2

  =

 (xy)2 

(x2 + y2)2=

   x2y2

(x2 + y2)2  =

   x2

x2 + y2y2

x2 + y2 ≤

√ 1.1 = 1

 

f   

xyx2 + y2

≤   12

  f (x,y,z) =  x(y + z)

x2 + y2 + z2 

 

x(y + z)

x2 + y2 + z2 = xy + xz

x2 + y2 + z2 = xy

x2 + y2 + z2 +

  xz

x2 + y2 + z2 ≤

xy

x2 + y2 + z2

+

xz

x2 + y2 + z2

=  |xy|

x2 + y2 + z2 +

  |xz|x2 + y2 + z2

≤   |xy|x2 + y2

 +  |xz|x2 + z2

 ≤ 1 + 1 = 2

  f   

   

f (x, y) =

  x

x2 + y2

 

 

 

R2  

(x, 0)  

  x = 0  

f (x, 0) =  x

x2 + 02  =

  x

x2  =

  1

x

 

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x  

  1

x  

  f (x, y)  

    f, g   :  A ⊂  Rn −→  R

    k ∈  R    f      g    kf,f  + g, f  − g , f g  

 

 

  f      g    µ1     µ2  

|f (x1,...,xn)| ≤ µ1  

  |g(x1,...,xn)| ≤ µ2,

 

(x1,...,xn) ∈ A  

• |kf (x1,...,xn)| = |k||f (x1,...,xn)| ≤ |k|µ1• |f (x1,...,xn) + g(x1,...,xn)| ≤ |f (x1,...,xn)| + |g(x1,...,xn)| ≤ µ1 + µ2

• |f (x1,...,xn) − g(x1,...,xn)| ≤ |f (x1,...,xn)| + |g(x1,...,xn)| ≤ µ1 + µ2

• |f (x1,...,xn)g(x1,...,xn)| = |f (x1,...,xn)||g(x1,...,xn)| ≤ µ1µ2

  kf,f  +  g, f  − g , f g