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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
MEDIDAS DE DISPERSAO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHAO
17 de outubro de 2016
Estatıtica Basica
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
Sumario
MEDIDAS DE DISPERSAO
Introducao;
Medidas de Dispersao Absoluta;
Amplitude Total;
Calculo da Amplitude Total;
Desvio Medio Simples;
Calculo do Desvio Medio Simples:
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
2o Caso - Variavel Discreta
3o Caso - Variavel Contınua
Estatıtica Basica
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
Introducao
Uma breve reflexao sobre as medidas de tendencia central permite-nos concluir que elas nao sao suficientes para caracterizar totalmenteuma sequencia numerica.Se observarmos as sequencias:
X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
Z : 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13
concluiremos que todas possuem a mesma media 13.No entanto, sao sequencias completamente distintas do ponto devista da variabilidade de dados.
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
Introducao
Na sequencia Z (3) nao ha variabilidade de dados.A media 13 representa bem qualquer valor da serie.Na sequencia Y , a media 13 representa bem a serie, mas existemelementos da serie levemente diferenciados da media 13.Na sequencia X existem muitos elementos bastante diferenciados damedia 13.Concluımos que a media 13 representa otimamente a sequencia Z ,representa bem a sequencia Y , mas nao representa bem a sequenciaX .
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Desvio Medio Simples
Conceitos
O nosso objetivo e construir medidas que avaliem a representativi-dade da media. Para isto usaremos as medidas de dispersao.Observe que na sequencia Z os dados estao totalmente concentradossobre a media 13.Nao ha dispersao de dados. Na sequencia Y ha forte concentracaodos dados sobre a media 13, mas ha fraca dispersao de dados. Jana serie X ha fraca concentracao de dados em torno da media 13 eforte dispersao de dados em relacao a media 13.
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
Medidas de Dispersao Absoluta
As principais medidas de dispersao absolutas sao: amplitude total,desvio medio simples, variancia e desvio padrao.Amplitude Total - E a diferenca entre o maior e o menor valor dasequencia.
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Desvio Medio Simples
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Basta identificar o maior e o menor valor da sequencia e efetuar adiferenca entre estes valores.
Exemplo
Determine a amplitude total da sequencia X : 11, 12, 9, 10, 10, 15.
O maior valor desta sequencia e 15 e o menor valor e 9. Portanto,a amplitude total da sequencia e At = 15− 9 = 6 unidades.
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
2o Caso - VARIAVEL DISCRETA
Como os valores ja se apresentam ordenados, a amplitude total e adiferenca entre o ultimo e o primeiro elemento da serie.
Exemplo
Determine a amplitude total da serie.
xi fi2 13 65 107 3
O maior valor da serie e 7 e o menor valor da serie e 2. Portanto, aamplitude total da serie e At = 7− 2 = 5 unidades.
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
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3o Caso - VARIAVEL CONTINUA
Nesta situacao, por desconhecer o maior e o menor valor da seriedevemos fazer um calculo aproximado da amplitude total da serie.Consideraremos como maior valor da serie o ponto medio da ultimaclasse e como menor valor da serie o ponto medio da primeira classe.A amplitude total e a diferenca entre estes valores.
Exemplo
Determine a amplitude total da serie:
Classe Int. cl. fi1 2 ` 4 52 4 ` 6 103 6 ` 8 204 8 ` 10 75 10 ` 12 2
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
3o Caso - VARIAVEL CONTINUA
O ponto medio da ultima classe e 11 e o ponto medio da primeiraclasse e 3. Portanto, At = 11− 3 = 8 unidades.COMENTARIO: Apesar da facilidade de obtencao da amplitudetotal, esta medida apresenta a inconveniencia de depender apenasde dois valores da serie. E possıvel modificar completamente a dis-persao ou a concentracao dos elementos em torno da media, semalterar a amplitude total da serie. E uma medida que tem poucasensibilidade estatıstica.
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Desvio Medio Simples
Desvio Medio Simples
O conceito estatıstico de desvio corresponde ao conceito matematicode distancia.A dispersao dos dados em relacao a media de uma sequencia podeser avaliada atraves dos desvios de cada elemento da sequencia emrelacao a media da sequencia.O desvio medio simples que indicaremos por DMS e definido comosendo uma media aritmetica dos desvios de cada elemento da seriepara a media da serie
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Calculamos inicialmente a media da sequencia. Em seguida identi-ficamos a distancia de cada elemento da sequencia para sua media.Finalmente, calculamos a media destas distancias.Se a sequencia for representada por X : x1, x2, . . . , xn, entao o DMSadmite como formula de calculo:
DMS =
∑|xi − x |
n
Exemplo
Calcule o DMS para a sequencia: X : 2, 8, 5, 6.
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MEDIDAS DE DISPERSAOCalculo da Amplitude Total
Desvio Medio Simples
1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Determinamos inicialmente a media da serie:
X =
∑xi
n=
2 + 8 + 5 + 6
4= 5, 25
em seguida determinamos as distancias de cada elemento da seriepara a media da serie:|x1 − x | = |2− 5, 25| = 3, 25|x1 − x | = |8− 5, 25| = 2, 75|x1 − x | = |5− 5, 25| = 0, 25|x1 − x | = |6− 5, 25| = 0, 75O DMS e a media aritmetica simples destes valores.
DMS =3, 25 + 2, 75 + 0, 25 + 0, 75
4=
7
4= 1, 75
Interpretacao: Em media, cada elemento da sequencia esta afastadodo valor 5,25 por 1,75 unidades.
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2o Caso - Variavel Discreta
No caso da apresentacao de uma variavel discreta, lembramos que afrequencia simples de cada elemento representa o numero de vezesque este valor figura na serie. Consequentemente, havera repeticoesde distancias iguais de cada elemento distinto da serie para a mediada serie. Assim, a media indicada para estas distancias e uma mediaaritmetica ponderada.A formula para o calculo do DMS e:
DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi
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2o Caso - Variavel Discreta
Exemplo
Determine o DMS para a serie:
xi fi1 23 54 25 1
O numero de elementos da serie e n =∑
fi = 10.A media da serie e:
X =
∑xi fi∑fi
Usaremos a disposicao da tabela, acrescentando novas colunas paraa resolucao dos calculos.
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2o Caso - Variavel Discreta
xi fi xi fi1 2 23 5 154 2 85 1 5∑
fi = 10∑
xi fi = 30
A media da serie e:
X =
∑xi fi∑fi
=30
10= 3
O DMS e dado por:
DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi
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2o Caso - Variavel Discreta
Incluiremos outra coluna para efetuar estes calculos:
xi fi xi fi |xi − x |fi1 2 2 43 5 15 04 2 8 25 1 5 2∑
fi = 10∑
xi fi = 30∑|xi − x |fi = 8
O desvio medio simples e:
DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi=
8
10= 0, 8 unidades.
Interpretacao: Em media, cada elemento da serie esta afastado dovalor 3 por 0,8 unidade.
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3o Caso - Variavel Contınua
Nesta situacao, por desconhecer os valores individuais dos elementoscomponentes da serie, substituiremos estes valores xi , pelos pontosmedios de classe.Desta forma, o desvio medio simples tem por calculo a formula:
DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi
onde xi e o ponto medio da classe i .
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3o Caso - Variavel Contınua
Exemplo
Determine o DMS para a serie.
Classe Int. cl. fi1 2 ` 4 52 4 ` 6 103 6 ` 8 44 8 ` 10 1
O numero de elementos da serie e n =∑
fi = 20. Usaremos adisposicao da tabela acrescentando as colunas necessarias para aresolucao dos calculos.
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3o Caso - Variavel Contınua
Inicialmente acrescentamos a coluna dos pontos medios das classes:
Classe Int. cl. fi xi1 2 ` 4 5 32 4 ` 6 10 53 6 ` 8 4 74 8 ` 10 1 9∑
fi = 20
Em seguida, calculamos a media da serie: X =
∑xi fi∑fi
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3o Caso - Variavel Contınua
Classe Int. cl. fi xi xi fi1 2 ` 4 5 3 152 4 ` 6 10 5 503 6 ` 8 4 7 284 8 ` 10 1 9 9∑
fi = 20∑
xi fi = 102
A media da serie e:
X =
∑xi fi∑fi
=102
20= 5, 1
O DMS e dado por DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi
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3o Caso - Variavel Contınua
Classe Int. cl. fi xi xi fi |xi − x |fi1 2 ` 4 5 3 15 10,502 4 ` 6 10 5 50 1,003 6 ` 8 4 7 28 7,604 8 ` 10 1 9 9 3,90∑
= 20∑
= 102∑
= 23
O DMS =
∑|xi − x |fi∑
fi=
23
20= 1, 15 unidades
Interpretacao: Em media, cada elemento da serie esta afastado de5,1 por 1,15 unidades.
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3o Caso - Variavel Contınua
COMENTARIO: O desvio medio simples depende de cada compo-nerte da serie. Se mudarmos o valor de um unico elemento da serie,mudamos tambem o DMS . Portanto, o desvio medio simples temperfeita sensibilidade estatıstica. A maior dificuldade desta medidae envolver modulos, cujas propriedades, em geral nao sao suficien-temente conhecidas pelos estagiarios que normalmente desenvolvemestes calculos.
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Desvio Medio Simples
MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estatıstica Geral eAplicada, 4 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011
SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;GONCALVES, Valter; MUROLO, Afranio Carlos,ESTATISTICA Para os cursos de: Economia, Administracao eCiencias Contabeis 3 ed. Sao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999
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