Professor: Sergio Maurício

Aula - 02

MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS DUPLAS

Através de uma mudança de variáveis

x = x(u, v) e y = y(u, v)

uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa

u = u(x, y) e v = v(x, y).

Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos

(3)

Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v.

A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por:

(04)

e seu jacobiano é dado por

Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:

(05)

COORDENADAS POLARES Obtenção da Fórmula

Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem: