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Análise Vetorial
Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo� Revisão de conceitos de análise vetorial
� A análise vetorial facilita a descrição matemática das equações encontradas no eletromagnetismo
Vetores e Álgebra Vetorial
EscalaresVetores� Álgebra vetorial
� Bi-dimensionais� Tri-dimensionais� N-dimensionais
Quatro operações� Soma de vetores� Produto por escalar� Produto escalar� Produto vetorial
Vetores e Álgebra Vetorial
Adição de vetores
Ar
Br
BArr
+BArr
+Ar
Br
Regra do paralelogramo
� Adição é comutativa
ABBArrrr
+=+
� Adição é associativa
( ) ( ) CBACBArrrrrr
++=++
Vetores e Álgebra Vetorial
Subtração de vetores
Ar
Br
BArr
−
Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar
( )BABArrrr
−+=−
Vetores e Álgebra Vetorial
Multiplicação por escalar
Ar
Multiplica o módulo e pode alterar o sentido, mas não altera direção
Ar
2 Ar
2−
( )( ) ( ) ( ) BsAsBrArBAsBArBAsrrrrrrrrrrr
+++=+++=++
• Divisão por escalar = Multiplicação pelo inverso do escalar
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Método mais simples para descrever um vetorSistema tri-dimensional� Três eixos formando ângulos retos entre si (x, y e z)� Um ponto é dado pelo valor constante de x, y e z
(coordenadas escalares)� Um vetor é dado pela soma de suas componentes ao longo
dos 3 eixos coordenados
x
z
y
)3,2,1(p
x
z
y
rr
xr
yr
zr zyxr
rrrr++=
Vetores unitários
Vetores de módulo unitário na direção de cada eixo e no sentido crescente
Para obter a componente do vetor em cada eixo, basta multiplicar cada vetor unitário por um escalar
x
z
y
zar
xar ya
r
zyx azayaxzyxrrrrrrrr
++=++=
Vetores unitários
Para definir um vetor unitário em qualquer direção, basta dividir cada componente do vetor pelo módulo do mesmo� O vetor unitário na direção de será:
Ex: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3)� Vetor AC� Vetor unitário na direção BA� Distância entre B e C� Vetor de A até o ponto médio entre B e C
zyxr ar
za
r
ya
r
x
r
ra
rr
rr
rrr
rr
++==
rar
rr
222zyxr ++=
r
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto escalar
Ar
• O resultado do produto é um escalar
Br
• Projeção de um vetor na direção do outro e multiplicação dos módulos
θ
ABBABA θcosrrrr
=⋅
ABBArrrr
⋅=⋅
• Multiplicação do módulo de A na direção de B pelo módulo de B
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto escalar utilizando coordenadas retangulares
pois sabemos que
Produtor escalar de um vetor por ele mesmo
zzyyxx aAaAaAArrrr
++=
zzyyxx aBaBaBBrrrr
++=
zzyyxx BABABABA ++=⋅rr
2
0cos AAAAArrrrr
==⋅
0=⋅=⋅=⋅ zyzxyx aaaaaarrrrrr
1=⋅=⋅=⋅ zzyyxx aaaaaarrrrrr
02/cos90cos == πo
10cos =
Vetores e Álgebra Vetorial
Exemplo: A partir dos vetores abaixo determinar
� F · G� O ângulo entre eles� A componente escalar de F na direção de G� A projeção de F na direção de G
zyx aaaFrrrr
452 −−= zyx aaaGrrrr
253 ++=
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto vetorial
Ar
• O resultado do produto é um vetor perpendicular ao plano contendo os vetores A e B, cujo sentido segue a regra da mão direita
Br
• O módulo do vetor resultante é numericamente igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores
θ
ABn BAaBA θsenrrrrr
=×
( )ABBArrrr
×−=×
zyx aaarrr
=×
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto vetorial utilizando componentes cartesianas
sabemos que
temos
zzyyxx aAaAaAArrrr
++= zzyyxx aBaBaBBrrrr
++=
+×+×+×=× zxzxyxyxxxxx aaBAaaBAaaBABArrrrrrrr
zyx aaarrr
=×
0=×=×=× zzyyxx aaaaaarrrrrr
12/sen90sen == πo
00sen =
+×+×+×+ zyzyyyyyxyxy aaBAaaBAaaBArrrrrr
+×+×+×+ zzzzyzyzxzxz aaBAaaBAaaBArrrrrr
zxy aaarrr
−=×
( ) ( ) ( )zxyyxyzxxzxyzzy aBABAaBABAaBABABArrrrr
−+−+−=×
Vetores e Álgebra Vetorial
Produto vetorial na forma determinante
E1.4) Dado o triângulo abaixo, determine� AB×AC� Área do triângulo� Vetor unitário perpendicular ao plano do triângulo
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
rrr
rr=×
A(6,-1,2)
B(-2,3,-4)
C(-3,1,5)
Sistemas de coordenadas
Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo� Revisão de sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas
� Os sistemas facilitam cálculos em problemas que possuem geometria cilíndrica ou esférica
Coordenadas cilíndricas circulares
Um ponto no espaço tridimensional é dado por:� Distância do ponto
ao eixo z (ρ)� Ângulo que ρ faz
com o eixo x (φ)� Altura (z)
Coordenadas cilíndricas circulares
Vetores unitários
� Perpendiculares entre si
� Não são eixos, são funções das coordenadas
� Regra do triedro direito
zaaarrr
,, φρ
zaaarrr
=× φρ
Coordenadas cilíndricas circulares
φρ cos=x
Relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas
ou
φρ sen=y
zz =
22yx +=ρ
= −
x
y1tanφ
zz =
Coordenadas cilíndricas circulares
Elemento diferencial de volume� Como ρ e z têm dimensão de comprimento, os elementos
diferenciais são dρ e dz, respectivamente� A componente diferencial na direção de aφ é ρd φ
dzdddV φρρ=
Elemento diferencial de volume
(φ em rad)
Coordenadas cilíndricas circulares
Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas� Seja
queremos obter
Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas
zzyyxx aAaAaAArrrr
++=
zzaAaAaAArrrr
++= φφρρ
ρρρρρ aaAaaAaaAaAA zzyyxx
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=
φφφφφ aaAaaAaaAaAA zzyyxx
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=
zzzzyyzxxzz aaAaaAaaAaAArrrrrrrr
⋅+⋅+⋅=⋅=
Coordenadas cilíndricas circulares
Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas� Analisando os produtos escalares entre vetores unitários,
podemos resumi-los na seguinte Tabela
� Exemplo 1.3: Encontre para o campo vetorial abaixo
( ) zyx azaxayzyxBrrrr
+−=,,
( )zB ,,φρr
Coordenadas cilíndricas circulares
E1.5) e E1.6)� Dê as coordenadas cartesianas do ponto
� Dê as coordenadas cilíndricas do ponto
� Determine a distância entre C e D
� Transforme para coordenadas cilíndricas
no ponto
no ponto
� Transforme para coordenadas retangulares
no ponto
)2;115;4,4( =−== zCoφρ
)3;6,2;1,3( −==−= zyxD
zyx aaaFrrrr
6810 +−= ( )6,8,10 −P
( ) ( )yx axyayxGrrr
42 −−+= ( )zQ ,,φρ
zaaaHrrrr
31020 +−= φρ( )1,2,5 −P
Coordenadas esféricas
Um ponto no espaço tridimensional é dado por:� Distância do ponto a
origem ( r ) � Ângulo que r faz
com o eixo z (θ)� Ângulo que r faz
com o eixo x (φ)
Coordenadas esféricas
Vetores unitários
� Perpendiculares entre si
� Não são eixos, são funções das coordenadas
� Regra do triedro direito
φθ aaar
rrr,,
φθ aaar
rrr=×
Relação entre coordenadas retangulares e esféricas
ou
Coordenadas esféricas
φθ cossenrx =
φθ sensenry =
θcosrz =
222zyxr ++=
= −
x
y1tanφ
222
1cos
zyx
z
++= −θ ( )πθ ≤≤0
Coordenadas esféricas
Elemento diferencial de volume� Os comprimentos diferenciais nas direções r , θ e φ são, respectivamente,
� Elemento diferencial de volume
φθθ drrddr sen,,
(φ e θ em rad)
φθθ ddrdrdV sen2=
Coordenadas esféricas
Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas� Seja
queremos obter
Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das coordenadas esféricas
zzyyxx aAaAaAArrrr
++=
φφθθ aAaAaAA rr
rrrr++=
rzzryyrxxrr aaAaaAaaAaAArrrrrrrr
⋅+⋅+⋅=⋅=
φφφφφ aaAaaAaaAaAA zzyyxx
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=
θθθθθ aaAaaAaaAaAA zzyyxx
rrrrrrrr⋅+⋅+⋅=⋅=
Coordenadas esféricas
Conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas� Analisando os produtos escalares entre vetores unitários,
podemos resumi-los na seguinte Tabela
� Exemplo1.4: Encontre para o campo vetorial abaixo
( ) xay
xzzyxG
rr=,,
( )φθ ,,rGr
Coordenadas esféricas
E1.7)� Dê as coordenadas cartesianas do ponto
� Dê as coordenadas esféricas do ponto
� Determine a distância entre C e D
E1.8)
� a) Transforme para coordenadas esféricas
no ponto
( )oo70;20;5 −=== φθrD
)1;2;3( ==−= zyxC
xaFrr
10= ( )4,2,3−P
Lista de exercícios
Capítulo 1 (Hayt)� 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.13, 1.17, 1.19, 1.21, 1.25, 1.27, 1.30