aula 01 e 02 - matematica financeira i
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APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRATRANSCRIPT
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Prof. Felipe Lemos
Aulas 01 e 02
Matemtica financeira
Engenharia Econmica
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Engenharia Econmica Prof. Felipe Lemos
Problema de aquecimento
Voc tem uma fbrica de portas. Seus produtos possuem um
componente cuja fabricao feita por injeo. Atualmente voc gasta
R$ 1,00 por pea para ser feita, sendo que vende 10.000 peas no
ms.
Uma injetora como voc gostaria e o molde para sua pea seriam um
investimento de R$ 300.000,00. O custo anual de operao e
manuteno seria de R$ 30.000,00. A capacidade de produo da
mquina de 100 peas por hora.
O que voc faria? Vale pena comprar?
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Problema de aquecimento
Considere que voc possui R$ 600.000,00 guardados para este fim
em banco, em uma aplicao que rende 8% ao ano, e que conta com
as seguintes opes:
FINAME: financiamento em 4 anos com parcela anuais iguais a R$ 81.675,34; Consrcio: parcelas anuais de R$ 76.884,33 com sorteio anuais; Usar o capital prprio Continuar terceirizando
Considere que a mquina no vale mais nada ao final de 4 anos.
Desconsidere tambm efeitos fiscais.
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Problema de aquecimento
Usar capital prprio para comprar a mquina:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gastos de
operao
Investimento
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Problema de aquecimento
Continuar terceirizando
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gastos com
fornecedor
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Problema de aquecimento
FINAME:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
financiamento e
operao
InvestimentoFinanciamento
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Problema de aquecimento
Consrcio, contemplado no primeiro sorteio:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
parcelas e
operao
InvestimentoContemplado
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Problema de aquecimento
Consrcio, contemplado no ano 1:
8% de juros
sobre o saldo
do ano anterior
Gasto com
parcelas e
operao
Investimento,
terceirizao no
ano 1 e parcelaContemplado
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Problema de aquecimento
Considere novos cenrios:
E se as vendas crescerem para 20.000? E se cairem para 5.000? E se o rendimento da aplicao cair para 6%? E se subir para 15%? E se o preo da terceirizao cair para R$ 0,75? E se o preo da terceirizao
subir para R$ 1,50?
E se eu puder vender a mquina por R$ 75.000,00 ao fim de 4 anos? E se o custo de operao anual for de R$ 20.000,00? E se for R$ 50.000,00? E se a capacidade da mquina for de 50 peas por hora? E se for de 200? E se ?
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Engenharia econmica: objetivos
Entender e saber manipular o dinheiro no tempo
Modelar sistemas de produo do ponto de vista econmico
Avaliar opes de investimento, diferentes tecnologias, diferentesmtodos, sob o crivo econmico
Avaliar risco
Conhecer ferramentas de financiamento e investimento demercado
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Engenharia econmica: contexto
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Cronograma
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Dinheiro no tempo
Por que R$ 1,00 hoje vale mais do que R$ 1,00 amanh?
Risco de no receber
Inflao
Custo de oportunidade
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Aula de hoje: matemtica financeira
Regime de capitalizao composta ou exponencial
Equivalncia de capitais
Exemplo de fluxo de caixa
Srie uniforme
Perpetuidades
Equivalncia de taxas de juros
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Regime de capitalizao composta
S = P (1 + i )n
S valor futuro
P valor presente
i taxa de juros
n nmero de periodos
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende
0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
se tenho R$ 100,00 e coloco na poupana que rende
0,5% ao ms, quanto terei em 6 meses?
S = P (1 + i )n
S = 100 (1 + 0,005)6 = R$ 103,04
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao
ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tenho que colocar em um CDB, que rende 1% ao
ms, para ter R$ 1.000,00 daqui um ano?
S = P (1 + i )n
1000 = P (1 + 0,01)12 = R$ 887,45
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00
pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de
1 ano. Qual a taxa de juros mensal?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
um ttulo do governo com valor de face de R$ 10.000,00
pode ser comprado hoje por R$ 9.250,00, com prazo de
1 ano. Qual a taxa de juros mensal?
S = P (1 + i )n
10.000 = 9.250 (1 + i )12
1 + i = (10.000 / 9.250)1/12
i = 0,6518%
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana
(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?
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Regime de capitalizao composta
Exemplo:
quanto tempo tenho que deixar R$ 1.000 na poupana
(0,5% ao ms) para ter R$ 1.200,00?
S = P (1 + i )n
1.200 = 1.000 (1 + 0,005 )n
(1 + 0,005 )n = 1,2
n = log1,005 1,2 = log10 1,2
log10 1,005=
1,2
1,005= 36,55 meses
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Regime de capitalizao composta
Exerccio:
quanto tempo tenho que deixar um certo capital em uma
aplicao que rende 10% ao ano para que ele dobre?
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Equivalncia de capitais
Dois capitais so equivalentes quando obedecem a relao de
capitalizao composta em um dado contexto.
R$ 100,00 equivalente a R$ 103,04 a uma taxa de 0,5% ao ms, 6 meses antes
R$ 1.000,00 equivalente a R$ 887,45 a uma taxa de 1% ao ms, 12 meses depois
R$ 10.000 equivalente a R$ 9.250 a uma taxa de 0,6518% ao ms, 12 meses antes
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
Estruturao
Encaixes: seta para cima
Desencaixes: seta para baixo
Escala coerente com a taxa de juros
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Compro um carrinho de pipoca a R$ 10.000,00, lucro R$ 3.500,00 no primeiro ms,
R$ 2.500,00 no segundo, tenho um prejuzo de R$ 1.000,00 (manuteno) e um
lucro de R$ 5.500 no quarto ms, quando vendo-o usado. Foi um bom negcio?
Considere que meu dinheiro poderia ter rendido 2% ao ms.
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Comparao sempre em um nico
ponto no tempo (geralmente 0):
R$ 10.000,00 j est no 0
Quanto vale R$ 3.500,00 um ms depois?
3.500 = P (1 + 0,02 )1 P = R$ 3.431,37
Quanto vale R$ 2.500,00 dois meses depois?
2.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 2.402,92
Quanto vale R$ 1.000,00 trs meses depois?
1.000 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 942,32
Quanto vale R$ 5.500,00 quatro meses depois?
5.500 = P (1 + 0,02 )2 P = R$ 5.081,15
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Fluxo de caixa
0
1 2
3
4
R$ 10.000,00
R$ 3.500,00
R$ 2.500,00
R$ 1.000,00
R$ 5.500,00
Saldo (comparando todos no perodo 0):
-10.000,00 + 3.431,37 + 2.402,92 - 942,32 + 5.081,15 = R$ -26,88
Meu dinheiro teria rendido mais na aplicao
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Fluxo de caixa
Exerccio:
Considere um fluxo de caixa com a seguinte caracterstica:
Investimento de R$ 10.000,00
Retornos anuais de R$ 2.000,00 por 10 anos
Custo de oportunidade de 10% ao ano
Vale pena o investimento? E se o seu custo de oportunidade for de 20% ao ano?
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Srie uniforme
0
1 2 3 4
x x x x Caso especial: srie com um
investimento no perodo 0 e
retornos iguais nos demais (ou o
contrrio, entrada no perodo 0 e
pagamentos iguais nos demais)
Muito comum: financiamentos,
negcios estveis, aplicaes
financeiras etc.
= (1 + )1
(1 + )
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Srie uniforme: exemplo
Sua loja vende um produto que custa R$ 1.000,00 vista. Seu custo financeiro de
2% a.m. Quanto deve ser o valor da parcela se voc divider em 12 vezes?
= (1 + )1
(1 + )
1.000 = (1 + 0,02)121
(1 + 0,02)120,02 =
1000
1,0212 11,02120,02
=1000
10,5753= $94,56
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Srie uniforme: exemplo
Sua fbrica vende um produto por R$ 600,00 em 4 parcelas de R$ 150,00 sem juros,
sendo uma vista e as outras 3 com 30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro
de 1% a.m., calcule o desconto que pode ser dado vista.
= (1 + )1
(1 + )
= 150(1 + 0,01)31
(1 + 0,01)30,01 = 150
1,013 1
1,0130,01= 150 2,9410 = $ 441,15
= 150[] + 441,15[] = $591,15
=600 591,15
600= 1,475%
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Srie uniforme: exemplo
Sua fbrica vende um produto por R$ 900,00 em 3 parcelas de R$ 300,00 sem juros, com
30, 60 e 90 dias. Considerando um custo de financeiro de 1% a.m., calcule o desconto que
pode ser dado vista.
= (1 + )1
(1 + )
= 300(1 + 0,01)31
(1 + 0,01)30,01 = 300
1,013 1
1,0130,01= 300 2,9410 = $ 882,30
=900 882,30
900= 1,97%
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Srie uniforme: exemplo
Voc tem a opo de comprar um produto por R$ 1.000,00 dividido em 4 parcelas iguais
mensais, sem entrada. Se pagar vista, tem 3% de desconto. Supondo que voc possui
dinheiro suficiente e este est rendendo 1% ao ms no banco, avalie a melhor opo.
= (1 + )1
(1 + )
= 250(1 + 0,01)41
(1 + 0,01)40,01 = 250 3,9020 = $ 975,50
= 1.000 1 0,03 = $ 970,00
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Perpetuidade
0
1 2 3
x x x x Caso especial: srie com um
recebimentos ou retornos iguais
infinitamente
Muito comum em avaliaes de
empresas ou ativos durveis.
=
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Perpetuidade: exemplo
Voc dono de uma fbrica que lucra anualmente R$ 500.000,00, lquido e disponvel aos
acionistas. Um banco de investimento faz uma oferta de R$ 2.000.000,00 por 50% da sua
empresa. Qual sua deciso, supondo que seu custo de oportunidade previsto para os
prximos anos a atual taxa SELIC?
=
=250.000,00
0,1225 =
250.000,00
0,1225= $ 2.040.816,33
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Equivalncia de taxa de juros
O que melhor: uma aplicao rende 12% ao ano e ou 1% ao ms?
Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 12% ao ano, ao final de 1 ano teremos:
S = 1 (1 + 0,12 )1 = R$ 1,20
Se colocarmos R$ 1,00 em uma aplicao de 1% ao ms, ao final de 1 ano teremos:
S = 1 (1 + 0,01 )12 = R$ 1,27
Como podemos converter taxas equivalentes, ento?
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Equivalncia de taxa de juros
Taxa equivalentes so aquelas que levam mesma capitalizao
em perodos iguais.
S1 = P1 (1 + i1 )n1
S2 = P2 (1 + i2 )n2
Para que seja equivalentes, S1/P1 = S2/P2, ento (1 + i1 )n1 = (1 + i2 )n2
Exemplo: qual o equivalente mensal de 10% ao ano?
1 ano (n1) = 12 meses (n2)
(1 + 0,1 )1 = (1 + i2 )12 i2 = 0,7974%
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Equivalncia de taxa de juros
Exerccio: quanto a poupana rende ao ano?
(A poupana uma aplicao que rende 0,5% ao ms)
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Equivalncia de taxa de juros: exemplos
Quanto rende a taxa SELIC ao ms?
(1 + 0,1225 )1 = (1 + i )12 i = 0,9676%
Quanto rende a poupana ao ano? (0,5% a.m.)
(1 + i )1 = (1 + 0,005 )12 i = 6,1678%
Quanto custa o crdito rotativo do carto de crdito ao ano? (8,90% a.m.)
(1 + i )1 = (1 + 0,089 )12 i = 178,1855%
Quanto a taxa ao bimestre de uma aplicao que rende 3,5% ao trimestre?
(1 + i )3 = (1 + 0,035 )2 i = 2,3199%
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Financiamentos
Modelos de financiamento
Price: parcelas iguais
SAC: Sistema de Amortizaes Constantes
SACRE: Sistema de Amortizaes CREscentes
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
Frmula de
sries uniformes
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
10% do saldo
devedoranterior
Amortizao = Prestao Juros
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
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Financiamentos
Tabela Price (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Valor financiado
dividido pelonmero de perodos
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
10% do saldo
devedoranterior
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Financiamentos
SAC (5 anos, 10% a.a.)
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
10% do saldo
devedoranterior
Prestao = Amortizao + Juros
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Financiamentos
SACRE (5 anos, 10% a.a.)
10% do saldo
devedoranterior
Saldo devedor(i) = Saldo devedor (i-1) Amortizao(i)
Mdia aritmticaentre Price e SAC
Mdia aritmtica entre Price e SAC
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Financiamentos: exemplo genrico
Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:
Valor total: R$ 1.000.000,00
Prazo: 10 anos, com primeiro pagamento ao final do quarto ano
Juros: 5% ao ano por 6 anos, 7% ao ano nos ltimos 4
Pagamentos:
Amortizao: constante a cada 2 anos
Juros: anual, mesmo na carncia
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Financiamentos: exemplo genrico
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Financiamentos: exemplo genrico
Voc tomou um financiamento com as seguintes caractersticas:
Valor total: R$ 1.000.000,00
Prazo: 10 anos, com carncia de 2 anos
Juros: 10% ao ano
Pagamentos: constante, a partir do terceiro ano, inclusive dos juros
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Financiamentos: exemplo genrico