aula 00(25)

Raciocnio Lgico p/ ANS

Teoria e exerccios comentados

Prof Marcos Pion Aula 00

Prof. Marcos Pion www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 38

AULA 00: Conjuntos

SUMRIO PGINA 1. Apresentao 01 2. Conjuntos 03 3. Exerccios comentados nesta aula 31 4. Exerccios propostos 34 5. Gabarito 38

1 - Apresentao

Ol, meu nome Marcos Pion, sou casado, baiano, torcedor do Baha e formado em Engenharia Eletrnica pela Universidade Federal da Bahia. Atualmente moro em Braslia e trabalho na Secretaria de Oramento Federal do Ministrio do Planejamento (MPOG), onde fui aprovado em 8 lugar para o cargo de Analista de Planejamento e Oramento - APO, no concurso realizado em 2008. Fiz faculdade de Engenharia por sempre ter tido afinidade com a Matemtica, pois realmente um assunto que tenho prazer em estudar (cheguei at a dar aulas de reforo de Matemtica na poca da faculdade para ganhar um trocado). Aps me tornar APO, decidi criar um site no intuito de aprender um pouco mais de informtica e tambm poder ajudar os concurseiros (raciociniologico.50webs.com). Foi uma experincia maravilhosa, apesar de ser algo bem primitivo, mas que tenho um carinho enorme. Tambm recebi vrios e-mails com agradecimentos, o que causou uma sensao muito boa. Isso me fez tomar gosto pela coisa e comecei a preparar materiais e estudar bastante a matria. Com isso, recebi um convite do Professor Srgio Mendes, para fazer parte desta equipe.

Com relao ao nosso curso de Raciocnio Lgico para a Agncia Nacional de Sade Suplementar - ANS (todos os cargos), cujo edital foi publicado no dia 12/04/2013, trata-se de uma disciplina que agrega vrios assuntos da matemtica bsica estudada no ensino fundamental e mdio (em minha poca era 1 e 2 graus). Vamos dar uma olhada no edital:

1 - Estruturas lgicas.

2 - Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses.

3 - Lgica sentencial (ou proposicional): proposies simples e compostas; tabelas-verdade; equivalncias; leis de De Morgan; diagramas lgicos.

4 - Lgica de primeira ordem.

5 - Princpios de contagem e probabilidade.

6 - Operaes com conjuntos.





7 - Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

Esse contedo relativamente comum em provas do CESPE, o que nos garante uma boa quantidade de questes. Pretendo chegar ao final do curso com cerca de 300 questes resolvidas, inclusive com questes do CESPE de 2012, o que far com que apaream na prova vrias questes semelhantes s resolvidas em nosso curso.

Com base nesse edital, resolvi montar o curso da seguinte maneira:

Aula Contedo Data Aula 00 Conjuntos J disponvel

Aula 01 Lgica (Parte 1) 17/04/2013



Aula 04 Princpios de contagem e probabilidade 01/05/2013

Aula 05 Problemas aritmticos e matriciais 06/05/2013

Aula 06 Problemas geomtricos 10/05/2013

Aula 07 Bateria de Questes Resolvidas 15/05/2013

Procurarei abordar a teoria at o limite necessrio e de forma resumida, e darei um foco maior na resoluo de questes. Em outras matrias, talvez, o melhor seja aprofundar a teoria e resolver algumas questes. Posso afirmar sem medo de errar que em Raciocnio Lgico a lgica outra. Sempre vou procurar, a cada assunto exposto, colocar exemplos de questes, sempre do CESPE, e no final da aula mais uma relao com mais questes, com gabarito, para o aluno treinar. A resoluo dessas questes ser apresentada na aula seguinte, juntamente com o prximo contedo. As questes comentadas em cada aula esto listadas no final do arquivo, caso o aluno queira tentar resolv-las antes de ver a soluo (eu recomendo!). A ltima aula rene dois simulados, com 20 questes cada, para um treino final antes da prova.

Espero que gostem do curso, no economizem na resoluo de questes e no deixem de aproveitar o frum, seja para tirar dvidas, ou para enviar crticas e sugestes.

Um abrao e bons estudos!!!





2 Conjuntos

Vamos comear esta aula relembrando alguns conceitos fundamentais para o nosso estudo. Relembraremos apenas alguns tpicos para nos familiarizarmos com os smbolos e a linguagem utilizados.

A definio de conjuntos bastante intuitiva, mas podemos dizer que os conjuntos so colees de coisas. Exemplos:

- Os carros de uma locadora de veculos Z formam o conjunto de carros da locadora de veculos Z.

- Os policiais do 1 Batalho em Fortaleza formam o conjunto dos policiais do 1 Batalho em Fortaleza.

Vemos que realmente um conceito muito intuitivo.

Os conjuntos, normalmente simbolizados com letras maisculas, so representados com a enumerao dos seus elementos entre chaves. Ex: V = {a, e, i, o, u} (conjunto das vogais). Esse mesmo conjunto pode ser representado por meio da propriedade de seus elementos, ou seja, uma caracterstica que defina todos os elementos que pertencem quele conjunto. No nosso exemplo V = {x | x uma vogal} (lemos: V igual ao conjunto dos elementos x tal que x seja uma vogal). Assim,

V = {a, e, i, o, u} = {x | x uma vogal}

E se o conjunto tiver milhares de elementos? Ou ento, infinitos elementos? Calma, pois ns podemos utilizar a enumerao dos elementos, mesmo quando o conjunto infinito. Para isso enumeramos alguns elementos que evidenciem a lei de formao do conjunto e finalizamos com reticncias.

I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} (conjunto dos nmeros mpares positivos)

Alm disso, podemos utilizar esta mesma notao quando o conjunto finito, mas possui uma enorme quantidade de elementos.

J = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 5.000} (conjunto dos nmeros inteiros de 0 a 5.000)

Podemos, tambm, representar os conjuntos por meio de diagramas. O conjunto A = {0, 1, 2} pode ser representado por:

A =

0 2 1





Relao de pertinncia

Aqui estamos falando da relao dos elementos com os conjuntos. No so relaes entre conjuntos, mas dos elementos com eles. O elemento pode fazer parte de um conjunto (dizemos que o elemento pertence ao conjunto) ou o elemento pode no fazer parte do conjunto (dizemos que o elemento no pertence ao conjunto). Os smbolos que utilizamos para representar essa relao so:

x A (lemos: x pertence ao conjunto A, ou x elemento de A) y K (lemos: y no pertence ao conjunto K, ou y no elemento de K)

Pode existir algum conjunto que no possua nenhum elemento? Pode sim, o que chamamos de conjunto vazio. Ele no possui nenhum elemento e representado pelo smbolo ou por {}.

Do lado oposto ao conjunto vazio, temos o conjunto universo, que aquele ao qual pertencem todos os elementos. Representamos o conjunto universo por meio do smbolo U.

Cabe destacar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, por exemplo, o conjunto dos times que disputam o Campeonato Brasileiro de Futebol. Cada time um elemento desse conjunto e, ao mesmo tempo, cada time um conjunto de jogadores de futebol.

Relao entre conjuntos

A primeira relao entre os conjuntos a relao de igualdade. Dizemos que dois conjuntos A e B so iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A.

Outra relao importante a relao de subconjunto. Podemos definir que o conjunto C possui como subconjunto o conjunto D, se todos os elementos do conjunto D tambm pertencerem ao conjunto C. Assim, dizemos que D subconjunto de C e indicamos isto por D C (D subconjunto de C ou D est contido em C).

Com essa definio, podemos destacar alguns pontos:

- Conjuntos iguais so subconjuntos um do outro (para A = B; A B e B A)

- Todo conjunto subconjunto de si prprio (A A)

Como vimos na definio de subconjunto, todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto A.

- O conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto ( Y)





Com vimos na definio de subconjunto, todos os elementos do conjunto (ou seja, nenhum elemento) pertencem ao conjunto Y.

- Se A B e B C, ento A C

Ora, se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, e se todos os elementos de B pertencem ao conjunto C, podemos concluir que todos os elementos de A pertencem ao conjunto C.

Vimos aqui relaes entre conjuntos. Essa representao X Y quer dizer que o conjunto X est contido no conjunto Y, que mesmo que dizer que X um subconjunto de Y. De forma inversa, quando o conjunto A possui todos os elementos do conjunto B, podemos dizer que A contm B, e representamos por A B. Vamos ilustrar com um exemplo:

K = {1, 2, 3} J = {1, 2}

Podemos afirmar que J um subconjunto de K, ou seja, que J est contido em K (J K), ou, podemos dizer que K contm J (K J).

Existem tambm os smbolos (no est contido ou no subconjunto de) e (no contm).

Usando diagramas, podemos representar essa relao da seguinte forma:

Podemos dizer que J K (J est contido em K) e que K J (K contm J)

Quantidade de Subconjuntos

Podemos definir a quantidade de subconjuntos de um conjunto qualquer da seguinte forma: se um conjunto A possui n elementos ento ele possui 2n subconjuntos.

Vamos ver alguns exemplos para demonstrar isso:

Ex1: Conjunto A = {1}

Esse conjunto s possui um nico elemento (chamamos de conjunto unitrio), o nmero 1, ento o nmero de subconjuntos igual a 21 = 2. Quais seriam esses subconjuntos?

Subconjunto 1 = Subconjunto 2 = {1}

J K





Lembrem que todo conjunto possuir o conjunto vazio e ele mesmo como subconjuntos.

Ex2: Conjunto B = {1, 2}

Esse conjunto possui dois elementos, os nmeros 1 e 2, ento o nmero de subconjuntos igual a 22 = 4. Quais seriam esses subconjuntos?

Subconjunto 1 = {} Subconjunto 2 = {1} Subconjunto 3 = {2} Subconjunto 4 = {1, 2}

S mais um exemplo:

Ex3: Conjunto C = {}

Isso mesmo, quantos subconjuntos possui o conjunto vazio? Esse conjunto no possui nenhum elemento, ento o nmero de subconjuntos igual a 20 = 1. Qual seria esse subconjunto?

Subconjunto 1 = {}

Exatamente, apenas ele mesmo, o conjunto vazio.

Mais um conceito importante o que define o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A. Ele denominado de conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, se A = {1, 2}, o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {1} , {2} , {1, 2} }. Assim, todo subconjunto de A tambm denominado parte de A, pois um elemento do conjunto das partes de A.

Vamos ver como isso j foi cobrado em concurso.

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01 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferncia internacional reunir representantes dos seguintes pases: Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela. Se B o conjunto formado pelos pases que participaro da conferncia e no pertencem Amrica do Sul, ento o nmero de subconjuntos formados a partir dos elementos de B igual a 128.

Soluo:

Temos, nessa questo, como conjunto universo, todos os pases que participaro da conferncia internacional. Assim,





U = {Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela}

Temos, tambm, que B formado pelos pases que participaro da conferncia, mas no pertencem Amrica do Sul. Assim,

B = {Alemanha, Canad, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Sua}

Vimos que para sabermos o nmero de subconjuntos de qualquer conjunto basta sabermos a quantidade de elementos deste conjunto, j que o nmero de subconjuntos dado por 2n onde n o nmero de elementos do conjunto.

Assim, como B possui 7 elementos, o nmero de subconjuntos de B dado por 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128. Portanto, o item est correto.

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Conjuntos numricos fundamentais

Definimos conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so apenas nmeros. Teremos, ento, infinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais. Isso voc j viu h muuuuito tempo atrs, mas cabe relembr-los agora!

- Conjunto dos nmeros naturais: Simbolizamos por um (n maisculo). Ele formado por todos os nmeros inteiros no negativos.

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

Um importante subconjunto de chamado de * e dado por todos os nmeros naturais estritamente positivos, ou seja, o conjunto excluindo-se o zero.

* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}

- Conjunto dos nmeros inteiros: Simbolizamos por um (z maisculo). Como o prprio nome j diz, ele formado por todos os nmeros inteiros.

= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}

Trs importantes subconjuntos de so: *, dado por todos os nmeros inteiros diferentes de zero, ou seja, o conjunto excluindo-se o zero; +, dado por todos os nmeros inteiros no negativos (+ = ) e -, dado por todos os nmeros inteiros no positivos.

* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} + = {0, 1, 2, 3, 4...} = - = {..., -4, -3, -2, -1, 0}





- Conjunto dos nmeros racionais: Simbolizamos por um Q (q maisculo). Ele formado por todos os nmeros que podem ser escritos em forma de uma frao

yx

onde x e y so nmeros inteiros e y diferente de zero (devemos lembrar que no existe diviso por zero).

Exemplos: 52 ;

94 ; 0,385 (pois pode ser escrito como

1000385 ); 3,3333... (pois pode

ser escrito como 3

10 ), 9 (pois pode ser escrito como 19 ), etc..

Assim, toda frao, todo nmero decimal, toda dzima peridica e todo nmero inteiro pertencem ao conjunto Q.

Da mesma forma que fizemos para os nmeros inteiros, existem trs subconjuntos de Q que so importantes: Q* (nmeros racionais no nulos), Q+ (nmeros racionais no negativos) e Q- (nmeros racionais no positivos)

- Conjunto dos nmeros irracionais: Simbolizamos por um (i maisculo). Ele formado por todas as dzimas no peridicas, ou seja, nmeros decimais com infinitas casas decimais que no se repetem.

Exemplos: pi (pi = 3,1416...); 5 (toda raiz no exata); 2,5694348667... (dzima no peridica); etc...

- Conjunto dos nmeros reais: Simbolizamos por um R (r maisculo). Ele formado por todos os nmeros racionais e todos os nmeros irracionais. Assim, todo nmero Real, ou Racional ou Irracional, no existe outra possibilidade.

Podemos fazer algumas observaes a partir destes conjuntos:

- Q R. Ou seja, um subconjunto de , que um subconjunto de Q, que um subconjunto de R.

- R. Ou seja, tambm um subconjunto de R.

Intervalos numricos

Dados dois nmeros quaisquer a e b, chamamos de intervalo o conjunto de todos os nmeros compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os nmeros a e b so os limites do intervalo, sendo o mdulo da diferena a b, chamada amplitude do intervalo.





Se o intervalo incluir a e b, o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto. Representamos o intervalo fechado por um colchete e o intervalo aberto por um parntese ou um colchete ao contrrio:

[1 , 3]: Lemos Intervalo fechado em 1 e fechado em 3 ]1 , 3[ ou (1 , 3): Lemos Intervalo aberto em 1 e aberto em 3 [1 , 3[ ou [1 , 3): Lemos Intervalo fechado em 1 e aberto em 3 ]1 , 3] ou (1 , 3]: Lemos Intervalo aberto em 1 e fechado em 3

Operaes

Vamos, agora, parte mais importante da aula de hoje, que so as operaes.

- Unio ( )

Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto unio A B como { x ; x A ou x B}. Vamos ver um exemplo:

A = {0, 1, 2} B = {2, 3, 4}

A B = {0, 1, 2} {2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4}

Podemos perceber que o conjunto unio abrange todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Se o elemento pertencer aos dois conjuntos, ele tambm pertencer ao conjunto unio (no nosso exemplo 2 pertence ao conjunto A e ao conjunto B e tambm pertence ao conjunto unio).

Usando diagramas, podemos representar a unio das formas a seguir:

J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro no possui:

J e K no possuem nenhum elemento em comum:

J K J K =

J K K = J





J K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J no possui):

J = K (J e K possuem os mesmo elementos):

J K corresponde rea pintada de amarelo nos diagramas.

Cabe destacar desde j algumas propriedades da unio dos conjuntos. Vejamos:

- A A = A - A = A - A B = B A (a unio de conjuntos uma operao comutativa) - (A B) C = A (B C) - A U = U, onde U o conjunto universo - Se B A, ento A B = A

- Interseo ( )

Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseo A B como {x ; x A e x B}. Vamos ver um exemplo:

A = {0, 1, 2} B = {2, 3, 4}

A B = {0, 1, 2} {2, 3, 4} = {2}

Podemos perceber que o conjunto interseo abrange apenas os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. preciso que o elemento pertena aos dois conjuntos para pertencer ao conjunto interseo (no nosso exemplo apenas o 2 pertence ao conjunto A e ao conjunto B e, assim, tambm pertence ao conjunto interseo).

Usando diagramas, podemos representar a interseo das formas a seguir:

J K J K =

J K J K =






J e K no possuem nenhum elemento em comum (a interseo destes conjuntos resulta no conjunto vazio):


J = K (J e K possuem os mesmo elementos):

J K corresponde rea pintada de amarelo nos diagramas.

Agora, vamos destacar algumas propriedades da interseo dos conjuntos. Vejamos:

- A A = A - A = - A B = B A (a interseo dos conjuntos uma operao comutativa) - A U = A, onde U o conjunto universo. - A (B C) = (A B) C - Se B A, ento A B = B

Agora, vamos ver algumas propriedades que misturam a unio com a interseo. Vejamos:

- A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva)

- A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva)

J K = K J

J K = K J

J K = K J

J K = K J





- A (A B) = A (lei da absoro)

- A (A B) = A (lei da absoro)

- Se A B = A B, ento A = B

Uma observao importante que se A B = , dizemos que os conjuntos A e B so disjuntos, ou seja, eles no possuem nenhum elemento em comum.

Ufa, quanto assunto! Para quebrar um pouco o ritmo, vamos ver algumas questes.

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02 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n par}, B = {n N*; n mpar} e C = {n N*; n primo}, em que N* o conjunto dos nmeros naturais estritamente positivos, o conjunto C A vazio.

Soluo:

Vamos organizar as informaes:

A = {n N*; n par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8,...}

B = {n N*; n mpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9,...}

C = {n N*; n primo}, ou seja, C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

S para lembrar, um nmero natural dito primo quando ele tem exatamente dois divisores: o nmero um e ele mesmo. Por definio, nem o zero nem o nmero um so considerados primos. Uma observao importante que o nico nmero primo que par o nmero dois, j que todos os outro nmeros pares so, no mnimo, divisveis por um, por ele mesmo e por dois.

Assim, com o que acabamos de lembrar sobre nmeros primos e olhando para os conjuntos A e C, podemos concluir que C A = {2}, pois 2 o nico elemento que par e primo ao mesmo tempo. Portanto, o item est errado!

03 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferncia internacional reunir representantes dos seguintes pases: Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos pases que participaro da conferncia, e A, o conjunto formado pelos pases da Amrica do Sul, ento o conjunto A P tem 5 elementos.

Soluo:





Organizando as informaes, temos:

P = {Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela}

A = {x; x um pas da Amrica do Sul}

A P = {Argentina, Bolvia, Brasil, Chile, Colmbia, Peru, Uruguai, Venezuela}

Bom, podemos ver que A P possui 8 elementos. Assim, o item est errado!

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- Diferena entre conjuntos (A - B ou A \ B)

Podemos definir o conjunto resultante da diferena entre os conjuntos A e B como o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B, ou seja, A - B = {x | x A e x B}.

Observe que os elementos do conjunto da diferena so aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas no pertencem ao segundo. Vamos ver alguns exemplos:

{1, 2, 3, 4} - {1, 2, 3} = {4} {0, 1, 2} - {2, 3, 4} = {0, 1}.

Usando os diagramas, podemos representar a diferena das formas a seguir:


J e K no possuem nenhum elemento em comum (a diferena J - K resulta no prprio conjunto J):

J K - = K J

J K - = K J






J = K (J e K possuem os mesmos elementos, o resultado da diferena o conjunto vazio):

A diferena corresponde rea pintada de amarelo nos diagramas.

Podemos observar algumas propriedades interessantes:

A - = A - A = A - A = A - B B - A (a diferena de conjuntos no uma operao comutativa).

- Complementar de um conjunto

O complementar de um conjunto um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Assim, dados dois conjuntos A e B, com B A, a diferena A - B chamaremos de complementar de B em relao a A. Simbolizamos como CAB ou (sempre para B A).

Existe um caso particular que cabe fazermos um destaque. o complementar de um conjunto A em relao ao conjunto universo U, ou seja, CUA = U - A. Batizamos este conjunto de A. O conjunto A formado por todos os elementos que no pertencem ao conjunto A, ou seja, A = {x; x A}.

Podemos observar mais algumas propriedades interessantes:

CAA = A A' = A A' = U ' = U

J K - = K J

J K - = K J

J K - = K J





U' =

Bom, voc deve estar se perguntando, ser que preciso decorar todas essas propriedades? e eu lhe respondo Claro que no! eu s estou colocando elas no final de cada tpico para voc raciocinar e assimilar melhor cada assunto. Isso no ser cobrado na prova de forma direta, mas poder lhe ajudar a ganhar tempo. Vamos ver mais uma questo!

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04 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n par}, B = {n N*; n mpar} e C = {n N*; n primo}, em que N* o conjunto dos nmeros naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A B) vazio.

Soluo:

Vamos organizar as informaes:

A = {n N*; n par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} B = {n N*; n mpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ....}

Podemos perceber que A B = N*, pois a unio de todos os nmeros pares positivos com todos os nmeros mpares positivos resulta no conjunto de todos os nmeros naturais positivos. Assim,

N* \ (A B) = N* \ N* = N* - N* =

Portanto, o item est correto!

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- Nmero de elementos dos conjuntos

Agora, vamos ver uma equao que a parte da aula que mais interessa para a prova. No nada excepcional, mas lhe ajudar bastante a ganhar tempo.

Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o nmero de elementos do conjunto A seja n(A) e o nmero de elementos do conjunto B seja n(B). Agora, consideremos o nmero de elementos da interseo A B por n(A B) e o nmero de elementos da unio A B por n(A B). Assim, podemos definir a seguinte equao:

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)





Essa equao a parte mais importante desta aula. Voc ver como ela til na resoluo de diversas questes. Essa vale a pena decorar!

Vamos demonstrar essa equao com trs exemplos:

Ex1: A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {2, 3, 4}, assim, n(B) = 3 A B = {2}, assim, n(A B) = 1 A B = {0, 1, 2, 3, 4}, assim, n(A B) = 5

Voltando para a equao, temos:

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) 5 = 3 + 3 1 5 = 5

Ex2: A = {0, 1}, assim, n(A) = 2 B = {2, 3}, assim, n(B) = 2 A B = {}, assim, n(A B) = 0 A B = {0, 1, 2, 3}, assim, n(A B) = 4


n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) 4 = 2 + 2 0 4 = 4

Ex3: A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {0, 1, 2}, assim, n(B) = 3 A B = {0, 1, 2}, assim, n(A B) = 3 A B = {0, 1, 2}, assim, n(A B) = 3


n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) 3 = 3 + 3 3 3 = 3

Viram? Mesmo quando A e B no possuem nenhum elemento em comum, ou quando possuem os mesmos elementos, essa equao sempre pode ser usada.

Vale apresentar mais uma equao. Considerando como n(A \ B) o nmero de elementos do conjunto A \ B, temos:

n(A \ B) = n(A) n(A B)

A B 0

1 2

3 4

A B

0 1 2

3

A 0

1 2

B





S um exemplo para voc visualizar:

A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {2, 3, 4} A B = {2}, assim, n(A B) = 1 A \ B = {0, 1}, assim, n(A \ B) = 2


n(A \ B) = n(A) n(A B) 2 = 3 1 2 = 2

Bom, vamos ver mais algumas questes do CESPE, para treinar a utilizao dessas equaes.

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05 - (STJ - 2008 / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 tcnicos administrativos falam ingls e(ou) espanhol; 42 deles falam ingls e 46 falam espanhol. Nessa situao, 24 tcnicos falam ingls e espanhol.

Soluo:

Bom, vamos comear organizando as informaes:

I = Conjunto dos tcnicos que falam ingls (42 elementos) E = Conjunto dos tcnicos que falam espanhol (46 elementos) I E = Conjunto dos tcnicos que falam ingls e/ou espanhol (64 elementos) I E = Conjunto dos tcnicos que falam ingls e espanhol (x elementos)

Acabamos de ver que n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B). Assim, nesse caso, temos:

n(I E) = n(I) + n(E) - n(I E) 64 = 42 + 46 - x x = 42 + 46 - 64 x = 24

Portanto, podemos concluir que a quantidade de tcnicos que falam ingls e espanhol igual a 24. Item correto!

06 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) Considerando que, em um concurso pblico no qual as provas para determinado cargo constituam-se de conhecimentos bsicos (CB) e de conhecimentos especficos (CE), 430 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 foram aprovados em CE e

A B 0

1 2

3 4





apenas 16 foram aprovados nas duas provas, ento correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas.

Soluo:

Mais uma vez, vamos comear organizando as informaes:

T: Total de alunos que fizeram a prova = 430 CB: Alunos aprovados em Conhecimento Bsicos = 210 CE: Alunos aprovados em Conhecimento Especficos = 230 CB CE: Alunos aprovados nas duas provas = 16 AR: Total de alunos reprovados nas duas provas = ???

Para a resoluo desta questo, vamos construir um diagrama para facilitar o entendimento:

O que queremos calcular quantidade de elementos da rea pintada de amarelo. Para isso, basta diminuir o total de alunos que fizeram a prova do total de alunos que passaram em pelo menos uma prova (CB CE). Para saber a quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma prova, devemos calcular a quantidade de elementos da unio dos conjuntos CB e CE. Para isso, usamos aquela mesma equao:

n(CB CE) = n(CB) + n(CE) n(CB CE) n(CB CE) = 210 + 230 16 n(CB CE) = 424

Agora podemos calcular a quantidade de elementos da rea pintada de amarelo:

n(AR) = n(T) n(CB CE) n(AR) = 430 424 n(AR) = 6

Portanto, apenas 6 alunos foram reprovados nas duas provas. Item correto!

07 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) possvel que existam conjuntos A e B com a A B e que A B = A B.

CB CE T





Soluo:

Vimos l em cima que se A B = A B, ento, A = B. Se voc se lembrasse disso na hora da prova j acertaria esta questo sem perder tempo. Mas, e se voc no se lembrasse? Bom, a voc teria que ir para os conceitos. Vamos l:

Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto unio A B como {x ; x A ou x B}. Ou seja, o conjunto unio A B formado por todos os elementos que pertenam a pelo menos um dos conjuntos A e B.

Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseo A B como {x ; x A e x B}. Ou seja, o conjunto interseo A B formado por todos os elementos que pertenam ao mesmo tempo aos dois conjuntos A e B.

Dizemos que dois conjuntos A e B so iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A.

Com isso, sabemos que dois conjuntos podem ter a seguinte relao entre eles (a rea pintada de amarelo corresponde rea do conjunto interseo e a rea pintada de verde corresponde a rea do conjunto unio):

A e B possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro no possui:

A e B no possuem nenhum elemento em comum:

A B (B possui todos os elementos de A e mais alguns que A no possui):

B A

B A

B A

A B

A B A B

A B A B (conjunto vazio)

A B B A

A B





A = B (A e B possuem os mesmo elementos):

Assim, a nica forma de A B ser igual a A B A ser igual a B. Portanto, este item est errado.

08 - (MPS - 2010 / CESPE) Se A for um conjunto no vazio e se o nmero de elementos do conjunto A B for igual ao nmero de elementos do conjunto A B, ento o conjunto B ter pelo menos um elemento.

Soluo:

Da mesma forma que a questo anterior, devemos perceber que se n(A B) = n(A B), podemos concluir que A e B possuem os mesmo elementos. Assim, se A um conjunto no vazio, com certeza B tambm ser um conjunto no vazio, pois A e B possuem os mesmos elementos. Portanto, o item est correto.

09 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendncias relacionadas documentao de veculos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas no relacionados documentao de veculos ou a multas. Em face dessa situao, correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente documentao de veculos e a multas.

Soluo:

Comeamos organizando as informaes:

Total de pessoas (T): 210 Pessoas com problemas relacionados a documentao (D): 105 Pessoas com problemas relacionados a multas (M): 70 Pessoas com problemas no relacionados documentao ou a multas (N): 70 Pessoas com problemas relacionados documentao e a multas (D M): ???

Podemos desenhar o seguinte diagrama para esta situao:

B A B A

A B A B





Assim, podemos montar a seguinte equao:

n(T) = n(N) + n(D M) 210 = 70 + n(D M) n(D M) = 210 70 n(D M) = 140

Lembrando aquela equao do nmero de elementos da unio de dois conjuntos, temos:

n(D M) = n(D) + n(M) n(D M) 140 = 105 + 70 n(D M) n(D M) = 175 140 n(D M) = 35

Portanto, o nmero de pessoas que foram resolver problemas relacionados simultaneamente a documentao e a multas igual a 35. Item errado!

10 - (PC/ES - 2010 / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitria constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 no sabiam que a polcia civil do Esprito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denncia de certos tipos de ocorrncia e 85 no sabiam que uma denncia caluniosa pode levar o denunciante priso por 2 a 8 anos, alm do pagamento de multa. Considerando-se que tambm foi constatado que 10 dos entrevistados no sabiam do canal de comunicao online nem das penalidades cabveis a denncias caluniosas, correto concluir que 135 pessoas no tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questes.

Soluo:

Organizando as informaes, temos:

No sabiam do sistema online (S): 60 pessoas No sabiam do crime de denncia caluniosa (D): 85 pessoas No sabiam do sist. online e do crime de denncia caluniosa (S D) :10 pessoas No sabiam de pelo menos uma das questes (S D): ???

Lembrando aquela equao do nmero de elementos da unio de dois conjuntos, temos:

T D

M D M





n(S D) = n(S) + n(D) n(S D) n(S D) = 60 + 85 10 n(S D) = 135

Portanto, o item est correto!

11 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando que A, B e C sejam trs conjuntos no vazios com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a unio A B C tenha

3c2a ++++

elementos, que a interseo A C tenha 2b

elementos e que o conjunto A B seja vazio, ento o conjunto B C ter mais elementos do que o conjunto A C.

Soluo:

Vamos comear organizando as informaes:

n(A) = a n(B) = b n(C) = c n(A B C) =

32ca +

n(A B) = n(A C) =

2b

Como A e B no possuem elementos em comum, vamos desenhar os conjuntos da seguinte forma:

Assim, temos:

n(A B C) = 32ca +

a - 2b

+ 2b

+ c - 2b

- n(B C) + n(B C) + b n(B C) = 32ca +

A C

B

b/2 n(BC)

a - b/2

b n(BC)

c - b/2 n(BC)





a + c + 2b

- n(B C) = 32ca +

n(B C) = 2b

+ a - 3a

+ c - 32c

n(B C) = 2b

+ 32a

+ 3c

Ou seja,

n(B C) = n(A C) + 32a

+ 3c

Assim, podemos concluir que B C possui mais elementos do que A C. Item correto!

12 - (IFB - 2010 / CESPE) O prefeito de certo municpio encomendou uma pesquisa para avaliar a adeso da populao local s campanhas de vacinao. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as trs doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informaes advindas de 480 crianas, apontou que:

- 120 crianas tomaram as trs doses; - 130 tomaram a primeira e a segunda dose; - 150 tomaram a segunda e a terceira dose; - 170 tomaram a primeira e a terceira dose; - 270 tomaram a primeira dose; - 220 tomaram a segunda dose; - 50 no tomaram nenhuma das trs doses.

Na situao considerada, mais de 80 crianas tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente.

Soluo:

Essa questo s um pouco trabalhosa e no devemos nos assustar com isso. Mais uma vez, bom desenhar o diagrama para facilitar o entendimento:





Agora, vamos preencher as regies com os valores correspondentes, a partir das informaes da questo:

- 120 crianas tomaram as trs doses;

- 130 tomaram a primeira e a segunda dose;

Bom, como 120 crianas tomaram as trs doses, podemos concluir que 130 120 = 10 crianas tomaram apenas a 1 e a 2a doses.

- 150 tomaram a segunda e a terceira dose;

120

1

3

2 Total de entrevistados

1

3


120

1

3


10





Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianas tomaram as trs doses, podemos concluir que 150 120 = 30 crianas tomaram apenas a 2 e a 3a doses.

- 170 tomaram a primeira e a terceira dose;

Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianas tomaram as trs doses, podemos concluir que 170 120 = 50 crianas tomaram apenas a 1 e a 3a doses.

- 270 tomaram a primeira dose;

Bom, como 120 crianas tomaram as trs doses, 10 crianas tomaram apenas a 1 e a 2a doses e 50 crianas tomaram apenas a 1 e a 3a doses, podemos concluir que 270 120 10 50 = 90 crianas tomaram apenas a 1 dose.

120

1

3


10

30

120

1

3


10

30 50

120

1

3


10

30 50

90





- 220 tomaram a segunda dose;

Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianas tomaram as trs doses, 10 crianas tomaram apenas a 1 e a 2a doses e 30 crianas tomaram apenas a 2 e a 3a doses, podemos concluir que 220 120 10 30 = 60 crianas tomaram apenas a 2 dose.

- 50 no tomaram nenhuma das trs doses.

Pronto, agora s calcular quantas crianas tomaram apenas a 3 dose (x):

x = Total de entrevistados - (120 + 10 + 30 + 50 + 90 + 60 + 50) x = 480 - 410 x = 70

Portanto, menos do que 80 crianas tomaram apenas a 3 dose. Item errado!

(Texto para as questes 13 e 14). Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralizao de seus currculos. Por solicitao da diretoria, o secretrio do curso de Matemtica informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Fsica; 90, do curso de Biologia;

120

1

3


10

30 50

90 60

120

1

3


10

30 50

90 60

50

120





55, do curso de Qumica; 32, dos cursos de Biologia e Fsica; 23, dos cursos de Qumica e Fsica; 16, dos cursos de Biologia e Qumica; e 8 cursam disciplinas desses trs cursos. O secretrio informou, ainda, que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de Matemtica.

Com relao a essa situao, julgue os itens seguintes.

13 - (TRT - 2008 / CESPE) Se as informaes do secretrio acerca das matrculas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, ento, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentrao de alunos estar no curso de Fsica.

Soluo:

Essa questo bem parecida com a questo anterior. Vamos comear desenhando o diagrama:

Agora, vamos preencher os espaos com as quantidades de elementos. Aqui vai uma dica, bom comear pelo espao que j temos a informao clara da quantidade de elementos (nesse caso, a interseo dos trs conjuntos).

8 cursam disciplinas desses trs cursos

Fsica

Biologia

Qumica

Total de alunos do curso de Matemtica

Fsica

Biologia

Qumica

Total de alunos do curso de Matemtica 8





32, dos cursos de Biologia e Fsica (como 8 alunos cursam os trs cursos, 32 8 = 24 cursam apenas Biologia e Fsica)

23, dos cursos de Qumica e Fsica (como 8 alunos cursam os trs cursos, 23 8 = 15 cursam apenas Qumica e Fsica)

16, dos cursos de Biologia e Qumica (como 8 alunos cursam os trs cursos, 16 8 = 8 cursam apenas Biologia e Qumica)

Fsica

Biologia

Qumica


24

Fsica

Biologia

Qumica


24

15

Fsica

Biologia

Qumica


24

15

8





80 cursam disciplinas do curso de Fsica (como 8 alunos cursam os trs cursos, 15 cursam apenas Fsica e Qumica e 24 cursam apenas Fsica e Biologia, 80 8 15 24 = 33 cursam apenas Fsica)

90, do curso de Biologia (como 8 alunos cursam os trs cursos, 24 cursam apenas Fsica e Biologia e 8 cursam apenas Qumica e Biologia, 90 8 24 8 = 50 cursam apenas Biologia)

55, do curso de Qumica (como 8 alunos cursam os trs cursos, 15 cursam apenas Qumica e Fsica e 8 cursam apenas Qumica e Biologia, 55 8 15 8 = 24 cursam apenas Biologia)

Fsica

Biologia

Qumica


24

15

8

33

Fsica

Biologia

Qumica


24

15

8

33

50

Fsica

Biologia

Qumica


24

15

8

33

50

24





Portanto, podemos concluir que o item est errado, pois a maior concentrao de alunos de um nico curso em Biologia.

Questo 14 - (TRT - 2008 / CESPE) De acordo com os dados da situao em apreo, as informaes do secretrio esto realmente corretas.

Soluo:

Vamos voltar para o texto para verificar o que pode estar errado:

o secretrio do curso de Matemtica informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Fsica; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Qumica; 32, dos cursos de Biologia e Fsica; 23, dos cursos de Qumica e Fsica; 16, dos cursos de Biologia e Qumica; e 8 cursam disciplinas desses trs cursos. O secretrio informou, ainda, que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de Matemtica.

Para checar se essa informao est correta, devemos somar todos os alunos que esto matriculados nas outras disciplinas e verificar se algum dos 200 alunos ficou de fora da distribuio. Assim, temos:

8 + 8 + 15 + 24 + 24 + 33 + 50 = 162

Ou seja, com as informaes que ele passou, 38 alunos (200 162) ficaram de fora da distribuio, o que contradiz a informao passada de que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de Matemtica. Portanto, o item est errado. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bom, por hoje isso. Vou deixar umas questes para vocs treinarem. Na prxima aula eu trago a resoluo.

Bons estudos!





3 - Questes comentadas nesta aula

01 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferncia internacional reunir representantes dos seguintes pases: Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela. Se B o conjunto formado pelos pases que participaro da conferncia e no pertencem Amrica do Sul, ento o nmero de subconjuntos formados a partir dos elementos de B igual a 128.

02 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n par}, B = {n N*; n mpar} e C = {n N*; n primo}, em que N* o conjunto dos nmeros naturais estritamente positivos, o conjunto C A vazio.

03 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferncia internacional reunir representantes dos seguintes pases: Alemanha, Argentina, Bolvia, Brasil, Canad, Chile, Colmbia, Esccia, Estados Unidos da Amrica, Frana, Inglaterra, Peru, Sua, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos pases que participaro da conferncia, e A, o conjunto formado pelos pases da Amrica do Sul, ento o conjunto A P tem 5 elementos.

04 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n N*; n par}, B = {n N*; n mpar} e C = {n N*; n primo}, em que N* o conjunto dos nmeros naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A B) vazio.

05 - (STJ - 2008 / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 tcnicos administrativos falam ingls e(ou) espanhol; 42 deles falam ingls e 46 falam espanhol. Nessa situao, 24 tcnicos falam ingls e espanhol.

06 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) Considerando que, em um concurso pblico no qual as provas para determinado cargo constituam-se de conhecimentos bsicos (CB) e de conhecimentos especficos (CE), 430 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, ento correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas.

07 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) possvel que existam conjuntos A e B com A B e que A B = A B.

08 - (MPS - 2010 / CESPE) Se A for um conjunto no vazio e se o nmero de elementos do conjunto A B for igual ao nmero de elementos do conjunto A B, ento o conjunto B ter pelo menos um elemento.





09 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendncias relacionadas documentao de veculos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas no relacionados documentao de veculos ou a multas. Em face dessa situao, correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente documentao de veculos e a multas.

10 - (PC/ES - 2010 / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitria constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 no sabiam que a polcia civil do Esprito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denncia de certos tipos de ocorrncia e 85 no sabiam que uma denncia caluniosa pode levar o denunciante priso por 2 a 8 anos, alm do pagamento de multa. Considerando-se que tambm foi constatado que 10 dos entrevistados no sabiam do canal de comunicao online nem das penalidades cabveis a denncias caluniosas, correto concluir que 135 pessoas no tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questes.

11 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando que A, B e C sejam trs conjuntos no vazios com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a unio A B C tenha

3c2a +

elementos, que a interseo A C tenha 2b

elementos e que o

conjunto A B seja vazio, ento o conjunto B C ter mais elementos do que o conjunto A C.

12 - (IFB - 2010 / CESPE) O prefeito de certo municpio encomendou uma pesquisa para avaliar a adeso da populao local s campanhas de vacinao. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as trs doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informaes advindas de 480 crianas, apontou que:

- 120 crianas tomaram as trs doses; - 130 tomaram a primeira e a segunda dose; - 150 tomaram a segunda e a terceira dose; - 170 tomaram a primeira e a terceira dose; - 270 tomaram a primeira dose; - 220 tomaram a segunda dose; - 50 no tomaram nenhuma das trs doses.

Na situao considerada, mais de 80 crianas tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente.





(Texto para as questes 13 a 15) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralizao de seus currculos. Por solicitao da diretoria, o secretrio do curso de Matemtica informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Fsica; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Qumica; 32, dos cursos de Biologia e Fsica; 23, dos cursos de Qumica e Fsica; 16, dos cursos de Biologia e Qumica; e 8 cursam disciplinas desses trs cursos. O secretrio informou, ainda, que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de Matemtica.

Com relao a essa situao, julgue os itens seguintes.

13 - (TRT - 2008 / CESPE) Se as informaes do secretrio acerca das matrculas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, ento, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentrao de alunos estar no curso de Fsica.

14 - (TRT - 2008 / CESPE) De acordo com os dados da situao em apreo, as informaes do secretrio esto realmente corretas.





4 - Questes para praticar! A soluo ser apresentada na prxima aula

(Texto para as questes 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e no-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes nmeros inteiros:

S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A B; S4: quantidade de elementos do conjunto A B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A.

Com base nessas informaes, correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condies especificadas,

15 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S1 + S6.

16 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 + S4 = S1 + S2.

17 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S5 + S6.

(Texto para as questes 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 so casados, 70 possuem casa prpria e 30 so solteiros e possuem casa prpria, julgue os itens seguintes.

18 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria.

19 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados.

(Texto para as questes 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D so tais que A e B so disjuntos de C e D e suas partes tm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir.

subconjunto elemento [A / B] [C / D] 15

C 18 [A B] [C D] 24

A B 8 A B 32

[C / D] [D / C] 25





Com relao a esses conjuntos e subconjuntos e aos nmeros de elementos, julgue os itens seguintes.

20 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C D tem mais de 40 elementos.

21 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) [A / B] [B / A] tem mais de 25 elementos.

22 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos.

23 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos.

(Texto para as questes 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veculos parados, 60 foram flagrados com extintor de incndio com data de validade vencida. Alm disso, em 45 veculos, o motorista estava sem o documento de habilitao para dirigir. O total de veculos em pelo menos uma dessas duas situaes foi de 90. Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes.

24 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O nmero de veculos que no apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50.

25 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O nmero de veculos flagrados simultaneamente nas duas situaes foi inferior a 20.

(Texto para as questes 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importncia da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educao Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reunies, seminrios, palestras, capacitaes de professores e treinamento de servidores. A atuao abrangeu 27 municpios capixabas. Internet: (com adaptaes).

Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraram pblico e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram s palestras, 1.500 pessoas, aos seminrios e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere tambm que 500 pessoas participaram de palestras e seminrios, 800 pessoas participaram apenas de seminrios, 200 pessoas no participaram de palestras ou seminrios e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situao hipottica e com o texto acima, julgue os itens a seguir.

26 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Menos de 1.400 pessoas participaram apenas de palestras.





27 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos.

(Texto para as questes 28 a 30) Um instituto de ensino oferece trs cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informtica e de administrao. As matrculas dos alunos desse instituto esto assim distribudas: 100 em contabilidade, 70 em informtica, 55 em administrao, 30 em contabilidade e informtica e 25 em informtica e administrao. Com base nessas informaes e sabendo que nenhum aluno est matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administrao, julgue os itens que se seguem.

28 - (MEC - 2011 / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administrao igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informtica.

29 - (MEC - 2011 / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administrao e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem tambm em informtica, ento informtica ser o curso com o maior nmero de alunos matriculados.

30 - (MEC - 2011 / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos trs cursos.

(Texto para as questes 31 e 32) Em uma pgina da Polcia Federal, na Internet, possvel denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o trfico de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianas para explorao sexual e a pornografia infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explcitas, reais ou simuladas, ou exibio dos rgos genitais do menor para fins sexuais.

Com referncia a essa situao hipottica e considerando que, aps a anlise de 100 denncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como trfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 no se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relao a 60 dessas denncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denncias analisadas.

31 - (Polcia Federal - 2012 / CESPE) Dez denncias foram classificadas apenas como crime de trfico de pessoas.

32 - (Polcia Federal - 2012 / CESPE) Os crimes de trfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.





(Texto para a questo 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que j participaram de pelo menos x procedimentos licitatrios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos.

33 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se x e y forem nmeros inteiros no negativos e x y, ento Ey Ex.

(Texto para as questes 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivduos do conjunto E que so clientes de pelo menos x operadoras de telefonia mvel e Nx, quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informaes, julgue os itens que se seguem.

34 - (Anatel - 2012 / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 Nx.

35 - (Anatel - 2012 / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x y, ento, Ey ser um subconjunto de Ex.





5 - Gabaritos

01 - C 02 - E 03 - E 04 - C 05 - C 06 - C 07 - E 08 - C 09 - E 10 - C 11 - C 12 - E 13 - E 14 - E 15 - C 16 - C 17 - E 18 - E 19 - E 20 - C 21 - E 22 - E 23 - C 24 - C 25 - C 26 - E 27 - C 28 - C 29 - E 30 - E 31 - C 32 - E 33 - C 34 - E 35 - C

aula 00(25)

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