FACULDADE ANHANGUERA DE SOROCABA

TECNOLOGIA EM GESTÃO FINANCEIRA

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

TUTOR EAD: PROF.º LEONARDO OTSUKA

3º SÉRIE

1ª SEMESTRE

ANA ELISA DE OLIVEIRA - RA 6946439043

DANIELE CRISTINA DE MELO - RA 6572299220

ELISANGELA DE CASSIA PEDROSO MOREIRA – RA 6790433706

Sorocaba / SP

2014

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ANA ELISA DE OLIVEIRA - RA 6946439043

DANIELE CRISTINA DE MELO - RA 6572299220

ELISANGELA DE CASSIA PEDROSO MOREIRA – RA 6790433706

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM OS TEMAS:

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO, PAGAMENTOS

UNIFORMES E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.

Atividades Práticas Supervisionadas do Curso de

Tecnologia em Gestão Financeira na Faculdade

Anhanguera UNIDERP de Sorocaba.

Sob a orientação da Tutora Presencial Elaine Ap.

Oliveira, 3ª Série do 1ª Semestre.

Sorocaba / SP

2014

2

RESUMO

A Matemática Financeira está presente atualmente no sistema econômico brasileiro com o

objetivo de estudar as diversas formas da evolução e aplicação do valor do dinheiro em um

determinado tempo, nos proporcionado uma análise de qual forma pode utilizar em cada

situação proposto, atingindo uma aplicação segura e próspera. Nosso cotidiano está repleto de

situações que podemos citar como exemplo, como em financiamentos de casa, carro,

empréstimo, compras e crediários, Cheque Especial ou com cartão de crédito, aplicações

financeiras, investimento em bolsa de valores entre outras operações, estipulando previamente

a taxa de. Vamos compreender melhor as formas de calcular através da Matemática

Financeira utilizando recursos tecnológicos, com uma ferramenta poderosa que nos auxiliará

nos cálculos lógicos.

Palavras Chaves: Regime de Capitalização, Pagamentos Uniformes, Sistemas de

Amortização.

Ferramenta Auxiliar: Emulador de cálculo HP 12C: <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php>

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 – Pagamento das Parcelas = SAC........................................................................25

TABELA 2 – Pagamento das Parcelas = PRICE.....................................................................26

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AMORT - Amortização.

a.d. - Percentual da taxa ao Dia.

a.m. - Percentual da taxa ao Mês.

a.a - Percentual da taxa ao Ano.

C - Capital.

Clx - Tecla da calculadora HP-12C, Clear X, o que significa Limpe X.

CHS - Tecla da calculadora HP-12C da expressão inglesa Change Singn que significa “troca

de sinal”.

c - Carência.

FV- Valor Futuro.

.f - Acesso a Função Amarela na Calculadora HP-12C.

FIN - Registradores financeiros.

.g - Acesso a Função Azul na Calculadora HP-12C.

.i - Taxa.

J - Juro

JS - Juro Simples.

JC - Juro Composto.

M - Montante.

n - Período, Tempo.

PV - Valor Presente.

PMT - Pagamento.

PRICE - Sistema francês de amortização, método

apresentado em 1771 por Richard Price.

SAC - Sistema de Amortização Constante, denominado de

Método Hamburguês.

5

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira é uma área da matemática que aplica seus conceitos estudando a

variação do dinheiro ao longo do tempo, sua origem está diretamente ligada aos regimes

econômicos, com a criação das modalidades de crédito e sistema Financeiro, todo seu

desenvolvimento está ligado à utilização do dinheiro, que gera dinheiro.

Uns de seus principais problema no estudo da matemática Financeira é a diversidade de

Símbolos e conceitos, os mais comuns na língua portuguesa são: Capitalização e

Descapitalização, Capital, modelos de Taxa, Juro, Prazo, Montante, Prestação, Desconto, com

os seguintes conceitos:

Capitalização é o processo de uma aplicação de taxa sobre um capital, decorrente mais o

juro. Quando queremos saber o montante, estamos querendo saber o resultado da

Capitalização.

Descapitalização é a operação inversa da capitalização, sabemos o valor do montante e

buscamos o valor atual do capital. Realizamos a descapitalização quando precisamos saber o

valor atual de um montante para poder avaliar em qual regime de capitalização é a ideal para

investir em determinado período de tempo para chegar a um novo montante.

Capital é o valor de uma quantia em dinheiro na “data zero”. Pode ser apresentado por várias

siglas: C (Capital), P (Principal), VP (Valor Presente), PV (Presente Value), C0 (Capital

Inicial).

O Juro é a remuneração, valor pago pelo uso do dinheiro expressa em moeda vigente,

representada pela sigla J (juro).

A Taxa é a razão entre os valores de juro e Capital, é o cálculo em uma operação financeira

onde aplicada uma taxa apresentada na forma percentual (%) nos apresentará a rentabilidade

que podemos ter em cima de um montante ou custos a pagar, é representada pela sigla i (Taxa).

5

É muito importante que as taxas estejam de acordo com o

período de capitalização, podem ser mensais, bimestrais,

trimestrais, quadrimestrais, semestrais ou anuais, devendo

sempre

estar na mesma forma do Tempo, tratado nas formulas para a capitalização de forma decimal

e não percentual.

A Taxa Exata é a que considera os dias conforme o calendário anual, ou seja, 365 ou 366dias

no ano com meses de 28, 29,30 ou 31 dias.

A Taxa Comercial é a maneira usada nos mercados, onde considera somente meses de 30

dias e anos de 360 dias.

Prazo é o tempo ou período que a capitalização é aplicada, representada pela sigla n (é a

variação do tempo) ou t.

Montante ou valor acumulado, é a soma do Capital + juro produzido em um determinado

tempo, ao final da capitalização, representado pelas siglas: M = C + J. Outras representações

S (Saldo), VF (Valor Futuro), FV (Future Value) e Cn.

Prestação é a parcela continua que amortiza o Capital e os juros, representada pela sigla R

(Renda), PMT (payment), PGTO (de Pagamento) ou a (Anuidade).

Desconto é o abatimento oferecido sob o valor Nominal ou Montante de um título a vencer,

se pago antecipadamente. Geralmente apresentado em forma percentual, é representado pela

sigla d.

6

2. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO A JURO SIMPLE E COMPOSTO

Regime de Capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital, sendo por

regime de capitalização simples ou composta.

2.1 Capitalização a Juro Simples

No regime Simples o juro é calculado utilizando a mesma base de capital inicial (PV).

Demonstrando o crescimento do capital de forma linear. Em nosso país este regime de

capitalização não é muito utilizado pelas instituições Financeiras, pois utilizam o regime de

capitalização Composta onde se obtêm lucros maiores em empréstimos, devidos o tempo de

durabilidade ser maior para cálculo, meses ou ano.

Algumas operações bancárias utilizam a capitalização a juro simples, o Cheque especial, por

exemplo, devido o curto tempo utilizado para o calculo do juro em cima do saldo devedor, ou

seja, dentro do próprio mês, os cálculos são em dias.

Formulas:

J = C . i . n

i = J / (PV . n)

n = J / (PV . i)

FV = PV . (1 + i . n)

PV = FV/ (1 + i . n)

2.2 Juro Simples Comercial e Exato

Calcular Juro Simples

Calcular o Período/tempo

Calcular Taxa Simples

Valor Futuro Simples

Valor Presente Simples

7

 No juro simples comercial para estabelecer a conformidade

entre a taxa e o período utilizam-se o ano comercial, ou seja, todos

os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias, não importando o

calendário civil nacional.  Já o juro simples exatos apoiam-se no calendário civil para calcular

o número de dias entre duas datas. Sendo que o mês segue o número de dias do calendário, e o

ano civil possui 365 dias ou 366 em ano bissexto. Os bancos geralmente

utilizam uma combinação entre os conceitos de juro comercial e exato, denominado pela regra

dos banqueiros. Sendo que para calcular o número de dias entre duas datas, utiliza-se o

conceito de juro exato, ou seja, calendário civil, já para calcular o número total de dias de um

ano ou mês, utiliza-se o conceito de juro comercial, ou seja, um mês têm 30 dias e um ano

têm 360 dias. Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo.

2.3 Capitalização Juro Composto

O Regime de Capitalização Composta, as taxas de juro são aplicadas sobre o capital do juro

acumulado. O cálculo é efetuado através do método exponencial, ou seja, juro sob juro

computados no período anterior calculado.

O intervalo após o qual o juro será acrescido ao capital é denominado “período de

capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são

incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental,

portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”,

devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n”

(número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização

Formulas:

FV = PV . (1+i)^n                                             PV = FV/(1+i)^n                                   i = (FV/PV)^(1/n) – 1                                      n = LOG10(VF/VP)/LOG10(1+i)                     

Para ambos os cálculos iremos utilizar como ferramenta auxiliar a calculadora HP-12C.

Calcular Valor Futuro

Calcular a Taxa

Calcular Valor Presente

Calcular o Período

8

2.4 Taxas Efetiva e Nominal

Taxa Efetiva e Nominal são as taxas que se referem ao período de capitalização. Efetiva trata-

se da taxa alvo para capitalização e a Nominal como taxa divergente a capitalização.

Usualmente utiliza-se a convenção Comercial para modificação, transformação da taxa anual

capitalizada mensalmente, dividindo pelo número de meses do ano para obter a taxa efetiva.

2.5 Resolução dos Casos Propostos – Etapa 01

2.5.1 Caso A

Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas.

Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-

aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há

mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo

foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem s no cartão de crédito. O Buffet contratado

cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratação do

serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal

dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um

empréstimo a s compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo

com condições especiais (prazo e taxa de s) se deu da seguinte forma: pagamento total de

R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram

contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento,

utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando

um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de s do cheque especial era de 7,81%

ao mês. Segundo as informações apresentadas, tem-se:

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.

II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana

foi de 2,3342% ao mês.

9

III – O do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente

ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.

Desafio do Caso A:

- Gasto com roupas: 12 x R$ 256,25 = R$ 3.075,00;

- Buffet Total: R$ 10.586,00 sendo 25% de entrada = R$ 2.646,50 e o saldo restante de

PV: R$ 7.939,50 em 30 dias pagos através de Empréstimo;

- Empréstimo no Total FV: R$10.000,00 após n: 10 meses

- Cheque Especial: R$ 6.893.17 contratado para 10 dias

- Taxa do Cheque especial a juro Simples i: 7,81% a.m (0,078100 a.d)

1º Fluxo de Caixa do Empréstimo => Formula: i = (FV/PV)^(1/n) – 1

HP-12C

............. f .. Clx.

07.939,50 CHS .PV.

10 . n .

10.000,00 .FV.

................... i.. => 2,3341731% ou 2,3342 % ao mês.

Resposta: II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de

Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês? (( está Correto )).

2º Fluxo de Caixa do Cheque Especial a Juro Simples => Formula: J = C . i . n

01 2 3 4

( ... )9 n = 10 meses

PV = R$ 7.939,50

FV = R$ 10.000,00i = % ? a.m

C + J = R$ 7.072,6220i = 0,078100 a.d

10

HP-12C

............. f .. Clx.

06.893,17 ENTER

0,0781 ENTER

0,333333 .. x..

.... ......... .. x.. => 179,4520

Resposta: III – O do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor

emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91? (( incorreto )).

3º Fluxo de Caixa Valor Total Pago => Formula: M = C + J

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17?

(( incorreto )).

2.5.2 Caso B

0

J = C . i . n

J = 6.893,17 . 0,0781 . 0,333333

J = 179,4520 Simples

1 2 3 4 5 ( ... ) 10n = 12 meses

PV(C) = R$ 2.646,50

HP-12C

............. f .. Clx.

02.646,50 ENTER

3.075,00 ..+..

10.000,00 ..+..

7.072,62 ..+.. => R$ 22.794,12 no total.

1 2 3 4 ( ... ) 9 n = 10 dias / 30 = 0,333333

C = R$ 6.893,17

PV (C) = R$ 2.646,50

FV (J) = R$ 20.147,62

(3.075,00 + 10.000,00 + 7.072,62)

FV(J) = R$ 20.147,62

11

Marcelo e Ana pagariam mais s se, em vez de utilizar o cheque

especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o

casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a

uma taxa de s compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

Para o desafio do Caso B:

- Cheque Especial: R$ 6.893.17

- Taxa do Cheque especial a Juro Composto i: 7,81% a.m (0,078100 a.d)

- Período: 10 dias / 30 = 0,333333 a.d

1º Fluxo de Caixa Empréstimo a Juro Composto => Formula: J = FV – PV

J = FV - PV

J = 7.068,1429 - 6.893,17

J = 174,9729 Composto

Resposta: Marcelo e Ana pagaram mais s por optar pelo empréstimo do amigo a s Composto

ao invés do cheque especial, (( incorreto )).

Conclusão das Respostas Etapa 1 com os números: 3 e 1.

-CASO A: Nº 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.

-CASO B: Nº 1, se a afirmação estiver errada.

.i = 7,81 %

0

PREJUIZO

Prejuízo = JS - JC

Prejuízo = 179,4520 – 174,9729

Prejuízo = 4,4790

HP-12C

............ f .. Clx.

0 6.893,17 CHS .PV.

0,333333 . n .

7,81.. i..

.............. FV

=> R$ 7.068,1429

.... .........

1 2 3 4 ( ... ) 9 n = 0, 333333

C = R$ 6.893,17

C + J = R$ 7.068,1429

12

3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES,

POSTECIPADO E ANTECIPADO

Série de Pagamentos Uniformes é um conjunto seqüencial de pagamentos ou recebimentos de

um valor nominal que se encontra dispostos em um período de tempo constante apresentado

ao logo de um fluxo de caixa. Se a série seqüencial tiver como objetivo a constituição de

capital, esta será interpretada como o montante do capital.

Caso contrário, estiver como objetivo apresentar a amortização de um capital será considerado

como valor atual da série.

3.1 Seqüências de Pagamento Postecipado

As séries seqüenciais de pagamento postecipada é aquela em que o primeiro pagamento é

realizado no momento 1, este sistema é também chamado de pagamento ou recebimento sem

“entrada”. Onde os pagamentos e recebimentos podem ser chamados de prestações,

representado pela sigla = “PMT”, que vem do inglês Payment.

Formulas:

PMT= PV. i / 1 – (1+i)^ -n PV = PMT . [(1+i) ^n -1 / (1+i)^n . i] n = {LN [ 1- (PV / PMT) . i ] / LN(1+i)} FV = PMT . [(1+i) ^n -1) / i ]

3.2 Seqüências de Pagamento Antecipado

As séries de Pagamento Antecipado ocorrem quando o primeiro pagamento em foco está o

momento 0 (zero). Este tipo de pagamento é também chamado de pagamento com entrada.

Formulas:

Prestação Serie Postecipado

Período Serie Postecipado

Valor Presente Serie Postecipado

Valor Futuro Serie Postecipado

Prestação Serie Antecipada

13

PMT= [ PV. i / [1 – (1+i)^ -n] . (1+i) ] PV = PMT . [(1+i) ^n -1 / (1+i)^n . i] n = {LN [ 1- (PV . i / PMT) . (1+i) ] / LN(1+i)} FV = PMT . [(1+i) ^n -1 / i ] . (1+i)

3.3 Seqüências de Pagamento Diretas com Período de Carência

As Séries de Pagamento Direta (diferidas), são aquelas em que o período ou intervalos de

tempo entre uma prestação e outro ocorrem pelo menos a partir do 2º período, ou seja, as

séries diretas apresentam uma carência no tempo, período.

Formulas:

PMT= PV. (1+i)^ c - 1 . i / 1 - (1+i) - n 

PV = PMT . [1 - (1+i) ^ -n / i ] / (1+i)^c - 1 

n = - {LN [ 1- (PV . i . (1+i)^c-1 / PMT] / LN(1+i)} c = LN (FV / PV) / LN ( 1+ i)

FV = PMT . [(1+i1) ^n1 - 1 / i ] . (1+i2)^n2

3.4 Resolução dos Casos Propostos – Etapa 2.

3.4.1 Caso A

Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos

prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as

características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas

lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00.

No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem s” de R$ 400,00, no cartão de

crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de

Período Serie Antecipado

Valor Presente Serie Antecipado

Valor Futuro Serie Antecipado

Valor Presente Serie Diretac = Carência

Prestação Serie Diretac = Carência

Período Serie Diretac = Carência

Carência Série Direta

Valor Futuro Serie Direta

14

qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída,

traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$

350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação

renderá s de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá

juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em

diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja última peça (mas na caixa e

com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado

inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro.

Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu

comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para

complementar seu “cinema em casa”. De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as

seguintes informações:

I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00.

II – A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.

Desafio do Caso A:

- TV: R$ 4.800,00

- Investimento: R$ 350,00 x 12 = R$ 4.200,00

- Rendimento, s: 120,00 em 12 meses = R$ 4.320,00.

1º Fluxo de Caixa Desconto, valor do DVD => Formula: DC = FV . i . n

DC (DVD) = FV . i . n

DC (DVD) = 4.800,00 . 0,10. 1

DC (DVD) = ?

( ... )01 2 3 4 9 n = 1 a.a

FV = R$ 4.800,00

i = 10% a.a (0,10 %)

HP-12C

............. f .. Clx.

04.800,00 ENTER

0,10 ..x..

1 ..x.. => R$ 480,00 desconto e compra DVD

- Desconto: 10% = R$ 480,00

- Taxa Poupança: ?

15

DC (DVD) = 480,00

TV = FV – DC (DVD)

TV = 4.800,00 – 480,00

TV = 4.320,00

I – O aparelho de DVD/ Blu-ray custou R$600,00? (( incorreto )).

2º Fluxo de Taxa média da Poupança => Formula: i = (FV/PV)^(1/n) – 1

II – A taxa média da Poupança nestes 12 meses de aplicação foram de 0,5107 ao mês?

(( incorreto )).

3.4.2 Caso B

A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12

parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de s compostos que ambas

combinaram é de 2,8% ao mês. A respeito deste empréstimo, tem-se:

0 ( ... )

HP-12C

............. f .. Clx.

04.800,00 ENTER

480,00 .-.. => R$ 4.320,00

i = ? % a.m

HP-12C

............ f .. Clx.

0 4.200,00 CHS .PV.

12. n .

4.320,00. FV

.............. ...i... => R$ 0,2350331 ou 2,2350 % a.m.

1 2 3 4 9 n = 12 meses

PV = R$ 4.200,00

FV = R$ 4.320,00

16

I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um

mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida

por ela será de R$ 2.977,99.

II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a

concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88.

III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão

do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.

Desafio do Caso B:

- Empréstimo: R$ 30.000,00

- Tempo: 12 meses consecutivas

- Taxa: 2,8 % a.m. (0,028% a.m.)

1º Fluxo de Caixa da 1ª prestação do Empréstimo ( 0 + 12) => PMT= PV. i / 1 – (1+i)^ n

HP-12C

............ f .. Clx.

............ g.. .8.END.

0 30.000,00CHS .PV.

12. n .

2,8 . i...

.............. PMT => R$ 2.977,993309

I – A primeira prestação consecutiva após um mês é de R$ 2.977,99? (( correto )).

2º Fluxo de Caixa da 1ª prestação do Empréstimo no mesmo dia da concessão do crédito (1 + 11) => Fórmula: PMT= PV. i / 1 – (1+i)^ -n

0 1 ? 2 3 4 ( ... ) 9 n = 12 meses

PV = R$ 30.000,00

FV = R$ 41.786,75344i = 2,8% a.m (0, 028%)

17

HP-12C

............ f .. Clx.

............ g.. .7.BEG.

0 30.000,00CHS .PV.

II – A primeira prestação no mesmo dia da concessão do crédito, entrada é de R$ 2.896,88?

(( correto )).

3º Fluxo de Caixa da 1ª prestação do Empréstimo após 04 meses para iniciar o pagamento (0 - 3) e (4 -12) => Fórmula: PMT= PV. [(1 + i)^n+m . i / (1+i)^n – 1].

HP-12C

............ f .. FIN. Clx.

0 30.000,00CHS .PV.

4. n .

2,8 . i...

.............. FV => R$ 33.503,7726

1? 2 3 4 5 ( ... ) 9 n = 12 meses

PV = R$ 30.000,00

FV = R$ 41.786,75344

i = 2,8% a.m (0,028%)

0 ( ... )1 2 3 4 9 n = 12 meses

PV = R$ 30.000,00

0 – 3 4 – 12i = 2,8% a.m (0,028%)

FV1 = R$ 33.503,7726 FV2 = R$ 39.909,60432

HP-12C

............ f .. FIN. Clx.

0 33.503,77CHS .PV.

12. n .

2,8 . i...

.............. PMT => R$ 3.325,80036

12. n .

2,8 . i......

. PMT => R$ 2.896,880651

18

III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21. (( incorreto )).

Conclusão das Respostas Etapa 2 com os números: 2 e 9.

-CASO A: Nº 2, se as afirmações I e II estiverem respectivamente: errada e errada.

-CASO B: Nº 9, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e errada.

4 TAXAS EQUIVALENTES NO REGIME CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA

As Taxas Equivalentes do regime de capitalização Simples são as taxas de s fornecidas em

uma unidade de tempo diferente, ano ou mês que aplicada ao mesmo capital e prazo,

produzem o mesmo montante acumulado no final do período solicitado.

Exemplo:

12% ao Ano é proporcional a 6% ao Semestre (12/2);

1% ao Mês é proporcional a 12% ao Ano (1x12);

10% ao Mês é proporcional a 30% ao Trimestre (10x3);

Para as Taxas Equivalentes em regime de Capitalização Composta, o conceito é o mesmo, ou

seja, a taxa aplicada a unidades de tempo diferentes retornaram o montante no final do

período especificado, porém utilizando o cálculo para capitalização a Composto de taxa sobre

taxa, não somente uma única.

Exemplo:

10% ao Mês é proporcional a 33,10% ao Trimestre, atingido pela formula:

iq = {(1+i) ^ nq / nt -1} .100

As transações financeiras no Brasil apresentam outros modelos de Taxas para diversos

cálculos financeiros como: Taxa Nominal, Efetiva, Acumulada, Real e Taxa Média. Sendo

considerado o percentual da inflação no país.

19

4.1 Resolução dos Casos Propostos – Etapa 3

4.1.1 Caso A

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A

aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.

A respeito desta aplicação tem-se:

I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%?

II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%?

III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%?

Desafio do Caso A:

- Valor para Investimento: R$ 4.280,87

- Rendimento, : R$ 2.200,89

- Período/tempo: 1.389 dias / 30 dias: 46,3 a.m

- Taxa Nominal: 10,8% a.a / 12 meses: 0,90 a.m

- FV= PV + J => R$ 4.280,87 + R$ 2.200,89 = R$ 6.481,76

1º Fluxo de Caixa do Valor de Investimento = Ferramenta HP-12C

I – Taxa média diária:

HP-12C

............ f .. Clx.

0 4.280,87.PV.

0 6.481,76CHS .FV.

i = % a.d/ a.m/ a.a ?

0 1 3 4 5 ( ... ) n = 1.389 a.dn = 46,3 a.mn = 1 a.aPV = R$ 4.280,87

FV = R$ 6.481,76

II - Taxa média Mensal:

HP-12C

............ f .. Clx.

0 4.280,87.PV.

0 6.481,76CHS .FV.

46,3. n .

. i...

=> 0, 900 % a.m

III - Taxa média Anual:

HP-12C

............ f .. Clx.

0 0,90 ...i..

30 n .

360 . R/S.

=> 11, 3509 % a.a

20

1.389. n .

. i...

=> 0, 029870 % a.d

I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. (( correto )).

II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%. (( incorreto )).

III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada

mensalmente, é de 11,3509%. (( correto )).

4.1.2 Caso B

Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo

período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de –

43,0937%.

Desafio do Caso B:

- Aumento Salário: 25,78% (0,2578)

- Inflação: 121,03% (1,2103)

- Período/ tempo: 10 anos

- Percentual da Perda Real com relação à inflação: % ?

2º Fluxo de Caixa do % Taxa Real em Comparação a Inflação=> Fórmula: tr = 1 + in / 1 + I – 1.

Salário = 25,78 %

Inflação= 121,03 %tr = % a.a ?

01 3 4 5 ( ... ) 9

n = 10 a.a

21

A perda real do valor do salário de Ana em relação à inflação foi de – 43, 0937%?

(( correto )).

Conclusão das Respostas Etapa 3 com os números: 5 e 0.

-CASO A: Nº 5, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e certa. -CASO B: Nº 0, se a afirmação estiver certa.

5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Amortização é um processo que extingue dívidas através dos pagamentos periódicos, é

o extermínio de uma dívida através da quitação das parcelas. Na amortização, cada prestação

é uma parte do valor total, incluindo os s e o saldo devedor restante. A amortização traduz-se

pela soma do reembolso do capital ou do pagamento dos s do saldo devedor, também está

presente na área da contabilidade, que é o processo que torna inatingível os ativos

classificados na conta do balanço patrimonial, e pode ser relacionado também com a

depreciação, que é a redução dos valores dos bens, à medida que são utilizados. Dentro da

amortização, está incluso o prazo, que é o tempo necessário para o pagamento de todas as

parcelas, as parcelas de amortização, que é o valor devolvido periodicamente e as prestações,

que é a soma da amortização, com o acréscimo dos s e impostos.

22

Existem vários sistemas de amortização, o mais conhecido

é o sistema francês de amortização, também chamado de tabela

Price, onde os pagamentos são iguais durante todo o período, o

sistema de amortização americano tem como característica a quitação nos pagamentos finais e

o sistema de amortização são constantes.

Formulas:

PMT= PV. [(1+i)^ n . i / (1+i) ^n - 1 ] AMORT = PMT 1 – 1 

Outro sistema de Amortização muito conhecido entre as inúmeras maneiras que existem para

se amortizar o capital emprestado é o sistema de amortização constante (SAC).

Uns dos mais utilizados na prática, tal sistema consiste em se fazer que todas as parcelas de

AMORTIZAÇÃO sejam iguais. Assim, considerando um capital a ser amortizado em “n”

parcelas e supondo pagamento dos s em todos os períodos

Formula: A = PV / n

 

5.1 Resolução dos Casos Propostos – Etapa 4

Retornar ao Caso B da Etapa 2 para a realização deste passo.

5.1.1 Caso A

Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo

SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o

saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 5.000,00. (( incorreto )).

Desafio do Caso A:

- 10ª prestação: R$ 2.780,00?

- Saldo próximo período: R$ 5.000,00?

- taxa i = 2,8 %

- AMORT = 30.000,00 / 12 = R$ 2.500,00 valor constante.

Valor da Amortização - PRICE

Valor Prestação - PRICE

Valor da Amortização - SAC

23

1º Fluxo de Caixa do Valor de Investimento Tabela SAC => Ferramenta HP-12C

Tabela 01 SAC:

  Pagamento das Parcelas = SAC

n Saldo Inicial s + Amortização = Total (PMT)Saldo FinalSl Inicial - AMORT

1 30.000 840 2.500 3.340 27.5002 27.500 770 2.500 3.270 25.0003 25.000 700 2.500 3.200 22.5004 22.500 630 2.500 3.130 20.0005 20.000 560 2.500 3.060 17.5006 17.500 490 2.500 2.990 15.0007 15.000 420 2.500 2.920 12.5008 12.500 350 2.500 2.850 10.0009 10.000 280 2.500 2.780 7.50010 7.500 210 2.500 2.710 5.00011 5.000 140 2.500 2.640 2.50012 2.500 70 2.500 2.570 0

Total (PMT) 1ª Período:

i = 2,8 % a.a

0 1 3 4 5 ( ... ) n = 1.389 a.dn = 46,3 a.mn = 1 a.aPV = R$ 30.000,00

FV = R$ 35.460,00

Saldo Final após 1ª Período:

HP-12C

............ f .. Clx.

30.000,00.ENTER.

0 2.500,00 .. - ..

27.500,00 .visor. => Saldo Final

(...) sucessivamente até o 12ª período.

24

HP-12C

............ f .. Clx.

30.000,00 .ENTER.

0 2,8 % INTG

840,00 .visor.

2.500,00. + .

3.340,00 .visor. => PMT .

R: O valor da 10ª prestação seria de R$ 2.710,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo

período seria de R$ 5.000,00.

5.1.2 Caso B

Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo

sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para o 7º período

seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$

2.322,66, e o valor do correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60. ((correto ))

Desafio do Caso B:

-7ª prestação: R$ 2.780,00?

- Saldo próximo período: R$ 2.322,66?

- s próximo período: R$ 718,60?

- taxa i = 2,8 %

- PMT = R$ 2.978,00 valor constante

1º) Fluxo de Caixa do Valor de Investimento Tabela PRICE = Ferramenta HP-12C

i = % a.d/ a.m/ a.a ?

0 1 3 4 5 ( ... ) n = 1.389 a.dn = 46,3 a.mn = 1 a.aPV = R$ 30.000,00

FV = R$ 35.736,00

25

Tabela 02 PRICE:

Pagamento das Parcelas = PRICE

n Saldo Inicial s + Amortização = Total (PMT)Saldo FinalSl Inicial - AMORT

1 30.000 840 2.138 2.978 27.8622 27.862 780 2.198 2.978 25.6643 25.664 719 2.259 2.978 23.4054 23.405 655 2.323 2.978 21.0825 21.082 590 2.388 2.978 18.6946 18.694 523 2.455 2.978 16.2397 16.239 455 2.523 2.978 13.7168 13.716 384 2.594 2.978 11.1229 11.122 311 2.666 2.978 8.45610 8.456 237 2.741 2.978 5.71511 5.715 160 2.818 2.978 2.89712 2.897 81 2.897 2.978 0

HP-12C

............ f .. Clx.

............ g.. .8.END.

0 30.000,00CHS .PV.

12. n .

2,8 . i.......

........ PMT => R$ 2.977,993309 ou R$ 2.978,00

1 ..f... AMORT 1

840,00 de s do 1ª período

.x >< y

2.137,993309 de Amortização do 1ª período

. . RCL. .PV.

27.862,00669 de Saldo do 1ª período

1 ..f... AMORT 12

81,00 de do 12ª período

.x >< y

2.896,880651 de Amortização

do 12ª período

. . RCL. .PV.

0 de Saldo do 12ª período.

26

(...) continua até 12º período.

R: O valor de Amortização da 7ª prestação seria de R$ 2.523,00, e o saldo devedor atualizado

para o próximo período seria de R$ 13.716,00 e o valor do juro para o próximo período seria

de R$ 81,00 reais.

Conclusão das Respostas Etapa 4 com os números: 3 e 1.

-CASO A: Nº 3, se a afirmação estiver errada.

-CASO B: Nº 1, se a afirmação estiver errada.

6 CONCLUSÃO

Finalizando o Objetivo de encontrar o valor aproximado que será gasto por Marcelo e Ana

para que a vida de seu filho seja bem assistida, do nascimento até o termino da faculdade será

de R$ 312.950,31 reais.

O conteúdo nos demonstra a eficaz de um bom planejamento financeiro em nossa vida,

elevando-nos ao controle dos gastos desnecessários muitas fazes feitos sem perceber.

A saúde financeira em nossa vida depende totalmente de nós, utilizando ou não os conceitos e

aplicações da Matemática Financeira.

Podemos conquistar tudo, basta planilhar e se educar em todos os gastos, incluído todos os

nossos deveres e créditos, analisando o saldo final que deverá permanecer positivo para a

conquista das metas estabelecidas do algo tão desejado, o objeto, Bens ou momentos de

prazeres.

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Como o exemplo nos mostra a realização de um sonho, uma

pérola tão preciosa em nossas vidas, um filho!

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/taxas-equivalentes-no-regime-de-

capitalizacao-composta.html. Acesso em: 28 março de 2014.

http://www.cursoscontmatic.com.br/apostilas/matematica_financeira_com_a_hp12c.pdf.

Acesso em: 23 março de 2014.

http://centraldefavoritos.wordpress.com/2011/06/28/taxas-de-s-nominal-efetiva-equivalentes-

proporcionais-real-e-aparente/. Acesso em: 28 março de 2014.

28

http://

centraldefavoritos.files.wordpress.com/2011/01/resumo_matematica.pdf. Acesso em: 28

março de 2014.

Emulador HP-12C <http://epx.com.br/ctb/hp12c.php >. Acesso em: 23 março de 2014.

http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simples/s-

simples/. Acesso em: 25 março de 2014.

http://www2.unemat.br/eugenio/files_planilha/3_capitalizacao.htm. Acesso em: 25 março de

2014.

http://www.unifae.br/publicacoes/pdf/financas/1.pdf. Acesso em: 30 março de 2014.

Livro-Texto da Disciplina de Matemática Financeira:

GIMENES, C. M. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education, 2008. (Livro

Principal).

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