ATPS

Matemática Básica

NOME: ALENCAR APARECIDO LUNARDELLO - RA 2121206611 CURSO: Eng. Mecânica

NOME: BRUNO RODRIGUES DE OLIVEIRA RA - RA 2121198870 CURSO: Eng. Mecânica

NOME: CARLOS FABIANO SILVÉRIO - RA 2121210293 CURSO: Eng. Elétrica

NOME: CELESTINO SANTOS JUNIOR - RA 2107183440 CURSO: Eng. Elétrica

NOME: CLAUDINEI CANDIDO DOS SANTOS - RA 2149212413 CURSO: Eng. Elétrica

DISCIPLINA: Matemática Básica DATA: 16/11/2010

PROFESSOR: MARCOS

CONCEITO DE LIMITEEm matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o

seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de

números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são

usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade

de funções.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui

um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que

seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x0| <δ  , se tenha |f(x) - L | <ε ,

para todo x x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da

simbologia abaixo: lim f(x) = Lx x0

Exemplo: Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x 3.

Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ >

0, tal que, para |x - 3| < δ , se tenha |(x + 5) - 8| < δ . Ora, |(x + 5) - 8| < δ é equivalente a x - 3 | <

Portanto, a desigualdade |x - 3| < δ , é verificada, e neste caso

δ = δ. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x δ 3) .

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente

laborioso e de relativa complexidade. Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem

demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções. Antes, porém,

valem as seguintes observações preliminares:

a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando,

x x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando

calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 ,

porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto

x0 .Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3.

Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3)

(x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x δ 3 é igual a

6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x x0, pode inclusive, não existir, mesmo a

função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o

limite de f(x) quando x x0 .

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da função

f(x) para x x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é

Contínua no ponto x0 .

e) já vimos à definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x 0, ou x x0 . Se x

tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da

função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à

direita da função.

Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será

o limite da função quando x x0.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função.

lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.

lim (u . v) = lim u . lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.

lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v 0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k. f = k. lim f

Observações:

No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo

os símbolos de mais infinito ( + ) e menos infinito ( - ), que representam quantidades de módulo

infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim,

uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + e - , não representam números reais, não podendo ser

aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:

b + (+ ) = +

b + ( - ) = -

(+ ) + (+ ) = +

(- ) + (- ) = -

(+ ) + (- ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo - , é dito um símbolo de

indeterminação.

(+ ) . (+ ) = +

(+ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

/ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que

significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas

algébricas. Os principais símbolos de indeterminação são:

Cálculos de alguns limites imediatos.

a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13

x5

b) lim (x2 + x) = (+ )2 + (+ ) = + + = +

x +

c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12

x 2

d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5

x4

e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7

x 4

Propriedades dos limites

Dependendo do caso, a definição de limite pode ser bem pouco manejável, entretanto nem sempre é necessário

recorrer-se a ela para se investigar o limite de uma função. Veremos agora algumas propriedades que tornarão

mais simples o estudo dos limites e suas aplicações.

Na seguinte proposição está subentendido que f e g têm o mesmo domínio e que a variável independente x

sempre pertence a esse domínio. Adotamos essa prática sempre que necessário para não carregar os enunciados

com condições obvias.

Proposição 2.2.1   Suponhamos que e . Então,

1.

- . / 0 0 / 0 1 1-

2.

3.

se .

Prova A primeira afirmação não é difícil de se demonstrar. É deixada ao leitor, sendo demonstradas aqui apenas

a segunda e a terceira que são um pouco mais elaboradas.

Definamos inicialmente e suponhamos k>0. Usaremos a identidade

 

Seja dado e tomemos de modo que

 Assim, tomando o módulo em ambos os membros da equaçaõ (2.9), a condição

implica:

 

Portanto, o segundo item da proposição fica demonstrado para o caso em que ou . O caso em que ambos os limites são nulos deixamos ao leitor como exercício.

Provemos o item 3. É suficiente mostrar que

e depois aplicar essa propriedade combinada com o item 2 ao produto .

Tomando , vem da definição de limite que existe tal que implica

|g(x)-m|<|m|/2. Assim, , o que implica |g(x)|>|m|/2.

Assim, dado , existe , que pode ser tomado menor do que , tal que implica

Portanto, implica

Observação 2.2.1   1) A primeira e a segunda afirmações da Proposição 2.1 se estendem para um número

qualquer de parcelas, ou de fatores, respectivamente. Assim, se , segue-se que

.

2) Portanto, se P(x) é um polinômio, segue-se que . De fato, basta notar que a forma

geral do polinômio P(x) é dada por e que .

3) Se P(x) é um polinômio, uma combinação das propriedades acima com os itens (5) e (6) do Exemplo 2.1.1

nos dá: , e

, se .

O item (3) do Exemplo 2.1.1 segue da observação acima, não sendo necessário, conforme já tinhamos adiantado na ocasião, o uso direto da definição de limite. O mesmo vale para o item (4) do Exemplo 2.1.1.

A proposição seguinte é muito útil. Traduz um fato inteiramente previsível: se o limite de f em a é um número

, então f(x) tem o mesmo sinal de para x próximo, mas distinto, de a. Por essa razão tem o nome que tem.

Teorema 2.2.1 (Teorema da conservação do sinal)   Seja uma função tal que

. Então, existe uma vizinhança V de a tal que, se , f(x) tem o

sinal de .

Prova Tomemos e consideremos de modo que:

ou, equivalentemente,

Logo, se , para temos e, para ,

. Exemplo 2.2.1 (1)   O polinômio P(x)=2x3-x5+1 é positivo numa vizinhança de x=3/2, pois, de acordo com a Observação 2.2.1,

O Teorema da Conservação do Sinal garante que P(x) tem o sinal de 5/32 numa vizinhança de a=3/2.

(2) O tamanho da vizinhança V, no Teorema da Conservação do Sinal, varia de acordo com cada caso. Assim, se

considerarmos as funções fn(x):=1-n2x2, , temos , para todo

, portanto, existe uma vizinhança de x=0 onde fn(x) é positiva. Fazendo o gráfico de fn, que é uma

parábola pelos pontos e vértice (0,1), vê-se claramente que a maior vizinhança possível,

com centro em 0, onde fn(x)>0 é . Ou seja, quando n cresce, a vizinhança diminui. Veja a Figura 2.4.

 Figure 2.4:fn(x)=1-n2x2

(3) Analise o exemplo das funções gn(x):=1-nx, , em torno do ponto x=0, para reforçar a observação do item (2) acima.

Proposição 2.2.2   Dada uma função , suponhamos que exista . Então

existe uma vizinhança V(a) de a tal que a restrição de f a é limitada.

Prova Suponhamos primeiramente . Sendo , tomemos . De acordo com

a Definição 2.1.1, existe de modo que

ou seja, tomando ,

donde, , para todo . Caso , a mesma argumentação implica

, para todo . Portanto, f é limitada em em qualquer dos casos considerados

Uma função f que satisfaz as conclusões da Proposição 2.2.2 se diz localmente limitada em a. Uma função que é

localmente limitada em cada ponto de um conjunto B se diz localmente limitada em B.

Observação 2.2.2   Obviamente, qualquer função limitada é localmente limitada em B.

Entretanto, não vale a recíproca desta afirmação pois, pelo que já sabemos, todo polinômio é localmente

limitado em (porque?), embora, como ficará claro na Seção 2.3, apenas os polinômios constantes sejam

limitados.

A Proposição 2.2.2 pode ser vista como um critério de não existência do limite: se uma função não é localmente

limitada num ponto a, então não existe . Por outro lado, sendo f localmente limitada em a, não

se pode dizer que o limite em a existe.

Exemplo 2.2.2 (1)   Não existem os limites e , pois as funções 1/x e 1/x2

não são localmente limitadas em 0. Veja as Figuras 2.5.

 

Figure 2.5:y=1/x    e    y=1/x2

(2) Com o mesmo tipo de argumento conclui-se que as funções e não têm limite nos pontos

, .

(3) A função é localmente limitada em 0 mas, como já vimos anteriormente, não existe

.

Quando uma função f satisfaz , usa-se dizer que f é um infinitésimo em a. A proposição

abaixo é enunciada informalmente do seguinte modo: O produto de uma função limitada por um infinitésimo é

um infinitésimo.

Proposição 2.2.3   Se f e h são funções definidas em um mesmo domínio, h(x) é limitada (ou apenas localmente

limitada em a) e , então .

Prova Não há perda de generalidade em assumir que h é limitada pois, caso contrário, podemos provar a

proposição tomando as restições das funções f e h à interseção do domínio de f e h com uma conveniente

vizinhança do ponto a.

Sejam , com , e K>0 um número tal que , para todo

. Seja qualquer. Tendo em conta que , escolhamos tal que

Assim,

ou seja, .

O seguinte exemplo mostra que o cálculo de um limite, aparentemente complicado, pode seguir diretamente da Proposição 2.2.3

Exemplo 2.2.3 (1)   , pois este é o limite do produto de uma função limitada,

, por um infinitésimo em 0, f(x)=x. Faça um esboço do gráfico da função inspirando-se na Figura 2.3.

(2) , pois a função considerada é o produto de uma função localmente

limitada em x=0, , por um infinitésimo em 0, f(x)=x2.

É natural esperar-se que valha uma proposição como a seguinte:

Teorema 2.2.2 (Teorema da comparação)   Sejam funções tais que ,

. Se existirem os limites e , então

 

(2.3)

Prova Suponhamos temporariamente que . Então, de acordo com a Proposição 2.1, temos

Do Teorema da Conservação do Sinal segue que existe uma vizinhança V(a) de a tal que f(x)-g(x)>0, ou seja,

f(x)>g(x) em , contrariando nossas hipóteses.

Exemplo 2.2.4 (1)   De fato, como , podemos nos restringir ao caso x>0, portanto,

e, como , nossa afirmação segue do Teorema da Comparação.

(2) Mesmo que se tenha f(x)<g(x), , no Teorema da Comparação, não se pode trocar " '' por "<'' em

(2.4). De fato, se g(x)=x e f(x)=-x, para , temos f(x)<g(x) e, apesar disso,

.

(3) Suponhamos que, para uma certa função f, exista

então, . De fato, como , segue do Teorema da Comparação que

. O teorema abaixo, que também é chamado vulgarmente de Teorema do Sanduíche, é uma consequência do Teorema da Comparação.

Teorema 2.2.3 (Teorema do confronto)   Sejam tais que ,

, e . Então

O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a Figura 2.6. Uma observação cuidadosa dessa figura indica que Teorema do Confronto não poderia deixar de valer.  

Figure 2.6: Teorema do Confronto

Prova Seja um número qualquer. Como , existem

de modo que

Logo, se e se , a condição implica

donde , ou seja, . Observação 2.2.3   O item (1) do Exemplo 2.2.3 segue também do Teorema do Confronto. De fato, como

e , o Teorema do Confronto implica

.

Primeiro limite fundamental.

Prova Vamos considerar sabido que a área de um setor circular de raio r, determinado por um arco de

comprimento s, é sr2/2. A idéia é mostrar que os dois limites laterais em x=0 existem e são ambos iguais a 1.

Como a função é par, basta fazer o caso x>0 (veja o exercício 8).

De acordo com a Figura 2.7 (onde OA é suposto um segmento de comprimento unitário), para

, podemos escrever S1<S2<S3, onde S1 é a área do triângulo OAB, S2 a área do setor circular OAB e S3 a área do

triângulo OAC.

 Figura:

Notando que as alturas dos triângulos OAB e OAC, relativas à base OA, são e , respectivamente, temos:

e, como S1<S2<S3, vem

Donde, dividindo por ,

e, tomando os inversos de cada membro,

Como , a conclusão é agora conseqüência imediata do Teorema do Confronto.

Exemplo 2.2.5 (1)  

De fato,

(2) De fato,

Finalizamos esta Seção apresentando duas proposições relacionadas com raízes n-ésimas e expoentes fracionários que somente serão provadas mais tarde.

Proposição 2.2.4   Se n é um inteiro positivo, então , sempre que exista em . A prova é uma conseqüência imediata da Proposição 2.4.4, da Seção 2.4. Na mesma Seção, veja o Exemplo 2.4.3. Na verdade, vale um fato mais geral do que a Proposição 2.2.4:

Proposição 2.2.5   Suponhamos que exista em . Se , então

. A Proposição 2.2.5 é um caso particular da Proposição 2.4.5. Em outras palavras ela diz que os sinais de limite e de radiciação, em geral, podem ser trocados:

Exemplo 2.2.6 (1)   Se a>0; , temos

ou, em termos de expoentes fracionários

A verificação deste fato pode ser feita por uma combinação da Proposição 2.2.5 com as propriedades dos limites. (2)

De fato, .

LIMITES FUNDAMENTAIS

A técnica de cálculo de limites consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se

possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentarei cinco limites

fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL: O LIMITE TRIGONOMÊTRICO

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida

seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 =

0,00009999 (obtido numa calculadora científica).

Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 1. Quanto mais

próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a

noção intuitiva de limite de uma função.

Exemplo:

Uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também

que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos

também a propriedade P4.

SEGUNDO LIMITE FUNDAMENTAL: LIMITE EXPONENCIAL

Onde e é a base do sistema de logaritmos nigerianos, cujo valor aproximado é e 2,7182818.

Exemplo:

TERCEIRO LIMITE FUNDAMENTAL: CONSEQUÊNCIA DO ANTERIOR

Exemplo:

Observe o cálculo do limite abaixo:

lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5

x 0 ................x 0

QUARTO LIMITE FUNDAMENTAL: OUTRO LIMITE EXPONENCIAL

Para a > 0.

QUINTO LIMITE FUNDAMENTAL

LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

Os conceitos de limite e continuidade são generalizáveis a campos escalares e vetoriais.

Definição 1.1.1: Seja um ponto de acumulação do domínio S de uma função . Diz-se que

é limite de no ponto (ou quando tende para ) e escreve-se

ou ,

se para cada existe tal que para todos os pontos tais que

, que é o mesmo que

.

Nota: Não exigimos que a função esteja definida em . Note-se ainda que tende para por

valores diferentes de , e por isso .

Exemplo: Em particular, no caso de m= 1 e n = 2, pode escrever-se

se

Observação: Nos problemas em que temos que recorrer à definição de limite, vai-se majorando até

se obter uma expressão em . Para isso, são muitas vezes úteis as desigualdades:

Proposição 1.1.1 (Critério por sucessões): se e só se para cada sucessão , de elementos

em , se tiver .

Exemplo 1: Prove, atendendo à definição de limite, que .

Para melhor compreendermos a definição de limite pensem num campo escalar definido num subconjunto de

(neste caso, escrevemos em vez de e em vez de ), e consideremos o seguinte exemplo:

,f x y ,x y

2: f IR IR

x

y w

S

,f x y2: f IR IR

x

y w

(a,b)

L_

suponhamos que uma chapa metálica plana tenha a forma da região . A cada ponto da chapa

corresponde uma temperatura , que é registrada num termômetro representado pelo eixo .

Se a temperatura se aproxima de um valor fixo L, quando se aproxima de , utilizamos a seguinte notação:

ou , e lê-se o limite de quando

tende para é .

Isto significa que, para arbitrário, consideramos o intervalo aberto no eixo w, e se se verifica

(1), existe tal que para todo o ponto interior à bola de raio com centro em , excepto

possivelmente o próprio , o valor funcional está no intervalo .

Isto quer dizer, a distância de a L pode ser arbitrariamente pequena desde que a distância de a

seja suficientemente pequena.

Para funções reais de uma variável, a aproximação de a é feita por valores à esquerda ou à direita de , e

só existe, se existirem e forem iguais os limites laterais, ou seja, .

. (a,b)

x

y

No caso de funções de duas variáveis, a situação é mais complicada, pois a aproximação, neste caso de a

, pode ser feita seguindo uma infinidade de diferentes trajetórias, como se pode observar pela figura

abaixo:

Se existir, aproxima-se de L, independentemente da forma como se

aproxima de . Podemos assim concluir a não existência deste limite, se estudarmos os limites direcionais.

Neste sentido, surge a “regra dos dois caminhos”: Se dois caminhos diferentes para um ponto resulta em

dois limites diferentes, então não existe.

Observação: Esta regra só prova a não existência de limite.

Apresenta-se ainda um outro resultado que nos permite verificar a não existência de limite:

Seja . Se , e se existirem os limites unidimensionais e

então . Os dois limites desta igualdade chamam-se

limites iterados.

Nota: A inversa da proposição não é sempre verdadeira, ou seja, a existência de limites iterados iguais não

prova a existência de limite bidimensional.

Exemplo 2: Estude o comportamento da função com quando

.Exemplo 3: Calcular, caso existam, os seguintes limites

a)

b)

c)

Operações com Limites

Muitas das propriedades de limite dadas no caso unidimensional, generalizam-se para espaços m-dimensionais.

Verificam-se as seguintes propriedades, supondo , ponto de acumulação de D; e

:

Se e têm limite no ponto , também o têm as funções , , e , verificando-se as

igualdades:

Limite da soma é igual à soma dos limites

Limite do produto é igual ao produto dos limites

Limite da norma é igual à norma do limite

Se f é constante em D, existe e é igual ao valor de f num ponto qualquer de D.

Se e têm limite no ponto , também e tem-se:

Todos os restantes limites são calculados aplicando o seguinte teorema:

Teorema 1.1.1: Seja e e designe a função composta de

. Nestas condições, se e , tem-se também .

Exemplo 4: Calcule os seguintes limites

a)

b)

c)

Também, no caso do limite, o estudo das funções vetoriais pode reduzir-se imediatamente ao das funções reais:

Teorema 1.1.2: Seja (com ), ponto de acumulação de D, um vector de

e designemos por a função coordenada de ordem de de ; nestas condições, para que se verifique a

igualdade é necessário e suficiente que, para cada inteiro positivo , se tenha .

Definição 1.1.2 : Um campo diz-se contínua em se estiver definida nesse ponto e se

Dizemos que é contínua num conjunto S se for contínua em cada ponto de S.

Recordando o exemplo anterior, podemos ilustrar graficamente a definição de continuidade de em

, como se segue.

Consideremos o gráfico da função f abaixo representado por G:

Intuitivamente, escrever que 1 significa que, quando o ponto se aproxima de

no plano-xy, o ponto correspondente do gráfico de f aproxima-se de que pode

estar, ou não, no gráfico de f. Se f é contínua, quando o ponto se aproxima de , então

em G está próximo de também em G, sendo naturalmente . Desta

forma, se f for contínua, não existem buracos, nem saltos verticais no seu gráfico.

Teorema 1.1.3: Sejam , e h uma função real. Se são contínuas

em , o mesmo sucede a , , e ainda se .

Observações:

(i) Continuidade e componentes de um campo vectorial

Se então m campos escalares,

componentes do campo vectorial

é contínua num ponto se e só se cada componente é continua em .

(ii) Continuidade de transformações lineares

Se é uma transformação linear, é contínua em .

1 Se o limite L existe, é único.

(iii) Continuidade dos polinómios de variáveis

Um campo escalar p, definido em por uma fórmula da forma

chama-se polinômio de variáveis . Por exemplo, em , temos o polinômio de grau 2:

.

Um polinômio é contínuo em , pois é a soma finita de produtos de campos escalares contínuos em

.

(iv) Continuidade de funções racionais

Um campo escalar definido por , onde e são polinômios nas componentes de , diz

se uma função racional. Uma tal função é contínua em cada ponto em que .

Verificar-se-á a continuidade de muitas outras funções recorrendo ao teorema que se segue:

Teorema 1.1.4: Sejam e campos tais que a função composta está definida em , sendo

.

Se é continua em e se é continua em então é continua em .

Nas condições do teorema anterior, tem-se

.

Nota: Análogo para campos escalares.

Exemplo 5: Determine para cada alínea o conjunto dos pontos para os quais o campo escalar f é contínua:

a) ;

b) ;

c) .

Exemplo 6: Mostre que a função

apenas não é contínua no ponto .

Observação: Uma função de duas variáveis pode ser contínua a respeito de cada uma das variáveis

separadamente, e ser descontínua considerada como função das duas variáveis em conjunto.

Exemplo 7: Para ilustrar a afirmação anterior considere a função

e estude a sua continuidade a respeito de cada uma das variáveis separadamente, e a respeito das duas variáveis

em conjunto.

Tal como as funções reais de variável real, uma função diz-se prolongável por continuidade a

um ponto esse e existe o .

Chamar-se-á então prolongamento por continuidade de f ao ponto , à função g que coincide com f nos pontos

onde f já estava definida e que no ponto toma o valor :

Observação: Embora , como é exigido que exista , o ponto terá que ser ponto de acumulação

de .

Uma função diz-se descontínua num ponto se não for contínua nem prolongável por

continuidade a esse ponto.

LIMITES NO INFINITO     Introdução :         Vamos  estudar  o  comportamento  de  uma  função  para  | x |  " muito grande " :  

     Vamos  observar  o  gráfico  da  f  no  intervalo  [ 1 , 100 ] :  

      

    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  mais  próximo  de  0  quando  x ® + ¥ ,  isto é ,

 

     Agora ,  vamos  observar  o  gráfico  da  f  no  intervalo  [ –100 , –1 ] :  

      

    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  mais  próximo  de  0  quando  x ® - ¥ ,  isto é ,

 Definição  ( Limites  no  Infinito )    ( I ) Seja  f uma função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto I  = ( c , + ¥ ) .            A  função  f  tem  limite  L  quando  x   tende  para  + ¥ ,  que  denotamos  por  

 ,  

         se  para  todo  número  positivo  e  podemos  encontrar  um  número  positivo  N ,  tal  que  

f ( x ) Î ( L – e , L + e )   sempre  que   x > N .          Isto  é ,

 ( II )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  ponto  de  um  intervalo  aberto I  =  ( - ¥ , c ) .  

          A  função  f  tem  limite  L  quando  x   tende  para  - ¥ ,  que  denotamos  por  

 ,  

         se  para  todo  número  positivo  e  podemos  encontrar  um  número  positivo  N ,  tal  que  

f ( x ) Î ( L – e , L + e )   sempre  que   x < – N .          Isto  é ,

Observação 7-1 :    

 ( i )  As  propriedades  de  limite  continuam  válidas  quando  x® + ¥  e  quando  x ® - ¥ ;  e  temos  para  todo  n Î IN*

 ( ii )  Para  todo  n Î IN*  e   c Î IR ,   temos

 

 

Exemplo 7.1 :      

    Calcule  o  limite  da  função  quando  x ® - ¥  e  quando  x  ® + ¥ .  

  

Solução :  

 

Limites Infinitos      Introdução:     Vejamos  o comportamento  de funções  tais  que  | f ( x ) |  é  " muito  grande "  quando  x  está  próximo  de  0 .  

     Vamos  observar  o  gráfico  da  f  numa  vizinhança  de  0 :  

      

    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  maior  quando  quando  x ® 0 ,  isto é ,

 

  

   Vamos  observar  o  gráfico  da  f  numa  vizinhança  de  0 :  

     

    O  gráfico  ao  lado  sugere  que  o  valor  da  função  fica  cada  vez  menor  quando  quando  x ® 0 ,  isto é ,

  ( Limites  Infinitos ):      ( I )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto  contendo  a ,  exceto           possivelmente  em  a .           A  função  f  tem  " limite "  + ¥  quando  x   tende  para  a ,  que  denotamos  por  

 ,  

         se  para  todo  número  positivo  N   podemos  encontrar  um  número  positivo  d  tal  que  

f ( x ) > N   sempre  que   x Î ( a – d , a ) È ( a , a + d ) .          Isto  é ,

 ( II )  Seja  f  uma  função  definida  em  todo  número  de  um  intervalo  aberto  contendo  a ,  exceto 

          possivelmente  em  a .            A  função  f  tem  " limite "  - ¥  quando  x   tende  para  a ,  que  denotamos  por  

 ,  

         se  para  todo  número  positivo N   podemos  encontrar  um  número  positivo  d  tal  que  

f ( x ) < – N   sempre  que   x Î ( a – d , a )< È ( a , a + d ) .          Isto  é ,

  

Observação  

( i )  Note  que ,  pela  definição  acima ,    é  equivalente  à   

( ii )  As  definições  de  limite  laterais  infinitos  são  análogas .  

( iii )  Apesar  de  escrevermos    ou  ,  estes  limites  NÃO  existem .  

Observação 7-3:      

 

Exemplo 7.2 :      

    Para  cada  uma  das  funções  e  valores  de  a  definidos  abaixo ,  calcule  o  limite  da  função  quando  x ® a –  e  quando  x ® a + .

 

              (i)  a = – 1          (ii)  a = 1           (iii)  a = 2 Solução:

 

Vamos  resolver  estes  limites  usando  a  Observação 7.3 .  Quando  o  denominador  for  um  polinômio ,  devemos  fatorar  o  polinômio ,  para  saber  se  está  se  aproximando  de  0  por  valores  maiores  ou  menores  que  0 ,  quando  x  se  aproxima  de  a .

 

               (i)  a = – 1            (ii)  a = 1             (iii)  a = 2  

 (i)  a = – 1

 

 

  (ii)  a = 1

 

 

 (iii)  a = 2

 

 

 

Observação 7-4 :      

 

 

 

 

 

     Em  muitos  casos  não  é  possível  determinar  de  imediato  o  limite,  quando  isto  acontece  nós  dizemos  que  temos  uma  indeterminação  ( isto  é ,  precisamos  fazer  alguns  cálculos  para  determinar  o  limite ) .

 

Exemplo 7.3  

    Calcule  os  seguintes  limites :  

(a)   (b)    

Solução :  

(a)  

(b)  

 

EMPREGO E USO DE LIMITE E DERIVADO EM UMA EMPRESA FLORESTAL

A maximização do lucro (L) ocorre quando a diferença entre a receita total (RT) e os custos totais

(CT) são máximos. Matematicamente, tem-se:

L = RT – CT

L = Py. Y – Px. X

Em que Py = preço do produto (constante); e

Px = preço do fator (constante).

O lucro máximo é determinado no ponto em que a inclinação da função de lucro é igual a zero

(primeira derivada = 0 e segunda derivada < 0).

Derivando a função de lucro em relação á do fator variável tem-se:

dL/dX = Py. dY/dX + Y.0-Px . dX/dX +.0

dL/dX = Py . dY/dX - Px

dL/dX = Py . PFMa - Px (6.0)

Como na equação (6.0) Py . PFMa (receita marginal) e Px = CMa (custo marginal), tem-se:

dL/dX = RMa - CMa

Igualando a primeira derivada a zero, tem-se:

dL/dX = RMa – CMa = (6.1)

A equação (6.1) pode ser escrita da seguinte forma:

RMa = CMa = 0 ou

RMa = CMa ou (6.3)

VPFMa = Px (6.4)

Em que VPFMa = valor do produto físico marginal.

Admitindo-se que a segunda derivada da função de lucro seja menor que zero, as equações (6.3) e

(6.4) determinam que o lucro será máximo quando o retorno obtido ao produzir uma unidade a mais do produto

for igual ao custo para produzir essa unidade a mais.

O quadro abaixo ilustra a maximização de lucro da empresa florestal onde o custo marginal do

fator, ou preço do fator (Px1), é igual a US$ 2,00 e o preço do produto (Py) igual a US$ 2,00.

X1 Y PFMe PFMa CMa (Px1) VPFMa CT RT Lucro

1 1 1,0 1 2 2 2 2 02 3 1,5 2 2 4 4 6 23 6 2,0 3 2 6 6 12 64 10 2,5 4 2 8 8 20 125 15 3,0 5 2 10 10 30 206 19 3,2 4 2 8 12 38 267 22 3,1 3 2 6 14 44 308 24 3,0 2 2 4 16 48 329 25 2,8 1 2 2 18 50 32 *10 25 2,5 0 2 0 20 50 30

*Ponto em que o lucro é máximo

EMPERGO E USO DE LIMITES PARA CALCULO DA VELOCIDADE INSTANTANEA

A velocidade instantânea é uma ferramenta utilizada para descrever cinematicamente fenômenos onde a própria

velocidade tende a um valor limite e onde a variação de tempo tende a zero, constando assim a velocidade

instantânea.

Para calcular tal fenômeno, precisamos ter uma noção muito importante de Derivada (ferramenta muito utilizada

em calculo)

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

A taxa de variação instantânea difere da taxa de variação média pelo fato do uso do Limite, que faz com que o

tempo sempre tender a zero. Com isso temos a noção da determinada rapidez em que há o determinado

fenômeno. Existem diversos fenômenos que envolvem a taxa de variação instantânea, podemos citar um

exemplo disso.

As máquinas fotográficas bem sofisticadas que podem utilizar recursos de captação de imagens em curto

período de tempo. Quando esse tempo e tão curto, costumamos dizer que ele tende a um certo valor limite.

Geralmente o tomamos como zero, para isso temos que entender algo sobre um acréscimo estabelecido ao

tempo que normalmente seria calculado. Há esse acréscimo ou “incremento” podemos estabelecer uma

determinada variação.

Geralmente em taxa de variação média calculamos somente a variação de posição v = ∆x/∆t. Já na taxa de

variação instantânea utilizamos um (incremento) acréscimo ao deslocamento percorrido. ∆x = x (t + ∆t) - x (t),

sendo o intervalo de tempo considerado é ∆t.

Temos a expressão que define a taxa de variação instantânea. Observe que a velocidade tende a “t", ou seja:

Esse Limite é chamado de Derivada de Posição (x) em relação a (t).

Indicamos por:

ou por v ( t ) = x' ( t ).

Vamos a alguns exemplos de resoluções de velocidade instantânea.