asymptotics of a two-scale sto chastic volatility mo del

7/29/2019 Asymptotics of a Two-Scale Sto Chastic Volatility Mo Del

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A s y m p t o t i c s o f a T w o - S c a l e S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y M o d e l

J . P . F o u q u e

G . P a p a n i c o l a o u

y

K . R . S i r c a r

z

T o J a c q u e s - L o u i s L i o n s o n t h e o c c a s i o n o f h i s s e v e n t i e t h b i r t h d a y

A b s t r a c t

W e p r e s e n t a n a s y m p t o t i c a n a l y s i s o f d e r i v a t i v e p r i c e s a r i s i n g f r o m a s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y

m o d e l o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e t h a t i n c o r p o r a t e s a s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e s h o r t t i c k - b y -

t i c k t i m e - s c a l e o f u c t u a t i o n o f t h e p r i c e a n d t h e l o n g e r l e s s r a p i d t i m e - s c a l e o f v o l a t i l i t y

u c t u a t i o n s . T h e m o d e l i n c l u d e s l e v e r a g e o r s k e w e e c t s a n e g a t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n p r i c e

a n d v o l a t i l i t y s h o c k s , a n d a n o n z e r o m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k . T h e r e s u l t s c a n b e u s e d

t o e s t i m a t e t h e l a t t e r p a r a m e t e r , w h i c h i s n o t o b s e r v a b l e , f r o m a t - t h e - m o n e y E u r o p e a n o p t i o n

p r i c e s . D e t a i l e d s i m u l a t i o n s a n d e s t i m a t i o n o f p a r a m e t e r s a r e p r e s e n t e d i n 6 .

1 I n t r o d u c t i o n

S t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s h a v e b e c o m e p o p u l a r f o r d e r i v a t i v e p r i c i n g a n d h e d g i n g i n t h e l a s t t e n

y e a r s a s t h e e x i s t e n c e o f a n o n a t i m p l i e d v o l a t i l i t y s u r f a c e o r t e r m - s t r u c t u r e h a s b e e n n o t i c e d

a n d b e c o m e m o r e p r o n o u n c e d , e s p e c i a l l y s i n c e t h e 1 9 8 7 c r a s h . T h i s p h e n o m e n o n , w h i c h i s w e l l -

d o c u m e n t e d i n , f o r e x a m p l e , 9 , 1 2 , s t a n d s i n e m p i r i c a l c o n t r a d i c t i o n t o t h e c o n s i s t e n t u s e o f

a c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s c o n s t a n t v o l a t i l i t y a p p r o a c h t o p r i c i n g o p t i o n s a n d s i m i l a r s e c u r i t i e s .

H o w e v e r , i t i s c l e a r l y d e s i r a b l e t o m a i n t a i n a s m a n y o f t h e f e a t u r e s a s p o s s i b l e t h a t h a v e c o n t r i b u t e d

t o t h i s m o d e l ' s p o p u l a r i t y a n d l o n g e v i t y , a n d t h e n a t u r a l e x t e n s i o n p u r s u e d i n t h e l i t e r a t u r e a n d

i n p r a c t i c e h a s b e e n t o m o d i f y t h e s p e c i c a t i o n o f v o l a t i l i t y i n t h e s t o c h a s t i c d y n a m i c s o f t h e

u n d e r l y i n g a s s e t p r i c e m o d e l .

O n e a p p r o a c h , t e r m e d t h e i m p l i e d d e t e r m i n i s t i c v o l a t i l i t y I D V a p p r o a c h 5 , C h a p t e r 8 , i s t o

s u p p o s e v o l a t i l i t y i s a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f t h e a s s e t p r i c e X

t

: v o l a t i l i t y = t ; X

t

, s o t h a t t h e

s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n m o d e l i n g t h e a s s e t p r i c e b e c o m e s

d X

t

= X

t

d t + t ; X

t

X

t

d W

t

:

T h e f u n c t i o n C t ; x g i v i n g t h e n o - a r b i t r a g e p r i c e o f a E u r o p e a n d e r i v a t i v e s e c u r i t y a t t i m e t w h e n

t h e a s s e t p r i c e X

t

= x t h e n s a t i s e s t h e g e n e r a l i z e d B l a c k - S c h o l e s P D E

C

t

+

1

2

2

t ; x x

2

C

x x

+ r x C

x

, C = 0 ;

w i t h r t h e c o n s t a n t r i s k f r e e i n t e r e s t r a t e a n d w i t h t e r m i n a l c o n d i t i o n a p p r o p r i a t e f o r t h e c o n t r a c t .

T h i s h a s t h e n i c e f e a t u r e t h a t t h e m a r k e t i s c o m p l e t e w h i c h , i n t h i s c o n t e x t , m e a n s t h a t t h e

C N R S - C M A P , E c o l e P o l y t e c h n i q u e , 9 1 1 2 8 P a l a i s e a u C e d e x F r a n c e , f o u q u e @ p a r i s p o l y t e c h n i q u e f r . T h i s w o r k

w a s d o n e w h i l e v i s i t i n g t h e D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , S t a n f o r d U n i v e r s i t y .

y

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d C A 9 4 3 0 5 , p a p a n i c o @ m a t h . s t a n f o r d . e d u

z

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n , A n n A r b o r M I 4 8 1 0 9 , s i r c a r @ m a t h . l s a . u m i c h . e d u

1



d e r i v a t i v e ' s r i s k c a n t h e o r e t i c a l l y b e p e r f e c t l y h e d g e d b y t h e u n d e r l y i n g , a n d t h e r e i s n o v o l a t i l i t y

r i s k p r e m i u m t o b e e s t i m a t e d .

H o w e v e r , w h i l e a t t e m p t s t o i n f e r a l o c a l v o l a t i l i t y s u r f a c e f r o m m a r k e t d a t a b y t r e e m e t h o d s

1 3 o r r e l a t i v e - e n t r o p y m i n i m i z a t i o n 2 o r i n t e r p o l a t i o n 1 5 h a v e y i e l d e d i n t e r e s t i n g q u a l i t a t i v e

p r o p e r t i e s o f t h e r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n u s e d b y t h e m a r k e t t o p r i c e d e r i v a t i v e s

s u c h a s e x c e s s s k e w a n d l e p t o k u r t o s i s i n c o m p a r i s o n t o t h e l o g n o r m a l d i s t r i b u t i o n , t h i s a p p r o a c h

h a s n o t p r o d u c e d a s t a b l e s u r f a c e t h a t c a n b e u s e d c o n s i s t e n t l y a n d w i t h c o n d e n c e o v e r t i m e .

F o r t h i s r e a s o n , w e c o n c e n t r a t e o n t h e p u r e " s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y a p p r o a c h o f 8 r e v i e w e d i n

1 6 , S e c t i o n 1 . 2 o r 3 , i n w h i c h v o l a t i l i t y

t

i s m o d e l e d a s a n I t ^ o p r o c e s s d r i v e n b y a B r o w n i a n

m o t i o n t h a t h a s a c o m p o n e n t i n d e p e n d e n t o f t h e B r o w n i a n m o t i o n W

t

d r i v i n g t h e a s s e t p r i c e .

T h e r e h a s b e e n a l o t o f a n a l y s i s o f s p e c i c I t ^ o m o d e l s i n t h e l i t e r a t u r e 1 4 , 1 7 , 7 b y n u m e r i c a l a n d

a n a l y t i c a l m e t h o d s , m a n y o f w h i c h h a v e i g n o r e d s k e w e e c t s a n d o r t h e v o l a t i l i t y r i s k p r e m i u m

f o r t r a c t a b i l i t y . O u r g o a l 6 i s t o e s t i m a t e t h e s e p a r a m e t e r s f r o m m a r k e t d a t a a n d t o t e s t t h e i r

s t a b i l i t y o v e r t i m e a n d t h u s t h e p o t e n t i a l u s e f u l n e s s o f s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s f o r h e d g i n g

d e r i v a t i v e s . W h a t i s t o o u r k n o w l e d g e n e w h e r e i n c o m p a r i s o n w i t h p r e v i o u s e m p i r i c a l w o r k o n

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s i s o u r k e e p i n g o f t h e s e t w o f a c t o r s , u s e o f h i g h - f r e q u e n c y i n t r a d a y

d a t a , a n d a n a s y m p t o t i c s i m p l i c a t i o n o f o p t i o n p r i c e s p r e d i c t e d b y t h e m o d e l t h a t a l l o w s f o r e a s y

e s t i m a t i o n o f t h e v o l a t i l i t y r i s k p r e m i u m f r o m a t - t h e - m o n e y m a r k e t o p t i o n p r i c e s .

T h e l a t t e r e x p l o i t s t h e s e p a r a t i o n o f t i m e - s c a l e s r s t i n t r o d u c e d i n t h i s c o n t e x t i n 1 6 . I t i s

o f t e n o b s e r v e d t h a t w h i l e v o l a t i l i t y m i g h t u c t u a t e c o n s i d e r a b l y o v e r t h e m a n y m o n t h s c o m p r i s i n g

t h e l i f e t i m e o f a n o p t i o n s c o n t r a c t , i t d o e s n o t d o s o a s r a p i d l y a s t h e s t o c k p r i c e i t s e l f . T h a t

i s , t h e r e a r e p e r i o d s w h e n t h e v o l a t i l i t y i s h i g h , f o l l o w e d b y p e r i o d s w h e n i t i s l o w . W i t h i n t h e s e

p e r i o d s , t h e r e m i g h t b e m u c h u c t u a t i o n o f t h e s t o c k p r i c e a s u s u a l , b u t t h e v o l a t i l i t y c a n b e

c o n s i d e r e d r e l a t i v e l y c o n s t a n t u n t i l i t s n e x t m a j o r " u c t u a t i o n . T h e m i n o r " v o l a t i l i t y u c t u a t i o n s

w i t h i n t h e s e p e r i o d s a r e r e l a t i v e l y i n s i g n i c a n t , e s p e c i a l l y a s f a r a s o p t i o n p r i c e s , w h i c h c o m e f r o m

a n a v e r a g e o f a f u n c t i o n a l o f p o s s i b l e p a t h s o f t h e v o l a t i l i t y , a r e c o n c e r n e d .

M a n y a u t h o r s , f o r e x a m p l e 1 , h a v e p r o p o s e d n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n o f t h e p r i c i n g m e a s u r e

f o r d e r i v a t i v e s . T h e a n a l y s i s i n 1 6 i s i n d e p e n d e n t o f s p e c i c m o d e l i n g o f t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s , b u t

r e s u l t s i n b a n d s f o r o p t i o n p r i c e s t h a t d e s c r i b e p o t e n t i a l v o l a t i l i t y r i s k i n r e l a t i o n t o i t s h i s t o r i c a l

a u t o c o r r e l a t i o n d e c a y s t r u c t u r e , w h i l e o b v i a t i n g t h e n e e d t o e s t i m a t e t h e r i s k p r e m i u m . H o w e v e r ,

t h e m a r k e t i n a t - t h e - m o n e y E u r o p e a n o p t i o n s i s l i q u i d a n d i t s h i s t o r i c a l d a t a c a n b e u s e d t o e s t i m a t e

t h i s p r e m i u m

1

. F o r t h i s r e a s o n , w e s h a l l a t t e m p t t h i s w i t h a m o d e l t h a t i s h i g h l y p a r a m e t r i c , b u t

c o m p l e x e n o u g h t o r e e c t a n i m p o r t a n t n u m b e r o f o b s e r v e d v o l a t i l i t y f e a t u r e s :

1 . v o l a t i l i t y i s p o s i t i v e ;

2 . v o l a t i l i t y i s r a p i d l y m e a n - r e v e r t i n g s e e f o r e x a m p l e 1 0 ;

3 . v o l a t i l i t y s h o c k s a r e n e g a t i v e l y c o r r e l a t e d w i t h a s s e t p r i c e s h o c k s . T h a t i s , w h e n v o l a t i l i t y

g o e s u p , s t o c k p r i c e s t e n d t o g o d o w n a n d v i c e - v e r s a . T h i s i s o f t e n r e f e r r e d t o a s l e v e r a g e 4 ,

a n d i t a t l e a s t p a r t i a l l y a c c o u n t s f o r a s k e w e d d i s t r i b u t i o n f o r t h e a s s e t p r i c e t h a t l o g n o r m a l

o r z e r o - c o r r e l a t i o n s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s d o n o t e x h i b i t . T h e s k e w i s d o c u m e n t e d i n

e m p i r i c a l s t u d i e s o f h i s t o r i c a l s t o c k d a t a .

2 M o d e l

T h e m o d e l w e c h o o s e i s t h a t v o l a t i l i t y i s t h e e x p o n e n t i a l o f a m e a n - r e v e r t i n g O r n s t e i n - U h l e n b e c k

O U p r o c e s s o r , e q u i v a l e n t l y , l o g

t

i s m e a n - r e v e r t i n g O U . W i t h a s u i t a b l e i n i t i a l d i s t r i b u t i o n ,

1

T h i s w a s s u g g e s t e d t o u s b y D a r r e l l D u e .

2



t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s i s s t a t i o n a r y a n d e r g o d i c w h i c h a l l o w s u s t o u s e a v e r a g i n g p r i n c i p l e s t o a p -

p r o x i m a t e t h e o p t i o n p r i c e , s e p a r a t i n g t h e m i n o r a n d m a j o r u c t u a t i o n s . T h i s m o d e l h a s b e e n

c o n s i d e r e d i n 1 4 a n d i t i s r e l a t e d t o E G A R C H m o d e l s w h i c h , a s s h o w n i n 1 1 , a r e w e a k a p p r o x -

i m a t i o n s t o t h e c o n t i n u o u s - t i m e d i u s i o n . A n o t h e r m o d e l t h a t i s s t a t i o n a r y a n d c a n b e s i m i l a r l y

i m p l e m e n t e d a n d a n a l y z e d i s w h e n

t

i s a m e a n - r e v e r t i n g F e l l e r o r C o x - I n g e r s o l l - R o s s p r o c e s s 3 .

T h e n a l i n g r e d i e n t i s t o m o d e l t h e t w o t i m e s c a l e s d e s c r i b e d p r e v i o u s l y . T o t h i s e n d , w e

i n t r o d u c e a s m a l l p a r a m e t e r " 0 d e s c r i b i n g t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e s c a l e s , a n d m o d e l t h e

v o l a t i l i t y a s

"

t

=

t = "

, w h e r e

t

i s e x p o n e n t i a l O U . T h u s t h e v o l a t i l i t y i s t h e

t

p r o c e s s s p e e d e d -

u p " t o r e e c t t h a t t h e r e a r e m a n y m a j o r u c t u a t i o n s o v e r t h e l i f e o f t h e o p t i o n s c o n t r a c t t h i s t i m e

s c a l e i s O 1 i n t h e u s u a l t i m e - u n i t o f y e a r s , b u t n o t a s m a n y a s t h e r e a r e m i n o r I t ^ o u c t u a t i o n s .

W e d e n e Y

t

: = l o g

t

a n d s u p p o s e i t s a t i s e s

d Y

t

= m , Y

t

d t + d

̂

Z

t

f o r c o n s t a n t s 0 ; 0 ; m a n d

̂

Z

t

a B r o w n i a n m o t i o n . T h e n Y

"

t

: = l o g

"

t

i s d e s c r i b e d b y

d Y

"

t

=

"

m , Y

"

t

d t +

p

"

d

̂

Z

t

w h e r e n o w a n d h a v e b e e n r e p l a c e d b y = " a n d =

p

" t o m o d e l r a p i d m e a n r e v e r s i o n a n d o v e r a l l

v a r i a n c e o f o r d e r o n e . F i n a l l y , t o i n c o r p o r a t e t h e c o r r e l a t i o n s k e w e e c t d h W ;

̂

Z i

t

= d t , w e w r i t e

̂

Z

t

= W

t

+

p

1 ,

2

Z

t

, w h e r e W a n d Z a r e i n d e p e n d e n t B r o w n i a n m o t i o n s , t o a r r i v e a t t h e n a l

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l f o r t h e s t o c k p r i c e X

"

t

d X

"

t

= X

"

t

d t + e

Y

"

t

X

"

t

d W

t

1

d Y

"

t

=

"

m

, Y

"

t

d t +

p

"

d W

t

+

q

1

,

2

d Z

t

2

T h e n , b y t h e u s u a l n o - a r b i t r a g e a r g u m e n t , a s d e t a i l e d f o r e x a m p l e i n 1 6 , S e c t i o n 1 . 3 , t h e E u r o p e a n

c a l l o p t i o n p r i c e C

"

t ; x ; y s a t i s e s

C

"

t

+

1

2

e

2 y

x

2

C

"

x x

+

x e

y

p

"

C

"

x y

+

2

2 "

C

"

y y

+ r x C

"

x

, C

"

+

"

m , y ,

p

"

C

"

y

= 0 3

C

"

T ; x ; y = x , K

+

w h e r e i s t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k w h i c h w e a s s u m e c o n s t a n t . I f C

"

t ; x ; y s a t i s e s t h i s

e q u a t i o n t h e n f r o m I t ^ o ' s f o r m u l a C

"

= C

"

t ; X

"

t

; Y

"

t

s a t i s e s t h e s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n

d C

"

= r C

"

+ , r X

"

C

"

x

+

p

"

C

"

y

d t + e

Y

"

t

X

"

t

C

"

x

d W

t

+

p

"

C

"

y

d

̂

Z

t

4

F r o m t h i s e x p r e s s i o n w e s e e t h a t a n i n n i t e s i m a l c h a n g e i n t h e v o l a t i l i t y r i s k =

p

" c h a n g e s t h e

i n n i t e s i m a l r a t e o f r e t u r n o f t h e o p t i o n b y t i m e s t h e c h a n g e i n v o l a t i l i t y r i s k . T h i s i s w h y i s

c a l l e d t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k .

3 A s y m p t o t i c A n a l y s i s

N o w , a s " 0 , t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e t i m e s c a l e s d i s a p p e a r s a n d t h e m a j o r u c t u a t i o n s o c c u r

i n n i t e l y o f t e n . I n t h i s l i m i t , v o l a t i l i t y c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a c o n s t a n t a s f a r a s a v e r a g e s o f

3



f u n c t i o n a l s o f i t s p a t h a r e c o n c e r n e d t h a t i s , w e a k l y , a n d w e r e t u r n t o t h e c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s

s e t t i n g . W h a t i s o f i n t e r e s t i s t h e n e x t t e r m i n t h e a s y m p t o t i c a p p r o x i m a t i o n o f C

"

t ; x ; y v a l i d

f o r s m a l l " , t h a t d e s c r i b e s t h e i n u e n c e o f ; a n d t h e r a n d o m n e s s 0 o f t h e v o l a t i l i t y .

T o o b t a i n t h i s , l e t u s w r i t e 3 a s

L

"

C

"

= 0 , w h e r e

L

"

: =

1

"

L

0

+

1

p

"

L

1

+ L

2

;

a n d

L

0

: =

1

2

2

@

2

@ y

2

+ m , y

@

@ y

;

L

1

: = x e

y

@

2

@ x @ y

,

@

@ y

;

L

2

: =

@

@ t

+

1

2

e

2 y

x

2

@

2

@ x

2

+ r

x

@

@ x

,

:

T h e n , c o n s t r u c t i n g a n e x p a n s i o n

C

"

t ; x ; y = C

0

t ; x ; y +

p

" C

1

t ; x ; y + " C

2

t ; x ; y + ;

w e n d , c o m p a r i n g p o w e r s o f " 1 ,

L

0

C

0

= 0

a t t h e

O "

, 1

l e v e l . S i n c e

L

0

i n v o l v e s o n l y y - d e r i v a t i v e s a n d i s t h e g e n e r a t o r o f t h e O U p r o c e s s

Y

t

, i t s n u l l s p a c e i s s p a n n e d b y a n y n o n t r i v i a l c o n s t a n t f u n c t i o n , a n d i t m u s t b e t h a t C

0

d o e s n o t

d e p e n d o n y : C

0

= C

0

t ; x .

A t t h e n e x t o r d e r , O "

, 1 = 2

, w e h a v e

L

1

C

0

+ L

0

C

1

= 0 ; 5

a n d s i n c e L

1

t a k e s y - d e r i v a t i v e s , L

1

C

0

= 0 . B y t h e s a m e r e a s o n i n g , 5 i m p l i e s t h a t C

1

= C

1

t ; x .

T h u s , u p t i l l O " , t h e o p t i o n p r i c e d o e s n o t d e p e n d o n t h e c u r r e n t v o l a t i l i t y .

C o m p a r i n g O 1 t e r m s ,

L

0

C

2

+ L

2

C

0

= 0 :

G i v e n C

0

t ; x , t h i s i s a P o i s s o n e q u a t i o n f o r C

2

t ; x ; y a n d t h e r e w i l l b e n o s o l u t i o n u n l e s s L

2

C

0

i s i n t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f t h e n u l l s p a c e o f L

0

F r e d h o l m A l t e r n a t i v e . T h i s i s e q u i v a l e n t

t o s a y i n g t h a t L

2

C

0

h a s m e a n z e r o w i t h r e s p e c t t o t h e i n v a r i a n t m e a s u r e o f t h e O U p r o c e s s . W e

d e n o t e t h i s

h L

2

C

0

i

o u

= 0 ;

w h e r e h i

o u

d e n o t e s t h e e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h i s i n v a r i a n t m e a s u r e w h i c h i s N m ;

2

, w h e r e

2

: =

2

= 2 :

h f i

o u

=

1

p

2

2

Z

1

, 1

e

, y , m

2

= 2

2

f y d y :

S i n c e C

0

i s i n d e p e n d e n t o f y a n d

L

2

o n l y d e p e n d s o n y t h r o u g h t h e e

2 y

c o e c i e n t ,

h L

2

C

0

i

o u

=

h L

2

i

o u

C

0

, a n d

h L

2

i

o u

= L

B S

̂ : =

@

@ t

+

1

2

̂

2

x

2

@

2

@ x

2

+ r

x

@

@ x

,

;

w h e r e ^

2

: = h e

2 y

i

o u

= e

2 m + 2

2

.

4



T h u s C

0

t ; x = C

B S

t ; x ; ̂ , a n d t h e r s t t e r m i n t h e e x p a n s i o n i s t h e B l a c k - S c h o l e s p r i c i n g

f o r m u l a w i t h t h e a v e r a g e d v o l a t i l i t y c o n s t a n t ^ . T h e a n d h a v e t h u s f a r p l a y e d n o r o l e , a n d w e

p r o c e e d t o n d t h e n e x t t e r m i n t h e a p p r o x i m a t i o n , C

1

t ; x .

C o m p a r i n g t e r m s o f

O " , w e n d

L

0

C

3

= , L

1

C

2

+ L

2

C

1

; 6

w h i c h w e l o o k a t a s a P o i s s o n e q u a t i o n f o r C

3

t ; x ; y . J u s t a s t h e F r e d h o l m s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n

f o r C

2

d e t e r m i n e d t h e e q u a t i o n f o r C

0

, t h e s o l v a b i l i t y f o r 6 w i l l g i v e u s t h e e q u a t i o n f o r C

1

t ; x .

S u b s t i t u t i n g f o r C

2

t ; x ; y w i t h

C

2

= , L

, 1

0

L

2

, h L

2

i

o u

C

0

;

t h i s c o n d i t i o n i s

D

L

2

C

1

, L

1

L

, 1

0

L

2

, h L

2

i

o u

C

0

E

o u

= 0 ;

w h e r e

h L

2

C

1

i

o u

= h L

2

i

o u

C

1

= L

B S

̂ C

1

s i n c e C

1

d o e s n o t d e p e n d o n y .

D e n i n g

A : =

D

L

1

L

, 1

0

L

2

, h L

2

i

o u

E

o u

;

t h e e q u a t i o n d e t e r m i n i n g C

1

i s

L

B S

̂ C

1

= A C

0

;

a s C

0

d o e s n o t d e p e n d o n y .

A g a i n , u s i n g t h a t L

0

a c t s o n l y o n y - d e p e n d e n t f u n c t i o n s , w e c a n w r i t e

A =

*

x e

y

@

2

@ x @ y

,

@

@ y

!

1

2

y x

2

@

2

@ x

2

! +

o u

;

w h e r e

L

0

y =

1

2

2

0 0

y + m , y

0

y = e

2 y

, h e

2 y

i

o u

;

a n d s o

A = A x

3

@

3

@ x

3

+ B x

2

@

2

@ x

2

;

w i t h

A : =

1

2

h e

y

0

i

o u

B : = h e

y

0

i

o u

,

2

h

0

i

o u

:

T h u s w e m u s t s o l v e

L

B S

̂ C

1

= A x

3

@

3

C

B S

@ x

3

̂ + B x

2

@

2

C

B S

@ x

2

̂

=

x e

, d

2

1

= 2

̂

p

2 T , t

B , A

1 +

d

1

̂

p

T , t

;

w h e r e

d

1

=

l o g x = K + r +

1

2

̂

2

T , t

̂

p

T

, t

;

5



a n d w h e r e w e h a v e u s e d t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e B l a c k - S c h o l e s p r i c e C

B S

̂ . U s i n g t h e

G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e B l a c k - S c h o l e s P D E , a s g i v e n f o r e x a m p l e i n 1 6 , A p p e n d i x C , a n d l o g a -

r i t h m i c t r a n s f o r m a t i o n s t o r e d u c e t o G a u s s i a n i n t e g r a l s , w e n d t h a t

C

1

=

x e

, d

2

1

= 2

̂

p

2

A

d

1

̂

+ A , B

p

T , t

:

F i n a l l y , w e c o m p u t e

h e

y

0

i

o u

= ,

2 e

3 m

2

e

9

2

= 2

, e

5

2

= 2

h

0

i

o u

= ,

2 ̂

2

;

a n d s o

C

1

=

x e

, d

2

1

= 2

̂

p

2

,

d

1

̂

+

p

T , t

,

̂

2

p

T , t

; 7

w h e r e : = e

3 m

e

9

2

= 2

, e

5

2

= 2

= i s a p o s i t i v e c o n s t a n t . N o t e t h a t t o o r d e r

p

" , C

"

i s d e c r e a s i n g

i n .

W e c a n n o w c a l c u l a t e t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y I

"

d e n e d b y C

"

= C

B S

I

"

. C o n s t r u c t i n g a n

e x p a n s i o n I

"

= ̂ +

p

" I

1

+ , w e n d t h a t

I

1

= C

1

t ; x

@ C

B S

t ; x ; ̂

@ ̂

, 1

= ,

̂

d

1

̂

p

T , t

, 1

,

̂

; 8

w h i c h s h o w s t h a t

I

"

= ̂ +

"

, 1 = 2

e

3

2

= 2

, e

,

2

= 2

p

2 T

, t

"

l o g

K

x

, r ,

̂

2

2

T , t

,

p

2 ̂

+ O

"

, 1

; 9

w h e r e w e h a v e u s e d t h e e x p r e s s i o n f o r a b o v e a n d w h e r e ^ = e

m +

2

a n d

2

=

2

= 2 . W e h a v e

a l s o e x p r e s s e d t h e e x p a n s i o n f o r I

"

i n t e r m s o f t h e i n v e r s e o f t h e f a s t m e a n r e v e r s i o n r a t e

"

, 1

.

F o r 0 , w h i c h i s t h e u s u a l c a s e , t h i s g i v e s a d e c r e a s i n g i m p l i e d v o l a t i l i t y c u r v e w h e n p l o t t e d

a g a i n s t s t r i k e p r i c e K , t h a t i s , a d e c r e a s i n g s m i r k .

T h e a n a l y s i s g i v e s r i s e t o a n e x p l i c i t f o r m u l a d e s c r i b i n g t h e g e o m e t r y o f t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y

s u r f a c e a c r o s s s t r i k e p r i c e s a n d e x p i r a t i o n d a t e s . I n p a r t i c u l a r , t h e r e l a t i o n s h i p t o t h e r i s k p r e m i u m

p a r a m e t e r i n 9 c o n s i d e r a b l y s i m p l i e s t h e p r o c e d u r e f o r i t s e s t i m a t i o n , w h i c h o t h e r w i s e w o u l d

b e a c o m p u t a t i o n a l l y - i n t e n s i v e i n v e r s e p r o b l e m f o r t h e P D E 3 .

4 C o n c l u s i o n s

W e h a v e s h o w n t h a t a n i n c o m p l e t e m a r k e t a s s e t m o d e l e d b y a f a s t m e a n r e v e r t i n g s t o c h a s t i c

v o l a t i l i t y l e a d s t o a n a s y m p t o t i c f o r m u l a f o r o p t i o n s p r i c i n g a n d a s s o c i a t e d i m p l i e d v o l a t i l i t y 9 .

T h i s f o r m u l a i n v o l v e s i n a d i r e c t w a y t h e o t h e r w i s e u n o b s e r v a b l e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k

, w h i c h c a n t h e n b e e s t i m a t e d b y t t i n g i t t o o b s e r v e d s m i r k s o b s e r v e d i m p l i e d v o l a t i l i t y a s a

f u n c t i o n o f s t r i k e p r i c e K . T h e o t h e r p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l , t h e m e a n a n d v a r i a n c e o f t h e l o g

v o l a t i l i t y m a n d

2

a n d t h e f a s t m e a n r e v e r s i o n r a t e = " , c a n b e e s t i m a t e d f r o m h i s t o r i c a l a s s e t

p r i c e d a t a . T h e r e m a i n i n g p a r a m e t e r o f t h e m o d e l , t h e s k e w , c a n i n p r i n c i p l e a l s o b e e s t i m a t e d

f r o m h i s t o r i c a l a s s e t p r i c e d a t a b u t i t i s b e t t e r i n p r a c t i c e t o e s t i m a t e i t b y t t i n g f o r m u l a 9 t o

o p t i o n p r i c i n g d a t a , a s i s d o n e f o r t h e m a r k e t p r i c e o f v o l a t i l i t y r i s k . T h i s i s d o n e i n 6 .

6



R e f e r e n c e s

1 Y . A

i t - S a h a l i a a n d A . L o . N o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n o f s t a t e - p r i c e d e n s i t i e s i m p l i c i t i n n a n c i a l

a s s e t p r i c e s . T e c h n i c a l r e p o r t , G r a d u a t e S c h o o l o f B u s i n e s s , U n i v e r s i t y o f C h i c a g o , N o v e m b e r

1 9 9 6 .

2 M . A v e l l a n e d a , C . F r i e d m a n , R . H o l m e s , a n d D . S a m p e r i . C a l i b r a t i n g v o l a t i l i t y s u r f a c e s v i a

r e l a t i v e - e n t r o p y m i n i m i z a t i o n . A p p l . M a t h . F i n a n c e , 4 1 : 3 7 6 4 , 1 9 9 7 .

3 C . B a l l a n d A . R o m a . S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y O p t i o n P r i c i n g . J . F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e

A n a l y s i s , 2 9 4 : 5 8 9 6 0 7 , D e c e m b e r 1 9 9 4 .

4 F . B l a c k . S t u d i e s i n s t o c k p r i c e v o l a t i l i t y c h a n g e s . I n P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 7 6 B u s i n e s s M e e t i n g

o f t h e B u s i n e s s a n d E c o n o m i c S t a t i s t i c s S e c t i o n , p a g e s 1 7 7 1 8 1 . A m e r . S t a t i s t . A s s o c . , 1 9 7 6 .

5 D . D u e . D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y , 2 n d e d . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 6 .

6 J . P . F o u q u e , G . P a p a n i c o l a o u , a n d K . R . S i r c a r . A T w o - S c a l e S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y M o d e l :

A s y m p t o t i c A n a l y s i s a n d E s t i m a t i o n . P r e p r i n t , 1 9 9 8 .

7 S . H e s t o n . A c l o s e d - f o r m s o l u t i o n f o r o p t i o n s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y w i t h a p p l i c a t i o n s t o

b o n d a n d c u r r e n c y o p t i o n s . R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , 6 2 : 3 2 7 3 4 3 , 1 9 9 3 .

8 J . H u l l a n d A . W h i t e . T h e P r i c i n g o f O p t i o n s o n A s s e t s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t i e s . J .

F i n a n c e , X L I I 2 : 2 8 1 3 0 0 , J u n e 1 9 8 7 .

9 J . J a c k w e r t h a n d M . R u b i n s t e i n . R e c o v e r i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f r o m c o n t e m p o r a n e o u s

s e c u r i t y p r i c e s . E a r l y D r a f t , O c t o b e r 1 9 9 5 .

1 0 A . M e l i n o a n d S . M . T u r n b u l l . P r i c i n g F o r e i g n C u r r e n c y O p t i o n s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y .

J . o f E c o n o m e t r i c s , 4 5 : 2 3 9 2 6 5 , 1 9 9 0 .

1 1 D . B . N e l s o n . A r c h m o d e l s a s d i u s i o n a p p r o x i m a t i o n s . J . E c o n o m e t r i c s , 4 5 1 - 2 : 7 3 8 ,

J u l y A u g 1 9 9 0 .

1 2 M . R u b i n s t e i n . N o n p a r a m e t r i c T e s t s o f A l t e r n a t i v e O p t i o n P r i c i n g M o d e l s . J . F i n a n c e ,

X L 2 : 4 5 5 4 8 0 , J u n e 1 9 8 5 .

1 3 M . R u b i n s t e i n . I m p l i e d b i n o m i a l t r e e s . J . F i n a n c e , L X I X 3 : 7 7 1 8 1 8 , J u l y 1 9 9 4 .

1 4 L . S c o t t . O p t i o n P r i c i n g w h e n t h e V a r i a n c e c h a n g e s r a n d o m l y : T h e o r y , E s t i m a t i o n , a n d a n

A p p l i c a t i o n . J . F i n a n c i a l a n d Q u a n t i t a t i v e A n a l y s i s , 2 2 4 : 4 1 9 4 3 8 , D e c e m b e r 1 9 8 7 .

1 5 D . S h i m k o . B o u n d s o f p r o b a b i l i t y . R I S K , 6 4 : 3 3 3 7 , A p r i l 1 9 9 3 .

1 6 K . R . S i r c a r a n d G . C . P a p a n i c o l a o u . S t o c h a s t i c v o l a t i l i t y , s m i l e a n d a s y m p t o t i c s . S u b m i t t e d

t o A p p l i e d M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , A p r i l 1 9 9 7 .

1 7 E . S t e i n a n d J . S t e i n . S t o c k P r i c e D i s t r i b u t i o n s w i t h S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y : A n A n a l y t i c

A p p r o a c h . R e v i e w o f F i n a n c i a l S t u d i e s , 4 4 : 7 2 7 7 5 2 , 1 9 9 1 .

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asymptotics of a two-scale sto chastic volatility mo del

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