assumiamo la variabile temporale discreta; sia f lineare ...iacoviel/materiale/tempodiscreto.pdf ·...

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

1


Assumiamo la variabile temporale discreta; sia f lineare. Si consideri la

seguente rappresentazione implicita:

( ) ( )( )

nx t f x( t ),u( t ) Ax( t ) Bu( t ), x( t ) x R

y( t ) x( t ),u( t ) Cx( t ) Du( t )η

+ = = + = ∈

= = +0 01

(1)


2

Rappresentazioni equivalenti

Si consideri la trasformazione:

z Tx= ovvero x T z−= 1 .

Applicata tale trasformazione al sistema (1) si ottiene:

( )z t TAT z( t ) TBu( t )

y( t ) CT z( t ) Du( t )

−

−

+ = +

= +

1

1

1


3

Passaggio al modello esplicito

Le evoluzioni descritte dal modello (1) possono anche essere indicate dal

modello esplicito:

( )

( )

t

t

t

t

x( t ) t t x( t ) H( t )u( )

y( t ) t t x( t ) W ( t )u( )

Φ τ τ

Ψ τ τ

−= − + −

= − + −

∑

∑

0

0

10 0

0 0

con:


4

t

t

t

t

( t ) A

H( t ) ( t )B A B

( t ) C ( t ) CA

W ( t ) C ( t )B CA B, t W ( ) D

Φ

Φ

Ψ Φ

Φ

−

−

=

= − =

= =

= − = > =

1

1

1

1 0 0

Valgono le seguenti considerazioni (del tutto analoghe a quanto già visto nel

caso tempo continuo):

• le risposte nello stato e in uscita si possono separare in evoluzione

libera ed evoluzione forzata;

• per le risposte forzate vale il principio di sovrapposizione degli effetti;

• le matrici H e W sono le matrici delle risposte impulsive nello stato

e nell’uscita


5

La soluzione del sistema (1) esiste ed è unica e può essere così indicata:

( )∑−

=

−−+=1

00 1

t

i

it itBuAxAtx )(

Approssimazioni lineari di sistemi non lineari

Dato un sistema discreto non lineare:

( ) ( )( ) ( )

e e e

e e e

x( t ) f x( t ),u( t ) , f x ,u x

y( t ) h x( t ),u( t ) , h x ,u h

+ = =

= =

1 (2)


6

la sua rappresentazione linearizzata nell’intorno di un punto di

equilibrio ( )e ex ,u é:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

e e

e e e e

ee e

ex ,u

e e e ex ,u x ,u

x xf ff x ,u f x ,uu ux u

f ff x ,u x x u ux u

−⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ −∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂= + − + − +

∂ ∂

L

L

e

( ) ( )( )e e

ee e

ex ,u

x xh hh x,u h x ,uu ux u−⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ −∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L

Posto:


7

( )

e

e

a e e

z x xv u u

y y h x ,u

= −

= −

= −

si ha il sistema linearizzato:

( )a

z t Az( t ) Bv( t )

y Cz( t ) Dv( t )

+ = +

= +

1

dove:

( )ee uxxfA

,∂∂

= ( )ee uxu

fB,∂

∂= ( )ee uxx

hC,∂

∂=

( )ee uxuhD

,∂∂

=


8

Campionamento di sistemi a tempo continuo

Si consideri un sistema tempo continuo:

x( t ) Ax( t ) Bu( t ), x( t ) xy( t ) Cx( t )

= + =

=0 0&

ovvero:

( ) ( )∫ −− +=t

ttAttA dBuetxetx

0

0 0 τττ )()( )(

Si desidera considerarne l’evoluzione in istanti di campionamento, t=0, T, 2T,

…, kT,….. assumendo che l’ingresso sia costante in ogni intervallo di

campionamento, ad esempio TktkTkTutu )(),(~)( 1+<≤=


9

Posto:

t kTt ( k )T=

= +0

1 e TkkTkuu )(),(~)( 1+<≤= ττ

si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ +=+=++

−+T

AATTk

kT

TkAAT dkuBekTxedkTBuekTxeTkx0

111 ξτ ξτ )(~)()(

)()(

Definendo )()( kxkTx = si ottiene:

)()()(~)()(

kCxkykuBkxAkx DD

=

+=+1

con:


10

CCBdeBeA D

TA

DAT

D === ∫0

ξξ

Problema: scelta del tempo di campionamento T

Per i sistemi lineari una scelta soddisfacente è pari a 0.1 del tempo di salita

per ingresso costante pari a 1.

Campionamento con il metodo di Eulero

L’idea è quella di approssimare la derivata con il rapporto incrementale:

TkTxTkx )())(( −+1

E quindi il sistema lineare approssimato è:


11

)()()())(( kTTBukTxTAITkx ++=+1

Quindi si può considerare il sistema tempo discreto a segnali campionati:

)()()()()(

kCxkykuBkxAkx

=+=+1

Con:

TBBTAIA =+=

Il metodo di Eulero si può applicare anche a sistemi non lineari


12

Ruolo della potenza della matrice dinamica

Osserviamo che:

LL +++++=!! nATATATIe

nnAT

2

22

La struttura della matrice tA svolge un ruolo centrale nel caratterizzare il

comportamento di un sistema a tempo discreto.

Sia D una matrice avente sulla diagonale gli autovalori di A ; esiste una

trasformazione T tale che D TAT −= 1 ; dunque si ha:

t tA T D T−= 1 .


13

Detto:

( )jj e cos j sinϑλ α ω σ σ ϑ ϑ= + = = +

Si ha:

cos sinsin cos

α ω ϑ ϑσ

ω α ϑ ϑ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

e quindi:

tt cos t sin t

sin t cos tα ω ϑ ϑ

σω α ϑ ϑ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Risulta quindi:


14

t

tm

t tt

t t

t tm m

t tm m

cos t sin tD

sin t cos t

cos t sin t

sin t cos t

λ

λ

σ ϑ σ ϑ

σ ϑ σ ϑ

σ ϑ σ ϑ

σ ϑ σ ϑ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1

2 2

2 2

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

O

O

Sviluppando i calcoli si ha:

( ) ( )( )m m

t t ti i i p p ap ap bp bp p ap ap bp bp

i pA u v ' cos t u v ' u v ' sin t u v ' u v 'λ σ ϑ ϑ

= =

= + + + −∑ ∑1 2

1 1


15

Modi naturali

Si consideri l’evoluzione libera del sistema:

( ) ( )[ ]jbjjjajj

n

jj

t

j

n

iii

ti

t ututmcuxAtx ϕϑϕϑλλ +++++= ∑∑==

cossin)(2

1

1

10l

Con l

llϑλλ je= , ( )πϑ ,0∈l

Si hanno i seguenti modi naturali:

• autovalori reali positivi---------- modi aperiodici (moto lungo una retta

dalla stessa parte dello zero)

• autovalori reali negativi--------- modi alternanti (moto lungo una retta,

alternandosi da una parte all’altra rispetto allo zero)

• autovalori complessi ----------- modi pseudoperiodici


16

Analisi nel dominio della variabile complessa

Sia f una funzione definita nel dominio +Z ; si definisce la trasformata Z

di f ( t ) la funzione di variabile complessa:

[ ] tf

tZ f ( t ) F( z ) f ( t )z , z ρ

∞−

=

= = >∑0

dove fρ è il raggio di convergenza associato alla funzione f .

Vale la seguente proprietà (teorema della traslazione a destra):

[ ]Z f ( t ) zF( z ) zf ( )+ = −1 0


17

L’applicazione della trasformata Z ad una rappresentazione implicita tempo

discreto fornisce:

( ) ( )( ) ( )( )

X( z ) zI A zx zI A BU( z )

Y ( z ) C zI A zx C zI A B D U( z )

− −

− −

= − + −

= − + − +

1 10

1 10

Si noti che si ha:

( )tZ A zI A z−⎡ ⎤ = −⎣ ⎦1

La risposta a regime permanente per i sistemi a tempo discreto

Risposta a regime ad ingressi periodici:

Assegnato l’ingresso: u( t ) sin tϑ=


18

la risposta in regime permanente è data da:

( ) ( )j jry ( t ) W ( e ) sin t W ( e ) M( )sin t ( )ϑ ϑϑ ϑ ϑ Φ ϑ= + ∠ = +

Risposta a regime ad ingressi canonici

Assegnato l’ingresso: ( )( ) ( )( k ) t t t t ktu( t )

k ! k !− − − +

= =1 2 1L

la risposta in regime permanente è data da:

( k )k

r ii

ty ( t ) c( k )!

−

=

=−∑

1

0 1


19

Stabilità

Nel caso dei sistemi tempo discreto valgono i seguenti risultati.

L’origine dello spazio di stato in una rappresentazione lineare stazionaria a

dimensione finita di un sistema a tempo discreto è stabile se e solo se:

gli autovalori di A con molteplicità geometrica unitaria hanno modulo

inferiore o uguale a uno;

gli autovalori di A con molteplicità geometrica maggiore di uno hanno

modulo inferiore a uno.


20

L’origine dello spazio di stato in una rappresentazione lineare stazionaria a

dimensione finita di un sistema a tempo discreto è stabile

asintoticamente se e solo se gli autovalori di A hanno tutti modulo

inferiore a uno.

N.B. Si ha stabilità asintotica se e solo se gli autovalori sono tutti interni al

cerchio unitario; si ha stabilità se non vi sono autovalori esterni al cerchio

unitario e se quelli eventualmente presenti sul cerchio unitario hanno

molteplicità geometrica non superiore a 1.


21

Il criterio di Jury permette di stabilire se le radici di un assegnato

polinomio d( )λ sono tutte con modulo inferiore ad uno.

Quindi può essere applicato al polinomio caratteristico per la verifica della

stabilità asintotica di una rappresentazione lineare e stazionaria di un

sistema a tempo discreto. Si basa sulla costruzione della seguente tabella:

n n n

n n n n

n n

n n n n

n

n n n

a a a a a a aa a a a a a ab b b b b b

b b b b b bc c c c

c c c c

s s s ss s s st t tt t t

− −

− − −

− −

− − − −

−

− − −

0 1 2 3 2 1

1 2 3 2 1 0

0 1 2 3 2 1

1 2 3 4 1 0

0 1 2 2

2 3 4 0

0 1 2 3

3 2 1 0

0 1 2

2 1 0

L

L

L

L

L L

L L

L L L L L L


22

dove

n n n kk

n n n k

n

n

a a a a a ab b b

a a a a a a

b bc ecc.

b b

− −

−

−

= = =

=

0 0 1 00 1

0 1

0 10

1 0

LL

Condizione necessaria e sufficiente perchè le radici di d( )λ abbiano

modulo minore di 1 è che si abbia:


23

n

n

n

d( )

( ) d( )a a

b b

t t

−

>

− − >

>

>

>

0

0 1

0 2

1 0

1 1 0

M


24

Raggiungibilità nei sistemi a tempo discreto

Si consideri il seguente sistema lineare tempo discreto:

)()()()()()1(

kDukCxkykBukAxkx

+=+=+

(3)

con:

ZkRkyRkuRkx qpn ∈∈∈∈ ,)(,)(,)(

Tenendo presente la definizione generale di raggiungibilità e l’evoluzione

forzata del sistema, la condizione di raggiungibilità è la seguente:

∑−

=

−− =1

0

1 )(k

h

hk xhBuA (4)


25

Il sistema (1) è raggiungibile se e solo se:

[ ] nBABAABBrangoPrango n == −12)( L

Per ogni stato raggiungibile x del sistema (3) esiste una funzione di ingresso

u tale da soddisfare (4) per k=n (ed esiste per qualunque k>n)


26

Osservabilità nei sistemi a tempo discreto

Il sistema (3) è osservabile se e solo se:

n

CA

CACAC

rangoQrango

n

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−1

2)(M

Infatti si ha:


27

)()()()(

)()()()()(

)()()()()()()(

1101

21002

1001000

21

2

−+++=−

+++=

++=+=

−− nDuBuCAxCAny

DuCBuCABuxCAy

DuCBuCAxyDuCxy

nn L

M

Questo sistema ha n equazioni e n incognite (il vettore x(0)); ha soluzione se

e solo se la matrice di osservabilità è non singolare.

assumiamo la variabile temporale discreta; sia f lineare ...iacoviel/materiale/tempodiscreto.pdf ·...

Documents