associaÇÃo de resistores

Eletrodinâmica

CURSO DE FÍSICA – (Unidade Campina Grande)

Professor: Geraldo Mota, Geraldinho e Edmundo

ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES

1. Introdução

Na montagem de circuitos elétricos é muito comum necessitarmos, em um dado trecho, de um resistor cuja resistência elétrica seja maior ou menor que a de um único resistor. Nessas situações, costumam-se ligar simultaneamente nesse trecho de circuito vários resistores, de modo a se obter a resistência elétrica desejada. Ao conjunto de resistores assim interligados dá-se o nome associação de resistores.

Denomina-se resistor equivalente da associação o resistor único que, submetido à mesma tensão da associação, é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade igual à que a atravessa.

Ao associarmos resistores podemos interligá-Ias, basicamente, de duas formas principais: em série ou em paralelo.

2. Associação de resistores em série

Numa associação de resistores em série, o terminal da saída do primeio reistor deve ser ligado ao terminal de entrada do segundo, o terminal de saída do segundo deve ser ligado ao terceito e, assim, sucesssiva-mente.

A figura ao lado mostra uma associação em série, de três lâmpadas incandescentes, portanto resistores, e sua representação esquemática. Observe que a corrente elétrica que circula nessa as-sociação de resistores tem um único ca-minho a percorrer. Portanto, se associar-mos n resistores em série, a intensidade da corrente elétrica em cada resistor será a mesma para todos eles:

Podemos então dizer que uma das características da associação de resistores em série é que:

Ao submetermos uma associação de resistores em série a uma ddp U, todos os resistores serão percorridos por uma corrente elétrica de mesmo sentido e de mesma intensidade i.

Consideremos então uma associação em série de n resistores –– com resistências elétricas R1, R2, R3, …, Rn –– cujos terminais A e B estão submetidos à ddp U, conforme a figura abaixo. Seja i a corrente que atravessa cada resistor da associação.

Quando as cargas elementares, que constituem a corrente elétrica i, passam pelos resistores, a energia elétrica é convertida em calor e eventualmente em luz, ou seja, a energia potencial elétrica das cargas diminui. Em outras palavras, essas cargas se dirigem para pontos de potencial mais baixo.

Sendo assim, na associação dada, temos:

U1 = VA – VC; U2 = VC –VD; U3 = VD – VE; … Um = Vz – VB

Se somarmos membro a membro essas ddp, chegamos a:

R

R1 R2 R3

i i i i

U

i R1 i R2 i R3 i

U

i1 = i2 = i3 = … = in = i

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Prof. Geraldo Mota, Geraldibho, Edmundo

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U1 + U2 + U3 + … + Um = VA – VB

Mas, observe que VA – VB corresponde à ddp U entre os terminais A e B da associação de resistores. Portanto:

U = U1 + U2 + U3 + … + Un

Em outras palavras, a ddp nos terminais de uma associação de resistores em série é igual à soma das ddp em cada um dos resistores da associação.

Conforme vimos há pouco, o resistor equivalente da associa-ção é o resistor único que, submetido à mesma tensão da asso-ciação, será percorrido por uma corrente elétrica de intensidade igual à que a atravessa. A figura ao lado mostra o resistor equivalente à associação analisada ao lado.

Apliquemos a lei de Ohm a cada um dos resistores da associação e ao resistor equivalente. Teremos:

U1 = R1 i, U2 = R2 1, U3 = R3 i , …, Un = Rn i e U = Requiv. i

Substituindo os valores assim obtidos na propriedade anterior; teremos:

Requiv. i = R1 i + R2 i + R3 i + … + Requiv. i

Requiv. i = (R1 + R2 + R3 + … + Rn ) i

Requiv. = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

Portanto:

A resistência elétrica Requiv. do resistor equivalente a uma associação em série é igual à soma das resistências elétricas dos resistores associados.

Observações:

a) A potência dissipada em cada resistor da associação em série pode ser calculada por P = R i2 e, como todos os resistores são percorridos por corrente elétrica de mesma intensidade, temos, então:

Isto é, a potência dissipada em cada resistor da associação em série é diretamente proporcional à sua resistência elétrica. Portanto, o resistor de maior resistência elétrica dissipa a maior potência.

b) A partir da lei de Ohm, se isolarmos a intensidade da corrente elétrica em cada resistor da associação em série, teremos:

Ou seja, a tensão à qual está submetido cada resistor da associação em série é diretamente proporcional à sua resistência elétrica. Portanto, o resistor de maior resistêncÍa elétrica fica submetido à maior tensão.

c) Consideremos uma associação em série de n resistores iguais, de resistência elétrica r cada um, conforme a figura abaixo. Seja U a ddp nos terminais dessa associação. Como os resistores são iguais, a ddp u em cada um deles também será a mesma.

Nesse caso, a resistência equivalente Requiv. é dada por: Requiv. = n r

A ddp U da associação será: U = n u

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Requiv.

r r r r

u u u u

Requiv. = n r

U = n r

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d) No chamado reostato de pontos, a resistência elétrica varia de forma descontínua, em função do número de resistores associados em série.

A figura ao lado mostra o esquema de um reostato de pontos no qual a resistência elétrica pode variar desde zero (quando o cursor estiver no ponto 0) até um valor máximo (quando o cursor estiver no ponto 7). Se todos os resistores tiverem resistências iguais a R, então os possíveis valores da resistência elétrica desse reostato serão: zero, R 2R, 3R, 4R, 5R, 6R, 7R.

3. Associação de resistores em paralelo

Numa associação de resistores em paralelo, os terminais de todos os resistores devem ser ligados a dois pontos, A e B, do circuito. Dessa forma, ao submetermos a associação a uma ddp U, a corrente elétrica terá tantos caminhos a seguir quantos forem os resistores associados. A figura abaixo mostra uma associação em paralelo de três resistores, nesse caso três lâmpadas incandescente.

Observe que, estando todos os resistores ligados aos pontos A e B, a ddp a qual cada um deles estará submetido é igual à ddp U da associação. Então, se associarmos n resistores em paralelo, devemos ter:

U1 = U2 = U3 = ... = Un = U

Podemos então dizer que uma das características da associação de resistores em paralelo é que:

Ao submetermos uma associação de resistores em paralelo a uma ddp U, todos os resistores ficarão submetidos à mesma ddp U, igual à da associação.

Observe também que a corrente elétrica i da associação deverá se dividir em correntes i1, i2, i3 …, in para passar por todos os resistores associados.

Pela continuidade da corrente elétrica, a soma das correntes que chegam a um nó deve ser igual à soma das correntes que partem desse nó. Então:

i = i1 + i2 + i3 + … + in

Dito de outra maneira:

Numa associação de resistores em paralelo, a intensidade de corrente elétrica da associação é igual à soma das intensidades das correntes elétricas que circulam nos resistores associados.

Consideremos agora o resistor equivalente da associação de resistores em paralelo ilustrada na página anterior. Mais uma vez, o resistor equivalente é o resistor único que, submetido à mesma ddp U da associação, será percorrido pela corrente elétrica de intensidade i.

Apliquemos, então, a lei de Ohm a cada resistor da associação e ao resistor equivalente para calcularmos as intensidades das correntes elétricas. Teremos:

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Requiv.

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i1 = , i2 = , i3 = , …, in = e i =

Substituindo os valores assim obtidos, na propriedad anterior vem:

= + + + … +

= U

= + + + … +

Portanto:

O inverso da resistência elétrica Requiv. do resistor equivalente a uma associação em paralelo i é igual à soma dos inversos das resistências elétricas dos resistores associados.

Observações:

a) A potência dissipada em cada resistor da associação em paralelo pode ser calculada por P = U2/R e, como todos os resistores estão submetidos à mesma ddp U, podemos concluir que:

P1 R1 = P2 R2 = P3 R3 = ... = Pn Rn = U2

A expressão acima estabelece que a potência dissipada em cada resistor da associação em paralelo é inversamente proporcional à sua resistência elétrica. Portanto, o resistor de maior resistência elétrica dissipa a menor potência.

b) A lei de Ohm, aplicada a cada resistor associado fornece:

U = R1 i1 = R2 i2 = R3 i3 = ... = Rn in

Ou seja, a intensidade da corrente elétrica que circula em cada resistor da associação em paralelo é inversamente proporcional à sua resistência elétrica. Portanto, o resistor de maior resistência elétrica será percorrido pela corrente elétrica de menor intensidade.

Nesse caso, a resistência equivalente Requiv. é dada por: Requiv. = r/n

A intensidade da corrente total da associação será: i = n i

c) Consideremos uma associação em paralelo de dois resistores, com resistências elétricas, respectivamente, R1 e R2. A resistência elétrica do resistor equivalente é dada por:

= + = Requiv. =

Podemos, então, estabelecer uma regra prática para calcular a resistência do resistor equivalente: o resistor equivalente terá resistência elétrica igual à razão entre o produto e a soma das resistências elétricas dos dois resistores associados:

Requiv. =

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Deve-se ressaltar que essa regra apenas tem validade quando aplicada a dois resistores. Para três resistores, por exemplo, devemos aplicar a regra duas vezes para obter a resistência do resistor equivalente: primeiramente para R1 e R2 para obter R', equivalente à associação entre R1 e R2; em seguida, aplicamos a regra novamente, para R' e R3, obtendo Requiv., da associação.

01. (UFSCar) Tendo somente dois resistores, usando-os um por vez, ou em série, ou em paralelo, podemos obter resistências de 3, 4, 12 e 16. As resistências dos resistores são: a) 3 e 4 b) 4 e 8 c) 12 e 3 d) 12 e 4 e) 8 e 16

02. (UELondrina) Considere o esquema a seguir. A resistência equivalente do conjunto de resistores entre os pontos X e Y é, em ohms, igual aa) 8b) 13c) 28d) 45e) 70

03. (Usininos-RS) Num dado momento, em uma casa, estão funcionando uma geladeira, uma televisão e duas lâmpadas. No instante em que se acende mais uma lâmpada. a resistência elétrica do conjunto ............... e a intensidade de corrente na entrada da casa .............., desde que a tensão da rede se mantenha constante. As lacunas são corretamente pre-enchidas, respectivamente, por. a) aumenta; diminui. b) não varia; diminui. c) não varia; aumenta. d) diminui; não varia. e) diminui; aumenta.

04. (PUC-PR) Um veranista vai passar suas férias em uma localidade cuja tensão nas tomadas de corrente é de 220 V. Ocorre que os aparelhos em sua bagagem são para tensão de 110 V. Sem que haja danos nos aparelhos, é possível ligar: a) dois aparelhos de mesma potência em série. b) dois aparelhos de mesma potência em paralelo. c) dois aparelhos, independente da potência, em série. d) dois ou mais aparelhos, independente da potência, em paralelo. e) existem duas alternativas corretas.

05. Uma torradeira de pão e uma lâmpada são ligadas em paralelo. Verificamos que a primeira dissipa maior energia do que a segunda. Podemos dizer então: a) a resistência da lâmpada é maior que a da torradeira. b) a intensidade de corrente na lâmpada é maior do que a que circula na torradeira. c) a intensidade de corrente na lâmpada é de início menor do que na torradeira,

porque o filamento está frio, mas logo depois se torna maior. d) a resistência elétrica é maior na torradeira porque a dissipação nesta é maior. e) nada do que se afirmou é correto.

06. Suponha que você tenha 4 pedaços de fio condutor, completamente idênticos e deseja usá-los para aquecer água, Iigando-os a uma bateria de resistência interna desprezivel. Como você obterá maior aquecimento? a) ligando três fios em série e um em paralelo com os três.b) ligando os quatro fios em série. c) ligando apenas um fio. d) ligando os quatro fios em paralelo. e) o aquecimento será o mesmo, de qualquer forma que ligarmos os fios.

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reino de Sala

40 Y

20

10

X

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07. (F.M.Pouso Alegre-MG) Numa casa estão instaladas as duas lâmpadas A e B representadas na figura. Podemos afirmar corretamente que:a) a resistência elétrica da lâmpada A é maior do

que a da lâmpada B. b) a corrente elétrica que passa através da lâmpada A

é maior do que a corrente através da lâmpada B. c) depois de um determinado tempo acesas, podemos dizer que a lâmpada A terá

dissipado mais energia do que a lâmpada B. d) se os filamentos das duas lâmpadas são de mesmo material e mesma espessura,

podemos dizer que o filamento da lâmpada B é mais comprido do que o filamento da lâmpada A.

e) como a voltagem a que estão submetidas as duas lâmpadas é a mesma, podemos dizer que ambas vão consumir a mesma energia em kWh.

08. (ITA) A casa de um certo professor de Física do ITA, em São José dos Campos, têm dois chuveiros elétricos que consomem 4,5 kW cada um. Ele quer trocar o disjuntor geral da caixa de força por um que permita o funcionamento dos dois chuveiros simultaneamente com um aquecedor elétrico (1,2 kW), um ferro elétrico (1,1 kW) e 7 lâmpadas comuns (incandescentes) de 100W. Disjuntores são classificados pela corrente máxima que permitem passar. Considerando que a tensão da cidade seja de 220V, o disjuntor de menor corrente máxima que permitirá o consumo desejado é então de: a) 30 A b) 40 A c) 50 A d) 60 A e) 80 A

09. (UFRN-2002) Max, um modesto inventor, está preocupado com a possibilidade de faltar água em sua residência. Consciente do precário sistema de abastecimento, ele resolveu monitorá-Io, observando cuidadosamente como o nível da água no reservatório estava variando durante o dia. Para ter esse controle, Max projetou um dispositivo que lhe fomece as informações desejadas sem que haja necessidade de subir ao telhado da casa para verificar o nível da água do reservatório. Tal dispositivo, esquematicamente ilustrado a seguir, contém: uma bateria; um resistor ôhmico de resistência RI, do indicador do nível da água; um resistor ôhmico de resistência variável Rv, sensível a mudanças na altura do

nível da água do reservatório, assumindo valores desde Rv = 0, quando o reservatório está cheio, até Rv = r, quando ele está vazio.

Considerando o projeto de Max, é correto afirmar que: a) a corrente varia linearmente com a resistência equivalente. b) a resistência equivalente do circuito será mínima, quando o reservatório estiver vazio. c) a potência dissipada no circuito é constante, independentemente do nível da água. d) a corrente no circuito será máxima, quando o reservatório estiver cheio.

10. (Vunesp) Alguns automóveis modernos são equipados com um vidro térmico traseiro para eliminar o embaçamento em dias úmidos. Para isso, 'tiras resistivas' instaladas

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Sabe-se que: V = R I

P = R i2

Requiv. = Rv + RI

Em que:V = diferença de potencial na

resistência R;

P = potência dissipada na resistência R, quando percorrida por uma corrente I;

Requiv. = resistência equivalente

Diagrama esquemático do circuito

Resistor do indicadordo nível da água

Resistor variável

Reservatório bóia

água

Bateria

RI

Rv

654321

terminais que vão para o

sistema elétrico

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na face interna do vidro são conectadas ao sistema elétrico de modo que se possa transformar energia elétrica em energia térmica. Num dos veículos fabricados no país, por exemplo, essas tiras (resistores) são arran-jadas como mostra a figura ao lado.

Se as resistências das tiras 1, 2,…, 6 forem, respectivamente, R1, R2,…,RN, a associação que corresponde ao arranjo das tiras da figura é:

11. (UFRN-2001) Nicéia estava aprendendo a fazer instalações elétricas residenciais e foi encarregada de fazer uma instalação na parede lateral a uma escada. Essa instalação deveria conter uma lâmpada, uma tomada e um disjuntor. Era preciso que a lâmpada pudesse ser ligada e desligada, tanto na parte de baixo como na de cima da escada (através dos interruptores 1 e 2, conhecidos como interruptores "three-way'). Por outro lado, era preciso que, quando o disjuntor fosse desligado, para se fazer um conserto na instalação, o circuito não oferecesse perigo de choque a quem fizesse o reparo. A figura seguinte mostra o esquema inicial de Nicéia para esse circuito. (Lembre-se de que o fio denominado "fase" pode apresentar perigo de choque, por ter uma diferença de potencial em relação à Terra, enquanto que o fio denominado "neutro" não apresenta perigo, pois está no mesmo potencial da Terra.) Quando Nicéia apresen-tou à supervisara o es-quema inicial do traba-lho, esta concluiu que, para as finalidades pretendi-das, estavam instalados, de forma incorreta, a) o interruptor 1 e a

tomada. b) a tomada e o disjuntor. c) o disjuntor e o inter-

ruptor 2. d) os interruptores 1 e 2.

12. (MACK-2001) Entre os pontos A e B do trecho de circuito elétrico abaixo, a ddp é 80V.A potência dissipada pelo resistor de resistência 4 é: a) 4 Wb) 12 Wc) 18 W d) 27 We) 36 W

13. (MACK-2003) Para acompanhar a decoração da fachada de um prédio neste Natal, foi contratado um eletricista e solicitou-se a ele que fossem disponibilizados três circuitos elétricos distintos, de 110 lâmpadas em série cada um. A resistência elétrica dos fios utilizados é desprezível, a tomada da rede que alimentará os três circuitos será uma só

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reino Individual

Interruptor 2 (representação esquemática interna)

escada

Interruptor 1 (representação esquemática interna)

tomada (representação esquemática interna

fio base

fio neutro

dis

junt

or

lâmpada

S1, S2 e S3 são as séries de 110 lâmpadas cada.

S1 S2 S3

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e a d.d.p. entre seus terminais é110V. Sabendo que todas as lâmpadas são idênticas e que possuem a inscrição nominal, individual, (0,5W – 1V), podemos afirmar que: a) a intensidade de corrente elétrica em cada lâmpada é 0,1A e a intensidade de

corrente elétrica total (iT) é 0,3A. b) a intensidade de corrente elétrica em cada lâmpada é 0,167 A e a intensidade de

corrente elétrica total (iT) é 0,5A. c) a intensidade de corrente elétrica em cada lâmpada é 0,5A e a intensidade de

corrente' elétrica total (iT) é 1,5A. d) a intensidade de corrente elétrica em cada lâmpada é 1,5A e a intensidade de

corrente elétrica total (iT) é 1,5A. e) a intensidade de corrente elétrica em cada lâmpada é 110 A e a intensidade de

corrente elétrica total (iT) é 330 A.

14. (OMEC-SP) Quando dois ou mais resistores estão associados em série, ligados a uma bateria, temos a seguinte situação: a) Todos são percorridos pela mesma corrente elétrica. b) A ddp é constante para cada resistor. c) A corrente elétrica em cada resistor depende do vãlor de sua resistência elétrica. d) A resistência elétrica equivalente é dada pela soma dos inversos das resistências

elétricas dos resistores. e) A intensidade da corrente elétrica no circuito é a metade do valor da tensão da

bateria.

15. (Unifor-CE) No circuito esquematizado, F é um fusível que suporta, no máximo, corrente elétrica de intensidade 5 ampères. Aplica-se uma diferença de potencial de 200 volts aos pontos P e Q. O valor da resistência elétrica R, supondo que o fusível está a ponto de queimar (fundir), é: a) 15 Wb) 25 Wc) 50 Wd) 65 W

16. (Acafe-SC) Julgue a afirmativa: Um fusível deve ser ligado em paralelo com o circuito a ser protegido.

17. (Santa Casa-SP) Dois resistores (x e y), não-ôhmicos, estão associados em série. No gráfico ao lado, mostra-se como a resistência elétrica de cada resistor varia em função da intensidade da corrente elétrica (i) que passa por ele. Em qual dos seguintes gráficos melhor se representa a intensidade da corrente elétrica que atravessa a associação dos dois resistores em função da diferença de potencial (U) entre seus terminais?

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18. (MACK-SP) Dois fios de cobre, um grosso e outro fino, são associados em série e os terminais dessa associação são sujeitos a uma tensão elétrica constante. A grandeza maior no fio fino é: a) a velocidade média de migração dos elétrons livres. b) a intensidade eficaz da corrente elétrica. c) o número de elétrons livres por unidade de volume. d) o número de elétrons livres que atravessam uma secção transversal por unidade

de tempo. e) a quantidade de carga elétrica que atravessa uma secção transversal por unidade

de tempo.

19. (Univ, Pelotas-RS) A rede elétrica de uma residência deve ter os diversos pontos de recepção de energia associados: a) em série para que a diferença de potencial seja a mesma em todos eles. b) em série para que a corrente elétrica seja a mesma em todos os aparelhos. c) em paralelo para que a corrente elétrica seja a mesma em todos os aparelhos. d) em paralelo para que a potência dissipada por todos os aparelhos seja a mesma.e) em paralelo para que a diferença de potencial seja a mesma em todos os pontos

de recepção.

20. (UFPA) Assinale a alternativa errada:Se tivermos vários resistores associados em paralelo, submetidos a uma diferença de potencial constante: a) a interrupção da corrente elétrica em um resistor aumenta a intensidade da

corrente elétrica nos demais resistores. b) a resistência elétrica equivalente é menor que cada resistência elétrica associada.c) a intensidade da corrente elétrica que sai da assodação é a soma das

intensidades das correntes elétricas que percorrem cada resistor. d) as intensidades das correntes elétricas são proporcionais às condutâncias.e) a interrupção da corrente elétrica em um resistor diminui a intensidade da

corrente elétrica que sai da associação.

21. (PUC-SP) São ligados em paralelo, numa mesma tomada, um ferro elétrico de re-sistência elétrica R, e uma lâmpada de resistência elétrica R2. Sabe-se que R1 < R2. A resistência elétrica R equivalente à associação é tal que:

a) R > R2 b) R < R1 c) R =

d) e) R= R1 + R2

22. (UFES) Quando um resistor de resistência elétrica R1 e outro de resistência elétrica R2 são submetidos, um de cada vez, a uma diferença de potencial U, verificamos que passam, respectivamente, correntes elétricas de intensidades i1 e i2. Se os resistores são associados em paralelo e submetemos o resistor equivalente da associação à mesma ddp U, passará por ele uma corrente elétrica de intensidade: a) maior que i1 e maior que i2 d) igual a i1 e i2b) menor que i1 e maior que i2 e) menor que i1 e menor que i2, c) maior que i1 e menor que i2

23. (Univ. Viçosa-MG) No circuito abaixo temos R1 > R2 > R3, Com relação às correntes elétricas, podemos afirmar que:a) i3 < i1 = i2b) i2 < i1 < i3 c) i2 < i3 < i1d) i1 < i2 < i3e) i3 < i2 < i1

24. (Acafe-SC) Os resistores correspondentes às retas 1 e 2 estão ligados em paralelo e

submetidos a uma diferença de potencial. Do exame do gráfico, pode-se concluir que: a) i2 > i1; R2 < R1

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b) i2 > i1; R2 > R1 c) i2 < i1; R2 > R1 d) i2 < i1; R2 < R1

25. (UFSC) Tendo somente dois resistores, usando-os um por vez, ou em série, ou em paralelo, podemos obter resistências elétricas de 3, 4, 12 e 16 ohms. As resistências elétricas dos resistores são de: a) 12 e 3 ohms. b) 12 e 4 ohms. c) 4 e 8 ohms. d) 3 e 4 ohms. e) 8e 16 ohms.

26. (OSEC-SP) Ente os pontos A e B é aplicada uma diferença de poencial de 30 volts (ver figura). A intensidade da corrente elétrica no resistor de 10 é de: a) 1,0 A. b) 1,5 A. c) 2,0 A. d) 2,5 A. e) N.r.a.

27. (PUC-8P) Para o circuito da figura, a resistência elétrica equivalente entre os terminais A e B é de: a) 10 b) 5,33 c) 2,4 d) 1,0 e) 0,33

28. (Fatec-SP) O esquema abaixo representa uma associação de resistores iguais. A resistência elétrica equivalente é: a) 2/3 R b) 3/2 R. c) R. d) 3R. e) N.d.a.

29. (UFCE) No circuito abaixo, R1 = 2R2 = 4R3

= 20 ohms e UAB = 60 V. Qual a intensidade da corrente elétrica total, em ampére, que flui de A para B?

30. (FMU-SP) No circuito abaixo, a resistência elétrica equivalente entre A e B é de: a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) 5

GABARITO

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01. D 02. C 03. E 04. A 05. A 06. D 07. A 08. D 09. D 10. D

11. B 12. E 13. C 14. A 15. A 16. Errado 17. B 18. A 19. E 20. A

21. B 22. B 23. F 24. A 25. B 26. A 27. D 28. A 29. i = 21A 30. E

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