Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Lezione 6

Il modello di Black Scholes

Un albero particolare

• Costruite un albero nel quale Y(t+1) può assumere due valori Y(t)*u (nello stato H) o

Y(t)*d (nello stato L).u e d sono gli stessi su ogni nodo (indipendenza dal tempo

e dagli stati)u*d = 1

• L’albero è “ricombinante” e per un numero di steps sufficientemente grande converge al moto geometrico browniano nel tempo, utilizzato nel modello di Black & Scholes

Verso il tempo continuo

• Fissato un orizzonte di investimento h

Y(t+h) – Y(t) = rYY(t) è il guadagno sull’investimento nel periodo• Il tasso di interesse sull’investimento rY è una grandezza aleatoria

rY = + , con N (0,1)per cui è naturale scrivere la dinamica

Y(t+h) – Y(t) = Y(t) + Y(t)• Per h che diventa molto piccolo otteniamo una descrizione della

dinamica nel tempo continuo

Una dinamica più semplice• Consideriamo una variabile che segue la dinamica

s(t+h) – s(t) = + 1, con 1 N (0,1)• Ci chiediamo qual è la distribuzione della variabile al tempo

t +nh. Se i disturbi i i = 1,2, …n non sono correlati, è ovvio che avremo

s(t+nh) N (s(t) + n, n2)• La media della distribuzione e la varianza crescono

linearmente con l’orizzonte temporale• N.B. In econometria processi di questo tipo sono detti

“integrati” o “a radice unitaria”

Processi stocastici• L’estensione dell’analisi al tempo continuo richiede la

definizione di processo stocastico• Un processo stocastico è descritto rispetto a un insieme di

eventi e una sequenza di -algebre t (filtration). • Si tratta di tutte le possibili unioni e intersezioni di eventi

osservati al tempo t. Euristicamente, E’ il set di informazione disponibile al tempo t.

• Es. la filtration t generata da una serie di prezzi contiene la serie di tutti i prezzi osservati fino al tempo t.

• Un processo stocastico è una sequenza di variabili aleatorie definite rispetto alla filtration e che assume valore nella -algebra della retta dei numeri reali (Borel set).

Processi stocastici diffusivi• Un processo stocastico, come ad esempio il prezzo

Y(t) è caratterizzato da una misura di probabilità (la tripla { t P} definisce uno spazio probabilizzato).

• Un processo stocastico è detto diffusivo se

lim h0 E[Y(t+h) – Y(t)] = Ydt

lim h0 Var[Y(t+h) – Y(t)] = Y2dt

lim h0 Prob[|Y(t+h) – Y(t)| > ] = 0, > 0

Il processo di Wiener

• Un processo stocastico diffusivo per il quale valga

z(t+h) – z(t) N(0, h)

…è detto processo di Wiener• Si tratta di un processo a traiettorie continue che

non è derivabile in nessun punto con probabilità uno (non è derivabile in quasi nessun punto)

• Nel continuo: dz(t) = lim h0 E[z(t+h) – z(t)]

• Processo diffusivo: dS(t) = dt + dz(t)

Probabilità condizionale

• Es. ds(t) = dt + dz(t)• La distribuzione di probabilità al tempo > t di s è

normale e ha media ( - t), mentre la varianza è 2 ( - t)

• Es. dY(t)/Y(t) = dt + dz(t) rappresenta il moto geometrico browniano, e nel nostro caso il rendimento istantaneo di un titolo rischioso. Il rendimento istantaneo è distribuito secondo la normale, mentre Y(t) non lo è.

Il lemma di Ito

• Se s(t) è un processo diffusivo e p = f(s,t) è una funzione, anche p(t) è un processo diffusivo, con

lim h0 E[p(t+h) – p(t)] = (f t+ s f s + ½ s2 f ss)dt

lim h0 Var[p(t+h) – p(t)] = (s f s)2dt

• Es. Da dY(t)/Y(t) = dt + dz(t) e f(Y,t) = log Y otteniamo…

d log Y(t) = ( - ½ 2)dt + dz(t)

… e Y( | t) ha distribuzione log-normale.

Valutazione di contratti derivati

• Assumiamo che il sottostante segua un moto geometrico browniano

dY(t) = Y(t) dt + Y(t) dz(t)

• Il valore di un contratto derivato C(Y,t) segue, per il lemma di Ito

E(dC(t)) = (C t+ Y CY + ½ 2Y2 CYY)dt

Var[dC(t)] = (YCY)2dt

Applicazione: delta hedging

• Assumiamo di voler immunizzare una posizione in un derivato C.

• Consideriamo un portafoglio con– Una posizione lunga in una unità di C

– Una posizione corta in = CY unità di Y

• La dinamica del portafoglio C(t) – CYY(t) E(dC(t) - CY dY(t)) = (C t + ½ 2Y2 CYY)dt

Var[dC(t) - CY dY(t)] = 0

Black & Scholes

• Il principio di non arbitraggio implica cheC t + ½ 2Y2 CYY = r(C(t) - CYY(t))

…da cui la fundamental PDE½ 2Y2 CYY + C t + rCYY(t) - rC(t) = 0

…e il valore del contratto derivato deve essere una risoluzione della PDE con condizione al contorno

C(Y(T),T) = funzione di pay-off

Il modello di Black & Scholes• Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di

distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T)

tTdd

tT

tTKtYFd

dKNTtvdNtYTKtYcall

12

2

1

21

2/1/,ln

,,;,

Prezzi di opzioni put

• Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo

tTdd

tT

tTKtYFd

dKNTtvdNtYTKtYput

12

2

1

21

2/1/,ln

,,;,

Ancora su ENEL

• Data di valutazione 16/03/2005• Data di esercizio 15/05/2005• Prezzo a pronti ENEL 7,269• Prezzo BOT scadenza 16/05/2005: 99,66• Prezzo forward Enel:

7,269/0,9966 = 7,2937989 • Prezzo strike: 7,6• Volatilità: 16,38% • Delta Call = N(–0,58602) = 27,8931%• Leverage = 7,6 x N(–0,652432) = 1,9536652• Prezzo = 7,269 x 0,278931 – 0,9966 x 1,9536652 = 0,0805254 = prezzo di mercato