aspectos epistemológicos del uso de modelos computacionales en nanociencia y nanotecnología para...

IntroducciónAlgunos requerimientos sobre las Teorías en NanoHacia una Semántica Formal para Nanotecnología

Impacto en los Programas Educativos hacia la Nano

Aspectos Epistemológicos del Uso de ModelosComputacionales en Nanociencia y Nanotecnología

para la Educación Superior

Santiago Núñez-Corrales, José Roberto Vega-Baudrit

Laboratorio Nacional de NanotecnologíaCentro Nacional de Alta Tecnología

Dirección de Investigación y Desarrollo Tecnológico - MICITT

6 de agosto de 2014

S. Núñez-Corrales, J.R. Vega-Baudrit NANODYF 2014



1 Introducción

2 Algunos requerimientos sobre las Teorías en Nano

3 Hacia una Semántica Formal para Nanotecnología

4 Impacto en los Programas Educativos hacia la Nano




Breve ubicación




El Contexto de las Tecnologías Convergentes

Las tecnologías convergentes son parte de la realidad en laeducación, de forma explícita o implícita en ambientesformales e informales.La tasa de crecimiento de los resultados en las áreas nanomuestran una tendencia hacia la necesidad de mayorespecialización → más tiempo para preparar expertosExiste mayor presión para incrementar la cantidad de expertosa nivel mundial en menor tiempo.América Latina requiere integrarse de una manera más efectivaa la dinámica mundial nano desde la perspectiva de generaciónde nuevo conocimiento, productos y valor social.




¿Qué se debe resolver en Educación Superior?

Problema Pedagógico en Nanociencia y Nanotecnología paraEducación Superior

Encontrar un conjunto de herramientas conceptuales y analíticasque permitan al estudiante avanzado de pregrado y al estudiante degrado integrar rápidamente sus conocimientos a un creciente corpusde conocimiento para ser intelectualmente eficiente en lacompresión de fenómenos de la nanoescala.




¿Qué se debe resolver en Educación Superior?

Objetivo Pedagógico

Dotar al estudiante lo antes posible de capacidades que le permitancomprender rápida y claramente las ventajas del uso de materialescuya complejidad estructural es deliberadamente planificada aescala atómica mediante el análisis y aplicación de principiosgenerales capaces de abstraer el efecto de la reducción dedimensionalidad a partir de múltiples variables físicas.




La Simulación Computacional

El acceso a herramientas de simulación permite transformar loexpresado en sistemas formales en datos que, al servisualizados, apoyan la intuición durante el proceso deinvestigación.La fidelidad de las simulaciones que es accesible con mediostecnológicos (¡y económicos!) accesibles en la región aumentapositivamente.La nanociencia y la nanotecnología se benefician de este tipode medios experimentales, pero su conveniencia para usuariosno experimentados es limitada.Los paquetes de simulación requieren explícitamente quemuchas de las premisas físicas, químicas o biológicas seanespecificadas de manera determinística, o en varios casos, congrados limitados de aleatoriedad.




Premisas

Estructura de los Sistemas de la Nanoescala

1 El ordenamiento de los átomos en sistemas de nanoescala esintencionalmente diseñado en forma de nanoestructuras.

2 El grado de regularidad esperada (i.e. calidad) en elordenamiento atómico de las nanoestructuras es directamenteproporcional al costo energético de su producción, y presentaporcentajes de variación debido a fenómenos cuánticos ymoleculares.

3 La estructura de los materiales resultantes de la agregación denanoestructuras es distinta a la estructura de materialesresultantes de la agregación de los componentes de otrasmezclas cuyo ordenamiento no es intencional, pero compartenla misma proporción de especies que las nanoestructuras.




Premisas

Dinámica de los Sistemas de la Nanoescala

1 Las nanoestructuras tienen un comportamiento regido porelementos determinísticos y elementos aleatorios quedeterminan su estado de manera individual.

2 La aleatoriedad en sistemas nano provide de dos fuentesprimarias: la multiplicidad combinaría de arreglos moleculares ysus interacciones (determinísticas), y la materialización deefectos cuánticos (no determinística).

3 La agregación estados de múltiples nanoestructuras enproporciones suficientes cambian la naturaleza delcomportamiento de los materiales en otras escalas por mediode transiciones de fase.




Generalización

Supongamos que, ante los requerimientos anteriores, existeuna expresión formal L(r,V,F) = F [(r,V,F)] capaz deabstraer la dinámica resultante de las propiedades deagregación de diversas nanoestructuras.¿Cuál sería la forma (e.g. firma) general de la solución descritapor el función F?Respuesta: F debe ser globalmente suave y localmente rugosa.Las teorías que actualmente cumplen con este requisito estánpoco articuladas y su integración presenta dificultadesderivadas de las suposiciones acerca de su carácter discreto ocontinuo.




Modelo y Lenguaje Integrador

El lenguaje matemático utilizado para describir los nuevosmodelos en la nanoescala debe preservar la identidad de lasnanoestructuras, pero facilitar el cálculo de las propiedadesresultantes de su agregación.Los modelos deben abstraer el efecto estadístico de laaleatoriedad y sus consecuencias durante la ocurrencia detransiciones de fase a lo largo de los sistemas descritos.El lenguaje de formulación de modelos debe sugerir de maneranatural la dinámica del sistema y traducirse fácilmente en elcómputo necesario para estimar el valor de observables deinterés.Los modelos deben sugerir los mecanismos de visualizaciónmás apropiados




Semántica para Fenómenos Nanotecnológicos

La simulación computacional debe fundamentarse en modelos queimplementen de manera coherente y consistente una semánticaunificada para el experto de dominio interesado.

Una semántica axiomática que contenga los postuladosrelevantes a los fenómenos en escalas nano para describir laspropiedades de las nanoestructuras.Una semántica operacional que explícitamente describa laobtención de los observables y el impacto de la aleatoriedadresultante de las interacciones entre los componentes delsistema.Una semántica denotacional donde el lenguaje matemáticoimplique una visión panorámica completa y útil que cumplacon la semántica axiomática y sea detallada por la semánticaoperacional.




Semántica Axiomática para Nanociencia y Nanotecnología

El elemento más importante de Nano es la complementariedadentre los fenómenos cuánticos y clásicos dependientes deescala en las nanoestructuras.Los modelos multi-escala actuales para investigaciónacadémica encuentran dificultades en integración debido a que,matemáticamente, se sostienen sobre la hipótesis de lacontinuidad.

C∞ = l«ımn→∞{F : Rn → P|∃F n(r) ∈ P}

Observación: el creciente corpus de conocimiento acerca de laNaturaleza indica que esta es discreta en las escalas másfundamentales.





En ese sentido, es necesario reconsiderar el fundamentocontinuo detrás de las ecuaciones diferenciales

dxdy

= l«ım∆x→0∆y→0

∆x∆y

Para, dada una cantidad b que evoluciona en tiempo t dondeb es discreta

dbdt

= l«ım∆b→0∆t→0

∆b∆t

¿Qué pasa si requerimos que b 6→ 0?





Una opción audaz es identificar que fenómenos donde laprobabilidad tiene un rol importante el efecto es equivalente aun fenómeno de difusión con amortiguamiento junto a unrandom walk sesgado. Así, b se reemplaza por un valor enteroque representa subunidades del estado representado por talcantidad:

∆Nb = ∆t · R(

dbdt

)R representa un generador de números aleatorios que seobtiene de una distribución de probabilidad, posteriormenteescalada por db

dt como factor de cambio determinístico.





Axiomática para Sistemas Nanométricos

1 La nanoescala está regida por aleatoriedad proveniente defenómenos cuánticos e interacciones moleculares con un efectoproporcional a la complejidad estructural de la nanoestructura(dependiente de la cantidad de subunidades ∆Nb de b quecambian en tiempo t).

2 Los fenómenos agregados de nanoestructuras puedeninterpretarse como el valor de observables globales de difusióncon amortiguamiento y un random walk sesgado.

3 Un sistema a nanoescala es un sistema estocástico.




Semántica Operacional para Nanociencia y Nanotecnología

Las nanoestructuras se suponen similares por algún método desíntesis, constituyen un ensemble de Gibbs regido por unafuerza de Langevin

〈Γ(t)〉 = 0〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = 0, |t − t ′| ≥ τ0

〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = qδ(t − t ′)

δ(x) = l«ıma→∞

1a√π

e−x2

a2

donde Γ(t) = g(hc(t), hf (t)) es un funcional que describe lafuerza dependiente de las interacciones entre todas laspartículas del sistema compuesta por una fuerza continuahc(t) y una fuerza fluctuante hf (t).





Dado Γ(t), es interés medir variables del sistema nanométrico,s.p.g. x(t), así como la probabilidad de encontrar un valor enel intervalo [x , x + dx ] determinada por la distribución deprobabilidad W (x , t) descrita como

P(x < x(t) < x + dx) = dx ·W (x , t)

donde la dinámica de W (x , t) está dada por

dWdt

=

(− ∂

∂x

)v

D(v)(x)W (x , t)





Si x(t) es continua, Γ(t) es Gaussiana y δ-correlated, loscoeficientes de la expación Kramers-Moyal D(v) para v ≥ 3pueden considerarse como 0.La transformación de estados en el sistema nanométrico aniveles fundamentales estará determinada en su distribución deprobabilidad por la ecuación Fokker-Planck para N variablesx1(t), x2(t), · · · , xN(t) = x̄(t) relevantes

dWdt

=

− N∑i=1

∂

∂xiD(1)

i (x) +N∑

i=1

N∑j=1

∂2

∂xi∂xjD(2)

ij (x)

W (x , t)





Transformación de Estados para Sistemas Nanométricos

1 La evolución de los fenómenos de la nanoescala está dada porecuaciones diferenciales estocásticas con un componente devariación (drift) y un componente de difusión.

2 La evolución de la distribución de probabilidad subyacente alfenómeno respectivo está determinada directamente por unaecuación FokkerPlanck en las variables de interés de mediciónde los observables correspondientes.

3 La descripción fenomenológica del sistema es estadísticamenteequivalente al caso determinístico ponderado de todos loscasos alrededor de la evaluación en el punto r inicial con unvector de parámetros p.




Semántica Denotacional para Nanociencia y Nanotecnología

La semántica operacional, escrita como sistemas de ecuacionesdiferenciales estocásticas, puede ser reinterpretado en términosde un tensor relacionado a los Jacobianos Jijk que representanlos valores de campo en las propiedades relevantes,independiente del sistema de coordenadas elegido para surepresentación.Ejemplo: modelo de Ising para materiales paramagnéticos, seespecifica en valor de campo (e.g. posición de spin) y se indicamediante operadores de posición la evolución dinámica delsistema.En sistemas nanometrícos es clave incluir operadores querepresenten intervenciones intencionales en la dinámica delsistema.





Dado un conjunto de ecuaciones diferenciales estocásticas:

∂X1(r,p)

∂t= F1(r,X) + W (X, t)

· · ·∂Xn(r,p)

∂t= F3(r,X) + W (X, t)

La dinámica anterior puede abstraerse como un tensor

Dαijk = Xαβ

ijk Wijkβ +Nαijk

donde Xαβijk representa el cambio en el espacio de propiedades

de interés α sobre i , j , k ∈ Rn, Wijkβ el tensor derivado de lasecuaciones Fokker-Planck para el sistema de interés y Nα

ijk eltensor que representa operaciones de medición o interacción.





El tensor Dαijk en el espacio de propiedades de interés generará

variaciones diferenciales en la geometría asociada.¿Cómo visualizar los cambios en el sistema de manera global?→ Operadores de geometría diferencial.Existen oportunidades importantes de simplificar lavisualización mediante cantidades adimensionales sin unapreferencia específica por sistemas de coordenadas particulares.





Descripción Global para Sistemas Nanométricos

1 La evolución global de los sistemas en la nanoescala puedecaracterizarse mediante un tensor Dα

ijk que incluye loselementos determinísticos, aleatorios y de interacción.

2 La variación de las propiedades de interés ocurre en unageometría que puede ser visualizada mediante operadores degeometría diferencial.




¿Cuándo se pueden introducir los conceptos?

Semántica Axiomática: ecuaciones diferenciales ordinarias,probabilidad y estadística.¡Hay que desarrollar conceptos de probabilidad discreta loantes posible en las carreras! → mejores bases para otras áreasrelacionados a nano tales como mecánica estadística yfísico-química.Pertenece al tronco común de ciencias e ingenierías.





Semántica Operacional: ecuaciones diferenciales ordinarias,probabilidad y estadística.El estudio de sistemas estocásticos puede ser abordado antesen los planes de estudio y es consistente con el tipo deproblemas que más frecuentemente se atacan en nanociencia ynanotencnología.Instanciación en cursos avanzados de pregrado o cursosiniciales de grado.





Semántica Denotacional: ecuaciones diferenciales parciales,álgebra lineal.La mecánica de uso de tensores puede ser vista de formatemprana en grado y se abre la opción para que los estudiantesexploren las propiedades formales posteriormente.Hay muchas interacciones por explorar en materia degeometría diferencial que no están suficientemente explotadasen el mundo nano.




Trabajo en curso

Construir herramientas teóricas que aceleren la adopción demétodos formales que permitan obtener mejores resultadosmás temprano.Incrementar la probabilidad de construir simulaciones realistasque toleren el ruido esperado durante síntesis y manipulaciónde sistemas en la nanoescala.Proveer herramientas que apoyen la intuición física desdeetapas tempranas en nanotecnología.




Conclusiones




Referencias

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It is a profoundly erroneous truism that we shouldcultivate the habit of thinking of what we are doing. Theprecise opposite is the case. Civilization advances byextending the number of important operations which wecan perform without thinking about them. Alfred NorthWhitehead.
