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OTT01,9 FEBBRAIO 2004

Ciprari Luca Erculiani Marco

S T A G E

O S S E R V A T I V O A L

LAB. OTTICA

2003/ 2004

OTT01



T E L E S C O P I O

“ G A L I L E O ”

MAURO D ’ONOFRIO , GABR IELE UMBR IACO

Corso di Laboratorio di Astronomia 1

Dipartimento di Astronomia Università di Padova

Vicolo dell’Osservatorio, 2 35122, Padova



Sommario

STAGE OSSERVATIVO 3

INTRODUZIONE CON CENNI TEORICI 3

SCHEMA DELLO STRUMENTO DI OSSERVAZIONE 4

LISTA DEI COMPONENTI 5

PRESTAZIONI DEL TELESCOPIO, ANALISI TRAMITE OSLO ERRORE. IL SEGNALIBRO NON È DEFINITO. PREPARAZIONE DELLA SERATA OSSERVATIVA 5

METODO DI ACQUISIZIONE DEI DATI 5

ELABORAZIONE DEI DATI E ANALISI DEGLI ERRORI 9

RISULTATI FINALI ERRORE. IL SEGNALIBRO NON È DEFINITO. CONCLUSIONI ERRORE. IL SEGNALIBRO NON È DEFINITO.



Stage Osservativo Calcolo della massa di una galassia tramite la sua curva di rotazione ottenuta con l’analisi degli spettri

Introduzione con cenni teorici

Lo scopo della nostra esperienza al 120cm di Asiago e` stata quella di effettuare osservazioni astronomiche di galassie spirali. Questi oggetti extragalattici contengono molte nubi gassose di idrogeno, cioè la situazione opposta delle galassie ellittiche in cui la presenza di materiale interstellare e` di molti ordini di grandezza inferiore. Questo chiaramente denota una differenza sostanziale tra le due tipologie di oggetti, che poi si esplica in diverse proprietà morfologiche, cinematiche e evolutive. Queste nubi di idrogeno sono localizzate soprattutto nei bracci luogo nel quale si osservano poi alti tassi di formazione stellare. Infatti l’esplosione delle supernovae rappresentano uno dei motivi principali del collasso gravitazionale di queste nubi gassose, che poi formeranno le protostelle. Il motivo scatenante del collasso e` provocato dall’onda d’urto del materiale scagliato dalla supernova. Ora una volta formatasi una nuova stella, il suo tasso di emissione energetica e` molto alto e quindi questo enorme flusso di radiazione elettromagnetica va a impattare contro queste nubi di idrogeno ( a circa 3-4 kelvin l’idrogeno e` neutro ), ionizzandolo. La principale riga di emissione dell’idrogeno caldo e` quella chiamata Hα che coinvolge transizioni dal primo livello eccitato al livello fondamentale e libera un

fotone la cui energia vale :

,

e per n=1 che e` il primo livello si ottiene un’energia di 13.6eV . La lunghezza d’onda corrispondente a questa transizione vale appunto λ=6563Å .Per questo motivo gli oggetti, che abbiamo selezionato per le osservazioni, sono tutte galassie a spirale viste di taglio. La visione sul piano galattico consente di sfruttare l’effetto Doppler nelle nostre osservazioni spettroscopiche. Sappiamo infatti che questo effetto provoca uno spostamento d’onda della radiazione in arrivo al nostro rivelatore. Chiaramente osservando un oggetto che ruota di taglio, una porzione di esso sarà in avvicinamento rispetto a noi ( e quindi la radiazione che ci arriverà sarà spostata verso il blu, fenomeno detto blueshift ) , mentre l’altra parte sarà in allontanamento ( spostando verso il rosso le nostre osservazioni, questo e` il cosiddetto redshift ) . Supponiamo ora che la nostra galassia sia in equilibrio dinamico, che la l’unica forza agente su di essa sia quella di gravità , nel qual caso il potenziale sarà di tipo centrale :

,

ma la forza agente e` anche data da :

Turno di osservazione

3

20

2 1

42

1

n

emEe

= −

hπε

2r

mMGFg =



.

Uguagliando si trova che :

↔

Alla fine della riduzione dati saremo in grado di dare una stima per la velocità e per il raggio, cosa che ci consentirà di calcolare la massa della galassia contenuta all’interno del raggio r.

Schema dello strumento di osservazione

Lista dei componenti

r

vmmaF

2

==

r

vm

r

mMG

2

2=

G

rvM

2

=



TELESCOPIO GALILEO GALILEI

La montatura e` di tipo inglese con coordinate equatoriali e nella configurazione Cassegrain, il telescopio Galileo ha una focale complessiva di 19.13m e una scala sul piano focale di 10.8 ”/mm .

SPETTROGRAFO Boller & Chivens

Lo spettrografo B&C utilizza una camera diottrica “Galileo” con focale di 188mm, mentre il collimatore e` un paraboloide fuori asse di 90mm di Ø utile e 810mm di focale. Per fare i flat e ottenere gli spettri di confronto viene utilizzata una lampada Fe-Ar, che e` attivabile dalla control room e che si trova all’interno del tubo ottico del telescopio.

TELESCOPIO GALILEO GALILEI

La montatura del telescopio e` del tipo equatoriale, cioè l’asse delle declinazioni e’ parallelo all’asse polare. In questa maniera se il puntamento e’ stato fatto bene, allora per l’inseguimento basta far muovere soltanto l’asse orario.

Modalità di movimento: Il telescopio si puo’ muovere con tre diverse velocita: Grande, Media e Piccola, mediante l’utilizzo di encoder ottici, i quali possono essere controllati da 2 pulsantiere;una di esse si trova nella cupola, e permette il movimento con qualsiasi velocita, mentre un’altra, situata nella control-room, viene utilizzata solo per i movimenti micrometrici. Il telescopio di guida utilizza una telecamera che e’ collegata ad uno schermo; questo permette di mantenere l’immagine puntata dal telescopio fissa e quindi di consentire al ccd di acquisire delle pose il piu’ possibile ferme.

SPETTROGRAFO B&C

Fenditura: 322.63 µm Lampada calibrazione per flat e spettro: � Fe-Ar

Preparazione della serata osservativa

La serata osservativa e` iniziata ben prima del crepuscolo astronomico che si ha quando il Sole si trova almeno 18° sotto l’orizzonte. La prima cosa che abbiamo fatto e` stata quella di controllare via Internet la situazione meteorologica dell’altopiano di Asiago. In particolare durante la prima notte, nel quale abbiamo effettuato la totalità della raccolta dati, la situazione e` stata di cielo velato fino a mezzanotte, cosa che ha interferito negativamente con le osservazioni. Infatti il cielo velato indica che l’atmosfera sopra l’altopiano era molto agitata, cosa che tendeva a sparpagliare i fronti d’onda su una superficie molto vasta, rendendo cosi` la guida problematica e abbassando nettamente la qualità delle immagini di posa. Per questo motivo la maggior parte delle immagini poi ridotte, era stata raccolta nella seconda meta` della notte, durante la quale la velatura del cielo diminuiva sempre di più. Abbiamo infine controllato l’umidità relativa dell’atmosfera, la quale non arrivava ad un valore eccessivamente alto, che avrebbe potuto provocare la formazione di condensa sulla strumentazione, in particolare sul CCD che essendo un’attrezzatura elettronica ne avrebbe sofferto grandemente. A questo punto abbiamo provveduto ad aprire la cupola in modo da consentire alle strumentazioni di acclimatarsi con l’ambiente

P A R T I O T T I C H E

SPECCHIO DIAMETRO FOCALE

PRIMARIO parabolico 1200mm 6000mm

SECONDARIO iperbolico 195mm

P A R T I M E C C A N I C H E



circostante. Una volta appurato che la nottata sarebbe stata favorevole alle osservazioni, abbiamo stabilito quali oggetti osservare. Prima di tutto bisogna evitare di osservare oggetti attraverso una massa d’aria troppo spessa e dunque bisogna sapere quali oggetti culmineranno nel corso della notte, quali tra questi raggiungeranno una un altezza sull’orizzonte accettabile per l’osservazione ed a che ora questi oggetti passeranno in culminazione ( in questa maniera l’oggetto si troverà alla massima altezza sull’orizzonte in modo da sfruttare la minor massa d’aria ). Ogni oggetto celeste sarà osservabile solo dopo l’inizio della notte astronomica che avviene circa un’ora dopo il crepuscolo quando il sole è sotto l’orizzonte di almeno 18° e la cui durata dipende ovviamente dall’altitudine del luogo e dalla stagione. Se l’osservazione e` stata fatta il 19-12-2003 alla quota di 1045m s.l.m. , il periodo dell’anno indica che al meridiano, in prossimità di mezzogiorno, è da poco passato il punto γ. Dal momento che sono trascorsi solo 89 giorni dal passaggio di γ si ha che :

.

Ciò significa che dopo 89 giorni il punto γ si è spostato di circa 89° e cioè si trova a mezzogiorno in direzione ovest sull’eclittica. In questa situazione ,possiamo affermare che il tempo siderale del luogo è di circa 6h e che quindi , a mezzanotte segnerà circa le 18h. Per quanto riguarda la declinazione sarà meglio osservare gli oggetti restando in prossimità dello zenit geografico di Asiago ( ) dunque

sceglieremo oggetti con declinazione δ tale che :

.

L’unico oggetto che abbiamo trovato avere tutte le caratteristiche suindicate era una galassia a spirale del tipo Sc-a chiamata NGC2347 ed avente coordinate aggiornate al J2000.0 :

• α=07h 16m 04s δ=64° 42' 37"

• V= +4483/s

In realtà a causa dell’effetto Doppler causato dalla velocità di allontanamento, che provoca uno shift di tutte le righe di una quantità data da :

Lo spostamento della riga è pari a :

.

gggiorniv °≈

°= 1

365

360γ

°= 45δ

°≤≤° 6525 δ

c

v=

∆λλ

°°

Α=Α⋅+

==∆ 986563/299792

/44830

skm

skm

c

vλλ



Quindi la lunghezza d’onda della riga Hα si troverà non a λ0=6563Å, bensì a λ=λ0+98Å=6661Å. Quello

che noi faremo con lo spettrografo sarà di disperdere efficacemente la luce, utilizzando un reticolo a 1200 tratti, in modo da ottenere uno spettro ad alta risoluzione sul piano del CCD. Infatti noi non vogliamo ottenere uno spettro ampio, che copra una vasta regione del UV per fare analisi ad esempio del flusso, ma una ristretta regione centrata sulla riga Hα . Utilizzando un apposito programma abbiamo

calcolato l’angolo di inclinazione che deve avere il grating per far in modo che la riga dell’idrogeno corrisponda con il centro del rivelatore, e tale angolo e` risultato valere θi =25˚38 . A questo punto in

cupola abbiamo spostato il reticolo all’angolo trovato, e infine sapendo che l’angolo di posizione PA

dell’asse maggiore della nostra galassia, che si conta dal nord verso est, valeva 175o, abbiamo di conseguenza ruotato la slit in modo da farla coincidere con l’asse maggiore. In questa maniera lo spettrografo ha registrato solamente il flusso proveniente da quella sezione della galassia. L’ultima cosa che abbiamo fatto e` stata quella di aprire la fenditure, composta da due lame dette di Hartmann, fino a farle raggiungere una larghezza di 322.63 µm. A questo punto la strumentazione era pronta ed e` stato possibile far partire le osservazioni.

Metodo di acquisizione dei dati

Nell’osservazione astronomica prima dell’acquisizione dati vera e propria, e` sempre fondamentale ottenere delle immagini di bias e flat .

• BIAS

Un bias e` un’immagine ottenuta con un tempo di esposizione il più breve possibile, nel nostro caso 0.01sec, e con l’otturatore chiuso, impedendo quindi alla luce di colpire il CCD. In questa maniera l’immagine che si ottiene, la quale ha un livello di lettura molto basso, mostra la lettura del rumore strumentale. Nel nostro caso abbiamo ottenuto più immagini di bias in modo da mediarle poi con IRAF.

• FLAT

Invece un flat e` un’immagine presa con l’otturatore aperto e osservando un campo uniformemente illuminato da una lampada standard, che e` una sorgente luminosa della quale si conosce molto bene il flusso luminoso, e che e` caratterizzata da una grande stabilita` nel numero di fotoni emessi. In questa maniera e` possibile valutare qualitativamente la risposta del CCD, compensando un’eventuale disomogeneità nella raccolta dei fotoni.. Quello che faremo sarà quindi mediare più flat e poi sottrarre ad essi il bias medio. Quello che otterremo andrà infine sottratto alle nostre immagini grezze, riprese durante la serata.

Un ulteriore passaggio, prima di effettuare le calibrazioni, e’ stato togliere i raggi cosmici e gli hot pixels. Infatti mediamente su un’immagine sono presenti svariati pixels la cui luminosità mal si accorda con quelli circostanti. Essi possono essere provocati da pixels spuri presenti sul CCD ( sono praticamente degli errori di fabbrica ) oppure dai raggi cosmici, che sono raggi molto energetici e che quindi provocano la saturazione del pixel. Fatto ciò e` stato possibile attuare la calibrazione in lunghezza d’onda e poi in flusso. La calibrazione d’onda viene fatta usando l’immagine che segue. Si tratta in pratica di riconoscere le varie righe e poi di assegnare ad ognuna la corrispondente λ .



La calibrazione in flusso invece viene fatta utilizzando una stella standard, il cui flusso energetico e` ben conosciuto, e serve quindi a calcolare il flusso del mio spettro. La stella in questione e’ la HD93521. Di seguito presentiamo la tabella con le pose fatte durante la nottata, classificate per IMAGETYPE,EXPTIME e OBJECT :

FILE.fits imagetype object exptime FILE.fits imagetype object exptime

bias bias bias 0 ima14437 flat flat 30

bias1 bias bias 0 ima14438 flat flat 30

flat flat flat 30 ima14439 flat flat 30

flat1 flat flat 30 ima14440 bias bias 0,01

flatb flat flat 30 ima14441 bias bias 0,01

flattino flat flat 30 ima14442 bias bias 0,01

flattinon flat flat 30 ima14443 bias bias 0,01

ima14425 object HR Del 120 ima25 object HR Del 120

ima14426 object HR Del 120 ima26 object HR Del 120

ima14427 object HR Del 120 Ima26.ms Object HR Del 120

ima14428 object HR Del 1800 ima27 Object HR Del 120

Ima14429 calib fe-ar 8 ima28 Object HR Del 1800

Ima14430 object Bd284211 900 ima28c Object HR Del 1800

Ima14431 calib fe-ar 8 ima29 calib fe-ar 8

Ima14432 flat flat 4 ima29c calib fe-ar 8

Ima14433 flat flat 6 ima30 object bd284211 900

Ima14434 flat flat 12 ima30c object bd284211 900



Elaborazione dei dati e analisi degli errori

Raccolte tutte le immagini e’ iniziata l’elaborazione di esse tramite il software IRAF. AI fini della riduzione sono state scartate quelle che presentavano errori, ad esempio quelle saturate (sovraesposte), quelle venute sfocate a causa della foschia oppure quelle che presentavano un allargamento troppo esteso delle righe spettrali dovuto al fallito tentativo di tenere perfettamente in asse la stella di guida. Detto cio’, il primo passo e’ stato quello di combinare tutti i bias, tramite il pacchetto noao.imred.ccdred, epar_zerocombine, creando cosi’ un nuovo file denominato zero.fts. In modo analogo sono stati combinati tutti flat field, con il comando epar_flatcombine, ed e’ stato creato un file di nome flat.fts. Quindi, e’ stato tolto il bias dal flat field tramite il pacchetto medesimo, utilizzando il comando epar_ccdproc. Il file ottenuto, flatz.fts e’ stato poi analizzato con il comando implot, in modo da scegliere di utilizzare solo la zona in cui appariva il segnale. Tale operazione e’ detta TRIM, ossia, si e’scelto di eliminare dall’immagine le righe e le colonne in cui il segnale era praticamente nullo.Il file denominato flatn.fts e’ stato poi normalizzato, fittando il profilo ottenuto in precedenza con una funzione chebyshev di quarto ordine.Il flat-bias normalizzato e’ stato quindi tolto dalle immagini degli spettri delle lampade di confronto ferro-argon relativi all’asse minore e all’asse maggiore della galassia (sono stati presi in due momenti differenti), dello spettro della stella guida e dei due spettri rispettivamente dell’asse maggiore e dell’asse minore della galassia. A queste immagini sono state tolte anche le righe dovute all’emissione del cielo.A questo punto, prese le lampade di confronto, utilizzando il pacchetto noao.twodspec.longslit, epar_identify ho identificato le righe spettrali delle lampade di confronto, confrontando quelle che vedevo con una immagine di database ed inserendo manualmente il valore delle lunghezze d’onda che riuscivo a riconoscere. Automaticamente il computer, basandosi su quelle che ho riconosciuto, ha identificato anche tutte le altre.Quindi tramite i comandi epar_reidentify, epar_fitcoords ed epar_transform sono state identificate le righe spettrale degli spettri della galassia, abbinandovi una scala in lunghezza d’onda. Poi, al nuovo file cosi’ ottenuto e’ stato infine tolto il continuo. Infine, una volta ridotto lo spettro della stella ad un file monodimensionale, tramite i comandi epar_standard, epar_sensfunc ed epar_calib e’ stata fatta la calibrazione in flusso, ossia il paragone dell’emissione della galassia rapportata al quella della stella di confronto. L’immagine cosi’ ottenuta dello spettro della galassia e’ la seguente:

Ima14435 flat flat 30 Ima30cn object bd284211 900 Ima14436 flat flat 30 ima31 calib fe-ar 8



Come ben si vede dalle immagini possiamo osservare che le righe spettrali hanno una deformazione ad “esse”. La riga centrale e’ l’immagine della fenditura.La forma ad “esse” delle righe che noi vediamo al centro e’ facilmente spiegabile tramite l’effetto Doppler.Infatti, se partiamo dal presupposto che la materia da cui ha origine l’emissione sia in movimento, e se ammettiamo anche che una parte si stia avvicinando a noi, mentre l’altra si sta allontanando, ossia che la galassia si mouve di moto rotatorio attorno al proprio asse di simmetria, il salto logico e’ immediato.A questo punto siamo passati ad effettuare le misure sullo spettro. Abbiamo preso in considerazione la riga H-alpha (per ragioni di comodita’, abbiamo esaminato solo lo spettro lungo l’asse maggiore della galassia, in quanto la riga H-alpha dell’idrogeno era piu’ chiaramente visibile)e tramite l’ausilio di IRAF, sommando 2 pixel alla volta per meglio distinguerla, ne abbiamo determinato di volta in volta la lunghezza d’onda a vari pixel di distanza intorno alla posizione centrale.

Il risultato e’ stato il seguente:

E’ stato trovato anche l’errore attorno a x, poiche’ si’ e’ scelta una lambda relativa ad un pixel medio. Esso e’ stato ottenuto come la semidifferenza dell’intervallo fra i due pixel, cioe’ 0,5 pixel.Abbiamo quindi fatto un grafico preliminare della curva di rotazione:

step pixel 1 pixel 2 pixel centrale pixel medio lambda oss.(H-alfa)(angstrom)

1 81 82 104 81,5 6655,21

2 83 84 104 83,5 6655,22

3 85 86 104 85,5 6655,17

4 87 88 104 87,5 6655,19

5 89 90 104 89,5 6654,53

6 91 92 104 91,5 6655,09

7 93 94 104 93,5 6654,69

8 95 96 104 95,5 6655,103

9 97 98 104 97,5 6655,24

10 99 100 104 99,5 6655,41

11 101 102 104 101,5 6656,57

12 103 104 104 103,5 6658,96

13 105 106 104 105,5 6660,94

14 107 108 104 107,5 6662,391

15 109 110 104 109,5 6663,297

16 111 112 104 111,5 6663,41

17 113 114 104 113,5 6663,4

18 115 116 104 115,5 6663,61

19 117 118 104 117,5 6663,99

20 119 120 104 119,5 6664,14



Come si vede il suo andamento e’ approssimato abbastanza bene da una retta attorno al pixel 104, cioe’quello centrale, mentre le due ali hanno un andamento pressoche’ stazionario.

Cio’ ci invita a pensare che il bulge della galassia abbia una distribuzione abbastanza omogenea di massa.

Il passo successivo e’ stato quello di mettere l’asse di simmetria di questa curva e cambiare le posizioni delle ascisse, da pixel a raggio in secondi d’arco, conoscendo la scala del telescopio (1,11).

Non e’ stato fatto altro che moltiplicare i valori in pixel attorno al centro per tale scala.

posizioni su x pixel -->r"

-22,5 -24,975

-20,5 -22,755

-18,5 -20,535

-16,5 -18,315

-14,5 -16,095

-12,5 -13,875

-10,5 -11,655

-8,5 -9,435

-6,5 -7,215

-4,5 -4,995

-2,5 -2,775

-0,5 -0,555

1,5 1,665

3,5 3,885

5,5 6,105

7,5 8,325

9,5 10,545

11,5 12,765

13,5 14,985

15,5 17,205

6654

6656

6658

6660

6662

80 90 100 110 120

pixel

lambda-oss (Å)

Serie1



Va quindi modificato anche l’errore, anch’esso moltiplicato per 1,11, e risulta di 0,56 “.

A questo punto, con queste nuove misure e’ stato fatto un secondo grafico

Tale grafico e’ stato poi ripiegato e le falde sono state di conseguenza sovrapposte a formare un’unica curva:

6654

6656

6658

6660

6662

6664

6666

-30 -20 -10 0 10 20

r(")

lambda-oss (Å)

Serie1

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30

r(")

lambda oss (Å)

Serie1

Serie2



Notiamo che in ascissa appare la distanza dal centro della galassia in secondi d’arco e sull’ordinata appare la differenza di lunghezza d’onda rispetto a quella centrale, quella del pixel 104, stimata a 6659,28 Å.

L’ultima cosa che resta da fare e’ riplottare la medesima curva, trasformando il raggio da secondi d’arco in kiloparsec e la lunghezza d’onda in velocita’ radiale.

Dall’astrofisica si ha che, secondo la formula dell’effetto Doppler:

Z=(λosservata-λreale)/ λreale

e che la velocita’ osservata e’:

Voss=c*[((z+1)^2)-1]/ [((z+1)^2)+1]

Dove:

c=299793 km/s

λreale=6562,83 Å

Tuttavia, noi sappiamo che la galassia non e’ vista di taglio, ma il catalogo ci dice che si presenta inclinata di un angolo i=~45° rispetto alla nostra linea di vista.

Per cui la velocita’ radiale reale della galassia, risulta

Vreale=Voss/sin(i)

Avremo il seguente schema:

V-oss(km/s) inclinazione (gradi) V-reale(km/s)

4190,26 45 5925,93

4190,71 45 5926,56

4188,46 45 5923,38

4189,36 45 5924,65

4159,63 45 5882,61

4184,86 45 5918,28

4166,84 45 5892,80

4185,44 45 5919,11

4191,61 45 5927,84

4199,27 45 5938,66

4251,51 45 6012,54

4359,10 45 6164,70

4448,21 45 6290,72

4513,50 45 6383,05

4554,25 45 6440,69

4559,34 45 6447,87

4558,89 45 6447,24

4568,33 45 6460,60

4585,42 45 6484,77

4592,17 45 6494,31



Per trasformare il raggio in Kpc la cosa e’ un po’ piu’ laboriosa…

Infatti, bisogna prima calcolare la velocita’ osservata del centro.

Con le formule scritte sopra, ed avendo la λosservata del centro (trovata tramite IRAF)=6659,28 Å possiamo trovare la velocita’ osservata del centro, che e’ di 4373,507 km/s.

Con tale valore, possiamo calcolare la distanza di NGC2347 da noi, che si trova con la formula seguente:

D=Vcentrooss/H0=(4373,507 km/s)/(75 km/s*Mpc)=58,31343 Mpc

Il raggio in Kpc si trova come segue:

r(Kpc)=r(“)*D/206,2648=r(“)*Vcentrooss/ H0*206,2648

L’errore sara’ dato dall’errore in “ moltiplicato per Vcentrooss/ H0*206,2648, cioe’:

errore=0,56* Vcentrooss/ H0*206,2648=0,16 Kpc

Come si vede dalla tabella si ha:

Ora possiamo finalmente riportare il grafico finale della curva di rotazione con le unita’ di misura fisiche da noi cercate:

raggio (Kpc)

-7,06071944

-6,43309993

-5,80548042

-5,17786092

-4,55024141

-3,92262191

-3,2950024

-2,6673829

-2,03976339

-1,41214389

-0,78452438

-0,15690488

0,470714629

1,098334134

1,72595364

2,353573145

2,981192651

3,608812156

4,236431661

4,864051167



MISURA DELLA MASSA:

Ora ci proponiamo di calcolare la massa della galassia.

Assumendo che il sistema stellare sia in equilibrio dinamico, che la forza agente principale sia la forza di attrazione gravitazionale, e che il potenziale del campo gravitazionale sia di tipo centrale, possiamo porre l’uguaglianza:

GmM/r2=mv2/r

Dove M e’ la massa della galassia entro il raggio r, v la velocita’ del generico elemento di materia di massa m a quella distanza e G la costante di gravitazione universale.

M sara’ pertanto uguale a:

M=v2r/G

Poiche’ la curva di rotazione mostra un andamento stazionario a partire da una distanza di circa 3 Kpc dal centro, decidiamo di determinare la massa della galassia contenuta entro questo raggio, assumendo come velocita’ la media delle tre velocita’ reali dei punti che hanno un andamento stazionario, ossia

V1=265,963

V2=257,237

V3=246,409

La deviazione standard fra le 3. velocita’ sara’ di 9,79 km/s.

La massa risultera’ quindi essere di 49220482217±23053082,7 masse solari.

Conclusioni

0,000

50,000

100,000

150,000

200,000

250,000

0 2 4 6 8

Distanza dal centro (KPc)

Velocita' (km/s)



Con il presente lavoro abbiamo determinato la curva di rotazione della galassia NGC2347 e la sua massa, che e’ di 49220482217±23053082,7 masse solari. Il risultato ottenuto, come anche la velocita’ osservata e’ in accordo con quanto previsto per le galassie dello stesso tipo e con i dati forniti dalla letteratura.

Vdatabase =+4483 km/s

