asi 3 méthodes numériques pour l’ingénieur
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ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur. Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires. Opérations sur les vecteurs. Vecteur x base (canonique) b i , i =1, n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
ASI 3
Méthodes numériquespour l’ingénieur
Introduction : vecteurs, matrices
et applications linéaires
Opérations sur les vecteurs
Vecteur x
base (canonique) bi , i=1,n
espace vectoriel Vsur le corps des réels
combinaison linéaire
sous espace vectoriel
base, dimension
0)ker(: denoyau
de s.e.v. ,
,1soient
, , ,
0
1
0
1
1
1
1
1
k
iii
k
iiii
i
k
iiii
ni
n
iii
n
i
xWyWW
VxyRVyW
RxkiVx
VyxRVyx
Rxbbx
x
x
x
x
Opérations sur les vecteurs
Somme
multiplication ?
Vecteur transposé
Norme
produit scalaire,
vecteurs orthogonaux
0),(
'),( ; '),(
'
'
2
1
1
22
1
yxRy
xxxxxyxyxyx
xxxx
xxxx
yxzyxz
n
n
iii
n
ii
ni
iii
Normes et produit scalaire
22
1
222
1
,111
11
222
, : Schwartz de inégalité:propriété
eeuclidienn ),( ;),(),(
; exemple)(),(
),(),(),(
),(),(
),(),(
vérifiant ),( ,
:
scalaire
produit
sup ; ; )1( ;
; exemples
)()()(
)()(
00)(
positivité 0)(
iant vérif)(
::norme
yxyx
xxxxyxyxyxp
RExnxxp
zypzxpzyxp
yxpyxp
xypyxp
yxpyx
REEp
xxxxpxxxx
REynxnyxn
xnxn
xxn
xn
xnx
REn
n
ii
n
iii
n
ini
n
ii
n
i
pi
pp
n
ii
n
Matrices
nknjn
ikiji
kj
aaa
aaa
aaa
A
1
1
1111
Tableau de n lignes et k colonnes
Remarque fondamentale : on ne peut rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente
AyAxyxA
AxyxRRA nk
)(:linéaire
:
Applications linéaires
de base une ,1et , de base une ,1soit FniFfEkiEe ii
Noyau : image : Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei)rang = dim(Im(u))
u injective (ker(u) = 0)u surjective Im(u) = F
Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice
yxuExFyu
xuExu
)( que tel)Im(
0)()ker(
Définition :
Propriétés :
Soient E et F deux espaces vectoriels
)()()(:ssi linéaireest
)( :
yuxuyxuu
xuyxFEu
)( alors )( que tels sdéfinisson1
xufaeuan
jjjiiji
Applications linéaires et matrices
nk
ik
k
k
nj
ij
j
j
n
i
i
i
i
k
jjijij
k
jj
n
iiij
k
jj
n
iiij
k
jj
j
k
jj
k
jjj
n
iiijjij
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
y
y
y
xayaxAxy
faxfax
euxexuxuy
faeua
11
1
1
11
1
11
1 111
11
1
......
et
)(
alors )( que tels sdéfinisson
Propriétés des matrices
injectiveest associée linéairen applicatiol' ,0)(ker si
de s.e.v.un est c' 0 ker(A)
surjectiveest associée linéairen applicatiol' ,)(Rg si tesindépendannt linéaireme de colonnes de nombre leest c'
)Im(dim)(Rg
)Im( ssisolution uneadmet
de colonnes lespar engendré s.e.v. leest c' que tel)Im(
AR
AxRx
nAA
AA
AbbAx
AyAxRxRyA
k
k
kn
RkRn
•0Ker(A)
Img(A)u, A
Propriété des matrices
NoyauRang (nombre de colonnes linéairement indépendantes)variables équivalenteséquations équivalentessystèmes liés - systèmes libres (matrices blocs)vecteurs propres
0)ker(dim )(Rget ssi uniquesolution uneadmet équation l'
donné, pour Corolaire
)ker(dim)(Rg
AnAnkbAxbA
kAAThéorème
– Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F– soit k = dim(E) et n=dim(F)
Opérations sur les matricesSomme :
somme des applications linéaires
produit :
composition des applications linéaires
BAC
bacABC
nBABA
bacBAC
BA
n
kkjikij
ijijij
que colonnes deautent et que lignes deautant a
;
de lignes de nombre de colonnes de nombre avec matricesdeux et soient
e.v.un est taillemême de matrices des ensemblel':remarque
;
taillemême de matricesdeux et soient
1
A
Bn
n
p
qpABCvuw
q
pAu
nBv
q
RGRE
RGRFRE
,
,,
AB n’est pas BA (non commutatif)
Complexité algorithmiqueQuel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ?
Définitions – grand O– petit o– équivalence asymptotique
1)()(
lim lorsque)()(
0)()(
lim lorsque )()(
infinil' à bornéétant )( ),()()( lorsque )()(
xgxf
xxgxf
xgxf
xxgoxf
xHxHxgxfxxgxf
x
x
O
O(n2) < Algorithme < O(n3)
2221
2111
2221
2111
2221
2111
cc
cc
bb
bb
aa
aa
A, B et C sont des matrices carrées de taille n
Exemple, n=2
23 = 8 multiplicationsComme Strassen, 1969sauriez vous faire mieux ?
2222122122
2122112121
2212121112
2112111111
babac
babac
babac
babac
Complexité algorithmiqueQuel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ?
2221
2111
2221
2111
2221
2111
cc
cc
bb
bb
aa
aaExemple, n=2
o(n2) < Algorithme < O(nlog27)
log10(n) n3/n(log2(7))
1 1.5 2 2.4 3 3.7 4 5.8 5 9.1 6 14.3 7 22.3 8 34.7 9 54.1 10 84.4
Strassen, 1969
222122127
121111216
2212115
2111224
2212113
1122212
221122111
bbaaQ
bbaaQ
baaQ
bbaQ
bbaQ
baaQ
bbaaQ
623122
5321
4212
754111
QQQQc
QQc
QQc
QQQQc
2,807
Opérations sur les matricesInverse (a.l. bijective <=> matrice carrée)matrice identité I
Transposée (adjointe pour les complexes)
A est symétrique ssi A’=A
Permutation p associé à la matrice P (changement de base de ei à ep(i))
IAAAA 11
100
01
10
001
nI
1'1 ' : carréeest si
;')'(;'')'(;'')'(;'' Propriétés
':' Définition
AAA
kAkAABABBABAAA
aaA jiij
APPAPPPip
i 11 ' ; '
0100
0001
0010
1000
; 1423)(
4321
Opérations sur les matricesChangement de base
déterminant d’une matrice carrée
1
~,~
1,
~ :
~,~ ~,~
, ,-
iAui
iAui
PAPA
eEeE
PP
eEeE
passage de matrice : ~ PPee ii
sinon) (-1tion transposidepair nombreun en décomposerpeut on si 1
possibles nspermutatio des ensemblel' désigne
......)()det(
taillede carrée matrice
)()(2)2(1)1(
psign(p)P
aaaapsignA
nA
Ppnnpiippp
Quelques matrices particulièresMatrices carrées
Matrices diagonales
Matrices triangulaires (inférieure et supérieure)
Matrices par bandes
Matrice diagonale (strictement) dominante
Matrice symétrique
Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction)
Matrice de Toeplitz
Matrice de Hankel
iiij aani )( ,1,carrée matrice unepour n
ij1,j
n
iijji niyxa
1,1 ,
4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque l’on :
1. permute 2 lignes interprétation physique
2. permute 2 colonnes
3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne
4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne
bxA
Question fondamentaleA quelles conditions l’équation Ax = b admet-elle une solution unique ?
Théorème
Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F)
corollaire