as superiores (calculo)1.1

Introduccion a las Matematicas Superiores

Material elaborado por

Salomon Alarcon

con la colaboracion de

Florentino Baeza

Sergio BarrientosBernardo Leon de la Barra

hola

II

Prefacio

Estimado alumno, el presente texto ha sido creado con el objetivo de guiar tu estudio

teorico de los contenidos que seran evaluados en los certamenes del curso Introduccion a

las Matematicas Superiores. Recuerda que este no es un texto de matematica formal, por lo

que si deseas profundizar mas en el estudio de los temas aquı tratados, te sugerimos que

revises la bibliografıa que hemos recomendado en el Programa del Curso.

Es nuestro deseo que este texto sea una verdadera ayuda en tu preparacion para rendir

tu cuarto certamen y mas adelante el examen global, recordandote de paso que el exito que

puedas tener en este curso dependera exclusivamente de tu esfuerzo. Suerte.

Tus Profesores de MAT-001.

III

hola

IV

Indice general

Prefacio III

Indice general V

I Matematica elemental I 1

1. Introduccion al sistema numerico real 3

1.1. Numeros naturales, enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3. Los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Razones, proporciones y porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.5. Tanto por ciento. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1. El cuerpo de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . 24

1.3.3. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.4. Otras propiedades de orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.6. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V

INDICE GENERAL

2. Algebra elemental I 37

2.1. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1. Valoracion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2. Adicion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.3. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.4. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.5. Factorizacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.6. Simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.7. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita . . . 43

2.2.2. Analisis sobre las soluciones de una ecuacion de la forma ax+b= 0 . 44

2.2.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . 45

2.3. Inecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita . . 48

2.3.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 49

2.4. Resolucion de problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A. Polinomios 57

A.1. Definicion de Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.2. Operaciones con Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.2.1. Adicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.2.2. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.2.3. Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.2.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.3. Definiciones y teoremas importantes sobre polinomios. Teorema del Resto . 63

A.4. Raıces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.4.1. Raıces de un polinomio y teoremas relacionados . . . . . . . . . . . . 65

A.4.2. Relacion entre los coeficientes de una ecuacion P (x) = 0 y sus raıces 69

B. Numero factorial y aplicaciones 73

B.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.2. Permutaciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VI

INDICE GENERAL

B.3. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.4. Algunas expresiones combinatoriales notables . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.5. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

VII

INDICE GENERAL

VIII

Parte I

Matematica elemental I

1

Capıtulo 1

Introduccion al sistema numerico real

1.1. Numeros naturales, enteros y racionales

1.1.1. Los numeros naturales

El conjunto de los numeros naturales es el conjunto numerico mas elemental y lo denotamos

por N. Sus elementos son los numeros utilizados para enumerar o indicar una cantidad

de objetos, es decir:N = {1, 2, 3, . . .}.

• Operatoria en N

En N se pueden efectuar las cuatro operaciones basicas, con restricciones para la

sustraccion y la division. En efecto:

(m+ n ∈ N ∧ m · n ∈ N) (∀m,n ∈ N).

Por otro lado, si m,n ∈ N, entonces

m− n ∈ N⇔ m > n ∧ m÷ n ∈ N⇔ ∃p ∈ N tal que p · n = m.

Tambien es conveniente tener en cuenta que en la expresion

I m+n, m y n son los sumandos, mientras que el resultado de la adicion se llama suma.

I m · n = mn, m y n son los factores, mientras que el resultado de la multiplicacion se

llama producto.

I m− n, m es el minuendo y n el sustraendo, mientras que el resultado de la sustraccion

se llama resta.

I m ÷ n = m : n =m

n, m es el dividendo y n el divisor, mientras que el resultado de la

division se llama cuociente.

3

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL

• Prioridad de la operatoria

La operatoria matematica sigue cierto orden de resolucion:1o) Multiplicaciones y/o Divisiones

2o) Adiciones y/o SustraccionesEn caso de que existan parentesis estos se han de resolver antes que todo partiendo desde

el que esta mas al interior hacia el mas exterior.

• Numeros cardinales

La union entre el conjunto de los numeros naturales y el cero origina un nuevo conjunto

llamado conjunto de los numeros cardinales, el cual denotamos por N0. Luego,

N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.

• Algunas observaciones en N0

1a) 0 es el elemento neutro aditivo en N0, pues

0 + a = a, ∀a ∈ N0.

2a) 1 es el elemento neutro multiplicativo en N0, pues

1 · a = a, ∀a ∈ N0.

3a) La division por 0 no esta definida en N0.

4a) La adicion y la sustraccion son operaciones inversas. En efecto,

a = a+ b− b, pues b− b = 0 que es el neutro aditivo.

5a) La multiplicacion y la division son operaciones inversas. En efecto,

a = a · b÷ b, pues b÷ b = 1 que es el neutro multiplicativo.

6a) 0 es el elemento absorbente para la multiplicacion en N0, pues

0 · a = 0 ∀a ∈ N0.

EJERCICIOS 1.1.1

1. Si b� a = 3a(1 + b) + 2b(a− 1), calcular el valor de 2� 4.

2. Sea c = [(2a+ 30) : a]. ¿Para que valor de a el numero c no pertenece a N0?

3. La empresa CIBER adquirio 40 computadores a $150 000 cada uno. Si vendio los

quince primeros a $170 000 y los quince siguientes a $160 000. ¿A cuanto se deben

vender los restantes para que la ganancia obtenida por la empresa sea de $160 000?

4. Javier tiene 8 anos menos que Ana. En 7 anos mas, sus edades sumaran 42 anos.

¿Que edad tiene Ana actualmente?

4

1.1. NUMEROS NATURALES, ENTEROS Y RACIONALES

• Algoritmo de division

Sean p, q ∈ N0, con q 6= 0. Entonces ∃c, r ∈ N0 con 0 6 r < q tales que:

p = q · c+ r ⇔ p : q = c

r��

Aquı r se conoce como el resto de la division.

EJERCICIOS 1.1.2

1. Si un numero natural mayor que 8 es dividido por 9, ¿cuales son los posibles restos?

2. Si hoy es Lunes, ¿que dıa sera dentro de 39 dıas?

• Lenguaje algebraico elemental

Sea n un numero natural. Entonces:

I El sucesor de n es n+ 1.

I El antecesor de n es n− 1.

I . . ., n− 2, n− 1, n, n+ 1, n+ 2,. . . son numeros consecutivos.

I 2n es siempre un numero natural par.

I 2n± 1 es siempre un numero natural impar.

I El sucesor par de 2n es 2n+ 2.

I El antecesor impar de 2n+ 1 es 2n− 1.

I . . ., 2n− 4, 2n− 2, 2n, 2n+ 2, 2n+ 4,. . . son numeros pares consecutivos.

I . . ., 2n− 3, 2n− 1, 2n+ 1, 2n+ 3, 2n+ 5,. . . son numeros impares consecutivos.

EJERCICIOS 1.1.3

1. La suma de tres numeros pares consecutivos es 240. ¿Cuales son los numeros?

2. La suma de tres numeros naturales consecutivos es 93. ¿Cuales son los numeros?

• ∗Potencias de base real y exponente natural

DEFINICION: Sea a ∈ R y n ∈ N. Llamamos n-esima potencia de a al producto que se obtiene

de multiplicar n veces a por sı mismo, el cual denotamos por an; es decir:

an = a · a · a · . . . · a︸︷︷︸a es factor n veces

El numero a se llama base y el numero n se llama exponente.

5


•Multiplicidad y divisibilidad. Factores y divisores

DEFINICION 1.1.1 Sean a, b, c ∈ N0. Si a = b · c, entonces decimos que a es un multiplo

de b y de c. En este caso decimos que b y c son factores de a.

DEFINICION 1.1.2 Sean a, b, c ∈ N0. Si b 6= 0 y a : b = c, entonces decimos que a es

divisible por b y por c. En este caso decimos que b y c son divisores de a.

• Algunas reglas de divisibilidad

Un numero natural es divisible por

2 si termina en cifra par

3 si la suma de sus cifras es un multiplo de tres

4 si sus dos ultimas cifras forman un multiplo de cuatro

5 si termina en cero o cinco

6 si es divisible por dos y por tres a la vez

7 si la diferencia entre el doble de su ultima cifra y el numero formado por las cifrasrestantes es un multiplo de siete

8 si sus tres ultimas cifras forman un multiplo de ocho

9 si la suma de sus cifras es un multiplo de nueve

10 si termina en cero

11 si la diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y las cifrasubicadas en los lugares impares es un multiplo de once

EJERCICIOS 1.1.4

1. ¿Cual debe ser el valor del dıgito α para que 9α5 sea divisible por 11?

2. Si D(n) representa el conjunto de los divisores cardinales de n; entonces ¿D(12)=?

3. ¿Cuales son los divisores de 387?

• Numeros primos, compuestos y factorizacion

DEFINICION 1.1.3 Llamamos numero primo a cualquier numero natural distinto del uno

cuyos unicos divisores son el propio numero y el uno.

Por ejemplo, son numeros primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, . . .

DEFINICION 1.1.4 Llamamos numero compuesto a cualquier numero natural distinto de

uno que posea mas de dos divisores.

6


Por ejemplo, son numeros compuestos:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, . . .

TEOREMA 1.1.1 Todo numero compuesto se puede expresar de manera unica como el

producto de factores primos.

EJERCICIOS 1.1.5

1. Descomponer en factores primos el numero 3.528.

2. Si n representa un numero primo, entonces ¿que tipo de numero es n3?

3. Si mi edad es la suma del sucesor primo de 14, mas el antecesor compuesto de 14,

entonces ¿que edad tengo?

4. La suma de cuatro numeros naturales consecutivos es 126. ¿Cual de ellos es primo?

•Mınimo comun multiplo (m.c.m.) y maximo comun divisor (M.C.D.)

DEFINICION 1.1.5 El mınimo comun multiplo (m.c.m.) entre dos o mas naturales es el

menor multiplo natural que ellos tengan en comun.

Para calcular el m.c.m. entre dos o mas numeros naturales, descomponemos los

numeros involucrados en factores primos; luego, escogemos los factores primos comunes

y no comunes con el mayor exponente observado entre todas las descomposiciones

realizadas. El producto de todos los factores primos escogidos previamente, con su

respectivo mayor exponente, corresponde al m.c.m. entre los numeros. Por ejemplo, el

m.c.m. entre 23 · 32 · 53 · 7 y 22 · 54 · 72 · 13 es: 23 · 32 · 54 · 72 · 13.

DEFINICION 1.1.6 El maximo comun divisor (M.C.D.) entre dos o mas naturales es el mayor

divisor natural que ellos tengan en comun.

Para calcular el M.C.D. entre dos o mas numeros naturales, descomponemos los

numeros involucrados en factores primos; luego, escogemos los factores primos comunes

con el menor exponente observado entre todas las descomposiciones realizadas. El producto

de todos los factores primos escogidos previamente, con su respectivo menor exponente,

corresponde al M.C.D. entre los numeros. Por ejemplo, el M.C.D. entre 23 · 32 · 53 · 7 y

22 · 54 · 72 · 13 es: 22 · 53 · 7.

EJERCICIOS 1.1.6

1. Un hombre comienza contando de 4 en 4 y otro comienza contando de 6 en 6.

¿Que numero repiten por primera vez?

7


2. La empresa VOLARE S.A. fabrica pelotas de playa. Cada mes entrega pelotas a los

supermercados NANDU (180 pelotas), PAVO (240 pelotas) y GALLINA(400 pelotas).

Si VOLARE envıa a cada supermercado las pelotas en una cantidad exacta de cajas

completas de igual capacidad, ¿cuantas pelotas debe contener cada caja para que la

cantidad de cajas enviadas sea mınima?

3. Encuentra dos numeros tales que el m.c.m y el M.C.D. entre ellos sean

respectivamente 36 y 6.

1.1.2. Los numeros enteros

El conjunto de los numeros enteros se denota por Z y esta dado por:

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Algunos subconjuntos notables de Z son los siguientes:

I Los numeros enteros positivos, conjunto denotado por Z+, y que esta dado por

Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N

I Los numeros enteros negativos, conjunto denotado por Z−, y que esta dado por

Z− = {. . . ,−3,−2,−1}

I Los numeros enteros no positivos, conjunto denotado por Z−0 y que esta dado por

Z−0 = Z− ∪ {0}

I Los numeros enteros no negativos, conjunto denotado por Z+0 y que esta dado por

Z+0 = Z+ ∪ {0} = N0

Los numeros enteros se pueden representar mediante puntos a igual distancia sobre una

recta como en la figura a continuacion:

• ∗Potencias de base real y exponente entero

DEFINICION 1.1.7 Sea a ∈ R y sea n ∈ N. Se define la n-esima potencia de a, la cual

denotamos por an, como sigue:

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n veces a

Si a 6= 0, (a−1)n = a−1 · a−1 · . . . · a−1︸︷︷︸n veces a−1

=1

a· 1

a· . . . · 1

a= a−n

8


• Propiedades que cumplen las potencias

Sean n,m ∈ Z y sean a, b ∈ R. Entonces

1. Potencias de base 0 y 1

0n = 0 ∀n ∈ N 1n = 1 ∀n ∈ Z

2. Multiplicacion de potencias de igual base

an · am = an+m

3. Division de potencias de igual base

an : am = an−m, con a 6= 0

En particular,

a0 = 1, con a 6= 0 ∧ a1 = a

4. Multiplicacion de potencias de igual exponente

an · bn = (ab)n

5. Division de potencias de igual exponente

an : bn = (a : b)n

6. Potencia de una potencia

(an)m = an·m

OBSERVACION 1.1.1 ll Sean n,m ∈ Z. Se verifican las siguientes propiedades:

• (∀a, b ∈ R \ {0})((a

b

)−n

=( ba

)n)

• (∀a, b ∈ R)

(b 6= 0 ∧ n > 0⇒ an

bn=(ab

)n)

• (∀a ∈ R)(a > 0⇒ an > 0)

• (∀a ∈ R)(a > 0⇒ (an = am ⇔ m = n)

)• (∀a ∈ R)(a > 1 ∧ m > n > 0⇔ am > an)

• (∀a ∈ R)(0 < a < 1 ∧ m > n > 0⇔ an > am)

• (∀a ∈ R)(n es par ∧ a 6= 0⇒ an > 0).

• (∀a ∈ R)

({n es impar ∧ a > 0⇒ an > 0

n es impar ∧ a < 0⇒ an < 0

)

9


EJERCICIOS 1.1.7 ll

1. Calcule

a) 25 = b) 03 = c) (−1)4 = d) (30 − 13)−2 = e) (−1)n = f)53 · 45

102 · 26=

2. Simplifique

a) [23 · 22) · 35]4 = b)[( 1

−7

)3]−1

= c)23 + 2−3

43 + 1= d) − (−2)3 − (−2)2 =

3. Encuentre los valores de n que permiten verificar la igualdad

32 · 3n = 35

4. Un pliego de papel de 2 mm de grueso se dobla por la mitad. Sobre el doblez, se

vuelve a doblar el pliego por la mitad y ası sucesivamente. ¿Cual es la altura maxima

que puede alcanzar el pliego papel despues de 20 dobleces?

1.1.3. Los numeros racionales

El conjunto de los numeros racionales se denota por Q y esta dado por:

Q ={ab/ a, b ∈ Z ∧ b 6= 0

}.

La expresiona

b, con b 6= 0, se denomina fraccion y esta se compone de dos partes: a que se

llama numerador, y b, que se llama denominador.

OBSERVACION 1.1.2a

1= a y

a

0no esta definido.

• Comparacion entre numeros racionales

Seana

b,c

d∈ Q. Entonces

a

b=c

d

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇔∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−a · d = b · c

Si ademas b, d ∈ Z+, entoncesa

b>c

d

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇔∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−a · d > b · c a

b<c

d

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇔∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−a · d < b · c

• Amplificacion y simplificacion de fracciones

Seana

b,c

d∈ Q. Entonces

a · nb · n

=a

b,

∣∣∣∣ ||∣∣∣∣||∀n ∈ Z \ {0}

anbn

=a

b,

∣∣∣∣ ||∣∣∣∣||∀n ∈ Z \ {0}

10


OBSERVACION 1.1.3 Para muchos efectos es conveniente igualar los denominadores de

las fracciones. Lo hacemos usando el concepto de m.c.m. y amplificamos y/o

simplificamos.

EJEMPLO 1.1.1 Si queremos ordenar de mayor a menor las fracciones

2

3,5

6,3

4

una buena forma de hacerlo es igualando los denominadores y comparar los numeradores

obtenidos. Como m.c.m.(3, 6, 4) = 12, amplificamos cada fraccion convenientemente para

que todos los denominadores sean 12, ası obtenemos:

2

3=

2 · 43 · 4

=8

12;

5

6=

5 · 26 · 2

=10

12;

3

4=

3 · 34 · 3

=9

12

Por lo tanto, como 8 < 9 < 10, concluimos que:

2

3<

3

4<

5

6.

EJERCICIOS 1.1.8 ll

1. Simplifica

a)8 · 6 · 21

9 · 16 · 14= b)

25 · 32

100=

2. Compara las siguientes fracciones y ordenalas de menor a mayor

a)3

4,7

8,5

6b)

21

12,7

4,35

20c)

10

9,5

7,3

6

3. Simplifica las siguientes expresiones

a) (x−3)2 = b)(5

3

)4

· 33

20·(15

4

)−1

=

4. Calcula

a)(√

34 − 23 + 5−1

)(40−3·3−1)= c) (2−1 + 3−1)(2−1 − 3−1) + (2−1 · 20)−4 : 23 =

b)(34 + 33)2

93= d)

(53 + 53 + 53)2

153=

5. Encuentra el valor de n que permite verificar la igualdad

a) (22 : 4) · 2n = 4 b) 2−1 · 2n + 4 = 9 · 25

11


• Fracciones propias e impropias

Sean a, b ∈ N. Entonces:

a < b

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇒∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

a

bes una fraccion propia

a > b

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇒∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

a

bes una fraccion impropia

OBSERVACION 1.1.4 Toda fraccion impropia se puede escribir como numero mixto. Por

ejemplo:42 : 9 = 4

6��

Luego, tenemos que42

9= 4

6

9(notar que 4 · 9 + 6 = 42) ∧ 42

9=

42 : 3

9 : 3=

14

3= 4

2

3⇒ 4

6

9= 4

2

3.

• Operatoria en Q

En Q se pueden efectuar las cuatro operaciones basicas, salvo la division por 0. En efecto:(ab

+c

d∈ Q ∧ a

b− c

d∈ Q ∧ a

b· cd∈ Q ∧ c

d6= 0⇒ a

b:c

d∈ Q

) (∀ab,c

d∈ Q

).

I ADICION Y SUSTRACCION

Seana

b,c

d∈ Q, entonces ∣∣∣∣−−

∣∣∣∣−−

a

b+c

d=ad+ bc

bd

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

OBSERVACION 1.1.5 Una forma de sumar dos o mas fracciones es encontrando el mınimo

comun multiplo (m.c.m.) entre los denominadores de todas las fracciones.

EJEMPLO 1.1.23

5+

4

15− 5

6=

3·6 + 4·2− 5·530

Notar que m.c.m(5, 15, 6) = 30.

IMULTIPLICACION

Seana

b,c

d∈ Q, entonces ∣∣∣∣−−

∣∣∣∣−−

a

b· cd

=ac

bd

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

12


I DIVISION

Seana

b,c

d∈ Q, con

c

d6= 0, entonces∣∣∣∣−−

∣∣∣∣−−

a

b:c

d=ad

bc

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

• ∗Lenguaje basico

Sea r ∈ Q. Entonces:

I El inverso aditivo (u opuesto) de r es −r

I El inverso multiplicativo (o recıproco) de r es1

r

I La mitad de r es1

2· r =

r

2

I Un tercio de r es1

3· r =

r

3

I Cuatro quintos de r es4

5· r =

4r

5

I La sexta parte de r es1

6· r =

r

6

OBSERVACION 1.1.6 Recordar que sia

b∈ Q y m ∈ Z, entonces∣∣∣∣−−

∣∣∣∣−−m · a

b=m

1· ab

=ma

b

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

• Transformacion de un numero decimal a fraccion

Decimal finito a fraccion

Se escribe en el numerador el numero completo pero sin la coma, y se escribe en el

denominador un 1 acompanado de tantos ceros como decimales tiene el numero

original. Por ejemplo:

0, 075 =75

1000=

25 · 325 · 40

=3

40.

Decimal periodico a fraccion

Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y la parte

entera del numero original, y se escribe en el denominador igual cantidad de nueves que

la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original. Por ejemplo:

3, 12 =312− 3

99=

309

99=

3 · 103

3 · 33=

103

33.

13


Decimal semiperiodico a fraccion

Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y el

numero que antecede al perıodo, sin la coma, y se escribe en el denominador igual

cantidad de nueves que la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original

acompanado de tantos ceros como cifras tiene el anteperıodo. Por ejemplo:

0, 2135 =2135− 21

9900=

2114

9900=

2 · 1057

2 · 4950=

1057

4950.

EJERCICIOS 1.1.9

1. Calcula

a)2

3· −3

5:

4

5−(− 1− 1

−4

)+

2

5· 10

4: 2 b) 4−

1− 1

3

1− 2

1− 2

5

c)

2

3· 15

8− 3

41

2− 1

3

d) 0, 27 + 0, 45

2. En una biblioteca existen 210 libros dedicados a cuatro ramas: Ciencias Naturales,

Historia, Matematicas y Lenguaje. Un tercio de los libros estan dedicados a Lenguaje,

tres septimas partes a Historia, y la sexta parte a Matematica. ¿Cuantos libros estan

dedicados a Ciencias Naturales?

3. Calcula

a)2

3:

5

6· 12

15−(2

3− 1

4:

5

4

)− 2

2

5b)

1

2−

2− 3

4

3− 1

4

c)

4

5· 25

2− 3

4:

6

82

5:

3

10− 1

3· 6

4

d) 0, 3 · 0, 15

4. Pedro desea comprar 2 kilogramos de cacao. Regresa desde un supermercado con

5 paquetes de1

8kg., 3 de

1

4kg. y 1 de

1

2kg. ¿Cuantos kilogramos le faltaron para

completar los 2 kilogramos?

14

1.2. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE

1.2. Razones, proporciones y porcentaje

1.2.1. Razones

DEFINICION 1.2.1 Una razon entre dos cantidades es una comparacion por cuociente

entre ellas. Si a y b son las cantidades y queremos comparar a con respecto a b mediante

una razon, escribimos

a : b oa

by leemos: “a es a b”. En este caso, a se denomina antecedente y b se denomina consecuente.

EJERCICIOS 1.2.1 ll

1. En una granja hay patos, gallinas y pavos que suman en total 600 aves. Si hay 240

patos y la razon entre los pavos y las gallinas es 7 : 3, entonces ¿cuantos pavos hay

en la granja?

2. Camila es 4 anos mayor que Javiera. Si actualmente sus edades estan en la razon

3 : 5, ¿que edad tiene Camila?

1.2.2. Proporciones

DEFINICION 1.2.2 Una proporcion es una igualdad entre dos razones. Si las razones

iguales son a : b y c : d, entonces escribimos

a : b = c : d oa

b=c

d

y leemos: “a es a b como c es a d”; a y d se denominan extremos; b y c se denominan medios.

• Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporcion el producto de los medios es igual al producto de los extremos; ası:

a : b = c : d

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇔∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

a

b=c

d

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−⇔∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−ad = bc.

OBSERVACION 1.2.1 La proporcion a : b = c : d puede ser vista como una igualdad entre

fracciones. Desde este punto de vista:

I existe una constante k que corresponde al valor numerico del cuociente entre a y b (o

entre c y d). Mas aun,a = kb y c = kd.

15


La constante k se denomina constante de proporcionalidad.

I existe una nueva proporcion, a saber:a

a+ b=

c

c+ d.

OBSERVACION 1.2.2 Cuando tenemos una igualdad entre mas de dos razones hablamos

de serie de razones. Por ejemplo: a : x = b : y = c : z son tres razones iguales, esto se puede

escribir en forma compacta como sigue:

a : b : c = x : y : z.

En particular lo siguiente vale:a+ b+ c

x+ y + z=a

x=b

y=c

z= k.

EJERCICIOS 1.2.2 ll

1. Hallar el valor de x en la proporcion5

2x+ 5=

3

x+ 4.

2. Las edades de Juan, Diego y Alonso estan en la razon 3 : 5 : 4. Si sus edades suman

96 anos, ¿que edad tiene Alonso?

1.2.3. Proporcionalidad directa

SiA yB representan dos magnitudes o valores variables, diremos queA es directamente

proporcional a B si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon de los

correspondientes valores de B.

Equivalentemente, dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si el coeficiente

entre ellas es constante. Este coeficiente, que denotamos k, corresponde a la constante de

proporcionalidad.

EJEMPLO 1.2.1 Si cada uno de los DVD’s de una coleccion de un total de 20 cuesta $2.500,

podemos escribir una tabla de precios que indique los valores de 1, 2, 3, . . . , 20 DVD’s.

Numero de DVD’s 1 2 3 . . . 20

Precio en $ 2.500 5.000 7.500 . . . 50.000

Claramente, el numero de DVD’s es directamente proporcional con el precio que se paga

por ellos. Aquı la constante de proporcionalidad es1

2500= 0, 0004.

OBSERVACION 1.2.3 Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar

(o dividir) una magnitud por una cantidad dada, la otra queda multiplicada (o dividida)

respectivamente por la misma cantidad.

16


• Representacion grafica de dos variables directamente proporcionales

Si A y B son dos magnitudes directamente proporcionales, de manera queA

B= k,

donde k es la constante de proporcionalidad entre A y B, entonces en particular A = k ·B.

Luego, podemos representar esta situacion en un grafico en forma de recta (o puntos sobre

una recta) que parte en el origen y tiene pendiente k. En general, si

A

B=a1

b1=a2

b2=a3

b3= . . . =

an

bn= k,

entonces el grafico asociado serıa como el de la figura a continuacion:

EJERCICIOS 1.2.3 ll

1. Si m cuadernos de un mismo tipo cuestan $P . ¿Cuanto costaran n de esos mismos

cuadernos?

2. Si A varıa proporcionalmente con respecto a B, entonces de acuerdo a la tabla, ¿cual

es el valor de2

5y − x2?

A x 7 12

B 15 35 y

1.2.4. Proporcionalidad inversa

SiA yB representan dos magnitudes o valores variables, diremos queA es inversamente

proporcional a B si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon inversa

de los correspondientes valores de B.

Equivalentemente, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto

entre ellas es constante. Este producto, que denotamos k, corresponde a la constante de

proporcionalidad inversa.

17


EJEMPLO 1.2.2 Si 8 obreros realizan un trabajo en 400 dıas, es evidente que mientras mas

obreros comiencen a trabajar, menos dıas se demoraran en realizar el mismo trabajo; luego,

podemos escribir una tabla que muestre esta situacion

Numero de Obreros 8 10 16 . . . 32

Dıas de trabajo 400 320 200 . . . 100

Claramente, el numero de obreros es inversamente proporcional a los dıas trabajados para

terminar la obra. En el caso particular del ejemplo, la constante de proporcionalidad es

8 · 400 = 10 · 320 = 16 · 200 = . . . = 3.200.

OBSERVACION 1.2.4 Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar

(o dividir) una magnitud por una cantidad dada, la otra queda dividida (o multiplicada)

respectivamente por la misma cantidad.

• Representacion grafica de dos variables inversamente proporcionales

Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, de manera que A · B = k,

donde k es la constante de proporcionalidad inversa entre A y B, entonces en particular

A =k

B. Luego, podemos representar esta situacion en un grafico en forma de una

hiperbola equilatera (o puntos sobre tal curva). En general, si

A ·B = a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = an · bn = k,

entonces el grafico asociado serıa como el de la siguiente figura a continuacion:

EJERCICIOS 1.2.4 ll

1. Se sabe que las variables A y B son inversamente proporcionales y que cuando A

vale 40, B vale 60. Cuando B vale 80, ¿cuanto vale A?

2. Si 6 obreros pintan una casa en 20 dıas. ¿En cuantos dıas pintan la misma casa 12

obreros?

18


1.2.5. Tanto por ciento. Porcentaje

La expresion matematica p% se lee “p por ciento” y equivale a la razonp

100.

Por otro lado, el porcentaje corresponde a un termino del caso particular de una

proporcionalidad directa de la forma:∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

a

c=

p

100

∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

Especıficamente, en la proporcion previa a es el porcentaje, c es la cantidad de referencia y p

es el tanto por ciento.

OBSERVACION 1.2.5 La frase: “el p% de c es a” se interpreta comop

100· c = a.

TABLA DE PORCENTAJES NOTABLES

Tanto por ciento de c Fraccion irreductible Decimal

1 % de c1|

100|· c 0, 01 · c

10 % de c1|

10|· c 0, 1 · c

12, 5 % de c1|

8|· c 0, 125 · c

20 % de c1|

5|· c 0, 2 · c

25 % de c1|

4|· c 0, 25 · c

33, 3 % de c1|

3|· c 0, 3 · c

50 % de c1|

2|· c 0, 5 · c

66, 6 % de c2|

3|· c 0, 6 · c

75 % de c3|

4|· c 0, 75 · c

EJERCICIOS 1.2.5 Encuentra el valor de x que corresponda

a)x es el 15 % de 80 b) El x% de 45 es 15 c) El 40 % de x es 350

19


• Aumento porcentual

Sea c una cantidad fija. Si aumentamos c en su p%, obtenemos:∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−c ·(

1 +p

100

)∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

• Disminucion porcentual

Sea c una cantidad fija. Si disminuimos c en su p%, obtenemos:∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−c ·(

1− p

100

)∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

• Reajuste

Una cantidad c a la cual se le aplica un reajuste de un d% corresponde a un aumento

porcentual si d > 0, o a una disminucion porcentual si d < 0 (o bien al hecho que se

diga que el reajuste es negativo).

EJERCICIOS 1.2.6 ll

1. Un tienda esta liquidando desde hoy todos sus productos de ropa en un 20 % por fin

de temporada. Si la tienda tiene una polera a $30.000, ¿cuanto costaba esta ayer?

2. El dueno de una empresa decide subir los sueldos de sus empleados en un 12, 5 %. Si

uno de sus empleados gana $120.000 mensuales, ¿cual sera su nuevo sueldo

mensual?

• Porcentajes sucesivos

El a% del b% de una cantidad c corresponde a la cantidad∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

a

100· b

100· c∣∣∣∣−−∣∣∣∣−−

EJERCICIOS 1.2.7 ll

1. El a% del 22 % de 600 es 2046. ¿Cuanto vale a?

2. El 10 % del 15 % de x es 450. ¿Cuanto vale la mitad de x?

20

1.3. LOS NUMEROS REALES

1.3. Los numeros realesDesde la perspectiva de las aplicaciones y de la resolucion de problemas, el conjunto

numerico de mayor relevancia es el de los numeros reales, que denotamos por R , debido

a la gran cantidad de propiedades que cumple, a saber: axiomas de cuerpo , axiomas de

orden y el axioma de completitud. Ademas, este conjunto numerico posee un fuerte caracter

geometrico ya que puede ser representado por medio de una recta, la cual llamamos recta

numerica real: a cada punto de una recta se le asocia un unico numero real.

Algunos subconjuntos notables de R y sus notaciones son:

N = {1, 2, 3, . . .} denota al conjunto de los numeros naturales.

N0 = N ∪ {0} denota al conjunto de los numeros cardinales.

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} denota al conjunto de los numeros enteros.

Q ={

pq

: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0}

denota al conjunto de los numeros racionales.

Q′ = I = denota al conjunto de los numeros irracionales (por ejemplo:√

2,√

3, π, e).

OBSERVACION 1.3.1 Recordar que

Ademas:

Q ∩Q′ = ∅ y Q ∪Q′ = R.

Conviene aclarar en este momento lo siguiente: Q contiene a todos los numeros decima-

les con representacion fraccionaria (numeros con una cantidad finita de decimales o con

una cantidad infinita periodica o semiperiodica de decimales), mientras que Q′ contiene a

todos los numeros con infinitos decimales no periodicos. �

Representacion de los numeros reales en la recta numerica

Notar que si uno comienza a ubicar todas las fracciones racionales en la recta, visualmente

da la impresion de que uno logra cubrir toda la recta; sin embargo, esto dista mucho de

21


ser cierto, pues faltan aun todos los numeros irracionales, los cuales son muchos mas que

los racionales. Esto ultimo se puede chequear facilmente de la siguiente forma. Se sabe

que un numero racional mas uno irracional es otro numero irracional. Luego, como√

2 es

irracional (se probara mas adelante), tambien lo es r +√

2, donde r es cualquier

racional; por lo tanto hay al menos igual cantidad de irracionales que de racionales.

Pero tambien es irracional√

3, de manera que r+√

3, tambien es irracional para cualquier r

racional; por lo tanto hay al menos el doble de numeros irracionales que de

racionales. Mas generalmente, se sabe que√p, con p un numero natural primo, es

tambien un numero irracional, entonces considerando el hecho de que hay

infinitos numeros primos, tendremos que en realidad hay muchos mas numeros

irracionales que racionales.

A continuacion trataremos los axiomas de cuerpo y de orden de los numeros reales.

1.3.1. El cuerpo de los numeros reales

Consideramos en R las operaciones: adicion (+), y multiplicacion (·). El trıo (R,+, ·)denota a R dotado de estas dos operaciones y verifica las siguientes propiedades:

PARA LA ADICION EN R

(A0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a+ b ∈ R)

(A1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a+ b = b+ a)

(A2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)

(a+ (b+ c) = (a+ b) + c

)(A3) Existencia de un elemento neutro aditivo (el cero):

(∃0 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(0 + a = a+ 0 = a)

(A4) Existencia de un elemento inverso aditivo:

(∀a ∈ R)(∃(−a) ∈ R

)tal que

(a+ (−a) = (−a) + a = 0

).

22


PARA LA MULTIPLICACION EN R

(M0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a · b ∈ R)

(M1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a · b = b · a)

(M2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)

(a · (b · c) = (a · b) · c

)(M3) Existencia de un elemento neutro multiplicativo (el uno):

(∃1 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(1 · a = a · 1 = a)

(M4) Existencia de un elemento inverso multiplicativo salvo para el neutro aditivo:

(∀a ∈ R \ {0})(∃a−1 ∈ R \ {0}) tal que(a · a−1 = a−1 · a = 1

)PARA LA MULTIPLICACION CON RESPECTO A LA ADICION EN R

(MA) Distributividad de la multiplicacion con respecto a la adicion:

(∀ a, b, c ∈ R)(a · (b+ c) = (b+ c) · a = a · b+ a · c

)Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de cuerpo en R. Ellas se aceptan y

no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.

OBSERVACION 1.3.2 Las propiedades (A0)-(A4) constituyen un grupo conmutativo sobre

el par (R,+); las propiedades (M0)-(M4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par

(R \ {0}, ·). y ademas tenemos la propiedad (MA). En consecuencia, el trıo (R,+, ·) posee

la estructura algebraica conocida como cuerpo.

OBSERVACION 1.3.3 La propiedad (A4) (Existencia de un elemento inverso aditivo) nos

permite definir la operacion sustraccion en R, la cual denotamos por el signo −, de la

siguiente manera:

(∀a, b ∈ R)(a− b = a+ (−b)).

OBSERVACION 1.3.4 La propiedad (M4) (Existencia de un elemento inverso

multiplicativo, salvo para el cero) nos permite definir la operacion division en R \ {0},la cual denotamos por el signo :, de la siguiente manera:

(∀a, b ∈ R, b 6= 0)(a : b = a · b−1)

entendiendo que si b 6= 0, b−1 =1

by a · b−1 = a · 1

b=a

b.

OBSERVACION 1.3.5 Sea a ∈ R. Es usual escribir a2 = a · a.

23


1.3.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales

A partir de los axiomas de cuerpo, y usando las reglas de la logica proposicional,

podemos obtener otras propiedades que cumplen los numeros reales:

1. [0 es elemento absorbente multiplicativo] (∀a ∈ R)(a · 0 = 0)

Demostracion.

Sea a ∈ R. Tenemos:a · 0 = a · 0 + 0 Prop. elem. neutro aditivo

= a · 0 + (a+ (−a)) Prop. elem. inverso aditivo

= (a · 0 + a) + (−a) Prop. asociativa

= (a · 0 + a · 1) + (−a) Prop. elem. neutro multiplicativo

= a · (0 + 1) + (−a) Prop. distributiva

= a · 1 + (−a) Prop. elem. neutro aditivo

= a+ (−a) Prop. elem. neutro multiplicativo

= 0 Prop. elem. neutro aditivo. �2. 1 6= 0

Demostracion.

Sea a ∈ R tal que a 6= 0. Probaremos que 1 6= 0 por reduccion al absurdo, esto es,

probaremos que la negacion de este hecho es una contradiccion.

Si 1 = 0, entonces como el 1 es neutro aditivo y 0 es elemento absorbente, tenemos

que a = a · 1 = a · 0 = 0. Pero esto es una contradiccion con el hecho que a 6= 0. La

contradiccion viene de suponer que 1 = 0; por lo tanto, 1 6= 0. �

3. [Unicidad del elemento neutro aditivo]

(∀a ∈ R)(∃!(−a) ∈ R)(a+ (−a) = (−a) + a = 0

)Demostracion.

Sea a ∈ R. Supongamos que existe un elemento a ∈ R tal que a + a = a + a = 0.

Debemos probar que a = (−a).

Tenemos:a = a+ 0 Prop. elem. neutro aditivo

= a+(a+ (−a)

)Prop. elem. inverso aditivo

=(a+ a

)+ (−a) Prop. asociativa

= 0 + (−a) Por la hipotesis a+ a = 0

= (−a) Prop. elem. neutro aditivo. �

24


4. [Unicidad del elemento neutro multiplicativo]

(∀a ∈ R \ {0})(∃!(a−1) ∈ R \ {0})(a · a−1 = a · a−1 = 1

)Demostracion.

Sea a ∈ R \ {0}. Partimos probando que a−1 6= 0. Lo hacemos por reduccion al

absurdo, esto es, probaremos que la negacion de este hecho es una contradiccion.

Si a−1 = 0, entonces como 0 es elemento absorbente tendremos a · a−1 = 0. Por otro

lado, como a−1 es el inverso multiplicativo de a, entonces a · a−1 = 1. Concluimos

que 1 = a · a−1 = 0, lo cual es una contradiccion pues 1 6= 0. La contradiccion viene

de suponer que a−1 = 0; por lo tanto, a−1 6= 0.

Ahora, supongamos que existe un elemento a ∈ R tal que a · a = a · a = 1. Debemos

probar que a = a−1.

Tenemos:

a = a · 1 Prop. elem. neutro multiplicativo

= a ·(a · a−1

)Prop. elem. inverso multiplicativo

=(a · a

)· a−1 Prop. asociativa

= 1 · a−1 Por la hipotesis a · a−1 = 1

= a−1 Prop. elem. neutro multiplicativo. �

5. (∀a, b ∈ R)(a · b = 0⇔ a = 0 ∨ b = 0)

Demostracion.

(⇒) Queremos probar que el enunciado

(∀a, b ∈ IR)(a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0)

es verdadero. Para ello argumentamos por reduccion al absurdo, esto es, probaremos

que la negacion del enunciado es una contradiccion.

Asumamos que

a · b = 0 ∧ a 6= 0 ∧ b 6= 0.

Se sigue que

a = a · 1 Prop. elem. neutro multiplicativo

= a · (b · b−1) Prop. elem. inverso multiplicativo

= (a · b) · b−1 Prop. asociativa

= 0 · b−1 Por la hipotesis a · b = 0

= 0 0 es elemento absorbente.

25


Concluimos que a = 0, pero por otro lado partimos suponiendo que a 6= 0. Entonces

hemos obtenido una contradiccion. Esto quiere decir que la negacion del enunciado

es falsa, y por lo tanto el enunciado es verdadero.

(⇐)

(∀a, b ∈ IR)(a = 0 ∨ b = 0⇒ a · b = 0)

es directo pues 0 es elemento absorbente. �

6. [Cancelacion aditiva] (∀a, b, c ∈ R)(a+ b = a+ c⇔ b = c)

Demostracion.

(⇒) Sean a, b, c ∈ R y asumamos que a+ b = a+ c. Entonces:

b = b+ 0 Prop. elem. neutro aditivo

= b+ (a+ (−a)) Prop. elem. inverso aditivo

= (b+ a) + (−a) Prop. asociativa

= (c+ a) + (−a) Por hipotesis a+ b = a+ c

= c+ (a+ (−a)) Prop. asociativa

= c+ 0 Prop. elem. inverso aditivo

= c Prop. elem. neutro aditivo.

(⇐) Es directa desde la definicion de igualdad. �

7. [Cancelacion multiplicativa]

(∀a, b, c ∈ R)(a 6= 0⇒ (a · b = a · c⇔ b = c)

)Demostracion.

Sean a, b, c ∈ R y asumamos que a 6= 0.

(⇒) Asumamos que a · b = a · c. Entonces:

b = 1 · b Prop. elem. neutro multiplicativo

= (a−1 · a)) · b Prop. elem. inverso multiplicativo

= a−1 · (a · b) Prop. asociativa

= a−1 · (a · c) Por hipotesis a · b = a · c= (a−1 · a)) · c Prop. asociativa

= 1 · c Prop. elem. inverso multiplicativo

= c Prop. elem. neutro multiplicativo.

(⇐) Es directa desde la definicion de igualdad. �

26


EJERCICIOS 1.3.1 Demuestra las siguientes propiedades:

a) (∀a ∈ R)((−1) · a = −a

)b) (∀a, b ∈ R)

(− (a · b) = (−a) · b = a · (−b)

)c) (−1)2 = 1

d) (∀a ∈ R)((−a)2 = a2

)e) (∀a ∈ R)

(− (−a) = a

)f) (∀a ∈ R \ {0})

((a−1)−1 = a

)g) (∀a, b ∈ R \ {0})

((ab)−1 = a−1b−1

)h) (∀a, b, c, d ∈ IR)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0⇒

[ab

=c

d⇔ a · d = b · c

])i) (∀a, b, c, d ∈ IR)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0⇒ a

b· cd

=a · cb · d

)j) (∀a, b, c, d ∈ IR)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0⇒ a

b± c

d=a · d± b · c

b · d

)k) (∀a, b, c, d ∈ IR)

(b 6= 0 ∧ c 6= 0 ∧ d 6= 0⇒ a

b:c

d=a · db · c

)1.3.3. Orden en R

Para establecer una relacion de orden en el conjunto de los numeros reales, es

conveniente considerar un subconjunto de R, denotado por R+, el cual llamaremos

conjunto de los numeros reales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes

axiomas:

(O1) Invarianza para la adicion

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a+ b ∈ R+)

(O2) Invarianza para la multiplicacion

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a · b ∈ R+)

(O3) Tricotomıa

(∀a ∈ R)(a ∈ R+ ∨ a = 0 ∨ − a ∈ R+)

Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de orden en R. Ellas se aceptan

y no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.

27


DEFINICION 1.3.1 Sean a, b ∈ R. Se definen las siguientes relaciones entre a y b:

1. Decimos que a es mayor que b, lo que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+; es decir:

(a > b)⇔ (a− b ∈ R+)

2. Decimos que a es mayor o igual que b, o equivalentemente que a no es menor que b, lo

que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+ o a = b; es decir:

(a > b)⇔ (a− b ∈ R+ ∨ a = b)

3. Decimos que a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si −(a− b) = b− a ∈ R+;

es decir:

(a < b)⇔ (b− a ∈ R+)

4. Decimos que a es menor o igual que b, o equivalentemente que a no es mayor que b, lo

que denotamos por a 6 b, si −(a− b) = b− a ∈ R+ o a = b; es decir:

(a 6 b)⇔ (b− a ∈ R+ ∨ a = b)

Desde la definicion de >, se deduce que

a ∈ R+ ⇔ a > 0.

Ademas, desde la propiedad de tricotomıa y la definicion de 6, se sigue que

a ∈ R+ ⇔ (−a 6∈ R+ ∧ a 6= 0)⇔ (−a 6 0 ∧ a 6= 0)⇔ −a < 0.

Luego, existe otro subconjunto de R, el cual denotaremos por R−, y que llamaremos

conjunto de los numeros reales negativos, como sigue

a ∈ R− ⇔ a < 0.

Es claro ahora que R− corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elementos

en R+, y que la union de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Se tiene:

R− ∪ {0} ∪R+ = R ∧ R− ∩ {0} = ∅ ∧ R+ ∩ {0} = ∅ ∧ R− ∩R+ = ∅.

28


1.3.4. Otras propiedades de orden en R

1. El par (R,6) corresponde a una relacion de orden. Esto es, verifica:

(O4) Reflexividad(∀a ∈ R)(a 6 a)

(O5) Antisimetrıa(∀a, b ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 a⇒ a = b)

(O6) Transitividad(∀a, b, c ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 c⇒ a 6 c)

Demostracion.

Para (O4). Sea a ∈ Ra = a⇒ a 6 a.

Para (O5). Sean a, b ∈ R

a 6 b ∧ b 6 a ⇒ (b− a ∈ R+ ∨ a = b) ∧ (a− b ∈ R+ ∨ b = a)

⇒ (b− a ∈ R+ ∨ a = b) ∧ (−(b− a) ∈ R+ ∨ b = a)

⇒

{(b− a ∈ R+ ∧ −(b− a) ∈ R+) ∨ (b− a ∈ R+ ∧ b = a)

∨ (a = b ∧ −(b− a) ∈ R+) ∨ (a = b ∧ b = a)

⇒ F ∨ F ∨ F ∨ a = b

⇒ a = b.

Para (O6). Sean a, b, c ∈ R

a 6 b ∧ b 6 c ⇒ (b− a ∈ R+ ∨ a = b) ∧ (c− b ∈ R+ ∨ b = c)

⇒

{(b− a ∈ R+ ∧ c− b ∈ R+) ∨ (b− a ∈ R+ ∧ b = c)

∨ (a = b ∧ c− b ∈ R+) ∨ (a = b ∧ b = c)

⇒ (c− b+ b− a ∈ R+) ∨ (c− a ∈ R+) ∨ (c− a ∈ R+) ∨ (a = c)

⇒ (c− a ∈ R+ ∨ a = c)

⇒ a 6 c. �

2. (∀a, b ∈ R)(a > b⇔ ∃p > 0 tal que a = b+ p)

Demostracion.

Sean a, b ∈ R tales que a > b; ası que a− b > 0. Entonces,

a = a+ 0 = a+ (b− b) = b+ (a− b)

y poniendo p = a− b > 0, obtenemos que

∃p > 0 tal que a = b+ p. �

29


3. (∀a, b, c ∈ R)(a > b⇔ a+ c > b+ c)

Demostracion.

Sean a, b, c ∈ R tales que a > b; ası que a− b > 0. Notar que,

a+ c− (b+ c) = a+ c− (c+ b) = a+ (c− c)− b = a+ 0− b = a− b > 0.

Entonces, (a+ c)− (b+ c) > 0, o equivalentemente

a+ c > b+ c. �

EJERCICIOS 1.3.2 Demuestra las siguientes propiedades:

1. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c > 0⇒ a · c > b · c

)2. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c < 0⇒ a · c < b · c)

3. (∀a ∈ R)(a2 > 0)

4. (∀a ∈ R)(a > 0⇒ a−1 > 0)

5. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ b−1 > a−1)

6. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ a2 > b2)

7. (∀a, b ∈ R)(a2 + b2 > 2ab)

8. (∀a, b ∈ R+)(a+ b > 2√ab)

9. (∀a ∈ R+)(a+

1

a> 2)

10. (∀a, b ∈ R)(a2

b2+b2

a2> 2)

11. (∀a, b ∈ R+)(√a

b+

√b

a> 2)

12. (∀a, b ∈ R+)(a+ b = 1⇒ a2 + b2 >

1

2

)

30


OBSERVACION 1.3.6 La propiedad (A4) nos permite introducir en la representacion de R

el concepto de opuesto o simetrico de un numero (simetrıa con respecto al cero):

a+ 0 = 0 + a = a ∧ (−a) + 0 = 0 + (−a) = −a

y como

a+ (−a) = (−a) + a = 0,

podemos decir que si a > 0, los numeros a y −a estan a igual distancia del 0 y verifican

a ∈ R+ y −a ∈ R−.

OBSERVACION 1.3.7 La propiedad (M4), mas las propiedades de orden previas, nos

permiten introducir en la representacion de R el concepto de recıproco o inverso de un

numeroa ∈ R \ {0} ⇔ a−1 ∈ R \ {0}

y comoa · a−1 = a−1 · a = 1,

podemos decir que si a > 0, los numeros a y a−1 son inversamente proporcionales.

OBSERVACION 1.3.8 Comparando los numeros sobre la recta numerica real de izquierda

a derecha, los numeros reales quedan ordenados de menor a mayor.

31


OBSERVACION 1.3.9 El axioma de completitud, que aquı no estudiaremos, intuitivamente

indica que entre dos numeros reales diferentes existe otro numero real, de manera que la

recta numerica quedara totalmente cubierta de numeros reales.

EJERCICIOS 1.3.3 ll

1. Traza una recta numerica fijando la unidad. Luego, ubica sobre ella los numeros

enteros entre 3 y −3, inclusive, y los siguientes numeros reales ±√

2, ±√

3, ±√

5.

2. Representa en la recta numerica a 2 +√

2 y 3−√

2.

3. Comprueba geometricamente que 2 < 3⇒ −2 > −3 y 3 > 0⇒ −3 < 0.

4. Representa en la recta numerica a 2 y1

2; 3 y

1

3.

1.3.5. Valor absoluto de un numero real

DEFINICION 1.3.2 Sean a y b dos numeros reales. Definimos la distancia entre a y b,

denotada por dist(a, b) a la diferencia no negativa entre a y b, esto es:

dist(a, b) :=

{a− b si a− b > 0

b− a si b− a > 0.

EJERCICIOS 1.3.4 ll

1. Calcula la distancia entre los pares de numeros reales dados a continuacion.

Comprueba tus resultados en una recta numerica:

a) 3 y − 4 b) − 7 y − 5 c) − 3 y 4 d) 5 y 0 e) 0 y − 5 f) − 1 y 6

2. De las siguientes afirmaciones, subraya aquellas que son verdaderas

a) dist(−13, 2) = dist(−2, 13) e) dist(√

5,√

2) = dist(√

5,√

2)

b) dist(2, 5) = dist(5, 2) f) dist(−9,−32) = dist(3

2, 9)

c) dist(−a,−b) = dist(b, a) g) dist(a, b) = dist(b, a)

d) dist(5, 0) = 5 h) dist(1−√

2, 0)=√

2−1

32


Propiedades relativas al concepto de distancia entre numeros reales

1. (∀a, b ∈ R)[dist(a, b) = dist(b, a)]

2. (∀a, b ∈ R)[dist(a, b) = dist(−a,−b)]

3. (∀a, b ∈ R)[dist(a, c) 6 dist(a, b) + dist(b, c)]

OBSERVACION 1.3.10 La distancia entre un numero real dado y el cero es muy sencilla

de calcular, pues corresponde al numero real dado sin su signo, de modo que quede

positivo. Este caso particular, de la distancia de un valor real al cero, corresponde al

concepto matematico denominado valor absoluto.

DEFINICION 1.3.3 Sea a ∈ R. Llamamos valor absoluto de a, el cual denotamos por |a|, al

valor dist(a, 0). Es decir,

|a| := dist(a, 0) =

{a si a > 0

−a si a < 0.

OBSERVACION 1.3.11 Una definicion alternativa del valor absoluto de un numero es la

siguiente: Sea a ∈ R, entonces:

|a| :=√a2.

EJEMPLO 1.3.1 ll

1. |3| = 3 pues 3 > 0.

2. | −√

2| = −(−√

2) =√

2 pues −√

2 < 0.

3. Sea a > 0. ¿Cual es el valor de |1− a|?

Solucion.

I Caso 0 < a < 1. Notar que en este caso 1− a > 0, entonces

|1− a| = 1− a.

I Caso a > 1. Notar que en este caso 1− a 6 0, entonces

|1− a| = −(1− a) = −1 + a = a− 1. �

33


EJERCICIOS 1.3.5 De las siguientes afirmaciones subraya aquellas que son siempre

verdaderas

a) |3|+ |0| = |3 + 0| d) |2|+ |3| = |2 + 3| g) | − 3|+ | − 2| = | − 3− 2|

b) |a|+ |b| = |a+ b| e) | − 2 + 3| > | − 2| − |3| h) |5− 2| > |5|+ | − 2|

c) |5 + 6| > |5|+ |6| f) |a+ b| > |a| − |b| i) |a− b| 6 |a|+ |b|

Propiedades que verifica el valor absoluto de un numero real

1. (∀a, b ∈ R)(|a · b| = |a| · |b|)

2. (∀a, b ∈ R)(b 6= 0⇒

∣∣∣ab ∣∣∣ = |a||b|

)3. (∀a, b ∈ R)

(|a| − |b| 6 |a± b| 6 |a|+ |b|

)4. (∀a, b ∈ R+)

(|a|+ |b| = |a+ b|

)5. (∀a, b ∈ R−)

(|a|+ |b| = |a+ b|

)6. (∀a, b ∈ R)

(|a− b| = dist(a, b)

)1.3.6. Intervalos

Una forma usual de escribir y representar ciertos subconjuntos de los numeros

reales que involucran desigualdades en su definicion son los intervalos:

1. Llamamos intervalo abierto al conjunto:

]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}

Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

2. Llamamos intervalo cerrado al conjunto:

[a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b}


34


3. Llamamos intervalo semi abierto por derecha al conjunto:

[a, b[:= {x ∈ R : a 6 x < b}


4. Llamamos intervalo semi abierto por izquierda al conjunto:

]a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}


5. Llamamos intervalo infinito abierto por derecha al conjunto:

]−∞, b[:= {x ∈ R : x < b}


6. Llamamos intervalo infinito abierto por izquierda al conjunto:

]a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}


7. Llamamos intervalo infinito cerrado por derecha al conjunto:

]−∞, b] := {x ∈ R : x 6 b}


8. Llamamos intervalo infinito cerrado por izquierda al conjunto:

[a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}


35


EJERCICIOS 1.3.6 ll

1. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las

siguientes desigualdades:

a)x2 − 4 > 0 b)x2 − 4 6 0 c) |x| > 2 d) |2x− 1| > 0 e) |x+ 1| > 1

2. Escribe el conjunto de valores de x que representa a cada uno de los graficos

obtenidos en el problema previo

3. Escribe en notacion de intervalo cada conjunto obtenido en el problema anterior.

4. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las

siguientes desigualdades:

a) |x| < 4 b) |x− 5| < 4 c) |x| > 3 d) |x+ 2| > 3

5. Expresa por comprension los siguientes intervalos indicando de que tipo de

intervalo se trata, y representalos graficamente:

a) ]−∞, 4[ b) [−12, 5[ c) [−√

13,√

13] d) [4,+∞[

36

Capıtulo 2

Algebra elemental I

El algebra es una generalizacion del estudio de los numeros reales que

incluye cantidades variables que se representan por letras.

2.1. Expresiones algebraicasUna expresion algebraica es una combinacion de numeros y letras unidas o separadas

entre sı por una o mas operaciones matematicas.

EJEMPLO 2.1.1 Las siguientes son algunas expresiones algebraicas.

a) 5x b) a2 + b3 c) r2 − 3s+2

3rs3.

Las operaciones multiplicacion y/o division unen numeros y letras en lo que llamamos

termino de una expresion algebraica. Luego, una expresion algebraica esta compuesta por

uno o mas terminos separados por las operaciones adicion y/o sustraccion.

EJEMPLO 2.1.2

a) 3x tiene un termino b) x2 +2y tiene dos terminos c) a+ab− c tiene tres terminos.

La parte numerica de un termino se denomina coeficiente numerico y la parte literal, factor

literal.

EJEMPLO 2.1.3

En el termino√

2x2y el coeficiente numerico es√

2 y el factor literal es x2y.

•Monomios, binomios, trinomios y multinomios

Una expresion algebraica puede clasificarse de acuerdo al numero de terminos que posee.

Ası, llamamos:

I monomio a una expresion algebraica de un termino

I binomio a una expresion algebraica de dos terminos

37

CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I

I trinomio a una expresion algebraica de tres terminos

I multinomio a una expresion algebraica de uno o mas terminos.

2.1.1. Valoracion de expresiones algebraicas

Cuando le asignamos un valor numerico a las letras de los factores literales de cada

termino de una expresion algebraica decimos que estamos valorando tal expresion.

EJERCICIOS 2.1.1

1. Sea a =√

2 y sea b =√

3; entonces ¿cual es el valor de a4 − b2?

2. Se define la operacion a~ b =b− aab

. ¿Cual es el valor de 0, 0001~ (−0, 0002)?

2.1.2. Adicion de expresiones algebraicas

• Terminos semejantes

Dos o mas monomios son semejantes si sus partes literales son iguales.

EJEMPLO 2.1.4 Los monomios 3x2y y 5x2y son semejantes, pero el monomio 3xy2 no es a

ninguno de ellos pues su parte literal no coincide con la parte literal de los otros.

• Reduccion de terminos semejantes

Uno o mas monomios, se pueden sumar si ellos son semejantes. La operacion se efectua

sumando los coeficientes numericos respectivos, conservando el termino semejante. Los

terminos de una suma que no sean semejantes no se pueden reducir.

EJEMPLO 2.1.5 3xy−6x2+12xy+6x−4x2−5xy = (3 + 12− 5)xy +(−6− 4)x2+6x

= 10xy−10x2+6x.

• Uso de parentesis

Cuando tenemos un signo + o − antecediendo a un parentesis, conviene eliminar el

parentesis multiplicando este signo por cada termino al interior del parentesis. Si hay

varios parentesis al interior de otro, conviene aplicar el criterio previo eliminando los

parentesis desde el que esta mas al interior hacia afuera, reduciendo terminos semejantes

en la medida de lo posible.

38

2.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJEMPLO 2.1.6 3x− {5 + [4− (2− x) + x]} = 3x− {5 + [4− 2 + x+ x]}

= 3x− {5 + [2 + 2x]}

= 3x− {5 + 2 + 2x}

= 3x− 5− 2− 2x

= x− 7

EJERCICIOS 2.1.2 Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

1. −2x− {3x− (2x+ 3)− [4− (3− x) + x] + 5} =

2. 2x− y + {4x− (2x+ 3y)− [4y − {(3y − 2x)− (3x+ y)}] + y} =

3. −(3− 0, 2x2) + {x2 − 3, 2x− [(x+ 1)(0, 2x− 3) + x2]} =

2.1.3. Multiplicacion de expresiones algebraicas

• Producto de monomio por monomio

Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes numericos entre sı y los

factores literales entre sı, aplicando las propiedades de las potencias cuando corresponda.

EJEMPLO 2.1.7 4x2y3z · 3x3y2z2 = 12x5y5z3.

• Producto entre multinomios

Para multiplicar dos multinomios, debemos aplicar la propiedad distributiva

de la multiplicacion sobre la adicion, tal como se hace con los numeros. El producto se

hace termino a termino y al finalizar se reducen los terminos semejantes.

EJEMPLO 2.1.8

(x− 2y)(3x+ y − z) = x · 3x+ x · y + x · (−z) + (−2y) · 3x+ (−2y) · y + (−2y) · (−z)

= 3x2 + xy − xz − 6xy − 2y2 + 2yz

= 3x2 − 2y2 − 5xy − xz + 2yz.

EJERCICIOS 2.1.3 Desarrolla las siguientes operaciones entre expresiones algebraicas y

reduce los terminos semejantes

1. (3x− 2y)(4x− 5y) =

2. (−0, 45u− 0, 3v + 8uv + 3) + (3− 2uv + v − 0, 1u) =

39


3.(3

4ab3c−1

)(16

15a2b−2c4

)=

4. (2x+ 1)(xn − 2xn+1 + 2xn+2 − 2xn+3) =

5. (3xy + x2 − 2x2y)− (y2 − 3x2y + x2 − 3xy) =

2.1.4. Productos notables

Un producto notable es una multiplicacion algebraica que tiene un desarrollo de

formulacion bien caracterizada.

TABLA DE PRODUCTOS NOTABLES

Producto Notable Expresion Desarrollo

Producto de binomios con termino comun (x+ a)(x+ b)||| x2 + (a+ b)x+ ab

Cuadrado de binomio (a± b)2||| a2 ± 2ab+ b2

Suma por diferencia (a+ b)(a− b)||| a2 − b2

Cubo de binomio (a± b)3||| a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3

Cuadrado de trinomio (a+ b+ c)2||| a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

EJERCICIOS 2.1.4 Escribe el producto correspondiente sin desarrollar

1. (x+ 4y)(x− 5y) =

2. (0, 2a+ 0, 1)(0, 2a− 0, 01) =

3. (u2 + v)2 =

4. (na −mb)2 =

5. (u+ v)2(u− v)2 =

6. (0, 3a2b− 0, 1b2)(0, 1b2 + 0, 3a2b) =

2.1.5. Factorizacion de expresiones algebraicas

La factorizacion de una expresion algebraica consiste en escribir esta como un productode otras expresiones algebraicas. En particular, decimos que los factores son primos si ellosno se pueden continuar factorizando.

40

2.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TABLA DE FACTORIZACIONES NOTABLES

Expresion Nombre Factorizacion

xa + xb + xc Polinomio con factor comun x(a + b + c)|||x2 + bx + c (Trinomio) (x + p)(x + q) con p + q = b, pq = c|||

x2 ± 2ax + a2 Trinomio cuadrado perfecto ||| (x± a)2

x2 − a2 Diferencia de cuadrados ||| (x + a)(x− a)

x3 − a3 Diferencia de cubos ||| (x− a)(x2 + ax + a2)

x3 + a3 Suma de cubos||| (x + a)(x2 − ax + a2)

ax2 + bx + c (Trinomio con factor)|||(ax + p)(ax + q)

a|||||

|||con p + q = b, pq = ac

ax + bx + ay + by (Caso especial)||| (a + b)(x + y)

2.1.6. Simplificacion de expresiones algebraicas

La simplificacion de expresiones algebraicas se realiza cuando tenemos un cuociente

entre dos expresiones algebraicas las que al ser factorizadas poseen factores comunes

sobre los cuales se aplican las reglas de las potencias.

EJEMPLO 2.1.9x2 + 4x+ 4

x2 − 4=

(x+ 2)2

(x+ 2)(x− 2)=x+ 2

x− 2.

EJERCICIOS 2.1.5

1. Simplifica la expresion algebraica2xy − 6x2yz

2x

2. Factoriza la expresion a2b2 + 4ab3 + 4b4

3. Si 4=z2 + 5z + 6, 5=z2 − z − 6, B=z2 + 4z + 4 y C=z2 − 9, entonces ¿cuanto

vale4 · 5C ·B

?

4. Factoriza la expresion 8y3 − 24y2 − 2y + 6

2.1.7. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas.

Para calcular el Maximo Comun Divisor (M.C.D.) entre dos o mas expresiones algebraicas

efectuamos el producto de todos los factores primos comunes entre las expresiones

involucradas con el menor exponente observado. Esto es lo mismo que hacıamos con los

numeros.

41


EJEMPLO 2.1.10 El M.C.D. entre x3−x2 = x2(x−1) y x3−2x2 +x = x(x−1)2 es x(x−1).

Para calcular el Mınimo Comun Multiplo (m.c.m.) entre dos o mas expresiones algebraicas

descomponemos cada expresion en factores primos y multiplicamos los factores primos

de todas las expresiones involucradas con el mayor exponente observado. Esto es lo

mismo que hacıamos con los numeros.

EJEMPLO 2.1.11

El m.c.m entre x3 − x2 = x2(x− 1) y x3 − 2x2 + x = x(x− 1)2 es x2(x− 1)2.

EJERCICIOS 2.1.6

1. Si A =1

xy B =

1

y. ¿Cual es el valor de Ay −Bx?

2. Si u=x

x+1, v=

1

x−1, w=

x

x2−1y t=

x+1

x−1, entonces ¿cual es el valor de (u+v−2w)t?

3. Simplificax2 + 2xy + y2

x2 − y2· x

2 − 2xy + y2

x+ y

4. Simplificau2 + 3u+ 2

u2 − 3u− 10:u2 + 2u+ 1

u2 − 2u− 15

42

2.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

2.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen terminos

desconocidos llamados incognitas.

Una ecuacion de primer grado con una incognita es una ecuacion de la forma:

ax+ b = 0,

donde a y b son numeros reales, a 6= 0, y x es la incognita a determinar.

Una raız o solucion de una ecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite

verificar la igualdad.

La reunion de las posibles soluciones de una ecuacion corresponde a su conjunto solucion.

Si dos o mas ecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces decimos

que ellas son equivalentes.

2.2.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita

Para resolver una ecuacion de primer grado con una incognita despejamos la incognita.

Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la igualdad, para que esta

se mantenga, hasta conseguir aislar la incognita. En muchos casos, la ecuacion original no

es de primer grado, pero podemos reducirla a una ecuacion equivalente de primer grado.

EJEMPLO 2.2.1 Resuelve las siguientes ecuaciones para x.

1. 4x+ 16 = 14

2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1)

3. a)x+ a

5+x+ b

10= 1

b) ¿Cuanto vale x si a = 5 y b = 0?

4. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 [a 6= 0]

b) ¿Cual debe ser el valor de a para que la solucion en a) sea 12?

Soluciones.

1. 4x+ 16 = 14 ⇒ 4x = 14− 16

⇒ 4x = −2

⇒ x = −2

4= −1

2�

43


2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1) ⇒ x2 + 6x+ 9 = x2 − x− 2

⇒ 6x+ 9 = −x− 2

⇒ 7x = −11

⇒ x = −11

7�

3. a)x+ a

5+x+ b

10= 1 ⇒ 2(x+ a) + (x+ b)

10= 1

⇒ 2x+ 2a+ x+ b = 10

⇒ 3x = 10− 2a− b

⇒ x =10− 2a− b

3�

b) Cuando a = 5 y b = 0, obtenemos x =10− 2a− b

3=

10− 10− 0

3= 0. �

4. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 ⇒ x2 − a2 = x2 − 4ax+ 4a2

⇒ 0 = −4ax+ 5a2

⇒ 4ax = 5a2

⇒ x =5a2

4a(pues a 6= 0)

⇒ x =5a

4�

b) x =1

2⇔ 5a

4=

1

2⇔ a =

4

10=

2

5�

2.2.2. Analisis sobre las soluciones de una ecuacion de la forma ax+b= 0

Una ecuacion de la forma

ax+ b = 0

puede no tener solucion, tener solucion unica o poseer infinitas soluciones, dependiendo

de los valores de a y b:

I Si a 6= 0, la ecuacion tiene solucion unica; a saber: x =−ba

I Si a = 0 y b 6= 0, la ecuacion NO tiene solucion; pues tendrıamos

0 · x+ b = 0⇔ 0 + b = 0⇔ b = 0

que es una contradiccion con el hecho que b 6= 0.

44


EJEMPLO 2.2.2 (x+ 1)2 − 2x = x2 ⇒ x2 + 2x+ 1− 2x = x2

⇒ 1 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es falso, tenemos que∴ ningun x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �

I Si a = b = 0, la ecuacion tiene infinitas soluciones; a saber: todoR, pues tendrıamos

0 · x+ 0 = 0⇔ 0 = 0

lo que es siempre verdadero cualquiera sea x ∈ R.

EJEMPLO 2.2.3 Resolvamos la ecuacion (x− 3)(x+ 1) = (x+√

3)(x−√

3)− 2x

(x− 3)(x+ 1) = (x+√

3)(x−√

3)− 2x ⇒ x2 − 2x− 3 = x2 − 3− 2x

⇒ 0 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, tenemos que∴ cualquier x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �

EJERCICIOS 2.2.1

1. ¿Cual debe ser el valor de a en la ecuacion ax + 5 = 2x + 3 para que esta no tenga

solucion?

2. ¿Que valor de a permite que la ecuacion a2x − 3 = 2ax − (x + 3a) tenga infinitas

soluciones?

2.2.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto

Sean a, b, c, d ∈ R, con a 6= 0. Consideremos la siguiente ecuacion con valor absoluto:

|ax+ b| = cx+ d

1◦) Notar que por definicion de valor absoluto, para todo x ∈R se verifica |ax+b|> 0;

luego, para que la ecuacion tenga solucion una condicion necesaria es la siguiente:

cx+ d > 0⇒ cx > −d.

2◦) Tambien por definicion de valor absoluto tenemos que

|ax+ b| =

{−ax− b si ax+ b 6 0

ax+ b si ax+ b > 0

45


Ası

|ax+ b| = cx+ d ⇔

{−ax− b = cx+ d ∧ ax+ b 6 0

ax+ b = cx+ d ∧ ax+ b > 0

⇔

{ax+ b = −cx− d ∧ ax 6 −bax+ b = cx+ d ∧ ax > −b.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacion |ax+ b| = cx + d, con a 6= 0, corresponden a la

union de las soluciones obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:

i) ax+ b = −cx− d ∧ ax 6 −b ∧ cx > −dii) ax+ b = cx+ d ∧ ax > −b ∧ cx > −d.

En particular, la ecuacion |ax+ b| = d, con a 6= 0, tiene por conjunto solucion a la union

de las soluciones obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:

i) ax+ b = −d ∧ ax 6 −b ∧ d > 0

ii) ax+ b = d ∧ ax > −b ∧ d > 0.

Los siguientes ejemplos corresponden a una aplicacion de los resultados previos para

resolver ecuaciones de primer grado con valor absoluto.

EJEMPLO 2.2.4

1. Resuelve la ecuacion |2x− 5| = 12.

Solucion.

i) Debemos encontrar valores de x que verifiquen

2x− 5 = −12 ∧ x 65

2∧ 12 > 0.

Notar que

2x− 5 = −12⇔ 2x = −7⇔ x = −7

2

(con − 7

26

5

2

)ii) Debemos encontrar valores de x que verifiquen

2x− 5 = 12 ∧ x >5

2∧ 12 > 0.

Notar que

2x− 5 = 12⇔ 2x = 17⇔ x =17

2

(con

17

2>

5

2

)CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

{−7

2,17

2

}�

46


2. Resuelve la ecuacion |x− 3| = 2x+ 5.

Solucion.


x− 3 = −2x− 5 ∧ x 6 3 ∧ x > −5

2.

Notar que

x− 3 = −2x− 5⇔ 3x = −2⇔ x = −2

3

(con − 5

26 −2

36 3

)ii) Debemos encontrar valores de x que verifiquen

x− 3 = 2x+ 5 ∧ x > 3 ∧ x > −5

2.

Notar que

x− 3 = 2x+ 5⇔ x = −8

(pero −8 < −5

2< 3

).

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

{−2

3

}�

OBSERVACION 2.2.1 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = |cx + d|, con

a 6= 0, procedemos como sigue: Resolvemos las ecuaciones

ax+ b = cx+ d ∨ ax+ b = −cx− d.

El conjunto solucion S resultante estara formado por los valores reales correspondientes

a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas. No es necesario realizar mas

analisis.

EJERCICIOS 2.2.2 Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1. |x− 5| = 16

2. |4x− 12| = 16

3. |3x− 13| = |4x+ 21|

4. |4x+ 3| = |5− 2x|

5. |5x− 6| = 3x+ 1

6. |x+ 8| = x

7. |x+ 8| = −x

8. | − x− 8| = x

47


9. x+ |3x+ 2| = −5x+ 3

10. x+ |x+ 3| = 2x− 5 + |x+ 1|

2.3. Inecuaciones de primer grado con una incognitaUna inecuacion es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen

terminos desconocidos llamados incognitas.

Una inecuacion de primer grado con una incognita es una inecuacion de la forma:

ax+ b 6 0 ∨ ax+ b < 0 ∨ ax+ b > 0 ∨ ax+ b > 0

donde a y b son numeros reales, a 6= 0, y x es la incognita a determinar.

Una raız o solucion de una inecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite

verificar la desigualdad.

La reunion de las posibles soluciones de una inecuacion corresponde a su conjunto solucion.

Si dos o mas inecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces

decimos que ellas son equivalentes.

2.3.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita

Para resolver una inecuacion de primer grado con una incognita, despejamos la

incognita. Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la desigualdad,

teniendo especial cuidado con los inversos multiplicativos negativos, pues al multiplicar

por un numero negativo en una desigualdad, esta cambia de sentido. En muchos casos,

la inecuacion original no es de primer grado, pero podemos reducirla a una inecuacion

equivalente de primer grado.

EJEMPLO 2.3.1 Resuelve la desigualdad: 5x+ 1 > 3x− 3

Solucion. 5x+ 1 > 3x− 3 ⇒ 5x+ 1− (3x− 3) > 0

⇒ 5x+ 1− 3x+ 3 > 0

⇒ 2x+ 4 > 0

⇒ 2x > −4

⇒ x > −2

Luego el conjunto solucion es: S = {x ∈ IR/x > −2}.

48

2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

EJERCICIOS 2.3.1

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 6x− 2 6 3x+ 10

b) 2 64x− 2

36 6

c) x+ < 4− x+ 2

2. Si x satisface la desigualdad7

4< x <

9

4. Determina los posibles valores de y, cuando

y = 4x− 8

2.3.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incognita esta formado por

varias inecuaciones de primer grado con una misma incognita. El sistema se resuelve

como sigue: resolvemos por separado cada inecuacion y luego intersecamos todos los

conjuntos solucion para obtener el conjunto solucion del sistema.

EJERCICIOS 2.3.2 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones

1.

{x > 3

x < 4

2.

x > 2

−7 < x 6 4

x 6 −6

3.

2x− 7 > 3

5x− 2 < 4x+ 1

x > 100

4.

{5x 6 3x+ 2

x > 1

2.3.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto

Sean a, b, c, d ∈ R, con a 6= 0 y c 6= 0. Consideremos la siguiente inecuacion con valor

absoluto:|ax+ b| 6 cx+ d

49


1◦) Notar que por definicion de valor absoluto, para todo x ∈R se verifica |ax+b|> 0;

luego, para que la inecuacion tenga solucion una condicion necesaria es la siguiente:

cx+ d > 0⇒ cx > −d.

2◦) Tambien por definicion de valor absoluto tenemos que

|ax+ b| =

{−ax− b si ax+ b 6 0

ax+ b si ax+ b > 0.

Ası

|ax+ b| 6 cx+ d ⇔

{−ax− b 6 cx+ d ∧ ax+ b 6 0

ax+ b 6 cx+ d ∧ ax+ b > 0

⇔

{−cx− d 6 ax+ b ∧ ax 6 −bax+ b 6 cx+ d ∧ ax > −b.

Por lo tanto, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| 6 cx + d corresponden a la union de

las soluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

i) − cx− d 6 ax+ b ∧ ax 6 −b ∧ cx > −dii) ax+ b 6 cx+ d ∧ ax > −b ∧ cx > −d,

o equivalentemente, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| 6 cx + d corresponden a las

soluciones obtenidas al resolver la inecuacion:

−cx− d 6 ax+ b 6 cx+ d,

que corresponde a la interseccion entre las soluciones de los sistemas de inecuaciones:

i) −cx− d < ax+ b y ii) ax+ b < cx+ d.

En particular, la inecuacion |ax+ b| 6 d, con a 6= 0, tiene por conjunto solucion a la

union de las soluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

i) ax+ b > −d ∧ ax 6 −b ∧ d > 0

ii) ax+ b 6 d ∧ ax > −b ∧ d > 0.

o equivalentemente, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| 6 d corresponden a las

soluciones obtenidas al resolver la inecuacion:

−d 6 ax+ b 6 d,

que corresponde a la interseccion entre las soluciones de los sistemas de inecuaciones:

i) −d < ax+ b y ii) ax+ b < d.

Los siguientes ejemplos corresponden a una aplicacion de los resultados previos para

resolver inecuaciones de primer grado con valor absoluto.

50

2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

EJEMPLO 2.3.2

1. Resuelve la inecuacion |2x− 3| < 5

Solucion.


2x− 3 > −5 ∧ x 63

2∧ 5 > 0.

Notar que

2x− 3 > −5⇔ 2x > −2⇔ x > −1.

Luego, nos interesan valores de x ∈ R tales que −1 6 x 63

2; es decir, x ∈ [−1,

3

2]

ii) Debemos encontrar valores de x que verifiquen

2x− 3 6 5 ∧ x >3

2∧ 5 > 0.

Notar que

2x− 3 6 5⇔ 2x 6 8⇔ x 6 4.

Luego, nos interesan valores de x ∈ R tales que3

26 x 6 4; es decir, x ∈ [

3

2, 4]

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es

S =

]−1,

3

2

[∪[

3

2, 4

[=]− 1, 4[,

que corresponde en la recta numerica a

51


OTRA FORMA: Resolvemos |2x− 3| < 5 como sigue:

−5 < 2x− 3 < 5⇔ −2 < 2x < 8⇔ −1 < x < 4.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es S =]− 1, 4[. �

2. Resolver la inecuacion |3x+ 5| > 6

Solucion.

Lo haremos de forma indirecta. Resolvemos la inecuacion con la desigualdad com-

plementaria; es decir, resolvemos |3x+ 5| 6 6. Tenemos:

−6 6 3x+ 5 6 6⇔ −11 6 3x 6 1⇔ −11

36 x 6

1

3.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x+ 5| 6 6 es S∗ =

[−11

3,1

3

].

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x + 5| > 6 es el

complemento de S∗ =

[−11

3,1

3

](lo que falta para completar R). Es decir,

S =

]−∞,−11

3

[∪]

1

3,+∞

[,


3. Resolver la inecuacion |3x+ 5| > 2− 6x

Solucion.

Lo haremos de forma indirecta. Resolvemos la inecuacion con la desigualdad com-

plementaria; es decir, resolvemos |3x+ 5| < 2− 6x. Tenemos:

−2 + 6x < 3x+ 5 < 2− 6x ⇔ (−2 + 6x < 3x+ 5 ∧ 3x+ 5 < 2− 6x)

⇔ (3x < 7 ∧ 9x < −3)

⇔(x <

7

3∧ x < −1

3

)⇔ x < −1

3.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x+5| < 2−6x es S∗ =

]−∞,−1

3

[.

52

2.4. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ENUNCIADO

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x + 5| > 6 es el

complemento de S∗ =

]−∞,−1

3

[(lo que falta para completar R). Es decir,

S =

[−1

3,+∞

[,


EJERCICIOS 2.3.3

1. Resuelve la siguientes inecuaciones:

a) |7x− 3| < 6

b) |4x+ 5| 6 8

c) |3x− 4| > 34

d) |16− 5x| > 3

e) |2x− 4| < 4x+ 3

f ) |x− 5| > 1− x

2. Si y = 3x+ 5, demostrar que |x− 1| < 1

10⇒ |y − 8| < 3

10

2.4. Resolucion de problemas con enunciado

Para resolver un problema con enunciado, es conveniente seguir los siguientes pasos.

1o) Lee cuidadosamente el enunciado del problema e identifica claramente el o los

objetos por los cuales se pregunta y asignandoles un letra (estas seran las incognitas).

2o) Anota todos los datos del problema y si es necesario, dibuja una figura o grafico que

represente la situacion planteada ubicando los datos sobre el.

3o) Identifica las materias o contenidos especıficos que te ayudaran a resolver el

problema y planifica el trabajo que realizaras, escribiendo en primer lugar las

relaciones matematicas que conectan los datos y las incognitas [ecuaciones

o inecuaciones].

4o) Identifica las restricciones numericas que puedan tener las relaciones planteadas y

resuelve, bajo estas consideraciones, las ecuaciones o inecuaciones que planteaste.

5o) Por ultimo, escribe tu respuesta en forma clara y precisa.

53


EJERCICIOS 2.4.1

1. Un hombre tiene 30 anos mas que su hijo y 25 anos menos que su padre. ¿Que edad

tiene el hombre si entre las edades de los tres suman 100 anos?

2. La diferencia entre los7

8y los

8

15de un numero es 6. ¿Cual es el numero?

3. La suma de dos numeros es 64 y su diferencia es 16. ¿Cuales son los numeros?

4. La diferencia de dos numeros es a su producto como 1 : 30. Si la suma de los valores

recıprocos de los numeros es2

15. ¿Cuales son los numeros?

5. Una Companıa fabrica termostatos. Por cada termostato, el costo combinado de la

mano de obra y del material usado es de $4; y el costo fijo de la companıa en un

mes (gastos de luz, agua, arriendo, etc.) es de $60.000. Si el precio de venta de un

termostato es de $7, ¿Cuantos termostatos debe vender la companıa para obtener

ganancia despues de 30 dıas?

6. La UTFSM esta considerando ofrecer un curso de gestion en recursos medio-

ambientales. El curso resulta economicamente factible si se matriculan al menos 30

personas pagando US$50 cada una. La UTFSM, pensando en reducir los costos de los

estudiantes que se matriculen, descontara US$1,25 por cada persona que se

matricule por sobre los 30. ¿Cuantas personas se deben matricular para que el

dinero recibido por concepto de matrıculas nunca sea menor que el correspondiente

a 30 personas?

7. A los pintores generalmente se les paga por hora o por obra terminada. El salario

que reciben puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden

trabajar por US$8,50 la hora, o por US$300 mas US$3 por cada hora por debajo de

40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t

horas. ¿Para que valores de t el salario por hora es mejor?

8. En biologıa, la regla bioclimatica para zonas templadas establece que en primavera y

a principios de verano, fenomenos periodicos tales como la aparicion de insectos y la

maduracion de frutas se demoran, por lo general, alrededor de 4 dıas mas por cada

1.500 m de altura por sobre el nivel del mar. Esta regla es modelada por la siguiente

expresion d =4n

1.500, donde d = demora en dıas; n = cambio de altura medida en metros.

Si esta regla es valida para 0 6 n 6 4.000. Determina la mınima y la maxima demora

para que un fruto madure entre los 1.600 m y 2.300 m sobre el nivel del mar.

54

2.4. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ENUNCIADO

9. En un pequeno negocio familiar se emplean dos trabajadores que solo laboran unas

horas por semana. La cantidad total de los salarios que se pagan mensualmente a

estos empleados varıa entre los $128.000 y los $146.000. Si un empleado gana $18.000

mas que el otro, determina las posibles cantidades ganadas mensualmente por cada

empleado.

10. Una resistencia de 7 Ohm y una resistencia variable R se instalan en paralelo. La

resistencia resultante es RT =7R

7 +R. Determina los valores de la resistencia variable

R para los cuales la resistencia resultante es mayor que 3 Ohm pero menor que 5

Ohm.

55


56

Apendice A

Polinomios

A.1. Definicion de Polinomio

DEFINICION A.1.1 Decimos que P es un polinomio en el conjunto de los numeros reales

IR si y solo si P es una funcion de IR en IR, tal que P (x) admite una representacion de la

forma

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

donde an, an−1, . . . , a2, a1, a0∈ IR son los coeficientes del polinomio; y n∈N.

EJEMPLO A.1.1 Son polinomios:

P (x) = x2 − 3x+ 1

Q(x) = −5x3 − 4x2 + 1

R(x) = 2x5 − 3x+ 2

C(x) = 3x2 − x− 7 �

DEFINICION A.1.2 Llamamos grado de un polinomio P al mayor exponente que presenta la

variable (usualmente x) con coeficiente distinto de 0.

EJEMPLO A.1.2 Usando los polinomios del ejemplo A.1.1, tenemos que:

grado P (x) = 2

grado Q(x) = 3

grado R(x) = 5

grado C(x) = 2 �

OBSERVACION A.1.1 Un numero real puede entenderse como un polinomio de grado 0.

OBSERVACION A.1.2 Al coeficiente del termino de mayor grado del polinomio se le llama

coeficiente principal.

57

CAPITULO A. POLINOMIOS

OBSERVACION A.1.3 Dos polinomios P (x) y Q(x) son iguales si y solo si

∀x ∈ IR, P (x) = Q(x).

EJEMPLO A.1.3 Dado el polinomio P (x) = 2x4−x2 +2x−3, determinar su grado y hallar

su valor para x = 1, x = −1 y x = 0.

Solucion: El grado de P (x) es 4. Ademas tenemos:P (1) = 2 · 14 − 12 + 2 · 1− 3 = 2− 1 + 2− 3 = 0

P (−1) = 2 · (−1)4 − (−1)2 + 2 · (−1)− 3 = 2− 1− 2− 3 = −2

P (0) = 2 · 04 − 02 + 2 · 0− 3 = −3 �

EJERCICIOS A.1.1 Dados los siguientes polinomios, determina su grado y su valor

respectivo para el numero real indicado:

a)P (x)=x5−3x4+2x3−1 x=1 ; f)P (x)=−x6−x4+x3+3x2−3x−1 x=−1

b)P (x)=2x4 + 3x x=−1 ; g)P (x)=6x4 − x3 − x− 3 x=1

2c)P (x)=x4− 2x3+x2−x+2 x=0 ; h)P (x)=x3−x+125 x=−5

d)P (x)=2x3 + x2 + 3x x=2 ; i )P (x)=−x4 + x2 + 4 x=√

2

e)P (x)=3x6−4x4+x3−x2+1 x=−2 ; j)P (x)=x5− 4x4−2x3+16x2−x+ 4 x=4

A.2. Operaciones con Polinomios

Sean

P (x) = anxn + . . .+ amx

m + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

yQ(x) = bmx

m + . . .+ b2x2 + b1x+ b0

dos polinomios de grado n y m respectivamente, con n > m. Estos polinomios pueden ser

escritos usando la notacion de sumatoria:

P (x) =n∑

i=0

aixi ; Q(x) =

m∑i=0

bixi.

A.2.1. Adicion

Se tiene:

P (x) +Q(x) = anxn + . . .+ (am + bm)xm + . . .+ (a2 + b2)x

2 + (a1 + b1)x+ (a0 + b0)

o bien:P (x) +Q(x) =

n∑i=m+1

aixi +

m∑i=0

(ai + bi)xi.

58

A.2. OPERACIONES CON POLINOMIOS

A.2.2. Sustraccion

Se tiene:

P (x)−Q(x) = anxn + . . .+ (am − bm)xm + . . .+ (a2 − b2)x2 + (a1 − b1)x+ (a0 − b0)

o bien:P (x)−Q(x) =

n∑i=m+1

aixi +

m∑i=0

(ai − bi)xi.

A.2.3. Multiplicacion

Se tiene:

P (x) ·Q(x) = anxn ·Q(x) + an−1x

n−1 ·Q(x) + . . .+ a2x2 ·Q(x) + a1x ·Q(x) + a0 ·Q(x)

y se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, por ejemplo:

anxn ·Q(x) = anbmx

n+m + anbm−1xn+m−1 + . . .+ anb2x

n+2 + anb1xn+1 + anb0x

n.

Finalmente se reducen los terminos semejantes.

EJEMPLO A.2.1 Dados los polinomios P (x) = x3−x2+2x−1 yQ(x) = x2−x+3, encontrar

P (x) +Q(x), P (x)−Q(x) y P (x) ·Q(x).

Solucion:P (x) +Q(x) = (x3 − x2 + 2x− 1) + (x2 − x+ 3)

= x3 + x+ 2

P (x)−Q(x) = (x3 − x2 + 2x− 1)− (x2 − x+ 3)

= x3 − x2 + 2x− 1− x2 + x− 3

= x3 − 2x2 + 3x− 4

P (x) ·Q(x) = (x3 − x2 + 2x− 1) (x2 − x+ 3)

= x5 − x4 + 3x3 − x4 + x3 − 3x2 + 2x3 − 2x2 + 6x− x2 + x− 3

= x5 − 2x4 + 6x3 − 6x2 + 7x− 3 �

EJERCICIOS A.2.1 locobielsa

1. Dados los polinomios P (x) = 2x2 + 2x− 1 y Q(x) = x2 − x+ 3, determine

a)P (x) +Q(x) ; c)P (x)− 2Q(x)

b)P (x)−Q(x) ; d)P (x) ·Q(x)

59


2. Dados los polinomios P (x) = x3 + x2 − x− 1 y Q(x) = x+ 1, encuentre:

a)P (x) +Q(x) ; c)P (x)− x[Q(x)]2

b)P (x)−Q(x) ; d)P (x)− (x2 − 1) ·Q(x)

3. Si P (x) = 2x3 + x2 + x− 5, Q(x) = x3 − 3, R(x) = x2 + x− 2 y S(x) = −2x3 − x2 + 3;

encuentre:a) [P (x) +Q(x)]− [R(x) + S(x)] ; c) [P (x)−Q(x)] + [R(x)− S(x)]

b)P (x)− [Q(x) +R(x) + S(x)] ; d) [P (x)−Q(x)] · [R(x)− S(x)]

A.2.4. Division

Sean P (x) y Q(x) dos polinomios tales que

grado de P (x) = n > m = grado de Q(x).

Entonces, existen dos polinomios C(x) y R(x), llamados cociente y resto respectivamente,

tales que verifican:

P (x)

Q(x)= C(x) +

R(x)

Q(x)⇔

P (x) : Q(x) = C(x)

R(x)//

,

donde grado de C(x) = n−m y 0 6 grado de R(x) < m. En la situacion previa, P (x) es

el dividendo y Q(x) es el divisor; y siempre se verifica que:

P (x) = Q(x) · C(x) +R(x).

Observacion: Al realizar la division, esta se termina apenas se tenga que el grado del resto

R(x) es menor que el del divisor Q(x).

A) Division algebraica

Es la forma mas tradicional de realizar una division entre polinomios, y se realiza de

manera muy similar a la division aritmetica.

EJEMPLO A.2.2 hola pepito(((4x2 − 2x+ 1) : (x− 2) = 4x+ 6

(− 4x2 + 8x

(4x2− 6x+ 1

(4x2− − 6x+ 12

(4x2 − 6x− 13//

Comprobacion: (x− 2) · (4x+ 6) + 13 = 4x2 + 6x− 8x− 12 + 13

= 4x2 − 2x+ 1 �

60

A.2. OPERACIONES CON POLINOMIOS

EJEMPLO A.2.3 hola pepito(14x3 − 21x) : (2x− 3)

En este caso completamos el dividendo con ceros para las potencias de x que falten,

desde la mayor potencia hasta la potencia 0.

(((14x3 + 0x2 − 21x+ 0) : (2x− 3) = 7x2 + 212x+ 21

4

(−14x3 + 21x2

(14x3− 21x2 − 21x

(14x3− − 21x2 + 632x

(14x3 − 21x2− 212

(14x3 − 21x2− − 212x+63

4

(14x3 − 21x2− 634 //

Comprobacion: (2x−3)·(7x2+21

2x+21

4

)+63

4= 14x3 + 21x2 + 21

2x− 21x2 − 63

2x− 63

4+ 63

4

= 14x3 − 21x �

EJEMPLO A.2.4 hola pepito(x5 − 2x4 + 3x3 − 5x2 + 4x− 1) : (x3 + 2x− 1)

En este caso completamos el divisor con ceros para las potencias de x que falten,

desde la mayor potencia hasta la potencia 0.

(((x5 − 2x4 + 3x3 − 5x2 + 4x− 1) : (x3 + 0x2 + 2x− 1) = x2 − 2x+ 1

(−x5− 0x4− 2x3 + x2

(x5−− 2x4 + x3 − 4x2 + 4x

(x5− + 2x4− 0x3 + 4x2− 2x

((x5 − 0x4− x3 + 0x2 + 2x− 1

(x5 − 0x4− − x3− 0x2− 2x+ 1

(x5 − 0x4 − x3 + 0x2 + 2x 0//

Comprobacion: (x3+2x−1)·(x2−2x+1) = x5 − 2x4 + x3 + 2x3 − 4x2 + 2x− x2 + 2x− 1

= x5 − 2x4 + 3x3 − 5x2 + 4x− 1 �

B) Division sintetica

Sea P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 un polinomio con coeficientes

reales, y sea b ∈ IR. Entonces P (x) se puede escribir como:

P (x) = (x− b) · (bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + . . .+ b2x2 + b1x+ b0) + r

61


con bi ∈ IR, para i = 0, 1, 2, . . . , n− 2, n− 1 y r ∈ IR, es conocido como el resto. Los

coeficientes bi y r pueden ser encontrados facilmente mediante la regla de Ruffini1:

De esta forma,

bn−1 = an, bn−2 = an−1 + b · bn−1, bn−3 = an−2 + b · bn−2,

. . .

b1 = a1 + b · b1, b0 = a1 + b · b1, r = a0 + b · b0

EJEMPLO A.2.5 Dividir P (x) = 14x3 − 21x por x− 32.

Solucion: En primer lugar, es conveniente reescribir el polinomio completando con

coeficientes iguales a cero para todas las potencias de x que falten, desde la

mayor potencia hasta la potencia 0. Ası, P (x) = 14x3 + 0x2 − 21x + 0, y usamos

estos coeficientes en la regla de Ruffini:

De esta forma,P (x) =

(x− 3

2

)·(14x2 + 21x+ 21

2

)+ 63

4. �

EJEMPLO A.2.6 Dividir P (x) = x5 − 2x4 + 3x3 − 5x2 + 4x− 1 por x− 1.

Solucion: Aquı podemos aplicar directamente la regla de Ruffini:

1Paolo Ruffini (1765 - 1822): Matematico y medico italiano nacido en Roma y que vivio en Modena

hasta su muerte. Por anos trato de demostrar la imposibilidad de encontrar una expresion con radicales

que resuelva una ecuacion de quinto grado (problema que ocupo a generaciones de matematicos), lo que

finalmente logro, al igual que el matematico Niels H. Abel. Su teorema lo enuncio por primera vez en

el libro Teoria generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. Su demostracion, sin embargo, estaba

incompleta. El Teorema de Ruffini, fue demostrado definitivamente por el matematico noruego Niels Henrik

Abel y establece una regla para la division de un polinomio en x por el binomio x−b, para cualquier b∈ IR.

62

A.3. DEFINICIONES Y TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE POLINOMIOS. TEOREMA DELRESTO

De esta forma,P (x) = (x− 1)(x4 − x3 + 2x2 − 3x+ 1). �

EJERCICIOS A.2.2 luly

1. Realiza la division de los siguientes polinomios, determinando el cociente C(x)

y el resto R(x).

a) (x3 + 3x2 − x− 3) : (x2 − x− 1) =

b) (2x4 + 3x3 − 3x2 − 2x+ 5) : (x3 − 2x2 + x− 2) =

c) (3x4 − 6x3 − x+ 2) : (x3 − x− 1) =

d) (5x4 + 2x3 − 3x2 − x+ 4) : (x2 − 2x+ 1) =

e) (x5 − x4 + 4x3 − 4x2 + 5x− 3) : (x2 − 2x+ 3) =

f) (2x6 − x5 − x4 + 2x3 − 6x2 − 6x+ 7) : (3x3 − 2x+ 5) =

2. Usando el metodo de Ruffini, realiza las siguientes divisiones encontrando el

cociente C(x) y el resto R(x).

a) (x4 − 14x2 + 17x− 6) : (x− 3) =

b) (2x3 + 4x2 − 5x− 1) : (x− 1) =

c) (x6 + 3x5 − 2x4 − 5x3 + 2x2 − 3x) : (x+ 3) =

d) (x5 − 2x3 + x2 − x) : (x− 1) =

e) (x4 + 2x3 − 3x2) : x2 =

f) (x5 − 2x3 + x2 − x) : (x+ 1) =

A.3. Definiciones y teoremas importantes sobre polinomios.

Teorema del Resto

DEFINICION A.3.1 Sea P (x) un polinomio. Si P (x) = 0, para cualquier valor de x ∈ IR,

(lo cual denotamos por P (x) ≡ 0 y leemos “P de x es identicamente cero”) entonces diremos

que P (x) es un polinomio nulo.

DEFINICION A.3.2 Sea P (x) un polinomio. Si P (x) = 1, para cualquier valor de x ∈ IR,

entonces diremos que P (x) es un polinomio unitario.

DEFINICION A.3.3 Sea P (x) un polinomio. Llamamos polinomio opuesto de P (x) al

polinomio −P (x) = −1 · P (x), para cualquier x ∈ IR.

63


TEOREMA A.3.1 El conjunto IP(IR, x), cuyos elementos son todos los polinomios en x con

coeficientes reales, tiene estructura de anillo conmutativo unitario. Esto es:

i) ( IP(IR),+) verifica las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento

neutro (el polinomio nulo) y existencia de elemento inverso aditivo (el polinomio

opuesto).

ii) ( IP(IR), ·) verifica las propiedades asociativa, conmutativa y existencia de elemento

neutro (el polinomio unitario).

iii) ( IP(IR),+, ·) verifica la propiedad distributiva del producto sobre la suma.

TEOREMA A.3.2 Sean P (x) yQ(x) dos polinomios con coeficientes reales. Si P (x) ·Q(x) =

0, para cualquier x ∈ IR, entonces P (x) ≡ 0 o Q(x) ≡ 0.

TEOREMA A.3.3 Sean P (x), Q(x) y R(x) tres polinomios con coeficientes reales, tales que

P (x)≡/ 0. Si P (x) · Q(x) = P (x) · R(x), para cualquier x ∈ IR, entonces Q(x) = R(x), para

todo x ∈ IR.

DEFINICION A.3.4 Sean P (x) y Q(x) tales que grado de P (x) > grado de Q(x). Diremos

que P (x) es divisible por Q(x) si al efectuar la division P (x) : Q(x) da como resto el

polinomio nulo.

TEOREMA A.3.4 (Teorema del resto) Sea P (x) un polinomio de grado mayor o igual a

uno, y sea b ∈ IR. Entonces el resto de la division P (x) : (x− b) es P (b). En particular, P (x)

es divisible por (x− b) si P (b) = 0.

EJERCICIOS A.3.1 hola

1. Encuentra el resto que se produce al dividir cada uno de los siguientes polinomios

por x− 2.

a) x2 − 2x− 1

b) 3x3 − x2 − 4

c) −x4 − 4x3 + 7

d) 2x3 + 5x2 − 8

2. ¿Que valor debe tomar a para que al dividir x3−3x2 + 4x−a por x−2 el resto sea 0?

3. ¿Que valor debe tomar a para que al dividir x4− 2x3 + 2x2− ax− 1 por x− 1 el resto

sea 5?

64

A.4. RAICES DE UN POLINOMIO

4. Determina los valores de a, b y c para queax2 + bx+ c

2x2 − 5x+ 1= 7, para cualquier x ∈ IR tal

que 2x2 − 5x+ 1 6= 0.

5. Determina un polinomio P (x) de segundo grado tal que P (0) = −1, P (−1) = 1 y

P (−2) = 5.

6. Prueba que si 2x2 − 5ax+ b es divisible por 2x+ 1, entonces 5a− b = 2.

7. Sea P (x) = x3 + 2x2 + ax − b. Determina a y b tales que P (x) + 2 sea divisible por

x− 2 y P (x) + 1 sea divisible por x− 1.

8. Determina a y b para que P (x) = x3 − (a + b)x + 2 y Q(x) = x2 − x + (a − b) sean

ambos divisibles por 1− x.

A.4. Raıces de un polinomio

A.4.1. Raıces de un polinomio y teoremas relacionados

DEFINICION A.4.1 Sean P (x) un polinomio y sea b ∈ IR. Diremos que b es un cero o raız

del polinomio P (x) si se verifica que P (b) = 0.

TEOREMA A.4.1 a es una raız de la ecuacion polinomica P (x) = 0, es decir P (a) = 0, si y

solo si x− a es divisor de P (x).

TEOREMA A.4.2 Sea P (x) un polinomio no constante, entonces P (x) tiene a lo menos una

raız, que puede ser real o compleja. Mas aun, si el grado del polinomio es impar y mayor

que uno, entonces P (x) tiene al menos una raız real.

TEOREMA A.4.3 Sea P (x) un polinomio de grado mayor o igual a uno, entonces P (x)

tiene a lo mas n raıces distintas.

DEFINICION A.4.2 Diremos a es una raız con multiplicidad m de un polinomio P (x), con

grado de P (x) > m, si P (x) es divisible por (x − a)m y el cociente obtenido no resulta

divisible por x− a.

EJEMPLO A.4.1 Determina si 3,−2 o 1 son o no raıces del polinomio: x4+x3−7x2−13x−6.

Solucion: Para x = 3 tenemos:

P (3) = 34 + 33 − 7 · 32 − 13 · 3− 6 = 81 + 27− 63− 39− 6 = 108− 108 = 0.

Luego, 3 es una raız del polinomio.

65


Para x = −2 tenemos:

P (3) = (−2)4 + (−2)3 − 7 · (−2)2 − 13 · (−2)− 6 = 16− 8− 28 + 26− 6 = 42− 42 = 0.

Luego, 2 es una raız del polinomio.

Finalmente, para x = 1 tenemos:

P (1) = 14 + 13 − 7 · 12 − 13 · 1− 6 = 1 + 1− 7− 13− 6 = −24.

Luego, 1 no es una raız del polinomio. �.

EJEMPLO A.4.2 Escribir un polinomio que tenga por raıces 2,√

3 y −1 con multiplicidad

2.

Solucion: Como este polinomio tiene cuatro raıces (a saber: 2, 3,−1 y −1), su grado debe

ser a lo menos cuatro y debe tener entre sus factores a (x− 2), (x− 3) y (x+ 1)2. Luego, un

polinomio que cumple con tales requisitos es, por ejemplo:

P (x) = (x− 2)(x− 3)(x+ 1)2 = (x2 − 5x+ 6)(x2 − 2x− 3) = x4 − 3x3 − 3x2 + 7x+ 6 �

EJERCICIOS A.4.1 hola

1. Dados los polinomios, determina cual(es) de los numeros a un costado es(son) una

raız(raıces) de el.

a) 2x3 − 15x2 + 22x+ 15 ;−1, 3, 5

b) x3 + x2 − 4x− 4 ;−1,−2,−3

c) −6x3 + 29x2 − 14x− 24 ;−2

3,3

2,1

3

d) x4 − 2x3 − 3x2 + 8x− 4 ; 1, 2,−1

2. Escribe un polinomio con coeficientes enteros cuyas raıces sean:

a) −1, 2,−3

b) −1, 0, 2 y 3 de multiplicidad 2

c) 2 de multiplicidad 2 y −2 de multiplicidad 3

d)√

2,−√

2, 5

66


TEOREMA A.4.4 Sea P (x) un polinomio con coeficientes reales. Si un numero complejo

a + bi es raız del polinomio P (x), entonces su conjugado a − bi tambien es raız de P (x).

Mas aun, si P (x) tiene grado impar, entonces la ecuacion P (x) = 0 tiene al menos una raız

real.

TEOREMA A.4.5 Sea P (x) un polinomio con coeficientes racionales. Si un numero real de

la forma a+√b, con

√b irracional, es una raız de la ecuacion P (x) = 0, entonces el numero

a−√b tambien es una raız de la ecuacion P (x) = 0.

TEOREMA A.4.6 Sip

qes una fraccion irreductible que es una raız de la ecuacion:

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 = 0,

entonces p es divisor de a0 y q es divisor de an.

EJEMPLO A.4.3 Determinar todas las raıces reales de la ecuacion 2x4−3x3−2x2−18x−9 =

0.

Solucion: Los divisores de 9 y 2 son, respectivamente:

D(9) = {±1,± 3,± 9} ∧ D(2) = {±1,± 2},

entonces las posibles soluciones racionales de la ecuacion son:{± 1,± 1

2,± 3,± 3

2,± 9,± 9

2

}.

Para x = −1

2tenemos:

2 ·(− 1

2

)4

− 3 ·(− 1

2

)3

− 2 ·(− 1

2

)2

− 18 ·(− 1

2

)− 9 = 0.

Luego, −1

2es raız y

(x+

1

2

)es factor de 2x4 − 3x3 − 2x2 − 18x− 9 = 0.

Para x = 3 tenemos:

2 · 34 − 3 · 33 − 2 · 32 − 18 · 3− 9 = 0.

Luego, 3 es raız y (x− 3) es factor del polinomio.

La ecuacion 2x4− 3x3− 2x2− 18x− 9 = 0 no posee mas raıces racionales, lo cual se puede

comprobar como sigue: dividimos el polinomio por (x − 3) y obtenemos un cociente de

grado 3. Este cociente lo dividimos por(x+ 1

2

), y obtenemos un nuevo cociente de grado

67


2. Ahora, como este ultimo cociente es de grado 2 (a saber, 2x2 +2x+6), podemos estudiar

su discriminante, y obtendremos que el es negativo (discriminate es 22−4·2·6 = −44 < 0),

lo que quiere decir que las restantes raıces del polinomio son complejas conjugadas. De

hecho

P (x) = 2x4 − 3x3 − 2x2 − 18x− 9 = (x− 3)(2x+ 1)(x2 + x+ 3)

= 2(x− 3)(x+

1

2

)(x2 + x+ 3),

notando que x2 + x+ 3 > 0 para cualquier valor de x ∈ IR. De manera que

P (x) = 0⇔ (x = 3 ∨ x = 12) �

EJEMPLO A.4.4 Factorizar el polinomio x4 − 4x3 − 6x2 + 7x− 10.

Solucion: Las posibles raıces racionales del polinomio son los divisores de 10, a saber:

D(10) = {± 1,± 2,± 5,± 10}.

Ahora, aplicamos division sintetica y probamos con x = 5. Obtenemos:

Luego,

x4 − 4x3 − 6x2 + 7x− 10 = (x3 + x2 − x+ 2)(x− 5).

Ahora, buscamos algun factor del polinomio x3 +x2−x+ 2. Sus posibles raıces racionales

son los divisores de 2, a saber:

D(2) = {± 1,± 2}.

Ahora es facil chequear que (−2)3 + (−2)2 − (−2) + 2 = 0, de donde se concluye que −2

es una raız del polinomio. Entonces aplicamos division sintetica y obtenemos:

Luego,

x4 − 4x3 − 6x2 + 7x− 10 = (x+ 2)(x− 5)(x2 − x+ 1);

y en vista que x2 − x + 1 tiene discriminante negativo, concluimos que sus raıces

son complejas conjugadas. De esta forma, la factorizacion en IR del polinomio

x4 − 4x3 − 6x2 + 7x− 10, es (x+ 2)(x− 5)(x2 − x+ 1). �

68


EJERCICIOS A.4.2 hola poto

1. Determine las raıces racionales de las siguientes ecuaciones:

a) x4 − 2x3 − 3x2 + 8x− 4 = 0

b) x3 − 7x+ 6 = 0

c) x4 − x2 − x3 − x− 2 = 0

d) x6 − 7x4 − 7x3 + 7x+ 6 = 0

2. Factorice los siguientes polinomios:

a) x4 + 10x3 + 35x2 + 50x+ 24

b) 4x4 − 28x3 + 47x2 + 7x− 12

c) 2x4 − 5x3 − 20x2 − 22x− 15

d) 36x4 − 13x2 + 1

A.4.2. Relacion entre los coeficientes de una ecuacion P (x) = 0 y sus

raıces

Sea P (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 = 0, an 6= 0, dividiendo la ecuacion

por an tenemos:

xn +an−1

an

xn−1 + . . .+a2

an

x2 +a1

an

x+a0

an

= 0,

donde

−an−1

an

= suma de todas las raıces

−an−2

an

= suma de los productos de las raıces tomadas de dos en dos

−an−3

an

= suma de las raıces tomadas de tres en tres

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−1)n a0

an

= producto de todas las raıces.

EJEMPLO A.4.5 Si P (x) = ax2 + bx+ c tiene por raıces a r1 y r2, entonces

r1 + r2 = − ba

r1 · r2 =c

a�

69


EJEMPLO A.4.6 Si P (x) = ax3 + bx2 + cx+ d tiene por raıces a r1, r2 y r3, entonces

r1 + r2 + r3 = − ba

r1 · r2 + r1 · r3 + r2 · r3 =c

a

r1 · r2 · r3 = −da�

EJEMPLO A.4.7 Resolver la ecuacion x3 − 16x2 + 79x − 120 = 0 sabiendo que una de sus

raıces es 7 unidades menor que el producto de las otras dos y que las raıces son racionales.

Solucion: De acuerdo a la relacion entre coeficientes y raıces de una ecuacion sabemos

que:r1 + r2 + r3 = 16

r1 · r2 · r3 = 120

y por dato del problema podemos decir que:

r3 = r1 · r2 − 7

ası resolviendo el sistema:r1 + r2 + r3 = 16

r1 · r2 · r3 = 120

r3 + 7 = r1 · r2tenemos que

r23 + 7r3 − 120 = 0

(r3 + 15)(r3 − 8) = 0

Si r3 = −15 obtenemos,r1 + r2 = 31

r1 · r2 = −8

lo cual implica que

r1 =31 +

√993

2∧ r2 =

31−√

993

2

que no son racionales.

Por otro lado, si r3 = 8, obtenemos

r1 + r2 = 8

r1 · r2 = 15

70


lo cual implica que

r1 = 3 ∧ r2 = 5.

Por lo tanto la solucion es r1 = 3, r2 = 5 y r3 = 8.

EJERCICIOS A.4.3 ll

1. Hallar la relacion entre a y b para que p(x) = 2x4 − 7x3 + ax + b sea divisible por

(x− 3).

2. Demuestre que p(x) = 32x10 − 33x5 + 1 es divisible por (x− 1).

3. Hallar las raıces de la ecuacion x3−3x2 +kx+ 75 = 0, si la suma de dos de sus raıces

es igual a cero.

4. Sea p(x) = (αx − 1)xm + βmxm−1 + x − 2; m ∈ N. Determine α y β en funcion de m

de manera que p(x) sea divisible por (x2 − 3x+ 2).

5. Cuando x2 + 5x− 2 se divide por (x + n), el residuo o resto es −8. Determine todos

los posibles valores de n y compruebe que ellos son correctos dividiendo.

6. ¿Que numero debe sumarse a x3 + 2x2 para que el polinomio resultante sea divisible

por (x− 4)?

7. Si x3 + 3px+ q tiene un factor de la forma (x− a)2, demostrar que q2 + 4p3 = 0.

8. Encontrar un polinomio en x de tercer grado que se anule para x = 1 y para x = −2,

de manera que evaluado en x = −1 y x = 2 tenga los valores 4 y 28 respectivamente.

9. Demostrar que si un polinomio p(x) es divisible por x2 − a2, el resto es de la forma

Lx+M donde L = 12a

[p(a)− p(−a)]; M = 12[p(a) + p(−a)].

10. Encuentre las raıces y el coeficiente k de la ecuacion 3x3 + kx2 + 8x+ 4, sabiendo que

tiene un par de raıces reales e iguales.

11. Hallar los valores de a y b de manera que el trinomio ax4 + bx3 + 1 sea divisible por

(x− 1)2.

12. Sabiendo que 2 es una solucion de la ecuacion x3 + 6x2 + k+ 8, encuentre el valor de

k y determine el conjunto solucion de la ecuacion.

71


13. Encuentre todas las raıces de p(x) = x5 + 2x2 − 3x3 − 4x− 8.

14. Determine el resto de la division de s(x) por p(x), donde s(x) = 2x − 5 y p(x) =

4x4 + 13x3 + 2x2 + 16x+ 8.

15. Determine la raız de multiplicidad 2 del polinomio p(x) = 2x4+11x3+11x2−15x−9.

16. Determine los valores de las constantes a y b del polinomio p(x) = 2x3 + ax2 + bx− 8

si se sabe que: (x− 1) es un factor de p(x) y que al dividir p(x) por (x− 2) se obtiene

resto 4.

17. Determine todas las raıces racionales de la ecuacion x3 + 16x2 + 52x+ 48 = 0.

18. Determinar el valor de k de modo que al dividir x3 − k2x2 − kx − 6 por (x − 3) el

resto obtenido sea 15.

19. Demuestre que x− a es un divisor de xn − an.

72

Apendice B

Numero factorial y aplicaciones

Se llama numero factorial a un numero natural que denotamos por n! y que se define

como el producto de los primeros n numeros naturales; esto es:

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n− 2) · (n− 1) · n.

Ademas se define 0! = 1.

EJEMPLO B.0.8

1. 3! = 1 · 2 · 3 = 6.

2. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. �

B.1. Permutaciones

En terminos probabilısticos el numero n! corresponde a la cantidad de posibles

formas de ordenar n elementos. Esto es, n! corresponde al numero de permutaciones de n

elementos diferentes, el que denotamos por Pn. Luego,

Pn = n!.

EJEMPLO B.1.1

1. ¿ De cuantas formas se pueden ordenar 3 numeros distintos entre sı?

Solucion: Calculamos el numero de permutaciones posibles:

P3 = 3! = 6.

∴ existen 6 formas diferentes de ordenar 3 numeros distintos.

73

CAPITULO B. NUMERO FACTORIAL Y APLICACIONES

2. ¿ De cuantas formas pueden ubicarse 5 colores diferentes en una bandera de cinco

bandas?

Solucion: Calculamos el numero de permutaciones posibles:

P5 = 5! = 120.

∴ existen 120 formas diferentes de ubicar 5 colores diferentes en una bandera de

cinco bandas.

B.2. Permutaciones condicionadas

Supongamos que tenemos n objetos distintos y queremos saber de cuantas formas

pueden elegirse, tomando en cuenta el orden, k de ellos. ¿Como lo hacemos?. El valor

que responde a esta interrogante es:

P(n,k) =n!

(n− k)!

que corresponde al numero de permutaciones de n elementos tomados en grupos de k.

EJEMPLO B.2.1 Supongamos que tenemos cuatro objetos.

1. ¿De cuantas formas diferentes puedo ordenarlos en grupos de 3?

Solucion: Calculamos

P(4,3) =4!

(4− 3)!=

24

1= 24

∴ podemos ordenarlos de 24 formas diferentes en grupos de 3.



P(4,2) =4!

(4− 2)!=

24

2= 12

∴ podemos ordenarlos de 12 formas diferentes en grupos de 2.



P(4,1) =4!

(4− 1)!=

24

6= 4.

∴ podemos ordenarlos de 4 formas diferentes en grupos de 1. �

OBSERVACION B.2.1 En las permutaciones interesa el orden de los objetos.

74

B.3. COMBINATORIA

B.3. Combinatoria

Supongamos que tenemos n objetos distintos y queremos saber de cuantas formas

pueden escogerse, sin importar el orden, k de ellos. ¿Como lo hacemos?. El valor que

responde a esta interrogante es:

C(n,k) =( n

k

)=

n!

k!(n− k)!

que corresponde al numero de combinaciones de n elementos tomados en grupos de k.

EJEMPLO B.3.1

1. ¿Cuantos comites de 3 personas pueden formarse en un grupo de 8 alumnos?


C(8,3) =( 8

3

)=

8!

3!(8− 3)!= 56.

∴ podemos formar 56 comites de 3 alumnos.

2. Una cierta comision gubernamental debe consistir de 2 economistas y 3 ingenieros.

Si 6 economistas y 5 ingenieros son candidatos para la designacion ¿Cuantas

comisiones diferentes se pueden formar?.

Solucion: De 6 economistas podemos escoger 2, entonces tenemos

C(6,2) =( 6

2

)=

6!

2!(6− 2)!= 30 posibilidades.

De 5 ingenieros podemos escoger 3, entonces tenemos

C(5,3) =( 5

3

)=

5!

3!(5− 3)!= 5 posibilidades.

Entonces el numero de comisiones que podemos hacer es 30 · 5 = 150.

3. Calcular el numero de diferentes manos de poker de 5 cartas que pueden repartirse

desde una baraja de 52 cartas.

75



C(52,2) =( 52

2

)=

52!

2!(52− 2)!= 2.598.960

∴ tenemos 2.598.960 posibilidades. �

OBSERVACION B.3.1 En las combinaciones NO interesa el orden de los objetos.

B.4. Algunas expresiones combinatoriales notables

1.( n

k

)=( n− 1

k − 1

)+( n− 1

k

).

2.( n

0

)= 1.

3.( n

n

)= 1.

4.( n

1

)= n.

5.( n

n− 1

)= n.

6.( n

k

)=( n

n− k

).

76

B.5. TEOREMA DEL BINOMIO

B.5. Teorema del Binomio

TEOREMA B.5.1 Sea n ∈ N ∪ {0} y sean a, b ∈ R. Entonces: (a+ b)n =n∑

k=0

( n

k

)an−kbk

EJEMPLO B.5.1

1. (a+ b)0 =( 0

0

)a0b0 = 1 · 1 · 1 = 1

2. (a+ b)1 =( 1

0

)a1−0b0 +

( 1

1

)a1−1b1 = a+ b

3. (a+ b)2 =( 2

0

)a2b0 +

( 2

1

)a1b1 +

( 2

2

)a0b2 = a2 + 2ab+ b2

4. (a+ b)3 =( 3

0

)a3b0 +

( 3

1

)a2b1 +

( 3

2

)a1b2 +

( 3

3

)a0b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

5. (a+ b)4 =( 4

0

)a4 +

( 4

1

)a3b+

( 4

2

)a2b2 +

( 4

3

)ab3 +

( 4

4

)b4

= a4 + 4a3b+6 a2b2 + 4ab3 + b4

6. Encontrar el termino del binomio (a + x)40 que contiene exactamente a la septima

potencia de x.

Solucion: Notar que

(a+ x)40 =40∑

k=0

( 40

k

)a40−kxk.

Entonces el termino que contiene a la potencia x7 es:

( 40

7

)a40−7x7.

7. Calcular el coeficiente numerico del sexto termino del binomio (3x+ 2)9.

Solucion: Notar que

(3x+ 2)9 =9∑

k=0

( 9

k

)(3x)9−k2k.

77


Entonces el coeficiente numerico del sexto termino esta dado por

( 9

5

)39−5 · 25 = 126 · 81 · 32 = 326.592.

8. Determinar el termino del binomio (3xy2 − 2xy

)9 que tiene factor literal x9y3.

Solucion: Notar que(3xy2 − 2x

y

)9

=9∑

k=0

( 9

k

)(3xy2)9−k

(− 2x

y

)k

=9∑

k=0

( 9

k

)(3)9−k(−2)kx9y18−3k.

Entonces el termino buscado es el sexto (esto es k = 5) y corresponde a:

( 9

5

)· 34 · (−2)5 · x9y3. �

78

as superiores (calculo)1.1

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