PROGRAMA MODULAR PARA ANLISIS PLANO DE ESTRUCTURAS ELSTICAS APLICANDO EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

Autores: Carlos Alfonzo Abella lvarez Gino Guiseppe Pannillo Majano

Juan Carlos Vielma Prez

RESUMEN MATLAB es una herramienta computacional que permite resolver problemas formulados de forma matemtica, con avanzadas opciones grficas, amplias funciones de resolucin numrica que se destaca en la manipulacin de matrices. Adems, MATLAB posee un entorno grfico llamado GUIDE el cual puede ser conectado con cdigos desarrollados dentro del programa en formato .m.

Debido a las exigencias requeridas por los programas de anlisis estructural en relacin a costos de licencia y facilidad de uso, se plantea el desarrollo de un programa de anlisis estructural dentro del entorno GUIDE, el cual es de libre acceso y fcil de utilizar, adems de incorporar una herramienta adicional para la enseanza de materias relacionadas a las estructuras. Este programa titulado Programa Modular de Estructuras, permite realizar anlisis esttico y dinmico lineal para estructuras en 2D, combinando el Mtodo de Rigidez Directa y el Mtodo de los Elementos Finitos para el anlisis esttico. Asimismo se incluye el Mtodo de Elementos Finitos y Mtodo de Masas Concentradas para el anlisis dinmico modal, adems de incorporar los espectros de diseo propuestos en la Norma COVENIN 1756:2001 y distintos mtodos de combinacin modal para el anlisis de la respuesta de la estructura debido a acciones ssmicas.

Los resultados obtenidos en el Programa Modular de Estructuras se comparan con ejemplos contenidos en diferentes trabajos y programas de uso comercial, resultando diferencias bastante bajas en la comparacin, y con ello la aceptacin de los resultados obtenidos con la idea principal de dar difusin al Mtodo de los Elementos Finitos entre la comunidad estudiantil y permitir el desarrollo de mdulos adicionales.

Palabras Clave: Estructuras, Elementos Finitos, MATLAB, Anlisis dinmico.

ABSTRACT MATLAB is a software tool that allows to solve problems

mathematically formulated with advanced graphics options, extensive numerical resolution that stands in the manipulation of matrices. In addition, MATLAB has a GUI called GUIDE, which can be connected within the program code developed in .m.

Due to the demands required by the structural analysis programs in relation to licensing costs and ease of use, there is the development of a structural analysis program in the GUIDE environment, which is freely available and easy to use, plus incorporate an additional tool for the teaching of subjects related to the structures. This program entitled Modular Structures, allows linear static and dynamic analysis for 2D structures, combining the direct stiffness method and finite element method for static analysis. Also included is the Method of Finite Elements and Concentrated Mass Method for modal dynamic analysis, while incorporating the design spectra proposed in the COVENIN 1756:2001 and different modal combination methods for analyzing the response of the structure due to seismic actions.

The results obtained in the Modular Structures are compared with examples in different jobs and commercial programs, resulting in differences rather low in comparison, and thus the acceptance of the results obtained with the idea to make available the method Finite Element among the student community and enable the development of additional modules.

Keywords: Structures, Finite Elements, MATLAB, Dynamic Analysis.

INTRODUCCIN En la actualidad gran parte de los programas estructurales

comerciales emplean el Mtodo de los Elementos Finitos como una opcin de clculo en el anlisis estructural, de all la importancia de comprender el mtodo, conocer sus alcances y la manera en que este se utiliza para ofrecer soluciones a problemas estructurales.

El Programa Modular de Estructuras es un programa para anlisis esttico y dinmico de estructuras en 2D, el cual se desarrolla bajo el software MATLAB que es una herramienta de clculo que posee su fuerte en el anlisis numrico, distintas y amplias opciones grficas, y gran capacidad de operacin de matrices.

El desarrollo del programa se ejecuta empleando archivos .m los cuales estn asociados a una interfaz grfica en el entorno GUIDE incorporado dentro de MATLAB. Estos archivos contienen los cdigos segn el tipo de estructura. Una vez creado el programa y posterior a la entrada de datos y el progreso sistemtico del mismo, se obtienen los resultados que son comparados con los obtenidos en diferentes programas estructurales de uso comercial.

Finalizado el proceso de evaluacin del programa, se procede a incorporar el manual de usuario con el propsito de explicar de manera

sencilla el funcionamiento del Programa Modular de Estructuras, desde la fase de entrada de datos hasta la fase de los resultados, adems de contar con una serie de ejercicios resueltos. Asimismo el Programa Modular de Estructuras tiene un ejecutable que permitir utilizar el programa de manera independiente de MATLAB.

PROCEDIMIENTO GENERAL El programa modular de estructuras combina el mtodo matricial de rigideces con el mtodo de los elementos finitos enfocado en el anlisis de elementos tipo barra, elementos tipo viga y la combinacin de ambos para el anlisis de elementos tipo prtico.

La elaboracin del programa se realiza empleando el paquete computacional MATLAB, para lo cual es necesario el estudio del ambiente en el cual se desarrolla el programa, los comandos especficos de MATLAB, el entorno grfico, las operaciones entre matrices, vectores y escalares, aparte de la modalidad GUIDE (Graphical User Interfase Development Environment).

El siguiente paso involucra el diseo de los algoritmos desarrollados bajo ambiente MATLAB. Estos algoritmos son creados y almacenados en archivos .m. Los mdulos contienen los algoritmos que conforman los datos de entrada del programa fuente, como son: geometra, restricciones, cargas nodales y sobre los elementos, propiedades mecnicas y asignacin de masas entre otros. En funcin de los datos se calcula la matriz de rigidez de cada elemento para as formar la matriz de rigidez global de la estructura. Por medio de la matriz de rigidez global se calculan las fuerzas y desplazamientos nodales en direccin de los ejes globales. Las fuerzas y desplazamientos en direccin de los ejes locales se calculan utilizando la matriz de transformacin de coordenadas, las cuales sern usadas como

condiciones de frontera para emplear el mtodo de los elementos finitos. Los valores de fuerzas axiales, cortantes, momentos y la deformada a lo largo de los elementos sern determinados por medio de las funciones de forma. La matriz de rigidez global en conjunto con la matriz de masas permitir obtener la respuesta dinmica modal resolviendo el problema de autovalores y autovectores. A partir de los espectros de aceleracin horizontal se resuelven los desplazamientos horizontales y en funcin de la matriz de rigidez de la estructura se consiguen los desplazamientos restantes para cada modo de vibracin. Conocidos todos los desplazamientos de la estructura se calculan los valores de fuerzas internas, reacciones y deformaciones, combinando la respuesta obtenida en cada modo por medio de ecuaciones probabilsticas que permiten obtener la respuesta mxima probable de la estructura.

Los mdulos fueron programados en archivos .m y conectados con la interfaz grfica GUIDE que ofrece una forma amigable y modificable para la introduccin de datos de entrada. Una vez introducidos los datos de entrada, se ejecutar el programa a travs de los diferentes command button dispuestos para ello, por medio de los cuales se muestran los resultados obtenidos a travs de grficos y tablas.

Para validar el programa se plantean diferentes casos de estudio de estructuras planas que incluyen armaduras, vigas y prticos. Los resultados obtenidos mediante el Programa Modular de Estructuras (reacciones, desplazamientos, perodos, factores de participacin modal entre otros) se comparan con los resultados obtenidos en los programas de uso comercial que utilicen el Mtodo de los Elementos Finitos o con ejemplos resueltos de bibliografas referenciadas. De manera general, el proceso computacional puede ser dividido en tres fases: Pre-proceso, Anlisis y Post-proceso. En la Figura 1 se observa el flujograma de las fases del proceso computacional del Mdulo Prtico 2D.

Figura 1 Flujograma del Mdulo Prtico 2D.

Pre-proceso El primer paso es construir un modelo de la estructura a ser analizada

(entrada de datos de la estructura). El objetivo principal del modelo es representar de manera realista los parmetros importantes y caractersticas del modelo real. Esta fase del proceso est destinada a la recoleccin de datos.

Geometra de la estructura: La geometra de la estructura queda definida por la ubicacin de los nodos y la conectividad de los elementos. Segn el modulo a utilizar la geometra del modelo se construye de dos maneras:

Introduciendo las coordenadas nodales que definen la ubicacin de cada nodo en el modelo. Para cada elemento se introduce el nodo inicial y el nodo final con la finalidad de generar la conectividad y definir el sistema de coordenadas local de cada elemento.

Introduciendo el nmero de tramos y pisos, adems de la longitud de cada tramo y la altura de cada piso. Con ello se genera de manera automtica la ubicacin de cada nodo y la conectividad de los elementos.

Propiedades de los elementos: Las propiedades geomtricas y mecnicas de cada elemento se consiguen introduciendo los valores de rea, inercia, mdulo de elasticidad y densidad.

Condiciones de apoyo, asignacin de masas, fuerzas y desplazamientos impuestos: A cada nodo del modelo es posible asignar fuerzas y momentos, restringir el movimiento e imponer un valor de desplazamiento. Para cada elemento es posible asignarle fuerzas distribuidas tanto trasversales como longitudinales. Las masas son asignadas al modelo segn el modulo seleccionado, y pueden ser de dos tipos:

Masas provenientes de cada elemento. La masa del elemento se genera en funcin de la longitud, rea y densidad de cada elemento.

Masas asignadas a cada nivel.

Generacin del espectro y tipo de combinacin modal: El espectro de diseo es generado de manera rpida y automtica modificando solo los parmetros presentados en la ventana grfica basados en la Norma Venezolana COVENIN 1756:2001. Tambin se presenta una ventana que permite seleccionar el mtodo de combinacin modal para el anlisis dinmico.

Anlisis Posterior a la fase de entrada de datos, se construyen las matrices de rigidez en funcin de las propiedades geomtricas y mecnicas de cada elemento y la matriz de masas, bien sea en funcin de las propiedades de cada elemento o de la masa asignada a cada nivel. El proceso de anlisis se subdivide en tres partes:

Anlisis esttico lineal: En el anlisis esttico lineal se consiguen los valores de desplazamientos libres, luego se resuelven los valores de fuerzas asociados a los nodos restringidos (reacciones), todo sto en funcin de la matriz de rigidez de la estructura, la cual se particiona en funcin de los desplazamientos libres y restringidos.

La Ecuacin (1) muestra el equilibrio esttico de la estructura donde las fuerzas son expresadas en funcin de la rigidez multiplicada por los desplazamientos nodales.

(1)

Anlisis dinmico lineal (Modal): El anlisis dinmico modal se enfoca en resolver el problema de autovalores y autovectores expresados en la Ecuacin (2) en funcin de la matriz de masas y la matriz de rigidez de la estructura.

(2)

La solucin de la Ecuacin (2) resulta en dos matrices conocidas como matriz modal y matriz espectral , donde n es el nmero de modos o formas de vibrar de la estructura.

(3)

Con los valores de la matriz espectral se consiguen los valores de la frecuencia circular (4), la frecuencia f (5) y el perodo T (6)

(4)

(5)

(6)

El factor de participacin modal i se calcula en funcin de la matriz de masa y el vector columna i de la matriz modal.

(7)

Anlisis dinmico lineal (Modal espectral): El anlisis dinmico modal espectral se enfoca en el clculo de los desplazamientos causados por la aceleracin de la base de la estructura como consecuencia de la accin de un sismo. Los desplazamientos horizontales de cada nodo en cada modo de vibracin se consiguen por medio de la Ecuacin (8), donde los valores de

aceleracin se obtienen del espectro horizontal de respuesta con el valor del perodo para cada modo de vibracin.

(8)

Los desplazamientos verticales y las rotaciones de los nodos se consiguen en funcin de la rigidez de la estructura y los desplazamientos horizontales por medio de la ecuacin

(9)

Post-proceso

Se puede acceder a los resultados de diferentes maneras:

Por medio de grficos, que permiten visualizar la deformada de la estructura tanto para anlisis esttico como para el anlisis dinmico. Tambin se permite visualizar los valores de momento flector, fuerza cortante y deflexin a lo largo de cada elemento.

Por medio de grfico de barras, dispuesto solamente en el Mdulo Edificio de corte 2D, el cual permite visualizar los desplazamientos, fuerzas ssmicas, fuerzas cortantes y derivas como resultados del anlisis dinmico modal espectral.

Visualizacin de resultados por medio de una caja de texto, la cual presenta los datos con los cuales se realizaron el anlisis del modelo, los resultados del anlisis esttico (reacciones desplazamientos fuerzas y deformaciones de los elementos), resultados del anlisis modal (periodos frecuencias factores de participacin modal) y los resultados del anlisis dinmico modal espectral (Fuerzas, desplazamientos entre otros, indicando

bajo qu tipo de combinacin modal se obtienen las respuestas mximas probables).

VALIDACIN DEL CDIGO

El procedimiento de validacin esta basado en la comparacin de los resultados obtenidos en el Programa Modular de Estructuras con los obtenidos en las diferentes fuentes bibliogrficas y programas de uso comercial. La diferencia en porcentaje se calcula mediante la siguiente ecuacin:

(10)

Ejemplo Viga continua-Solucin utilizando el Mtodo de los Elementos Finitos y el Mtodo de Masas Concentradas

Utilizando una estructura tipo viga, se busca con este ejemplo verificar el Programa Modular de Estructuras para el anlisis dinmico modal, adems de comparar el Mtodo de los Elementos Finitos y el Mtodo de Masas Concentradas con la solucin exacta, ver Figura 2. La solucin exacta est dada por:

(11)

Donde n es el nmero del modo.

Figura 2 Geometra del ejemplo.

Para la solucin del ejemplo, se considera , y

Solucin con PME

Geometra: Para asignar las coordenadas de cada nodo, se selecciona , despus se introduce la coordenada X de cada

nodo y se presiona el botn . Para establecer los elementos, se escoge la opcin . Seguidamente se asigna el nodo inicial y el nodo final definiendo la conectividad del elemento para posteriormente presionar el botn . La Figura 3 muestra las coordenadas asignadas a cada nodo y la conectividad de los elementos en sus respectivas ventanas grficas.

(a)

(b)

Figura 3 Ventanas grficas. (a) Definir nodos y (b) Definir elementos.

Una vez introducidos los datos geomtricos se puede visualizar la disposicin de los nodos y elementos con sus respectivas etiquetas presionando el botn Mostrar estructura en la barra de herramientas, tal y como se muestra en la Figura 4.

Figura 4 Visualizacin del modelo. Propiedades: Para introducir las propiedades del material y de la seccin se selecciona la opcin . En el recuadro de propiedades (ver Figura 5) se introduce el rea, modulo de elasticidad, inercia y densidad del elemento, luego se presiona el botn

.

Figura 5 Ventana grfica. Asignar Seccin/Material.

Condiciones: Los apoyos se asignan al modelo presionando el comando , se selecciona el nodo al cual se le asignar la

restriccin y se marca el check segn la direccin de la restriccin, luego se presiona el botn . Ver Figura 6.

Figura 6 Ventana grfica. Restricciones.

Anlisis: Una vez introducidos todos los datos de entrada, se selecciona la opcin se presiona el botn Analizar Viga continua en la barra de herramientas. Con ello se realizan todas las operaciones de clculo.

Resultados: Los resultados se muestran seleccionando la opcin , luego se selecciona . En la Figura 7 se muestra la pantalla de resultados. El mtodo de anlisis dinmico (Mtodo de los Elementos Finitos o Mtodo de Masas Concentradas) se selecciona presionando el botn en la barra de herramientas. De esta manera se tienen disponibles los resultados para el mtodo dinmico seleccionado.

Figura 7 Resultados en pantalla del ejemplo.

Validacin de los resultados

Los resultados obtenidos con el PME han sido comparados con los obtenidos en el texto Yang (1986), ver Tabla 1. Se utiliz como parmetro de comparacin la frecuencia circular utilizando el Mtodo de los elementos finitos. La diferencia en porcentaje se calcula segn la ecuacin (10).

Tabla 1 Comparacin de resultados para el ejemplo. Parmetro PME Yang (1986) Diferencia %

Adems de los resultados obtenidos para la viga discretizada con 2 elementos, se model la viga para una discretizacin con 3, 4, 5 y 6 elementos.

La Figura 8 muestra la comparacin (Mtodo de los Elementos finitos y el Mtodo de Masas Concentradas) con la solucin exacta para la

frecuencia circular de la viga en el primer modo de vibracin utilizando diferente nmero de elementos para la discretizacin.

Figura 8 Comparacin de resultados. Primer modo de vibracin.

CONCLUSIONES

El Programa Modular de Estructuras es un programa para anlisis en 2D esttico y dinmico lineal, que combina el mtodo de rigidez directa con el Mtodo de los Elementos Finitos y que brinda al usuario la posibilidad de realizar anlisis dinmico con dos diferentes mtodos. Adems posee una interfaz grfica sencilla, con opciones grficas y visualizacin de resultados que permite al usuario familiarizarse de forma intuitiva con las capacidades del programa.

Los algoritmos creados en MATLAB en archivos .m fueron divididos en cuatro mdulos que permiten el anlisis de estructuras tipo armadura, viga continua, prtico y edificio de cortante, obteniendo de esta manera una programacin ms sencilla.

Las estructuras modeladas como edificio de cortante contemplan una rigidez mayor en relacin a las modeladas por el Mtodo de los Elementos

Finitos. Esto se traduce en que para el edificio de cortante se tienen desplazamientos ms pequeos, perodos de vibraciones ms bajos con aceleraciones de diseo ms grades, y como consecuencia fuerzas ssmicas mayores.

Para la validacin del Programa Modular de Estructuras se realizaron diferentes ejemplos, los cuales fueron comparados con distintas bibliografas de anlisis estructural adems de programas de uso comercial, habindose obtenido resultados muy aproximados. En todos los casos las diferencias representaron un porcentaje bastante bajo en comparacin con los resultados de los ejemplos, con lo cual se concluye que los resultados obtenidos utilizando el PME son aceptables.

El trabajo de aprendizaje del uso del programa se facilita con el manual de usuario proporcionado por el mismo, el cual contiene los pasos y recomendaciones suficientes adems de ejercicios resueltos y bases tericas del programa.

El Mtodo de los Elementos Finitos en relacin al Mtodo de Masas Concentradas resulta ms exacto para un mismo nmero de elementos. Adems se obtienen resultados ms precisos con un nmero menor de elementos.

Como resultado final se lograron los objetivos planteados para la investigacin y se incluy dentro del anlisis dinmico el Mtodo de Masas Concentradas que complementa al programa modular de estructuras, adems de la generacin automtica del espectro y de diferentes tipos de combinaciones modales, hacindolo no solo ms atractivo al usuario sino tambin ms fcil de entender. La direccin web para descargar el programa es: http://ingenieria-sismorresistente.webnode.es/.

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