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ZARAGOZA / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / MATEMTICAS II / EXAMEN COMPLETO

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Instrucciones: Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones ycontestar a sus cuestiones. La puntuacin est detallada en cada una de las cuestiones o en

sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras; pero los resultados, tanto analticos

como grficos, debern estar debidamente justificados.

OPCIN A

A.1. Sean A y B las matrices siguientes:

=

011

020

101

A

=

200

011

110

B

Es fcil comprobar que ambas tienen el mximo rango, que es 3. Pero qu ocurre silas combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + Bsegn los valores del parmetro . (2,5 puntos)

A.2. Sea H la hiprbola de ecuacin xy = 4. Sean C1y C2dos circunferencias, ambascon centro el origen de coordenadas y tales que:a) C1es tangente a la hiprbola.

b) C2corta a la hiprbola H en un punto con abscisa 1.

Representa grficamente las tres cnicas anteriores (1 punto) y calcula el rea de lacorona circular encerrada entre las dos circunferencias. (1,5 puntos)

A.3. Sea la funcin xxxf cos)( = .a) Tiene lmite en +? (justifica tu respuesta). (1 punto)

b) Calcula la integral de fentre x = 0 y el primer cero positivo que tiene la funcin.Nota: Llamamos ceros de una funcin a aquellos puntos donde se anula (1,5 puntos)

A.4. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitudpara que doblndolo convenientemente hagan con el mismo un cuadriltero con loscuatro ngulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros comodecmetros cuadrados tenga de superficie el cuadriltero construido. Calcularazonadamente la cuanta del mximo premio que se pueda obtener en este concurso.(2,5 puntos)

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OPCIN B

B.1. a) Discute el sistema de ecuaciones:

==

=+

123

1

02

aazx

azyax

zyx

segn el valor del parmetro a. (1,5 puntos)b) Halla, si existe, la solucin cuando a= 0. (1 punto)

B.2. a) Halla, razonadamente la ecuacin del lugar geomtrico de los centros de las

circunferencias que pasan por los puntos (2, 0) y (0, 1). (1 punto)b) Entre todas estas circunferencias halla la ecuacin de aquella o aquellas cuyo

centro equidista de los ejes de coordenadas. (1,5 puntos)

B.3. Sea la funcin fdefinida para todo nmero real x en la forma:

+

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Solucin OPCIN A

Cuestin A1:

Efectivamente los rangos de A y B son 3, pues: A = 2 0 y B = 2 0

La matriz A + B =

+

+

=

+

211

02

11

200

011

110

011

020

101

Su determinante vale: BA + = 2(1)2(+ 1) BA + = 0 si = 1 o = 1

En consecuencia:

Si1, r(A + B) = 3.

Si= 1 (r(A + B) < 3) A + B = A + B =

211

031

211

. Esta matriz tiene rango 2

pues, por ejemplo,31

110

Si= 1 (r(A + B) < 3) A + B = A B =

211

011

011

, que tambin tiene

rango 2 pues, por ejemplo,21

01

0

Cuestin A2:

La representacin grfica es la siguiente:

La circunferencia C1es x2+ y2= 8, mientras que C2es x

2+ y2= 17.

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Ambas ecuaciones pueden justificarse con cierta facilidad. Veamos:

C1debe ser de la forma x2+ y2= r2y cortar en un solo punto a xy = 4. Despejando en la

segunda igualdad, y = 4/x, sustituyendo en la primera e imponiendo que la solucin sea nica,

se obtiene:

x2+ (4/x)2= r2 x4r2x2+ 16 = 0 2

164422 =rr

x

para que la solucin sea doble: r464 = 0 r2= 8 8=r

C2tiene centro (0, 0) y pasa por (1, 4); por tanto, su ecuacin es x2+ y2= 17; circunferencia

de radio 17=R

El rea de la corona circular ser:

ACC= R2r2= (17 8) = 9

Cuestin A3:

a) El xxlmx

cos+

no existe.

Una justificacin intuitiva consiste en decir que el coseno va oscilando entre 1 y + 1 y que,

por tanto, xxxf cos)( = variar continuamente entre y +.

Algo ms difcil es demostrarlo.

Supongamos que lxxlmx

=+

cos . Entones, para todo x > n (grande) se tendr que

n y x2= 2n + /2 > n, se llega a una contradiccin puessi, para x = 2n,

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[ ] 12

coscos2/

0

2/

0

=+=

xxsenxxdxx

Cuestin A4:

El mximo premio se obtiene cuando el cuadriltero tiene superficie mxima. Se trata, pues,

de obtener el rectngulo de mxima superficie y de permetro 2 m.

Se tiene: S = xyP = 2x + 2y = 2 y = 1 x

Sustituyendo: S = x(1 x) = 1x x2

Para mximo: S= 0 y S < 0.

S= 1 2x = 0 x = 1/2

S = 2, que es negativo.

El cuadriltero de superficie mxima es un cuadrado de lado 1/2 metro.