areas de regiones rectangulares y polares
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ÁREAS DE REGIONES EN COORDENADAS
RECTANGULARES Y POLARES
Manuel Humberto Castillo Farfán
CURSO: CÁLCULO INTEGRAL (MB 147)
PROFESOR: EDWIN TELLO GODOY
SECCIÓN: A
Lima, domingo 17 de noviembre de 2013
ÁREAS DE REGIONES EN COORDENADAS
RECTANGULARES Y POLARES
dx
a b
y=f(x)
dx
ÁREAS EN COORDENADAS RECTANGULARES
1. Sea la región R limitada por las gráficas de:
y=f ( x ) , x=a ; x=b; y=0
(f ( x )≥0;∀ x∈[a ,b ])
Hallar el área de la región R.
dA=f (x )dx
A (R )=∫a
b
f (x )dx
2. sea la región R limitada por las graficas de y=g ( x ) , x=a , x=b , y=0
¿Halla el área de R
dA=−g ( x )dx
A (R )=∫a
b
−g ( x )dx
3.
Se tiene laregión R limitada por las gráficas de : y=f ( x ) , y=g ( x ) , x=a , x=b(g (x )≤ f (x )∀ x∈ [a ,b ])
Halle el áreade laregión R
dA=( f ( x )−g ( x ) )dx
A (R )=∫a
b
( f (x )−g( x ) )dx
y=f (x )
y=g (x)
xa
b
dx
f ( x )−g( x )
d
dy
c
4. Sea R la región limitada por las gráficas de: x=h ( y) , y=c , y=d , x=0
(h ( y )≥0en[c ,d ])
Halle el área de la Región:
d A = h(y)dy
A(R) = ∫c
d
h ( y )dy x=h ( y)
d
dy
c
h( y)
5. Sea R la región limitada por las gráficas de: x=h ( y) , y=c , y=d , x=0
(h ( y )≤0en[c ,d ])
dA=−h ( y )dy
A (R )=∫c
d
−h ( y )dy
x=h ( y)
f(y)
dx
g(y)
6. Sea la región R limitada por las gráficas de:
x=f ( y ) , x=g( y) , y=c , y=d
( f ( y )≥ g( y )∀ y∈ [c ,d ] )
dA=(f ( y)−g ( y ))dy
A (R )=∫c
d
( f ( y )−g ( y ))dy
ÁREAS EN COORDENADAS POLARES
Diferencial de área en coordenadas polares:
Adθ=dθ . rad× π r2
2π rad
Adθ=dθ . r2
2
dA=(r¿¿2dθ)/2¿
dθ
r
dθ
θ
r
rdθ
1. Se tiene laregión R={(r , θ ) ϵ R2 ∕ 0≤r ≤ f (θ )∧ ε ≤θ≤α }
Halle el área de la región R.
dA=12f 2(θ)dθ
A (R )=12∫ε
δ
f 2(θ)dθ
Eje π2
Eje polar
ε
α
θ=α
θ=ε
r=f (θ)
polo
dθ
2. Se tiene la región R={(r , θ ) ϵ R2/ f (θ )≤ r ≤g (θ ) y ε ≤θ≤δ }
Halle el área de la región R.
dA=12
(g2 (θ )−f 2 (θ ) )dθ
A(R)=12∫ε
δ
(g2 (θ )−f 2 (θ ) ) dθ
δε
θ
Eje polar
R
r=f (θ )
r=g (θ )
Eje π2
EJERCICIOS
1. Se tiene la región R limitada en el primer cuadrante por las gráficas de:
xy=1 ; y=3 ; x−xy=1; x−xy=3
SOLUCIÓN
Sean: C1: y=1x;C2: y=
3x;C3: y=
x−1x
;C4: y=x−3x
Interceptando:
C1 y C3 :1x= x−1
x→ x=2→A=(2 ; 12 )C1 y C4:
1x= x−3
x→x=4→B=(4 ; 14 )
C2 y C3 :3x= x−1
x→ x=4→C=(4 ; 34 )C2 y C4: 3x= x−3
x→x=6→D=(6 ; 12 )
Graficando:
A.H.
y=3x
y=1x
y= x−1x
y= x−3x
dA2
dA1
1 2 3 64
1
1/4
1/2
3/4
R
dy
y
x
dA=d A1+d A2dA=[ x−1x −1x ]dx+[ 3x− x−3
x ]dx A=∫2
4
[1−1x−1x ]dx+∫4
6
[ 3x−1+ 3x ]dxA=∫
2
4
[1−2x ]dx+∫46
[−1+ 6x ]d xA=x−2Lnx|42− x+6 Lnx|6
4
A=4−2 ln 4−2+2 ln 2−6+6 ln6+4−6 ln 4A=2 ln 12+6 ln 3
2A=2 ln 1
2+2 ln 27
8
A=2 ln 2716u2
2. Halle el área de la región limitada por las gráficas de x= y 4−8 y2; x=− y2+8
SOLUCIÓN
Se grafican las funciones:
El área a hallar es R:
A=R=∫−√8
√8
(− y2+8− y4+8 y2)dy
R=2∫0
√8
(− y4+7 y2+8)dy
¿−2 y5
5¿0
√8+ 14 y3
3¿0
√8+2 y ¿0√8
¿(−1285
+ 1123
+2)√8
−16
R = 20615
√8u2
3. Halle el área de la región limitada por las graficas de:
Y = sen(x-π8
) y Y = cos(x-π8
) x = 0 , x = 5π8
SOLUCIÓN
Área(R) = ∫0
5π8
sen (x− π8)dx- ∫
0
5π8
cos (x−π8
)dx
Área(R) = -sen(x-π8
) - cos(x-π8
) evaluado de 5π8
a 0
Área(R) = -sen(π2
) + sen(π8
) - cos(π2
) + cos(π8
)
Área(R) = 0.306