Áreas das figuras planas prof. carlos a. gomes. medir uma grandeza significa compará-la com outra...
TRANSCRIPT
ÁREAS DAS FIGURAS PLANASPROF. Carlos A. Gomes
Medir uma grandeza significa compará-la com outra de mesma espécie que é tomada por unidade.
* O que significa medir uma grandeza?
* O que é a área de uma figura plana?
É uma medida da porção do plano que é cercada (ocupada) pela figura.
* Como encontrar a medida da área de uma figura plana?
Devemos comparar a sua superfície (porção do plano queela ocupa) com a de outra figura que é tomada como uni-dade.
* Qual uma boa sugestão para a unidade de área ?
Um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento.(ele será chamado de quadrado unitário)
1
1 u.a.
Definição geral de área
Dado um polígono P associamos a esse polígono um número real não negativo, chamado de área de P com as seguintes propriedades:
I – Polígonos congruentes têm áreas iguais.
II – Se P é um quadrado de lado 1, então (área de P) = 1.
III – Se P pode ser decomposto como a reunião de nPolígonos P1.P2,...,Pn tais que dois quaisquer delestêm em comum no máximo alguns lados, então
n
kk 1
área de P P
Áreas das principais figuras planas
QUADRADOS
RETÂNGULOS
PARALELOGRAMOS
TRIÂNGULOS
TRAPÉZIOS
LOSANGOS
CÍRCULOS
* Quadrados
Partindo da definição, num curso mais rigoroso, pode-se demonstrar que a medida de um quadrado de lado a é a2.
a
a u.a.2
* Retângulos
Por quê?
b
b
b b
h
h
h
h
A = b.h
b
h
A
A2b
2h
2 2 2b h 2.A b h
2 2 2 2b 2.b.h h 2.A b h
A b.h
* Paralelogramos
A = b.h
b
h
Por quê?
b
h
b
h
Logo, A = b.h
* Triângulos
b
hb.h
A2
Por quê?
b
hb.h
A2
* Observação importante !
a
b
c
a.hA
2b.h
A2
c.hA
2
a
bc
ha
hb hc
Outras formas de calcular a área de um triângulo:
a
bc
A
B C a
bc
ha
A
B C
Sabemos que: a1
A a.h2
Mas, ahsen
c ah c.sen
E daí, a1
A a.h2
1
A .a.c.sen2
De um modo geral temos que:
a
bc
A
B C
1A .a.c.sen
21
A .a.b.sen21
A .b.c.sen2
Área de um triângulo em função do semi-perímetro edo raio da circunferência inscrita.
a
bc
A
B C
r
A p.r
a b cOnde, p
2
Por quê ?
a
bc
A
B C
r
rr
a.rA
2 + b.r
2+
c.r2
a b cA .r
2
A p.r
Observação importante!!!
Na verdade a fórmula A=p.r funciona para qualquer Polígono circunscritível
A p.r
Área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita.
a
bc
A
B C
Ra.b.c
A4.R
Por quê ?
Lembre que:
a
bc
A
B C
R a b c2.R
sen sen sen
( Lei dos senos )
Já sabemos que:1
A .a.c.sen2
Mas,
b b2.R sen
sen 2.R
1 bA a.c.
2 2.R a.b.c
A4.R
Fórmula de Heron
a
bc
A
B C
A p. p a . p b . p c
Onde,a b c
p2
Por quê ?
Quando 90°,
tg .tg tg .tg tg .tg 1
Pois, 90 90
Assim,
90 tg tg 90 tg cot g
Mas,1
cot gtg
a
bc
A
B C
r
rr
Note que =180° e
assim temos que =90°,
E daí temos que:
tg tg 1tg cot g
1 tg .tg tg
tg tg 1tg . tg tg 1 tg .tg
1 tg .tg tg
tg . tg tg 1 tg .tg
tg .tg tg .tg tg .tg 1
Mas,
a
bc
A
B C
r
rr
x
x y
y
zz2p 2x 2y 2z
x p b
p x y z y p c
z p a
Perceba que:r r r
tg , tg e tgz x y
Mas, tg .tg tg .tg tg .tg 1
Assim,
2 2 2 2r . x y z r .p r pr r r r r r. . . 1 1 1 1
z x z y x y xyz xyz p.xyz
Sabemos que A = p.r . Assim temos que:
22 2 2prr p A1 1 1 A p.xyz
p.xyz p.xyz p.xyz
Lembrando que
x p b
p x y z y p c
z p a
Segue que
A p.xyz A p. p a . p b . p c
Algumas observações importantes:
I. Qual dos triângulos abaixo possui a maior área?
(r)/ / (s)
(s)
Os dois triângulos têm a mesma área. A área de umtriângulo não se altera quando a sua base permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela a base
II. Num triângulo qualquer uma das suas medianas o divide em dois triângulos de mesma área
h
III. As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos de mesma área.
IV – Se no lugar das medianas tivermos três cevianasconcorrentes quaisquer, demonstra-se que:
1
2
3 45
6
1 3 5 2 64A .A .A A .A .A
(Teorema de Ceva para áreas)
V – Quando dois triângulos são semelhantes com razão deSemelhança k suas áreas apresentam razão k2. (por quê ?)
VI – Quando dois triângulos têm a mesma altura a razãodas suas áreas é igual a razão das suas bases.(por quê?)
VII - Área de um triângulo equilátero.
a
ah a
2a 3
a.b.h a 32A A2 2 4
VIII – Área de um hexágono regular.
a
a
a
a
a
a
2 2
Ta 3 3a 3
A 6.A 6.4 2
* Trapézio
h
B
b
B b .hA
2
Por quê?
h
B
b
B-b
b
h
b
B b .h B b .hA bh A
2 2
* Losango
D
dD.d
A2
Por quê?
T
D d. D.d2 2A 4.A A 4. A2 2
D/ 2
d/2
* Círculos
Já vimos que
A p.r
Tomando um polígono regular com um grande número de lados, isto é, o número de lados tendendo ao infinito, temos que esse polígono tende a uma circunferência.
Assim temos que:
Tn n n
a.h nahA n.A n.lim lim lim
2 2
Ra
R
R
n (n lados)
Tn n n
a.h nahA n.A n.lim lim lim
2 2
Note que :na 2 R
nh R
E daí concluímos que:
2
n
nah 2 RRA A A Rlim
2 2
FIM !