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AREA DE MATEMÁTICAS PROBLEMARIO DE ALGEBRA II, 2015

UNIDAD I FUNCIÓN LINEAL

ELABORÓ: JUAN SUÁREZ SÁNCHEZ

a. Variación Directamente Proporcional (VDP)

y=kx

1. Cierto fenómeno en que se presenta un comportamiento de variación directamente proporcional,

tiene el siguiente modelo matemático: y=3x

a. Construye la gráfica del mismo

b. ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad k en el modelo?

2. Para los datos presentados:

a. Completa la tabla

b. Obtén el valor de k

c. Construye el modelo matemático que describa el comportamiento de variación que

presentan entre sí las cantidades tabuladas:

3. Se tiene un fenómeno de VDP cuyos valores son los mostrados en la tabla. Si se sabe además

que :

a. Completa la tabla

b. Grafica los datos

c. Obtén el modelo matemático que describe el fenómeno

2

4. Completa la siguiente tabla. Construye la gráfica y el modelo matemático que describa el

comportamiento de los datos.

5. Obtén el modelo matemático de la siguiente gráfica:

3

6. Sombras de objetos. En un instante dado la longitud de una sombra es directamente

proporcional a la altura del objeto que la produce. Si un anuncio de dos metros de altura produce

una sombra de 0.8 metros de largo.

a. Llena la siguiente tabla.

b. Gráfica en el plano cartesiano.

c. ¿Con qué expresión algebraica se representa esta situación?

Con ayuda de la expresión algebraica contesta las siguientes preguntas:

d. ¿Cuál es la altura de un árbol cuya sombra es de 4 metros?

e. ¿Cuál es la longitud de la sombra de un edificio de 12 metros de altura?

7. Termómetro. Un termómetro está formado por dos bulbos que contiene gas, cada uno de los

cuales se encuentra en los recipientes A y B con agua, como se indica en la figura.

La diferencia de presión entre los dos bulbos se mide por medio de un manómetro de mercurio

( Diferencia de presión). Los bulbos mantienen un volumen constante.

No hay diferencia de presión cuando ambos recipientes de encuentran a 0º C, ( ). La

diferencia de presión es de 120 mmHg cuando un

recipiente esta a 0º C y el otro a 100º C. Finalmente, la

diferencia de presión es de 90 mmHg, cuando un

recipiente está a 0ºC y el otro a una temperatura

desconocida que se va a medir.

Considerando que la diferencia de presión es una VDP,

a. ¿Cuál es la temperatura desconocida?

b. Escribe al modelo matemático que representa la

variación de presión.

8. Ley de Hooke. La Ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado

unidades más que su longitud natural es directamente proporcional a . La constante de

proporcionalidad se denomina constante del resorte.

a. Escriba la ley de Hooke como una ecuación.

b. Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se requiere un fuerza de 40 N para

mantener estirado el resorte a una longitud de 15 cm, encuentre la constante del resorte.

c. ¿Qué fuerza es necesaria para mantener estirado el resorte a una longitud de 14 cm?

4

9. Ley del Péndulo. El período de un péndulo (tiempo transcurrido durante una oscilación

completa del péndulo) varía directamente con la raíz cuadrada de la longitud del péndulo.

a. Exprese esta relación escribiendo una ecuación.

b. Para duplicar el período, ¿cómo tendríamos que cambiar la longitud ?

10. Área de un triángulo. Dibuja un triángulo isósceles cuya base mida 5 cm, con una altura que

creas conveniente.

a. Genera una tabla donde presentes los datos de diferentes valores de altura con su área

correspondiente.

b. Grafica los pares ordenados (altura, área) obtenidos

c. Escribe la fórmula para encontrar el área del triángulo en función de las variables y

constantes del problema.

11. Impuestos a través del tiempo. Si el impuesto sobre la propiedad varía directamente

proporcional a la valuación. ¿Cuál es la constante k de proporcionalidad cuando una casa de

$90,000.00 paga $382.50 de impuestos?

a. b.

c.

b. Un par de problemas para la extensión del concepto (opcionales)

12. Potencia necesaria para impulsar un bote. La potencia (medida en caballos de fuerza, hp)

necesaria para impulsar un bote es directamente proporcional al cubo de la velocidad . Es

necesario un motor de 80 hp para impulsar cierto bote a 10 nudos. encuentre la potencia

necesaria para mover el bote a 15 nudos.

13. Ley de Boyle. La presión de un muestra de gas es directamente proporcional a la temperatura

e inversamente proporcional al volumen .

a. Escriba una ecuación que exprese la variación.

b. Encuentra la constante de proporcionalidad si 100 L de gas ejercen una presión de 33.2

kPa a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta medida en la escala Kelvin).

c. Si la temperatura se aumenta a 500 K y el volumen se disminuye a 80 L, ¿cuál es la

presión del gas?

5

c. Función Lineal (FL)

y=mx+b

1. Microbiología. Un cultivo de bacterias se hace crecer en un medio nutritivo líquido, dentro de

un tanque aireado y con agitación mediante una propela para mantener el medio homogéneo

(como se muestra en la figura). Se toman muestras del cultivo cada dos horas, observándose el

siguiente comportamiento.

a. Construye la gráfica con los datos que se te proporcionan en la tabla

b. Suponiendo que el crecimiento bacteriano puede continuar infinitamente, construye un

modelo matemático, que permita conocer el número de bacterias por mililitro en

cualquier momento a partir del inicio del cultivo. Para ello calcula la constante de

proporción (pendiente de la recta) en la tabla anterior y auxiliarte de ella.

c. Si se toma una muestra del cultivo a las 13 horas, ¿Que concentración de bacterias por

mililitro se tendrá en ese instante?.

d. Si me interesa detener el cultivo en el momento que la concentración de bacterias por

mililitro sea de 7.5 x 103 , ¿Qué edad tendrá el cultivo en ese instante.

2. Modelos moleculares. Los alcanos alifáticos lineales son moléculas orgánicas que se componen

solo de carbono e hidrógeno. El carbono al ser un átomo tetravalente, acepta 4 enlaces sobre sí.

De este modo se tienen las estructuras fundamentales siguientes:

a. A partir de las estructuras anteriores estructuras completa la tabla siguiente:

6

Establece el modelo matemático para calcular el número de átomos de hidrógeno contenidos en

cualquier alcano, en base al número de átomos de carbono de su estructura.

b. Grafíca los datos de la tabla

c. ¿Cuantos átomos de hidrógeno tiene una molécula de nonano?

3. Pago de un préstamo. Un estudiante universitario recibe un préstamo sin intereses de $8250 de

un familiar. El estudiante pagara $125 al mes hasta pagar el préstamo.

a. Expresa la cantidad P(en pesos) pendiente de pago en términos del tiempo t (en meses).

b. ¿Después de cuantos meses el estudiante deberá $5000?

c. Trace, en un plano P t una gráfica que muestre la relación entre P y t para la duración

del préstamo.

4. Escalas de temperatura. El siguiente modelo matemático relaciona dos escalas diferentes de

temperatura, la absoluta o Kelvin (º K) y la centígrada (º C), del siguiente modo:

.

Dando como valido sin más el modelo anterior, completa la siguiente tabla:

a. Grafica los datos

b. ¿Cuál es el valor de m en el modelo matemático dado?

c. Después de comprobar si el modelo es válido para los datos tabulados anteriormente,

completa esta otra tabla.

5. Relación entre temperatura y elevación. A medida que el aire seco

sube, se dilata y enfría. Si temperatura al nivel del suelo es de 20ºC y

la temperatura a una altitud de 1 km es de 10ºC, exprese la

temperatura (en ºC) en términos de la altitud (en Km). (Suponga

que la relación entre y es lineal.)

7

6. Calentamiento global. Algunos científicos piensan que el promedio de temperatura de la

superficie de la Tierra ha estado subiendo constantemente. El promedio de temperatura de la

superficie se puede modelar con: donde T es la temperatura en ºC y t es “años

después de 1950”.

a. Grafica el modelo.

b. ¿Que representa la pendiente y el punto de intersección en T ?

c. Use la ecuación para pronosticar el promedio de temperatura de la superficie de la Tierra

en 2050?

7. Presión y profundidad. En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la del

aire que esta sobre el agua, . Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en

por cada 10 pies de descenso.

a. Encuentre una ecuación para la relación entre presión y profundidad debajo de la

superficie del océano.

b. Trace la gráfica de esta función lineal.

c. ¿Qué representan la pendiente y el punto de intersección de de la gráfica?

d. ¿A qué profundidad la presión es de ?

8. Pendiente de una carretera. Al poniente de la Ciudad de México, la ruta 40 que se dirige al

oriente es recta y con un agudo de descenso hacia la ciudad. La carretera tiene una pendiente de

6%, lo cual significa que su pendiente es de

.

Manejando en esta carretera, observa por señales de elevación que usted ha descendido una

distancia de 0.03 km. ¿Cuál es el cambio en su distancia horizontal?

8

9. Competencia atlética. Se realiza una competencia entre dos corredores.

Durante el desarrollo de la misma se registraron las distancias y tiempos de ambos. Los datos

obtenidos se muestran en la siguiente gráfica.

A partir de la información que puedes obtener de la gráfica contesta lo siguiente:

a. ¿Alguno de los corredores recibió ventaja? ¿En qué consistió dicha ventaja?

b. En qué momento el corredor A alcanza al corredor B?

c. ¿Cuál es la carrera de mayor distancia que el corredor B puede ganar?

d. Obtén los modelos matemáticos que representarían a las líneas que corresponden a cada

corredor.

10. Dosis de medicamento. Los productos farmacéuticos deben especificar dosis recomendadas

para adultos y niños. Dos fórmulas para modificar los niveles de medicamento en adultos y

niños, son:

Regla de Cowling:

y Regla de Friend:

donde denota dosis de adulto (en miligramos) y denota la edad del niño en años.

a. Si , grafique las dos ecuaciones lineales en el mismo plano de coordenadas para

.

b. ¿Para qué edad las dos fórmulas especifican las mismas dosis?

11. Análisis de parámetros. Llena la siguiente tabla y grafica cada una de las funciones lineales.

9

12. Ecuación a partir de elementos gráficos y geométricos. Obtén el modelo matemático de la

siguiente gráfica:

a. ¿Cuánto vale la ordenada “y” para un punto con abscisa (“x”) igual a 5?

b. ¿Cuánto vale la ordenada “y” para un punto con abscisa (“x”) igual a 7?

c. Usando el mismo procedimiento para calcular los incisos a) y b), completa la tabla

siguiente:

13. Dominio y Rango de una función lineal. Las siguientes funciones lineales se muestran con

algunos de sus pares ordenados:

a. Trazar las gráficas.

b. Expresa cada función mediante su modelo matemático (ecuación).

c. Determina su dominio y rango restringido.

14. Encuentra el Dominio y Rango de las siguientes funciones lineales

a.

b.

c.

d.

e.

f.

10

15. Pendiente de una recta. Los siguientes pares ordenados pertenecen a una función lineal.

Determina el valor de la pendiente y encuentra el modelo matemático que las representa:

a. )

b.

c.

d.

16. Variación de parámetros en la función lineal. Graficar en el mismo plano cartesiano los

siguientes grupos de funciones lineales

a. ; con

b. ; con

c. ; con

d. ; con

17. Ecuaciones a partir de gráficas. Encuentra los modelos matemáticos (ecuaciones) de las

funciones lineales que corresponden a cada uno de los lados del pentágono de la figura anexa

(escribe las ecuaciones en el lado que corresponda):

18. Acotando un polígono. Grafica juntas en el plano cartesiano las siguientes funciones lineales e

ilumina la figura que acotan:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

11

19. Asocia a cada función en la gráfica su ecuación correspondiente (escribe la ecuación sobre la

recta que corresponda) y establece para cada una cual es el valor de su pendiente.

a.

b.

c.

d.

d. Un problema para la extensión del concepto (opcional)

20. Juego de video. En el juego de video que se muestra en la figura, un avión vuela de izquierda a

derecha a lo largo de la trayectoria dada por

y dispara balas en la dirección tangente a

criaturas colocadas sobre el eje en

Mediante un cálculo, la pendiente de

la recta tangente a la trayectoria en

es y en (

) es

. Determine si una criatura

será blanco de balas cuando el avión

esté en

a. El punto .

b. El punto .

12

UNIDAD II SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.

Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos gráfico y de suma y resta.

1.

Sol.

2.

Sol.

3.

Sol.

4.

Sol. Inconsistentes (o

incompatibles, paralelas)

5.

Sol.

6.

Sol Dependientes (o

ecuaciones equivalentes)

7.

Sol.

8.

Sol.

9.

Sol. (

)

Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de determinantes, sustitución e igualación.

10.

Sol.

11.

Sol.

12.

Sol.

13.

Sol.

14.

Sol.

15.

Sol.

16.

Sol.

17.

Sol.

18.

Sol. Inconsistentes (o

incompatibles, paralelas)

19.

Sol. (

)

20.

Sol. (

)

21.

Sol.

22.

Sol.

23.

Sol. Dependientes (o

ecuaciones equivalentes)

24.

Sol. (

)

13

Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva empleando

cualquier método

25.

Sol.

26.

Sol.

27.

Sol.

28.

Sol.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos métodos diferentes 29.

Sol. (

)

30.

Sol.

Resuélvase para

y para

, y después para y para , los siguientes sistemas

31.

Sol. (

),

32.

Sol. (

),

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

Resuelva las ecuaciones siguientes para , Cada una Por los métodos de reducción (suma y resta) y

determinantes.

36.

Sol.

37.

Sol.

38.

Sol.

39.

Sol.

40.

Sol.

41.

Sol.

14

42.

Sol.

43.

Sol.

44.

Sol.

45.

Sol.

PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

Problemas sobre números:

50. La suma de dos números es el doble que su diferencia. El número más grande es el doble del menor más 6.

Sol. 18 y 6 51. Un número es 5 unidades mayor que el triple de un segundo número. Encuentra esos

números, si la suma de ellos es de 77 unidades. Sol. 59 y 18

52. Un número es 15 unidades mayor que otro. ¿Cuáles son esos números, si su suma es 193?

Sol. 104 y 89 53. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 7. Cuando los dígitos

se intercambian, el número se incrementa en 27. Hallar el número. Sol. 25

54. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 11, el dígito de las decenas es menor en 5 que el de las unidades.

Sol. 38

55. Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se aumentan en 5, la fracción resultante es 2/3. Sin embargo, si tanto el numerador como el denominador se disminuyen en 5, la fracción resultante equivale a 3/7. ¿Cuál es la fracción? Sol. Numerador 11, denominador 19

Problemas acerca de precios:

56. La cuota de entrada a un parque de diversiones es de $1.50 por niño y $4 por adulto. Cierto día, 2200 personas entraron al parque, y se recibieron $5,050 de entradas. ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?

Sol. 1500 niños y 700 adultos

15

57. En el puesto de un mercado se venden dos variedades de fresas: la estándar y la de

lujo. Una caja estándar de fresas se vende en $7, y una caja de fresas de lujo se vende en $10. Un día el puesto vende 135 cajas de fresas por un total de $1,110. ¿Cuántas cajas de cada tipo se vendieron?

Sol. 85 cajas estándar y 55 de lujo

58. Un grupo de 6 adultos y 12 niños pagaron en total $900 por sus boletos de viaje. Otro grupo de 4 adultos y 16 niños pagaron en total también $900. ¿Cuál es el costo de un boleto para niño, y de un boleto para adulto? Sol. $ 75 adultos, $ 37.50 niños.

59. Los boletos para un concierto se vendieron en dos días. El viernes se vendieron 200 boletos de la sección A y 350 de la sección B, por $7200. El sábado se vendieron 250 boletos de la sección A y 500 de la sección B, por $9750. ¿Cuál fue el precio de cada tipo de boleto? Sol. $ 15.00 sección A, $12.00 sección B.

60. Dos estudiantes tuvieron un ingreso de $690 por concepto de venta de dulces a razón de $1.50 el paquete y de nueces a razón de $1.00 la bolsa. Originalmente habían gastado $407.50, pagando el paquete de dulces a $1.00 cada uno y la bolsa de nueces a $0.50 cada una. ¿Cuántos paquetes de dulces y cuántas bolsas de nueces vendieron?

Sol. Dulces 250, nueces 315. 61. Un grupo de damas decide aportar cantidades iguales para contratar los servicios de un

conferencista. Si hubiera 10 damas más, cada una pagaría $2 menos. Sin embargo, si el número de damas fuera 5 menos, cada una pagaría $2 más. ¿Cuántas damas forman el grupo y cuánto se paga al conferencista? Sol. Damas=20, pago al conferencista: $ 120.00

Problemas acerca de porcentajes y mezclas:

62. Como producto de dos inversiones una persona recibe anualmente $302.55.Una de las inversiones produce 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Si las inversiones se intercambiaran una por otra ganaría $280.90. ¿A cuánto asciende cada inversión?

Sol. $ 5250.00 al 4%; $3085.00 al 3%.

63. Un tabernero eleva la cantidad de alcohol de un licor, que contiene 10% de alcohol,

añadiendo una solución de 70% de alcohol, el resultado en un licor que tiene una

concentración de 16%, llena 1000 botellas de a litro. ¿Cuántos litros de licor (10%) y

cuántos de solución de alcohol (70%) usó?

Sol. 900 litros de vino, 100 litros solución con alcohol.

16

65. Un químico tiene dos contenedores grandes para soluciones de ácido sulfúrico, cada contenedor tiene una concentración diferente de ácido. Se mezclan 300 ml de la primera solución y 600 ml de la segunda y se obtiene una mezcla que es de 15% de ácido, pero si se mezclan 100 ml de la primera con 500 ml de la segunda da una concentración de

de ácido sulfúrico. ¿Cuáles son las concentraciones de los contenedores

originales? Sol. 25% y 10%

66. Se mezclaron dos tipos de solución; una al 15% de ácido y la otra al 8% de ácido, para producir 40 litros de solución al 10.8% de ácido. ¿Cuántos litros de cada tipo de solución se usaron? Sol. 16 litros de la solución al 15% de ácido, 24 litros de la solución al 8% de ácido.

67. Un comerciante mezcla tabaco de cierta calidad y precio de $28 por kilogramo con otro de precio $36 por kilogramo y obtiene 100 kilogramos de una mezcla que vende a $31.20 por kilogramo. ¿Cuánto usó de cada clase de tabaco? Sol. 60 y 40 Kg.

68. Un tanque contiene una mezcla de insecticida líquido y agua en la que hay 5 galones de insecticida y 25 galones de agua. Un segundo tanque también contiene 5 galones de insecticida pero con sólo 15 galones de agua. Se desea contar con 7.5 galones de una mezcla al 20% de insecticida. ¿Cuántos galones deberá tomar de cada tanque? Sol. 7.5 galones del primer tanque y 0 galones del segundo tanque.

Problemas de movimiento:

69. Dos aeropuertos, A y B, están a 1,800 km uno de otro y B está situado al este de A. Un

avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en

horas. Si durante todo el viaje

estuvo soplando viento del oeste a velocidad constante, encontrar la velocidad del avión en el aire en reposo y la velocidad del viento.

Sol. 425 KPH en reposo, 25 KPH velocidad del viento. 70. Un piloto voló una avioneta entre dos poblaciones, separadas por 180 millas, como el

viento estuvo en contra, tardó 2 horas. De regreso, el viento estuvo soplando a la misma velocidad, así que el viaje le tomó sólo 1.2 horas, ¿cuál sería la velocidad de la avioneta sin viento, y cuál fue la velocidad del viento?

Sol. Velocidad aviones 120 millas/hora, velocidad del viento 30 millas/hora

71. Un piloto vuela 1410 kilómetros hacia el norte y luego regresa a su punto de partida. Durante todo e] viaje sopló viento del norte con velocidad constante. Determínese la velocidad del avión, relativa al aire y la velocidad del viento, sabiendo que en e] viaje de ida empleó cuatro horas veinticuatro minutos y en .el viaje de regreso tan sólo cuatro horas.

Sol. 321 KPH, 15 KPH (336.4772 KPH, 16.022 KPH)

17

72. Un ingeniero dedicado a la perforación de pozos petroleros sale de su campamento viajando en su propio automóvil hasta la estación más cercana de autobuses; ahí toma un autobús y se dirige a la ciudad más próxima a pasar el fin de semana. Mientras viajaba en su automóvil conservó una velocidad promedio de 65 kilómetros por hora y cuando viajaba en autobús una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Para el recorrido total empleó cinco horas. La gasolina del automóvil le costó a razón de 23.4 centavos por kilómetro y el pasaje en autobús a razón de 31.3 centavos por kilómetro. Determínese la distancia recorrida en cada vehículo sabiendo que el viaje le costó $115.00.

Sol. 65 Km en automóvil, 320 Km en autobús. 73. La distancia entre una ciudad y el pueblo más próximo es 96 kilómetros .Un camión de

correos sale a las ocho horas de la ciudad rumbo al pueblo, y a las ocho treinta y seis horas sale del pueblo un autobús rumbo a la ciudad. A las nueve horas se cruzan en el camino. En el viaje de regreso vuelven a encontrarse a las diez cincuenta horas. Determínese la velocidad de cada vehículo sabiendo que cada uno permaneció treinta minutos en su punto de destino.

Sol. 64 KPH camión; 30 KPH autobús. 74. Una persona viajó por tren, con velocidad promedio de 80 kilómetros por hora, desde su

pueblo natal hasta la Estación Unión de los Ángeles. Ahí tomó un taxi, velocidad promedio 32 kilómetros por hora, que la llevó hasta el centro de los Ángeles, y luego un autobús que con velocidad promedio de 22.4 kilómetros por hora la llevó hasta Hollywood. El recorrido totalizó 575 kilómetros y le tomó 7.6 horas. El tiempo empleado en el recorrido en autobús fue 5 veces al empleado en el recorrido en taxi. ¿Cuánto tiempo empleó viajando en cada uno de los tramos así descritos?

Sol. tren 7 Hr., táxi 0.1 Hr., autobús 0.5 Hr.

Problemas de trabajo:

75. Un agricultor con un tractor grande y su ayudante con un tractor chico pueden arar juntos

un terreno en

horas, también pueden arar el campo si el agricultor trabaja horas

solo y luego el ayudante trabaja solo durante 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán el terreno trabajando solos sin ayuda?

Sol. 8 y 16 horas 76. Dos hermanos cortan el césped de un cierto terreno en 2 2/9 horas. En una ocasión el

hermano mayor trabaja solo durante 3 horas y luego el otro hermano termina el trabajo en 1 ¼ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada muchacho hacer todo el trabajo él solo?

Sol. Hermano mayor 4 horas, hermano menor 5 horas.

77. Un chofer y su ayudante pueden descargar un tráiler juntos en 2 horas, si el ayudante

trabaja sólo durante 3 horas, el chofer puede terminar de descargar, sólo, en

horas.

¿Qué tiempo emplearían en descargar el tráiler cada uno sólo? Sol. Chofer 3 horas, ayudante 6 horas.

18

78. Alicia y Beatriz trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en este tiempo la mitad del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Alicia trabajó sola durante dos horas, luego se le unió Beatriz y juntas terminaron en cuatro horas más. ¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola ese trabajo?

Sol. 20 horas cada una.

79. Si una bomba A trabaja durante 8 minutos y otra bomba B durante 15 minutos, pueden llenar una alberca. Además, si la bomba A trabaja 12 minutos y la bomba B 10 minutos, también pueden llenar la alberca. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada bomba llenar la alberca?

Sol. Bomba A, 20 minutos; bomba B minutos.

80. Un pintor y su hijo pueden pintar una habitación conjuntamente en 8 horas. Si el padre trabaja solo durante 3 horas y después se le une su hijo, el trabajo se termina en 6 horas más. ¿Cuánto le tomaría a cada uno realizar el trabajo solo?

Sol. Padre 12 horas, hijo 24 horas. 81. Tres jóvenes, Teodoro, Raymundo y Juan, acordaron poner una capa de cera y con ello

dar lustre a sus autos. El primer día, trabajando entre los tres, terminaron el auto de

Teodoro en

hora. El segundo día Teodoro ayudó a Juan apulir su auto en dos horas y

el tercer día Juan ayudó a Raymundo a lustrar su auto en

horas. ¿Cuánto tiempo

hubiera necesitado cada muchacho para lustrar su propio auto suponiendo que cada uno de ellos desarrollara igual trabajo y' que da lo mismo un auto que otro?

Sol. Raymundo 6 Hr., Teodoro 4 ½ Hr., Juan 3

Hr.

UNIDAD III. ECUACIONES CUADRATICAS (ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO) MATERIA: ALGEBRA II

PROBLEMARIO: UNIDAD III

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Resuelva las ecuaciones. (Ecuaciones cuadráticas incompletas)

1.

Sol.

2.

Sol.

3.

Sol.

4.

Sol.

5.

Sol.

6.

Sol.

7.

Sol.

8.

Sol.

19

9.

Sol. √

√

10.

Sol. √

√

11.

Sol.

12.

Sol.

13.

Sol.

14.

Sol.

15.

Sol.

16.

Sol.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN

17.

Sol.

18.

Sol.

19.

Sol.

20.

Sol.

21.

Sol.

22.

Sol.

23.

Sol.

24.

Sol.

25.

Sol.

26.

Sol.

27.

Sol.

28.

Sol.

29.

Sol.

30.

Sol.

31.

Sol.

32.

Sol.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETANDO EL TRINOMIO

CUADRADO PERFECTO

33.

Sol.

34.

Sol.

20

35.

Sol.

36.

Sol.

37.

Sol.

38.

Sol.

39.

Sol. √ √

40.

Sol. √ √

41.

Sol. √ √

42.

Sol. √ √

RESOLVER EMPLEANDO LA FÓRMULA GENERAL

43.

Sol.

44.

Sol.

45.

Sol.

46.

Sol.

47.

Sol.

48.

Sol.

49.

Sol.

50.

Sol.

51.

Sol. √ √

52.

Sol. √ √

53.

Sol. √ √

54.

Sol. √ √

55.

Sol. √

√

56.

Sol. √

√

57.

Sol. √

√

58.

Sol. √

√

59.

Sol. √

√

´

60.

Sol.

√

√

61.

Sol.

62.

Sol.

21

63.

Sol.

64.

Sol.

65.

Sol.

66.

Sol.

67.

Sol. √

√

68.

Sol. √

√

Usar la fórmula de la ecuación de segundo grado para efectuar las operaciones que se requieren en los

problemas siguientes.(Despejar en términos de la variable especificada)

69. Resolver para en términos de

Sol.


Sol.


Sol.


Sol.


Sol.


Sol.

REDUCCIÓN DE ECUACIONES A LA FORMA CUADRÁTICA

Redúzcanse a la forma cuadrática las siguientes ecuaciones y resuélvanse para .

75.

Sol.

76.

Sol.

77.

Sol.

78.

Sol.

79.

Sol. √ √

80.

Sol. √ √

81.

Sol. √ √

82.

Sol. √ √

83.

Sol. √ √

84.

Sol. √ √

22

85.

Sol. √ √

86.

Sol. √ √

SOLUCIÓN DE ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES

87. √ √

Sol.

88. √ √

Sol.

89. √ √

Sol.

90. √ √

Sol.

91. √ √

Sol.

92. √ √

Sol.

93. √ √ Sol. No hay solución

94. √ √

Sol.

95. √ √

Sol.

96. √ √

Sol.

97. √ √

Sol.

98. √ √

Sol.

99. √

Sol.

100. √

Sol.

UNIDAD IV FUNCIONES Y DESIGUALDADES CUADRÁTICAS.

MATERIA: ALGEBRA II ELABORÓ:

PROBLEMARIO: UNIDAD IV PROFESOR

ELIGIO MARTÍNEZ ROMERO

FUNCIONES Y DESIGUALDADES

CUADRÁTICAS

Función cuadrática

Tabule y dibuje las siguientes funciones cuadráticas en el intervalo dado.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

23

Tabule y dibuje las siguientes funciones cuadráticas en el intervalo dado.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Bosqueja la gráfica de la función cuadrática dada, indicando el desplazamiento realizado izquierdo,

derecho o bien giros sobre el eje de las x o sobre el eje de las y.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

(

)

Determine el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Si para

donde el vértice , (la parábola abre hacia arriba si , la parábola abre hacia abajo si

)

31. Sol V(0, −1)

32. Sol V(−1, 0)

33. Sol V(0, −1)

34. Sol V(0, 1)

35. Sol V(−1, 1)

36. Sol V(0, −1)

37. Sol V(2, 0)

38. Sol V(1, −1)

39.

(

)

Sol V(−1∕2, 1∕2)

24

Determine las raíces de las siguientes funciones cuadráticas

40. x1 =− 4, x2 = 4

41. x1 =0, x2 = 3

42. x1 =−1, x2 = −1

43. x1 =0, x2 = 4

44. x1 =0, x2 = 4

45. x1 =− 1, x2 = 3

46. x1 = 4∕3, x2 = 4

47. x1 = √

, x2 =

√

48. x1 =−

, x2 =

49. x1 =−

, x2 =

50. x1 =−

, x2 =

Determine el vértice de las siguientes funciones cuadráticas. Si tienen la forma donde

51. Sol V(0, − 16)

52. Sol V(2 − 4)

53. Sol V(−3, 9)

54. Sol V(0, − 4)

55. Sol V(

)

56. Sol V(

)

57. Sol V(

)

58. Sol V(−2, 5)

59. Sol V(5, 7)

60. Sol V(1, −13)

61. Sol V(

)

62. Sol V(−1, −3)

63. Bosqueje las gráficas de las funciones cuadráticas 209-219, con la información de las raíces.

64. Bosqueje las gráficas de las funciones cuadráticas 220-231 con la información del vértice.

Problemas de Aplicación

65. Crecimiento. La Rapidez de crecimiento (en libras por mes) de un menor, está relacionado con el

peso actual (en libras), por medio de la expresión , donde es una constante

positiva y , determine el vértice de la función cuadrática.

Sol V(

)

25

66. Movimiento. El número de millas que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina,

a una velocidad (millas por hora) está dado por

Para Determina el vértice de la función cuadrática.

Sol V(

)

67. Movimiento. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio con una

velocidad inicial de

. Su distancia en pies sobre elsuelo después de está dada por.

Determina la altura del edificio y el vértice de la función cuadrática.

Sol. Altura= 100 ft, V(9∕2, 424)

68. Movimiento. Un objeto es lanzado en forma vertical, hacia arriba, con una velocidad inicial en

y la distancia en pies sobre el suelo después de segundos está dada por

Si el objeto toca tierra después de , determine la velocidad inicial, obtenga el vértice de

la función cuadrática.

Sol. Velocidad inicial= 192

V(6,3).

69. Geometría. Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes

rectangulares, mediante dos cercas paralelas a uno de los lados, el agricultor dispone de 1000 metros

de enrejado, el área del rectángulo queda determinada como una función cuadrática, determine el

vértice de esta función.

Sol. V(125,31250)

70. Geometría. El peso de una parte de un puente colgante está uniformemente distribuido entre torres

gemelas, las cuales están separadas 400 pies, y se elevan a 90 pies sobre la carretera horizontal. Un

cable tendido entre las puntas de las torres tiene la forma de una parábola, y su punto central está a

10 pies sobre la carretera. Determine la función cuadrática que determina el cable.

Sol. y=

71. Geometría. Un tramo de alambre con longitud de , se dobla en forma de un

rectángulo, cuyo ancho sea y su largo , exprese como función de . Exprese el área del

rectángulo como función de

Sol. – ,

72. Economía. El departamento de mercadotecnia de una compañía de ropa, predice que la compañía

venderá 11800 200x trajes de baño de una nueva línea ésta temporada, si el precio de los trajes

de baño es de dólares cada uno y los costos de producción y distribución por cada traje de baño

vendido son de 16.20 dólares.

Exprese la ganancia de la compañía por la venta de los trajes de baño como una función de .

Sol.

26

73. Economía. Un fabricante de muebles puede construir libreros a un costo de 40 dólares cada uno. Si

vende los libreros a cada uno, se estima que venderá 300 2x unidades mensuales.

Determine la función cuadrática asociada al precio de venta de cada librero.

Sol. P(x)= − 2x2

74. Velocidad. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial

de 96 pies seg . Si la altura de la piedra es después de segundos y se desprecia la

resistencia del aire, entonces la altura puede ser descrita por la función cuadrática del tiempo

296 16h t t t . Determine el vértice de la función cuadrática.

Sol V( 3, 144)

75. Economía. Un fabricante de accesorios para iluminación tiene costos diarios de producción de

2800 10 0.25C x x x , en donde es el costo total en dólares y es el número de unidades

producidas. Determine el vértice de la función cuadrática.

Sol V(20, 700)

76. Difusión de enfermedad. Un modelo de difusión de un virus supone que dentro de una población de

personas, la rapidez con la que se difunde la enfermedad es proporcional tanto a la cantidad de

personas que son portadores como a la cantidad de personas que no están infectadas, este

modelo se define por medio de una función cuadrática.

Donde es la rapidez de difusión del virus y es una constante de proporcionalidad positiva.

Suponiendo que un pueblo de 10 000 personas hay 125 enfermos un día y al día siguiente se

presentaron 37 nuevos casos, determine la constante k, y después el vértice de la función cuadrática

resultante.

Sol K= 0.0000299, V(0.5 X 105, 747.5)

Desigualdades cuadráticas.

Resuelva cada una de las siguientes desigualdades cuadráticas y exprese la solución en notación de

intervalos:

77. 2 2 5 3x x

Sol.

78. 210x x

Sol.

79. 27 10x x

Sol.

80. 29 5 4x x

Sol. ]

81. 217 15 4x x

Sol.

82. 2 1 0x x

Sol.

83. 22 5 1 2 1x x x

Sol.

]

84. 29 4 0x

Sol.

]

85.

Sol. (

+

27

Determinar el intervalo para de tal manera que, el radical represente números reales:

86. 9 x

Sol. ]

87. 2 9x

Sol.

88. 218 5 2x x

Sol.

]

89. 22 5 3x x

Sol. ]

90. √

Sol. ]

91. √

Sol. ]

92. √

Sol. ]

93. √

Sol. (

+

94. √

Sol. *

+

Problemas de Aplicación.

95. Considere que una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba, con una rapidez inicial de 16 pies

por segundo, desde la parte superior de un edificio de 128 pies de altura, entonces su altura sobre

el piso después de segundos será de

¿Durante qué intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos pies por arriba del nivel del suelo?

96. La fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre un cuerpo de masa de está definida por

la ecuación

Donde es la distancia en , desde el cuerpo al centro de la tierra y la

fuerza se mide en Newtons. ¿Para qué intervalo de distancia la fuerza gravitacional estará entre

y ?

97. Cerca de una fogata, la temperatura en a una distancia de metros del centro del fuego está

determinada por

¿En qué intervalo de distancias desde el centro de la fogata, la temperatura es mayor a ?

98. El consumo de gasolina en millas por galón de un vehículo conducido a millas, está determinado

por . Siempre que se mantenga entre y . ¿Para qué

intervalo de velocidades el consumo es menor o igual a ?

28

UNIDAD V SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRATICAS

MATERIA: ALGEBRA II ELABORÓ:

PROBLEMARIO: UNIDAD V PROFESOR

ELIGIO MARTÍNEZ ROMERO SISTEMAS DE ECUACIONES

CUADRÁTICAS

Resolver cada uno de los siguientes Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas Simultáneas.

Posteriormente, trazar la gráfica de cada sistema de ecuaciones en un plano de coordenadas cartesianas y

mostrar los puntos de intersección entre las dos curvas: utilizar el programa Derive 6 o Geogebra 3.

21. 0

2 3 0

x y

x y

SOL. P(-1,1); P(3,9)

23. 1

3

y x

x y

SOL. P(1,2); P(-2,5)

2 25. 4 16

2 4

x y

x y

SOL. P(0,2); P(4,0)

2

2

7. 2 4 9 1

4 9 4

x y

x y

SOL. P(1,3); P(7,3)

2 2

2

9. 4

2 0

x y

x y

SOL. P(0,-2); P(√ ,1);P( √ , 1)

2 211. 16

2 4

x y

y x

SOL. P(-4,0); P(12/5,16/5)

2 213. 4 9 2

2 3 2

x y

x y

SOL. P(1/2,1/3)

22. 1

2 1

y x

x y

SOL. P(1,0); P(-3,2)

24. 4 5

1

x y y

x y

SOL. P(2,1); P(5,4)

2

2

6. 2 0

2 6 7 0

x y

x y x

SOL. P(-1,1); P(3,7)

2 28. 16

4

x y

x y

SOL. P(0,4); P(4,0)

2 210. 2 14

1

x y

x y

SOL. P(3,2); P( -5, -6)

2 2

2 2

12. 25

4 9 36

x y

x y

Sol ( )

2 2

2 2

14. 3 7

2 7

x y

x y

SOL. P(2,1),P(2,−1),P(−2,1),P(−2,−1)

29

15 SOL P(4,1), P(−4,−1)

2 2

2 2

16. 9 2

18 3 5

x y

x y

Sol P(1∕ 3, 1), P(1∕ 3,−1)

P(−1∕ 3, 1), P(−1∕ 3,−1)

UNIDAD V EXPRESIONES LOGARITMICAS.

Mediante el uso de la ecuación , exprésense en forma exponencial las

proposiciones de los problemas 1 a 20.

1.

Sol.

2.

Sol.

3.

Sol.

4.

Sol.

5.

Sol.

6.

Sol.

7.

Sol.

8.

Sol.

9.

Sol.

10.

Sol.

11.

Sol.

12.

Sol.

13.

Sol. (

)

14.

Sol. (

)

15.

Sol. (

)

16.

Sol. (

)

17.

Sol.

18.

Sol. (

)

30

19.

Sol.

20.

Sol.

Mediante el uso de la equivalencia , exprésense en forma logarítmica las

proposiciones de los problemas 21 a 36.

21.

Sol.

22.

Sol. 23.

Sol.

24.

Sol. 25.

Sol.

26.

Sol.

27.

Sol.

28.

Sol.

29.

Sol.

30.

Sol.

31. (

)

Sol.

32. (

)

Sol.

33. (

)

Sol.

34. (

)

Sol.

35. (

)

Sol.

36. (

)

Sol.

Encuéntrense los valores de los logaritmos de los problemas 37 a 56.

37.

Sol.

38.

Sol.

39.

Sol.

40.

Sol.

41.

Sol.

42.

Sol.

43.

Sol.

44.

Sol.

45.

Sol.

31

46.

Sol.

47.

Sol.

48.

Sol.

49.

Sol.

50.

Sol.

51.

Sol.

52.

Sol.

53.

Sol.

54.

Sol.

55.

Sol.

56.

Sol.

Encuéntrense los valores de las literales indicadas en los problemas 57 a 72

57.

Sol.

58.

Sol.

59.

Sol.

60.

Sol.

61.

Sol.

62.

Sol.

63.

Sol.

64.

Sol. 65.

Sol.

66.

Sol.

67.

Sol.

68.

Sol.

69.

Sol.

70.

Sol.

71.

Sol.

72.

Sol.

Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los problemas 73 a 80 como

suma o deferencia de logaritmos de primeras potencias de cantidades.

73.

Sol.

74.

Sol.

75. √

Sol.

76. √

Sol.

32

77.

√

Sol.

78.

Sol.

79. √

Sol.

80.

√

Sol.

Mediante el uso de los teoremas de logaritmos exprésense las funciones de los problemas siguientes

como logaritmos de productos, cocientes o potencias.

81.

Sol.

82.

Sol.

83.

Sol.

84.

Sol.

85.

Sol. √

√

86.

Sol.

√

87.

Sol.

88.

Sol. √

√

ECUACIONES LOGARITMICAS

Resuélvanse para o para las ecuaciones de los problemas 1 a 12

1.

Sol.

2.

Sol.

3.

Sol.

4.

Sol.

5.

Sol.

6.

Sol. (

)

7.

Sol.

8.

Sol.

33

9. √

Sol.

10. √

Sol. √

√

11. √

Sol.

12. * √ +

Sol.

Resuélvanse las ecuaciones de los problemas 13 a 32

13.

Sol.

14. Sol.

15.

Sol.

16.

Sol.

17.

Sol.

18.

Sol.

19.

Sol.

20.

Sol.

21.

Sol.

22.

Sol.

23.

Sol.

24.

Sol.

25.

Sol.

26.

Sol.

27.

Sol.

28.

Sol.

29.

Sol.

30.

Sol.

31.

Sol.

32.

Sol.

34

1. Grafique en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones logarítmicas e identifique a

cada una de ellas:

a). logf x x b). lnh x x 5c). logg x x


cada una de ellas:

1 2a). logf x x 1 3b). logg x x 1 5c). logh x x


cada una de ellas:

6a). 2logf x x 2b). log 4g x x c). 2 logh x x

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. La concentración de 14C (carbono 14) que contiene la materia viva, disminuye con el tiempo t

después de la muerte según la fórmula: 0.124

14 0C C te , donde 0C es la concentración inicial (en el

momento de la muerte) y el tiempo se mide en miles de años. ¿Cuántos años después de muerto un

organismo tiene una concentración de 14C igual a la tercera parte de la concentración inicial 0C ?

(El resultado con tres cifras decimales)

Sol. miles de años

2. La concentración de 14C (carbono 14) que contiene la materia viva, disminuye con el tiempo t

después de la muerte según la fórmula: 0.124

14 0C C te , donde 0C es la concentración inicial (en el

momento de la muerte) y el tiempo se mide en miles de años. ¿Cuántos años después de muerto un

organismo tiene una concentración de 14C igual al 50% de la concentración inicial 0C ? (El

resultado con tres cifras decimales).

Sol. miles de años

3. Una cierta sustancia radiactiva decrece según la fórmula 0.0063

0q q tt e , en donde 0q es la

cantidad inicial de sustancia y t es el tiempo en días. Calcule, aproximadamente, su semivida o vida

media, es decir, el número de días en que se reduce a la mitad la cantidad de sustancia inicial.

Sol. días

4. Se invierten 100,000 pesos en un fondo de ahorro en el que el interés se capitaliza continuamente a

una taza del 11% anual. El monto A en la cuenta t años después está dado por la fórmula 0.11100,000 tA e .

a). ¿Cuándo habrá 350,000 pesos en la cuenta?

b). ¿Cuánto tarda en duplicarse el capital invertido en la cuenta?

Sol. a) años b) años

35

5. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg. y la

cantidad de medicamento en el cuerpo t horas después, está dada por A 10 0.8t

t .

a. Determine cuándo quedan solo 2 mg.

b. ¿Cuál es la semivida (vida media) del medicamento?

Sol. a) horas b) horas

6. Se invirtieron 1000 pesos a una taza de interés compuesto del 9% mensual. Calcule el tiempo para

que el monto final sea de:

a). 2932.84 pesos

b). 9408.41 pesos

Teniendo en cuenta la fórmula de interés compuesto

ntr

A P 1n

, donde

r taza de interés anual 9% 0.09

n número de veces al año que el interés se capitaliza

rtaza de interés por período de inversión

n

P Capital o monto inicial se ha invertido t años

nt número de períodos de interés

A monto final después de t años

Sol. a) meses b) meses

7. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la acidez o la

basicidad de ciertas soluciones. Por definición pH log H , donde H es la concentración

de iones hidrógeno en moles por litro. Aproxime el pH de las siguientes soluciones dados sus

correspondientes H :

a). Vinagre: 3H 6.3 10 iones×moles litro

b). Zanahorias: 5H 1.0 10 iones×moles litro

c). Agua de mar: 9H 5.0 10 iones×moles litro

Sol. a) b) c)

8. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la acidez o la

basicidad de ciertas soluciones. Por definición pH log H , donde H es la concentración

de iones hidrógeno en moles por litro. Aproxime la concentración de iones hidrógeno H en cada

una de las siguientes sustancias:

a). Manzanas: pH 3.0

b). Cerveza: pH 4.2

c). Leche: pH 6.6

Sol. a) b) c)

36

9. En 1980 la población de Estados Unidos era aproximadamente de 227 millones y ha ido creciendo a

razón de 0.7% por año. Si continúa este patrón de crecimiento, la población N t (en millones), t

años después de 1980, se puede aproximar mediante la fórmula 0.007227 tN t e . ¿Cuándo será la

población el doble de la que era en 1980?

Sol. 2079

10. La ley de Beer-Lambert establece que, la cantidad de luz I que penetra a una profundidad de x

metros en un mar, está dada por 0

xaI I , en la que 0 1a , e 0I es la cantidad de luz en la

superficie.

La zona más importante del mar, desde el punto de vista de la Biología marina, es la llamada zona

Fótica, en la que se puede llevar a cabo la Fotosíntesis. Tal zona debe terminar en la profundidad a la

que sólo penetra 1% de la luz de la superficie. En las clarísimas aguas del Caribe, 50% de la luz de la

superficie llega a una profundidad de 13 metros. Determine la profundidad de la zona Fótica.

Sol. Profundidad zona Fótica=

11. Modelo de memoria humana. En un proyecto corporativo sobre teoría del aprendizaje, se encontró el

siguiente modelo matemático para la proporción P de respuestas correctas después de n pruebas:

0.2

0.83P

1 ne

¿Después de cuántas pruebas serán correctas 60% de las respuestas?

Sol. pruebas

12. Producción forestal. La producción V (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque, que

cuenta con t años, está dada por la función:4.8.1V 6.7 te . Calcular el tiempo necesario para tener

una producción de:

a. 1.3 millones de pies cúbicos

b. 2 millones de pies cúbicos

Sol. a) años b) años

13. Población. La población P de una ciudad está dada pork2500 tP e

En donde es el tiempo en años, con 0t correspondiente a 1990. En 1945 la población era de

1350. Hallar el valor de k y use este resultado para predecir la población en el año 2010.

Sol. En el 2010,

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