apunts de càlcul tema 1. nombres complexos i polinomis · 1.1 la unitat imagin aria 1.1 la unitat...

Apunts de CalculTema 1. Nombres complexos i polinomis

Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematiques - UPC

Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica

EETAC

Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 1 / 32

Continguts

Continguts1.1 La unitat imaginaria

1.2 Forma binomica d’un complexDefinicioOperacions en forma binomica

1.3 El pla complexRepas de trigonometriaRepresentacio grafica de nombres complexos

1.4 Forma exponencial d’un complexDefinicioOperacions en forma exponencialFormules trigonometriques

1.5 Arrels n-esimes d’un complex

1.6 Polinomis d’una variableDefinicionsDivisibilitat i arrelsDescomposicio factorial de polinomis


1.1 La unitat imaginaria


Conjunts de nombres

I Els conjunts numerics estudiats fins ara son N, Z, Q i R, que satisfan:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

I Cadascun d’ells completa l’anterior, en el sentit que podem feroperacions que no tenien solucio en el conjunt precedent:

I A Z podem calcular 1− 2, cosa que no podem fer a N.I A Q podem calcular (treballar amb) 3

2 , cosa que no podem fer a Z.I A R podem calcular (treballar amb)

√2, cosa que no podem fer a Q.

I Fins ara hem treballat al conjunt R.

A R no podem calcular arrels quadrades de nombres negatius!!!



Arrels quadrades de nombres negatius: la unitat imaginaria

I Observem: √−2 =

√(−1) · 2 =

√−1 ·√

2

i el mateix raonament serviria per a qualsevol altre nombre negatiu.

I Per tant, si coneixem √−1,

podem calcular l’arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu.

I Definicio. Anomenem l’arrel quadrada de −1 unitat imaginaria. Larepresentem amb la lletra j. Aixı:

j =√−1

I De la definicio es dedueix que: j2 = −1

Utilitzant j, totes les equacions de segon grau tenen solucio.



Solucions d’equacions de segon grau

Exemple

I Fins ara, l’equaciox2 − 4x+ 13 = 0

no te solucions (reals). Les solucions haurien de ser

x =4±√

16− 52

2=

4±√−36

2,

que no existeixen perque a R no existeix l’arrel d’un nombre negatiu.

I A partir d’ara, podem resoldre l’equacio (a C):

x2 − 4x+ 13 = 0⇔ x =4±√−36

2= 2± 3 ·

√−1⇒ x = 2± 3 · j



Solucions d’equacions de segon grau

Exercici 1. Resoldre les equacions seguents, usant la unitat imaginaria:

1. x2 = −1

2. x2 = −4

3. x2 + x+ 1 = 0


1.2 Forma binomica d’un complex Definicio

1.2 Forma binomica d’un complex

Un nombre complex en forma binomica es un nombre de la forma

z = a+ b · j, amb a, b ∈ R

I a es la part real de z: Re(z) = a.

I b es la part imaginaria de z: Im(z) = b.

I Si Re(z) = 0, aleshores z = b · j. Diem que z es imaginari pur.

I Si Im(z) = 0, aleshores z = a i z es real.

I Donat z = a+ b · j, el conjugat de z es

z = a− b · j

Escrivim C per designar el conjunt dels nombres complexos Es compleix

R ⊂ C


1.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica

Suma, producte i divisio

I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:

z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d) · jz1 · z2 = (ac− bd) + (ad+ bc) · j

I Es compleix z = a+ b · j⇒ z · z = (a+ b · j) · (a− b · j) = a2 + b2.

I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:

z1z2

=z1z2· z2z2

= · · · = ac+ bd

c2 + d2+bc− adc2 + d2

· j

Dividir dos nombres complexos es, en realitat, racionalitzar un trencat.

Exercici 2. Donats z1 = 2− 3j i z2 = 5 + 4j, calcular z1z2

.


1.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica

Potenciacio

I Notem que:

j0 = 1 j4 = j3 · j = −j · j = −j2 = 1 = j0

j1 = j j5 = j4 · j1 = j1 = j

j2 = −1 j6 = j4 · j2 = j2 = −1j3 = j2 · j = −1 · j = −j j7 = j4 · j3 = j3 = −j . . .

I Per tant, donat n ∈ N:jn = jr

on r es el residu de dividir n entre 4.

I El calcul de (a+ b · j)n per n petites (n = 2, 3, 4) es pot fer en formabinomica. Per a n mes grans es preferible usar una altra representaciodels complexos.

Exercici 3. Calcular:j51, (1 + 2j)2, (2− 2j)2


1.3 El pla complex Repas de trigonometria

Mesura d’angles: radiants

I Diem que l’angle que abasta un arc de circumferencia igual al seu radimesura 1 radiant.

I Graficament:

R

R

1 rad

I Equivalencia graus-radiants:

1 rad =360

2π≈ 57.295779o



Raons trigonometriques: angles aguts

I Relacio entre costats d’un triangle rectangle: sinus, cosinus, tangent.

α

r

x

y

r = 1⇒ sinα = y, cosα = x

I Raons trigonometriques dels angles π4 , π

3 i π6 .



Raons trigonometriques: angles qualssevol

I Circumferencia trigonometrica: centre (0, 0), radi 1.

cos αsin α

tan α

α

1

Angles coneguts del primer quadrant0 π

6π4

π3

π2

sinα 0 12

√22

√32 1

cosα 1√32

√22

12 0

tanα 0√33 1

√3 ∞

α

−α

π−α

π+α

Reduccio al primer quadrantsin(π − α) = sinα cos(π − α) = − cosα

sin(π + α) = − sinα cos(π + α) = − cosα

sin(−α) = − sinα cos(−α) = cosα



Raons trigonometriques: propietatsI Formules trigonometriques importants

I tanα =sinα

cosαI sin2 α+ cos2 α = 1

I 1 + tan2 α =1

cos2 α

I

{sin 2α = 2 sinα · cosαcos 2α = cos2 α− sin2 α

I

{sin2 α = 1−cos 2α

2cos2 α = 1+cos 2α

2

I PropietatsI −1 ≤ sinα ≤ 1I −1 ≤ cosα ≤ 1I −∞ ≤ tanα ≤ +∞

I Altres raons trigonometriques: cosecant, secant i cotangent.

cscα = 1sinα , secα = 1

cosα , cotα = 1tanα = cosα

sinα


1.3 El pla complex Representacio grafica de nombres complexos

Representacio grafica de nombres complexos

I Els nombres reals es representen a la recta real, R.

I Al nombre complex z = a+ b · j li podem fer correspondre el punt delpla de coordenades cartesianes (a, b).

I El conjunt de tots els complexos, representats com a punts del pla,rep el nom de pla complex, i s’identifica amb R2.

Exercici 4. Representar en el pla complex:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +

√3j, −3



Modul i argument d’un complex z = a+ b · jI |z| =

√z · z =

√a2 + b2 es el modul de z.

I arg(z) = arctan(ba

)(+π si a < 0) es l’argument de z.

I L’argument d’un complex no es unic: arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π, k ∈ Z.I L’argument principal de z es el que compleix 0 ≤ arg(z) < 2π.

α−2π

α+2π

α



Propietats

I z i z son simetrics respecte de l’eix real:

|z| = |z| i arg (z) = − arg(z)

I z i −z son simetrics respecte de l’origen de coordenades:

| − z| = |z| i arg (−z) = arg(z) + π



Exercicis

I Exercici 5. Trobar el modul i l’argument de:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +

√3j, −3

I Exercici 6. Expressar en forma binomica, representar graficament itrobar el modul i l’argument:

1 + j

1− j,

2− j√

3

1 + j,

(1 + j)2

1− j, (1− j)4


1.4 Forma exponencial d’un complex Definicio

Formula d’Euler i forma exponencial

I Formula d’Euler. Nombre complex de modul 1 i argument α:

eαj = cosα+ j · sinα

I Forma exponencial d’un nombre complexSi z = a+ b · j, amb |z| = R i arg(z) = α:

z = a+ b · j = R · (cosα+ j · sinα) = R · eαj

Forma binomica Forma exponencial

a+ b · j → R =√a2 + b2

α = arctanb

a(+π, si a < 0)

a = R · cosα ← R · eαjb = R · sinα


1.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial

Producte, divisio i potenciacio

I Producte i divisio

z1 = R1 · eα1j, z2 = R2 · eα2j ⇒

z1 · z2 = R1 ·R2 · e(α1+α2)j

z1z2

=R1

R2· e(α1−α2)j

I Potenciacioz = R · eαj ⇒ zn = Rn · enαj

Es dedueix directament de les propietats de l’exponencial!!!


1.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial

Exercicis

I Exercici 7. Demostrar que ejπ + 1 = 0.

I Exercici 8. Representar graficament i trobar el modul i l’argument:

ejπ2 , ej

π2 , −jej

π3 , −2ej

π3

I Exercici 9. Donar el resultat en forma binomica i en formaexponencial:

5j23 + 2j13, (1 + j)53,1 + 2j

2− j· e

π3j,

2e−π3j(1− j)2

(1 + j)eπ6j


1.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques

Forma exponencial i relacions trigonometriquesA partir de la forma exponencial del nombres complexos i de les propietatsde les potencies, es poden deduir analıticament diferents relacionstrigonometriques

I e(α+β)j = eαj · eβj ⇒

cos(α+ β) + j sin(α+ β) = (cosα+ j sinα) · (cosβ + j sinβ) =

= cosα cosβ − sinα sinβ + j(sinα cosβ + cosα sinβ)

I enαj = (eαj)n ⇒

cosnα+ j sinnα = (cosα+ j sinα)n

I eαj = cosα+ j sinα, e−αj = cosα− j sinα⇒

cosα =1

2

(eαj + e−αj

), sinα =

1

2j

(eαj − e−αj

)Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 21 / 32

1.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques

Exercicis

I Exercici 10. Demostrar:

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θsin 2θ = 2 sin θ cos θ

I Exercici 11. Utilitzant l’exercici anterior i les raons trigonometriquesde l’angle π

6 , trobeu les raons trigonometriques de l’angle π12 .



1.5 Arrels n-esimes d’un complexSi z = R · eαj, volem calcular n

√z, amb n ∈ N, n 6= 0.

I Volem trobar els nombres complexos w = S · eβj que compleixenw = n

√z, es a dir, wn = z.

I Observem:

w = n√z ⇐⇒ wn = z ⇐⇒ (S ·eαj)n = R ·eαj ⇐⇒ Sn ·enβj = R ·eαj

I A mes: α = arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π = α+ k · 2π, k ∈ Z.I Aixı,

w = n√z ⇐⇒ Sn · enβkj = R · e(α+k·2π)j

I Per tant, les arrels buscades son els nombres complexos S · eβj talsque

Sn = R⇐⇒ S =n√R

nβk = α+ k · 2π ⇐⇒ βk =α+ k · 2π

n, k ∈ Z

Hi ha un nombre infinit de possibles valors per a k!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 23 / 32


ObservacioFem variar k en Z per a trobar tots els possibles valors de βk.

I Per a k = 0, . . . , n− 1, tots els βk donen valors de w diferents:

β0 =α

n

β1 =α+ 2π

n=α

n+

2π

n. . .

βn−1 =α+ (n− 1) · 2π

n=α

n+

(n− 1) · 2πn

I Altres valors de k donen βk diferents pero no nous valors de w.

βn =α+ n · 2π

n=α

n+ 2π = β0 + 2π

βn+1 =α+ (n+ 1) · 2π

n=α

n+

2π

n+ 2π = β1 + 2π

. . .

Nomes 0 ≤ k < n donen valors de l’arrel diferents!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 24 / 32


Calcul d’arrels n-esimes

Si z = R · eαj, n ∈ N, n 6= 0, aleshores

wn = z ⇒ w =n√R · e

α+k·2πn

j, k = 0, 1, . . . , n− 1

I Si z 6= 0, z te n arrels n-esimes diferents.

I Escrivim:

n√z =

{n√R · e

α+k·2πn

j}k=0,1,...,n−1

=

w0 = n

√R · e

αnj

w1 = n√R · e

α+2πn

j

. . .

wn−1 = n√R · e

α+(n−1)2πn

j



Propietats

n√Reαj =

n√Re

α+k·2πn

j, k = 0, 1, . . . , n− 1

I Totes les arrels tenen el mateix modul, n√R.

I La diferencia angular entre dues arrels consecutives es constant:

βk − βk−1 =2π

n

I Les arrels n-esimes d’un nombre complex es troben en els vertexs d’unpolıgon regular de n costats, amb centre a l’origen de coordenades.

Exercici 12. Calcular i representar graficament:6√

1, 4

√−8 + 8

√3j

Exercici 13. Doneu en forma binomica i exponencial les arrels cubiques de1 +√

2j

1−√

2j


1.6 Polinomis d’una variable Definicions

Polinomis: definicions

I Definicio. Donat n ∈ N, anomenem polinomi de grau n en lavariable x a tot objecte matematic de la forma

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, an 6= 0

I Un sumand qualsevol, ajxj , es el terme de grau j

I aj es el coeficient del terme de grau jI a0, a1, . . . , an son els coeficients del polinomi

I Exercici 14. Donat el polinomi 2x4 − x3 + 5x− 3, indica: el termede grau 4, els coeficients dels termes de grau 3 i grau 2, i el termeindependent

I Conjunts de polinomis:

R[x] := {conjunt dels polinomis amb tots els coeficients reals}C[x] := {conjunt dels polinomis amb tots els coeficients complexos}


1.6 Polinomis d’una variable Divisibilitat i arrels

Divisibilitat de polinomis

I Teorema. Donats D(x) i d(x) polinomis de C[x] (R[x]), ambgr(D) ≥ gr(d) i d(x) 6= 0, existeixen dos unics polinomis q(x), r(x) aC[x] (R[x]), anomenats respectivament quocient i residu, tals que essatisfa la relacio

D(x) = d(x)q(x) + r(x),

amb gr(r) < gr(d)

I Si r(x) = 0 diem que d(x) divideix, o es un divisor, de D(x)

Exercici 15. Determinar si:

I x2 + 1 divideix x3 + x2 − x− 1

I x+ 2 divideix x2 − 5x+ 6

I x− 2 divideix x2 − 5x+ 6


1.6 Polinomis d’una variable Divisibilitat i arrels

Arrels d’un polinomi

Definicio. Diem que x = a es arrel de p(x) si p(a) = 0.

I Exercici 16. Determinar si −2 i 2 son arrels de x2 − 5x+ 6.

Propietat. x = a es arrel d’un polinomi p(x) sı i nomes si x− a divideixp(x)

I Exercici 17. Demostrar la propietat anterior.

Definicio. Sigui m ∈ N. Diem que x = a es arrel de multiplIcitat m d’unpolinomi p(x) si (x− a)m divideix p(x) i (x− a)m+1 no el divideix.

I Nota. Quan una arrel es de multiplicitat 1 diem que es simple.Altrament tenim arrels dobles, triples i, en general, multiples.

I Exercici 18. Demostrar que x = −1 i x = 1 son, respectivament,arrels simple i doble de p(x) = x3 − x2 − x+ 1.


1.6 Polinomis d’una variable Descomposicio factorial de polinomis

Polinomis irreduıbles

Volem establir per als polinomis una descomposicio factorial equivalent ala dels nombres enters en producte de primers.

I Definicio. Diem que un polinomi de C[x] (R[x]) amb grau major oigual que 1 es irreduıble si no es pot escriure com a producte de dospolinomis de grau inferior.

I Propietat. Sigui p(x) = a1x+ a0 un polinomi de grau 1. Aleshores:

I p(x) es irreduıble

I p(x) = a1 (x− a), on a = −a0a1 es la unica arrel de p(x)

Intentarem factoritzar un polinomi qualsevol usant polinomis de grau 1 ide la forma x− a.

I Observacio. Aquesta factoritzacio esta lligada a la cerca d’arrels,aixo es, de les solucions de l’equacio p(x) = 0.



Teorema fonamental de l’algebra i descomposicio a C[x]

I Teorema (TFA). Tot polinomi de C[x] i grau mes gran o igual que 1te, com a mınim, una arrel complexa, aixo es, a C.

I Exercici 19. Doneu un exemple que posi de manifest que no es satisfaun resultat paral·lel a R[x].

I Observacio. En canvi, sı deduım del TFA que tot polinomi de R[x] igrau mes gran o igual que 1 admet una arrel complexa.

I Corol·lari. Tot polinomi de C[x] i grau n admet, exactament, n arrelsa C, comptades cadascuna amb la seva multiplicitat.

I Descomposicio factorial a C[x]. Siguin a1, . . . , ak arrels de

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ C[x]

amb multiplicitats respectives m1, . . . ,mk, de tal manera quem1 + . . .+mk = n. Aleshores podem escriure

p(x) = an (x− a1)m1 (x− a2)m2 · · · (x− ak)mk



Descomposicio a R[x]I Propietat. Sigui p(x) ∈ R[x]. Si a ∈ C es arrel de p(x), aleshores a

tambe ho es.

I Observacio. Aixı, en la factoritzacio de polinomis amb coeficientsreals es poden agrupar termes en base a:

(x− a) (x− a) = x2 − (a+ a)x+ |a|2 = x2 + bx+ c, b2 − 4c < 0.

I Descomposicio factorial a R[x]. Sigui

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ R[x].

Aleshores p(x) = an

r∏i=1

(x− ai)mit∏i=1

(x2 + bix+ ci

)ri ,amb ai, bi, ci ∈ R, b2i − 4ci < 0 i n =

∑r

i=1mi + 2∑t

i=1 ri.

Exercici 20. Descomposar x3 − x2 + 2 a C[x] i a R[x].Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 32 / 32

apunts de càlcul tema 1. nombres complexos i polinomis · 1.1 la unitat imagin aria 1.1 la unitat...

Documents