apuntes jfar_3 [version final]

8/19/2019 Apuntes JFAR_3 [Version Final]

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Apuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

a em cas nanc eras

Juan Francisco Aldave Rivas

[email protected]


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• Evaluación

80% exámenes parc.10% tareas

10% asistenciara a o na opc ona (pto extra)

• Ex. Ordinario 100%• .


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nm −

d n

em

ii −=⎥

⎦⎢⎣

−==⎥⎦

⎢⎣

+=+ 1111 δ

vii

d −=−+== 111d i = v = 1−1 i+1


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Anualidades

Anualidad Vencida Anualidad Adelantada

…p p Pp p p p p p …p p p Pp p p p

8 n1 2 3 4 5 6 7 n5 6 n‐10 1 2 3 4

vvvvannn j )1()1( −=−== vvv nnnn j )1()1()1(1 −=−=−== −

iv jn 11 −= d

iiv j

n

110

+−=

n

isn −=

d isn 1)1( −+=&&


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Tema 1. Amortización


El término amortización se deriva dellatín “Ad Mortem” para referirse al

roceso radual de a ar una deuda

Para el cálculo del pago de una deudamediante un proceso de amortización, es

(llevar a su fin).

Amortizar es la acción de reducir el

mpresc n e ener presen es os

conceptos ya estudiados de la teoría delinterés y de anualidades.

proceso gradual, por lo que involucra enel proceso el cálculo y pago de intereses.

Se presentan algunas formulas de estostemas en las siguientes láminas:

na reg a un amen a que se e econsiderar al calcular los intereses de unaamortización es que el interés debecalcularse siempre sobre el saldo insoluto

.

Hay situaciones en que esto no serespeta, por lo que debe tenerse cuidado

e a qu r r eu a que sea usta.


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Simbolo ía


La simbología que usaremos será la siguiente:

Uno de los principales conceptos paraefectos de calculo de pagos de deuda, esel calculo del saldo insoluto.

Bt = Saldo Insoluto en el periodo t

=

Para esto, existen dos métodos, que sonel prospectivo (hacia adelante, o por

0

L = Préstamo original (B0 = L)

It= Intereses

pagados

en

el

periodo

t

=

medio del VP) y el retrospectivo (haciaatrás, o por medio del VF)

t

R=PMT=Mensualidad

ik naPMT = −* balanceeProspectiv

k

k FV iPV −+

=

k)1,...,at timesmade payments()1(

balanceiveRetrospect

ik s−=ae .


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Ejercicio


Método prospectivo

Se amortiza un préstamo pagando 2000los primeros 10 pagos y 1000 lossiguientes 10 pagos cada seis meses. Latasa contratada es 10%.

oProspectiv

ncon rar 5

)(1

1

1020

5155

aak L

aa B+=

+=

)(2)1( 55

5 sk i L B −+=


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Generalmente se acostumbra Nótese que una vez conociendo las

amortización mediante una tabla. Estatabla, llamada Tabla de Amortización,ofrece al deudor un detalle

comprendiendo los conceptosinvolucrados, no es necesario construir latabla para conocer la información de un

pormenorizado de la composición desus pagos, así como de la fecha en

que cada uno se debe efectuar.

cierto pago en particular.Bastará para ello aplicar la formula

correspondiente.

El siguiente es el esquema general,mediante fórmulas, en que se basa laconstrucción de una tabla deamortización.


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Una vez que nos hemos familiarizado con el

involucrados en la amortización de unadeuda, analicemos de forma estructuradalas diferentes opciones que tenemos para

Tipos de

amortizacion :‐n a os i uales level a ment

‐n pagos iguales y uno desigual ‐pagos iguales de capital (installment loan)‐amortizacion canadiense (conversion

‐fondo de amortizacion (sinking funds)‐cuotas incrementadas y decreciente (k)‐cuotas extraordinarias‐ .


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n a os i uales level a ment


El método de amortizaciónmediante a os nivelados (oiguales) es el más común. Ofrece lacerteza de siempre conocer lacantidad a pagar, y lo que va

proporción que se destina al pagode intereses y a la amortización dela deuda


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z – Level Payment

Consider a loan for 30 000 with level

a)*= aPMT L

payments to be made at the end of each yearfor 5 years at an annual rate of 8%.Find:

1*000,30

5 =−=iv

PMT

a e annua paymenb) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2

08.0)08.1(

11

000,30

5−

= PMT L=30,000i=8%a) PMT= ? 9927.3*000,30

= PMT

b) Pt ?c) It ?

6936.513,79927.3

000,30 ==PMT


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z – Level Payment

Consider a loan for 30 000 with level b)

payments to be made at the end of each yearfor 5 years at an annual rate of 8%.Find: * 41 = aPMT B ia e annua paymenb) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2

3121.3*6936.513708.0

1*6936.513,7

4

1

=

−=

B

v B

L=30,000i=8%a) PMT= ?

3062.886,241 = B

b) P1 ?c) I2 ?


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z – Level Payment

Consider a loan for 30 000 with levelc)

payments to be made at the end of each yearfor 5 years at an annual rate of 8%.Find:

*

3

32 = aPMT B i

a e annua paymenb) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2

5771.2*6936.513,7

08.0*6936.513,7

2

2

=

−=

B

v B

L=30,000i=8%a) PMT= ? 7891.5225

3062.886,24

5172.363,19

1

2

=−==

B B

B

B

b) P1 ?c) I2 ?

)7891.522,5(6936.513,7

)(

2

212−=

−−=⇒ I

B BPMT I

.,2 =


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Amortización – Ejercicio 2Apuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

Level Payment

An annual loan for 10 ears has interest rate 1

*

10

%610

−

=

v

aPMT L

6% and level payment 1,000.Find the amount of principal and interest inthe 6 th payment. 3601.7*000,1

06.0

000,1

=

=

L

L

.,=

L=?i=6%PMT= 1,000 16106

665

* +−=

=−

vPMT P

P B B

P6 ?I6 ?


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Level Payment

An annual loan for 10 ears has interest rate * %646

665=

=−

aPMT B

P B B

6% and level payment 1,000.Find the amount of principal and interest inthe 6 th payment. 06.0

1*000,1 46 −= v B

1056.465,3

4651.3*000,1

6

6==

B

B

L=7,360.0871i=6%PMT= 1,000 1

*

*

5

%655

−=

=

v

aPMT B

P6 ?I6 ?

3638.212,4

2124.4*000,106.0

,

5==

B

B


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Level Payment

An annual loan for 10 ears has interest rate 1056.465,36

665=

=− B

P B B

6% and level payment 1,000.Find the amount of principal and interest inthe 6 th payment.

1056.465,33638.212,4

3638.212,4

6

5

=−=

=

P

B

.

L=7,360.0871i=6%PMT= 1,000

P6 ?I6 ?


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Level Payment

An annual loan for 10 ears has interest rate *000,1

*1610

6

16106

=

=+−

+−

vP

vPMT P

6% and level payment 1,000.Find the amount of principal and interest inthe 6 th payment. 7473.0*000,1

*000,16

56

==PvP

.6 =

L=7,360.0871i=6%PMT= 1,000

P6 ?I6 ?


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Level Payment

For an 8% level a ment loan the amount of

Dado que conocemos de la Tabla de Amortización que:

principal in the second payment is 5,522.79.Find the amount of principal in the 4 thpayment.

1* +−= t nt vPMT P

79.522,5

*

2

2== −

P

vPMT P

L=?i=8%PMT= ?

1**

*212

144

+=

=+−

+−

ivPMT P

vPMT Pn

n

P2 =5,522.79P4 =?

1664.1*79.522,5

)08.1(*

4

224

==

P

PP

7823.441,64 =P


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In actuarial notation, for a level payment loanwith periodic payment PMT at a rate i for n

.remaining payments of 950.What is the loan balance?

periods, the balance after payment k is

*

* %5.67= aPMT Bik naPMT = −* balanceeProspectiv

2938.210,5

.= B

k

k

PMTsiPV

FV iPV

−+=

−+

=

1 balRet.

k)1,...,at timesmade payments()1(

balanceiveRetrospect


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A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal andinterest at 8% convertible quarterly over 6 years.At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price whichproduces a yield rate of 10% convertible quarterly.

Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B

,i(4)=8%n=(6)(4)=24

PMT =?n eres rece ve y =

Interest received by B=?

4 == ,

… …

PMT PMTPMT PMT … PMT PMT PMT …


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A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal and interest at 8% convertiblequarterly over 6 years. At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price which produces a yieldrate of 10% convertible quarterly.Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B

L=10,000i(4)=8%n=(6)(4)=24PMT =?

i(4)=8%L = 10,000

n eres rece ve y =

Interest received by B=?23… 7 8 9 …

PMT PMT

240

PMT PMT … PMT PMT PMT …

1 2

%8)4(i%2

44===i

)02.1(11

*000,1024

%224

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ −

== PMT aPMT .


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n pagos iguales y uno desigualApuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

El método de amortización mediantepagos nivelados y uno desigual tambiéntiende a ser común. Al unas variantespodrían involucrar más de un pagodesigual. Puede ajustarse a necesidadesdel deudor, o a sus flujos de efectivo.


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Amortización – Ejercicio #Apuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

Variable Payment Loan

A borrower would like to borrow 30,000 at8% for 5 years, but would like to pay only5,000 for the first two years and then catchup with a higher payment for the final threeyears. What is the payment for the final )000,5()000,5(000,30

)()(

102

21212−−−−=

−−−−=−−=i Bi B B

I PMT I PMT LPP L B

Find:a) The annual payment for the last 3 years 592,24

)2192000,5()400,2000,5(000,30

2

2=

−−−−= B

B

L=30,000i=8%a) PMT= ?

59224

* %832 =

B

aPMT B

4338.542,9

5771.2%83

=

==

PMT

a


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pagos iguales de capitalApuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

El método de amortización mediantepagos iguales a capital (installment loan)se refiere a montos de amortizacióniguales, lo que implica que ninguno delos pagos será igual a otro.


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Amortización – Ejercicio #Apuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

Installment Loan

You have a 30 000 loan at 8% annuall for 30

a)

10*10 −= PMT L B

years. You agree to pay off the principal in

installments of 1,000 per year, and to payinterest on the outstanding balance each year.

000,20

10)000,1(000,30

10

10

=

−=

B

B

a) The interest due in the 11 th paymentb) The actual 11 th payment

600,1

08.0)000,20(

11

11

1011

===

I

I

b)L=30,000i=8%a) I11 111111 += P I PMT b) PMT

11= ?

600,2000,1600,1

1111

=+=

PMT PMT


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fondo de amortizaciónApuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

El método del fondo de amortización sebasa en que durante la vida de la deuda,el deudor solamente a a los interesesgenerados a la tasa pactada (i), y enadición se realizan pagos nivelados a unacuenta llamada fondo de amortización

.

El objetivo es que el monto en el fondosea igual al monto a amortizar al final de

la vida del préstamo.


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Progresión AritméticaApuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

La Progresión Aritmética es una sucesión donde cada término difiere del anterior en una cantidad fi a d.

n‐1

a+(n ‐1)d

n

a a+d a+2d a+3d a+4d a+5d … a+(n ‐2)d

0 1 2 3 4 5 6

:sonaritmética progresiónunadetérminos primeroslos

)1(

:comoescribir puedesetérminoésimo-nely

...,,,,

n d naa −+=

2321

1232

:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa

n

ad)(ad)(ad)(a...)d)(n(a)d)(n(aS

)d)(n(a)d)(n(a...d)(ad)(ad)(aaS ++++++++−++−+=

−++−+++++++++=

121212122:obtenemosecuacionesambassumandoy

n )d](na[)d](na[...)d](na[)d](na[S −++−+++−++−+=

][])1(2[ 22 nnn

n

n

aad naS

nan

+=−+=

−=


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Progresión GeométricaApuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act. Juan Francisco Aldave Rivas

La Progresión Geométrica es una sucesión donde la razón entre un término y el anterior es constante, denominada r.

n‐1

ar (n‐1)

n

a ar ar 2 ar 3 ar 4 ar 5 … ar(n‐2)

0 1 2 3 4 5 6

,...,,,,

:songeométrica progresiónunadetérminos primeroslos432 ar ar ar ar a

:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa

:comoescr r pue eset rm nos mo-ney1= −ar a nn

1232

1232

++++++=

++++++=−−

−−

ar ar ar ...ar ar ar rS

ar ar ...ar ar ar aS nnn

n

nnn

)1(

−

−=−

r a

ar arS S n

nnn

1r cuando 1

)1(

1

>−−=

−

r r aS

r n

n

n


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En la actualidad una persona puede trabajardesde los 17 y hasta los 65 años.

Medios de Ahorro:

Durante esos aprox. 48 años deben generarlos medios suficientes para satisfacer susnecesidades básicas y las de su familia.La planeación que este proceso requiere,

¿En que gastar el dinero que se va ganando?(Renta, comidas, vestido, escuelas, Seguros,electrónicos, etc)

Cómo arantizar el flu o de in resos des uésde los 65 y hasta la muerte?

La finalidad principal de las personas, tantofísicas como morales, al incorporarse a unproceso productivo es la generación deriqueza.Cuando dicha riqueza se genera la planeacióna futuro incluirá aspectos relevantes como:

AHORRAR O INVERTIR


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Ventajas del ahorro: Medios de Ahorro:• orecursos a objetivos de corto plazo.• Generar la costumbre de la

laneación o ahorro.• Posibilidad de disfrutar de formadiferida de nuestros ingresos.

Desventajas del ahorro:• Si se pretende ahorro a largo plazose puede perder por inflación.

•Los bancos ofrecen tasas pasivas queNO superan la inflación.• Generalmente no genera riqueza.


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Renta Fija. Renta Variable.

o u o o uconoce la tasa de rendimiento almomento de la contratación.De endiendo del emisor se ueden

o u o u ode empresas que cotizan en bolsa,instrumentos o portafolios diseñadospara emular el indice de alguna bolsa (ej.

considerar de muy bajo riesgo oriesgo cero.

BMV), o portafolios o índices deinstrumentos basados en futuros,opciones, etc.

4.00004.50005.0000

ejemplo RENTA FIJA

7.0000

7.5000

8.0000

Ejemplo Renta Variable

7.0000

7.5000

Ejemplo Renta Fija

5.5000

6.0000Ejemplo Renta Variable

0.50001.00001.50002.00002.50003.0000

3.5000

4.0000

4.5000

5.0000

5.5000

6.0000

6.5000

4.0000

4.5000

5.0000

5.5000

6.0000

.

4.0000

4.5000

5.0000

-

14/04/2008 14/04/2009 14/04/2010 14/04/20113.5000

14/04/2008 14/04/2009 14/04/2010 14/04/2011

3.500014/04/2008 14/05/2008 14/06/2008 14/07/2008

3.500007/10/2008 07/12/2008 07/02/2009 07/04/2009 07/06/2009


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Clasificación Conceptos

1. Al portador2. Nominativos

Valor CaratulaPlazo

. po ecar os4. Obligaciones Fiduciarias5. Sin Respaldo Específico

asa e n ereses nom na cup nTasa de rendimientoPeriodicidad de los cupones

. un c pa esPlazo

er ca o ‐ < a oNota ‐ > 1 año y < 10 añosBono ‐ > 10 años


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Se dice de un bono cuando se compra

•Se compró con descuento, si el precio quese pagó por el es menor al valor de

Esto esta directamente relacionado con lastasas de interés del bono:

carátula.•Se compró con prima, si el precio que sepagó por el es mayor al valor de carátula.•

• Si la tasa de interés nominal y la derendimiento son iguales, el bono se vende a la

par.,pagó por el es exactamente igual al valorde carátula.

•Si la tasa de interés nominal es mayor a latasa de rendimiento, entonces el bono sevende con prima, y•Si la tasa de interés nominal es menor a la

tasa de rendimiento, entonces el bono sevende con descuento.


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A M á i Fi i II A J F i Ald Ri


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Bonos Cupón Cero

•Su rendimiento esta dado por la diferencia

entre el precio a que fue comprado y el valorde carátula que se recibirá, así como la fechade redención.

Los principales instrumentos de deuda emitidos por los

gobiernos centrales, generalmente son bonos cupón cero conplazos menores a un año, como los siguientes:

•Treasury B s T‐B s ‐ USA a 28, 91, 182 y 364 as.•Certificados de la Tesoreria de la Federación (CETES –México) a 28, 91, 182 y 364 días.•Bons du Trésor à taux fixe et à intérët précompté (BTF –

Francia) Corto plazo•Obligations Assimilables du Trésor (OAT – Francia) MedianoPlazo•Bundesanleihen (BUND – Alemania) 4 ‐30 años•Bundesobligationen (BOBLS – Alemania) 5 años•Schatze y Bundesschatzbriefe 2 años•Buoni Ordinari del Tesoro (BOT – Italia) 3, 6 y 12 meses VN:1000 eurosPRECIO i%

n

VN

0 1 2 … n‐2 n ‐1

A t M t áti Fi i II ‐ A t J F i Ald Ri


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Valuación y cálculo de Rendimiento

•Para calcular el precio de venta de unbono cupón cero utilizamos la siguientefórmula:

Ejemplo: Se emitirán CETES a 28 días con un valornominal de $10 y a una tasa de descuento de 9.54%

9258.936028

0.0954-101Precio =⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛

⎟ ⎞

⎜⎛ =

•Para calcular el rendimiento:

•Para calcular el rendimiento:⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ ⎟ ⎠

⎜⎝

=360

td -1VNPrecio

)1(

109258.9

28

⇒

+=

i

y la tasa anualizada es1PrecioVN

)1(Precio

−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

⇒+

=

t

t

i

i %742.019258.910

28 =−⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =i

y la tasa anualizada es %61.9)85.12%)(742.0(28

360 i 28360 ==⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ = i

⎞⎛ 360 ⎠⎝ t t 360

Apuntes Matemáticas Financieras II ‐ Act Juan Francisco Aldave Rivas


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Apuntes Matemáticas Financieras II Act. Juan Francisco Aldave Rivas

Bonos con Cupones

•Su rendimiento esta dado por larelación entre el precio a que fue

En este caso, utilizando el método de VPN, sepodrá valuar el bono a la fecha deseada,utilizando como tasa de interés la tasa de

se recibirá, así como la fecha deredención de cada uno de los

cupones y del valor de carátula.

ren m en o proporc ona a o en a asa erendimiento esperada por el inversionista.

⎞⎛ = 1

También se puede determinar el rendimiento

( ) ⎠⎝ nd -1i%n

.PRECIO i%

VN

n

cupón cupón cupón cupón cupón

0 1 2 … n‐2 n ‐1



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Valuación de Bonos con Cupones.

•Para valuar un bono entre fechas

En este caso, utilizando el método de VPN,tendriamos:

u , u ofecha cupón previa y también en lafecha cupón posterior al momento de

la valuación.

( )

⎞⎛

⎟ ⎠⎜⎝ +=

i%n0

1

d -1VNcupón)a(C n

Y se calculará ro orcionalmente la diferencia

( ) ⎟ ⎠⎜⎝ = −1i%1-n1 d -1

cup n a n

entre ambas fechas / precios.



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Ejemplo. Un bono semestral a 3 años con VN=1000 y con tasa de cupón de 10% vence el 1 ‐DIC‐2012. El bono fue comprado el 15 ‐ENE‐2010 con un rendimiento al vencimiento de 12%.Calcule el precio del bono.

= semes res menos as = up n=

Y la diferencia C1 – C0 es 13.7001Ahora la ro orción lineal es:( )

8268.9501.06

10001)a05(C 66%60 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=

( ) 8764.957

1.06

10001)a05(C 56%51 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=

25.018045 =

por lo que se debería añadir al precio de 950.8268 la proporción que es

4250.325.0)13.7001(18045

)13.7001( ==

y el precio final sería950.8268+3.4250=952.4894



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Para evitar el error que genera la valuación en línea recta, sería necesario utilizar el plazo exactodel bono ue en este caso es de 5.75 semestres.

N= 5.75 semestres VN=1000 Cupón=50

( ) 5508.952

1.06

10001)a05(C 75.56%5.750 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +=



48/50


Precio Limpio o Precio de Precio Sucio o Precio en Efectivo:

•Es la valuación de un bono sin•Es la valuación de un bonoconsiderando los intereses (cupones)

o o u odevengados.•Es el más usado porque el precio semantiene sin cambios durante más

.•Es el más justo al momento de lavaluación, ya que reconoce el

devengamiento del cupón en curso.tiempo durante los periodos.



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p

Ejemplo.

En el ejemplo anterior, el precio limpio fue de 952.4894.

Para reconocer la parte devengada del cupón en curso y que corresponde al vendedor, se calculacon la misma proporción, que en este caso es de 0.75 para el vendedor y 0.25 para el comprador,

,corrientes (cupón) que corresponden al vendedor es

50(0.75)= $37.50

que deben ser sumados al precio.

n onces e prec o suc o ser a . + . = .



50/50

p

Ejemplo.

En el ejemplo anterior utilizando en la valuación el periodo exacto, el precio limpio fue de952.5508

Para reconocer la parte devengada del cupón en curso y que corresponde al vendedor, se calcula, .

para el vendedor y 0.25 para el comprador, por lo que si el monto del cupón es de 50, entonces laparte correspondiente de los intereses corrientes (cupón) que corresponden al vendedor es

50(0.75)= $37.50

que deben ser sumados al precio.

Entonces el precio sucio sería 952.5508 + 37.50 = 990.0508

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