apuntes en proceso bovedas cilindricas
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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA
ACADEMIS DE INGENIERÍA CIVIL
ESTRUCTURAS ESPECIALES
Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz Página 1
2010
BÓVEDAS CILÍNDRICAS
DEFINICIÓN: Los cascarones cilíndricos se construyen a partir de una superficie de
translación que se forma cuando la generatriz se desplaza apoyada en la directriz.
La generatriz regularmente es una línea recta, mientras que la directriz puede tomar
diferentes formas, como son:
Arcos de círculo de medio punto.
Arcos de círculo rebajado
Arco parabólico
Arco elíptico, etc.
Creando en cada caso a los cascarones cilíndricos siguientes.
Cascarón cilíndrico circular de medio punto.
Cascarón cilíndrico circular rebajado.
Cascarón cilíndrico parabólico.
Cascarón cilíndrico elíptico.
GENERATRIZ
DIRECTRIZ
DIRECTRIZ
Circular de medio punto Circular rebajado
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La directriz circular, de medio punto o la rebajada, es la de uso más generalizado,
debido a las ventajas que presenta, entre las que destaca su facilidad de diseño, facilidad
constructiva y por su eficiente respuesta a las solicitaciones de cargas más comunes.
Los cascarones cilíndricos pueden apoyarse en distintas formas. Cuando se apoyan sobre
columnas se dice que son autoportantes, pero también pueden apoyarse directamente
sobre el terreno. Ya sea uno u otro tipo de apoyo que adopten los cascarones cilíndricos,
pueden lograrse disposiciones bastante prácticas y originales. Estos pueden ser.
Cascarones cilíndricos en batería
Cascarones cilíndricos en cañón.
Cascarones cilíndricos tipo Sheds o diente de sierra.
Cascarones cilíndricos Alas de Mariposa.
Cascarones cilíndricos para cimentación.
Parabólico
Elíptico
En batería
De cañón
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Cimentación
Tipo sheds o diente de sierra
Alas de mariposa
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Las directrices de los cascarones cilíndricos también pueden ser diferentes, como se
observa a continuación
En función de su relación de longitud a ancho se clasifican en.
1. Si L/C < 2.5 se trata de un cascarón corto.
2. Si L/C > 2.5 se trata de un cascarón largo.
L
C
C ó n i c o
C o n o i d e
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ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS
En el análisis de los cascarones cortos se emplea la teoría de la membrana, debido a
que su principal trabajo es transversalmente. Mientras que para los cascarones largos
se utiliza el método de la viga, debido a que estructuralmente trabajan en el sentido
longitudinal.
La práctica profesional ha tendido al uso de los cascarones cilíndricos cortos, debido a
su facilidad de diseño y por su gran economía. Además de que las corrientes
arquitectónicas son compatibles con estos elementos estructurales.
ELEMENTOS QUE COMPONEN LOS CASCARONES CILÍNDRICOS
Los cascarones cilíndricos se componen de los elementos básicos que se describen a
continuación.
Lámina o cáscara
Tímpano
Elemento de borde
Estas tres piezas existirán siempre en un cascarón cilíndrico; sin embargo, en el caso del
tímpano, puede presentar las formas siguientes.
Tímpano en celosía Tímpano macizo
Lámina o cáscara
tímpano
Elemento de borde
Elemento de borde
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FUERZAS Y ESFUERZOS EN LOS CASCARONES
CILÍNDRICOS CORTOS
Como mencionamos anteriormente, este tipo de cascarones se analiza con el método de
la membrana para conocer las fuerzas internas que le producen las fuerzas o cargas
externas que gravitan sobre ella.
El método consiste en estudiar un elemento diferencial del cascaron cargado, para
analizarlo y determinar los esfuerzos internos actuantes en cada cara, estableciendo el
estado de equilibrio respectivo.
Este proceso arroja como resultado un sistema de tres ecuaciones, llamado sistema
general de ecuaciones diferenciales de equilibrio. En el cual basta con sustituir las
condiciones geométricas del cascarón en estudio para deducir las ecuaciones de
aplicación directa que permiten calcular los valores de los esfuerzos en sus diferentes
direcciones que definen el estado de esfuerzos en el punto o partícula en análisis.
En el caso particular de los cascarones cilíndricos circulares, los esfuerzos internos y las
expresiones para evaluarlas son las siguientes.
En cada punto material de la cascara se producen dos fuerzas normales de
compresión, una en la dirección transversal (NØ) y otro en la longitudinal (Nx) y
también dos fuerzas cortantes (V) de igual valor para estas mismas direcciones.
cosrwN
)4(4
cos 22 xLr
wNx
senxwV 2
Tímpano de arco peraltado
Tímpano de arco ancho
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Donde:
NØ: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal.
Nx: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal.
V: Fuerza cortante.
W: Carga unitaria de diseño del cascarón, en kg/m2.
r: Radio de la directriz.
Ø: Ángulo que forma el punto en estudio con la vertical.
L: Longitud total del cascarón.
X: Distancia del punto en estudio a un eje que divide en dos partes iguales el
cascaron.
Nota: El signo menos que aparece en las fórmulas, únicamente indica que los
esfuerzos resultantes en la cáscara son de compresión. Esto se explica al
establecerse la suposición de que mientras que la cáscara trabaja a compresión, el
elemento de borde toma la tracción correspondiente.
r
Ø
NØ V
Nx
NØ
Nx
V
X
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Conocido el estado de esfuerzos (NØ, Nx y V) en cada uno de los puntos seleccionados de
la cáscara, a continuación se calculan las fuerzas principales y las direcciones
principales de los planos en que actúan, con la finalidad de conocer los puntos y las
direcciones en que se presentan tracciones y colocar el acero de refuerzo requerido que
le proporcione la resistencia necesaria. Este procedimiento puede ser analítico o bien
gráfico mediante los círculos de Mohr.
SOLUCIÓN GRÁFICA (CÍRCULOS DE MOHR)
θ
N2
V
NØ
V
NØ
N2 N1
N1
V
Nx
V
Nx Plano de fuerzas principales
Estado de fuerzas en el punto P (NØ, Nx y V). Fuerzas
y direcciones principales en el punto P (N1, N2 y Ø).
SOLUCIÓN ANALÍTICA
N1: Esfuerzo principal de tracción.
N2: Esfuerzo principal de compresión.
θ: Dirección principal.
v
NØ, NX
N2 N1
(NX, V)
(NØ, V)
COMPRESIONES TRACCIONES
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Conocidos los puntos o partículas en que se presentan las fuerzas de tracción (N1), ahora
calcularemos sus componentes longitudinales, valores que se utilizarán para el cálculo del
acero de refuerzo.
Finalmente se calcula el área de acero requerida para los puntos en que se presentan
estas tracciones (Th).
ACERO DE REFUERZO EN EL CASCARÓN
1. REFUERZO EN LOS PUNTOS DE TRACCIÓN
Como se describió anteriormente, se calcula el área de acero requerida para los puntos
en que se presentan tracciones.
s
hs
f
TA
Cantidad que se compara con el área de acero mínimo requerida por temperatura.
Ac*003.0
tsA
Se elige el valor mayor que resulte del área de acero. Determinándose a continuación la
separación del refuerzo.
)100(s
s
A
aS
o bien
eSmáxima 3
Tomándose el valor menor que arrojen estas dos operaciones.
Tv=N1 sen θ
Th= N1 cos θ
θ
N1
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2. REFUERZO EN LAS ZONAS DE COMPRESIÓN.
Como se desprende de este análisis, los puntos restantes del cascarón están
sometidos a fuerzas internas de compresión. El refuerzo correspondiente que se
agregará en estas zonas es el área de acero por temperatura.
Ac*003.0
tsA
La separación de este refuerzo será el menor valor que resulte de las expresiones ya
conocidas, que aquí repetimos con el fin de disipar toda posible duda en la aplicación del
procedimiento.
)100(s
s
A
aS
eSmáxima 3
ELEMENTO DE BORDE
Como explicamos en su momento, el elemento de borde esta sometido a tracción. Esta
tracción presenta su mayor magnitud en la parte media del cascarón que en los extremos
del mismo.
La magnitud de la fuerza de tracción en cualquier punto del borde, se calcula con la expresión siguiente:
senxLw
)4(2
T 22
t
El área de acero necesaria en cada punto del elemento de borde, se obtiene así:
s
ts
f
TA
X
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TIMPANO
ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL.
Se determina la reacción total del cascarón sobre el tímpano por metro.
C
wLSq
21
Donde S es el desarrollo del cascarón.
Posteriormente se le suponen dimensiones al tímpano (le corresponden las mismas
dimensiones transversales del cascarón), dejando unas cartelas para absorber el
cortante.
A continuación se estima el peso propio del tímpano por metro.
C
Wq t
2
Wt: Peso total del tímpano.
Carga total por metro: q = q1 + q2
Análisis por flexión.
Se calcula el momento flexionante máximo. 8
2CqM
C’
C
d’
b
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Seguidamente se calcula el área de acero requerida por flexión.
'bjf
MA
ss
Análisis por cortante.
Cálculo de la fuerza cortante máxima actuante. 2
CqVmáx
Esfuerzo cortante actuante. '' dC
Vmáxmáxv
El valor de este esfuerzo cortante se compara con el esfuerzo cortante admisible.
2' /29.0 cmkgfv cadm
Esto es: Si vmáx. < vadm. No se requieren estribos.
Si vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.
Vmáximo
1 2 q
C
Mmáximo
MODELO ESTRUCTURAL DEL TÍMPANO
b’ = b – r r: recubrimiento fs: fatiga del acero = 1400 kg/cm2 j: constante del concreto=
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En caso de requerirse estribos, la separación entre ellos se calcula con la expresión:
'' cv
fAS vv
ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL.
Se calcula la componente horizontal de las fuerzas cortantes V en el borde.
V
Vhcos
cosVVh
Estas componentes de las fuerzas cortantes están valuadas en kg por metro de
ancho de franja de cascarón. Por tanto se multiplicarán por el ancho de su área de
influencia (obtenida grafica o analíticamente) para obtener las fuerzas totales.
111
eVF hh
222
eVF hh
iihh eVFi
V
Vh
Área de acero del estribo propuesto: Av
Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs
Esfuerzo cortante para estribos: v ’ = vmáximo – vadmisible
Vhi
Vh2
Vh1 Fh1
Fhi
Fh2
e1
ei
e2
i=1,…, n
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CALCULO DEL ÁREA DE ACERO EN CADA ÁREA DE INFLUENCIA.
Área de acero requerida por tracción. s
hs
f
FA
Área de acero por temperatura. cts AA 002.0
Deberá cumplirse que: As ≥ Ast
Finalmente se diseñan las columnas y la cimentación del proyecto, conforme a los
procedimientos establecidos por las normas.
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PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE CASCARONES CILÍNDRICOS
CIRCULARES
I. DATOS DE DISEÑO
Este primer paso consiste en proponer la geometría (dimensiones) de la
estructura, como son:
Longitud total del cascarón: L, en metros.
Ancho del cascarón: C, en metros
Flecha del cascarón: b, en metros
Carga uniforme de diseño: w, en kg/m2
II. DISEÑO DE LA LÁMINA O CÁSCARA.
II.1 Se calcula el radio de la directriz de la bóveda.
b
cbr
8
4 22
II.2 Se precisan los n puntos de estudio del cascarón.
Considerando la natural simetría del cascarón, se delimita la zona a
estudiar.
Luego se fijan, en planta, los n puntos a estudiar.
r, en metros
L/2
C/2
L/2
C/2
A2 A1
D1 D2 D3 Di
B1 Bi
C1 C2 Ci
n1 n3 n2 n5 ni n4
C/2
L/2
x
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Finalmente se calculan, en elevación, los ángulos de estos puntos en
estudio.
II.3 Se propone el espesor, e, de la cáscara. El espesor mínimo debe ser de 6
cm.
II.4 Seguidamente se investiga la resistencia de la cáscara de la bóveda
cilíndrica. Esto implica probar que el espesor propuesto es suficiente
para resistir el esfuerzo máximo de compresión generado por la carga.
Para esto se sigue el proceso siguiente.
Calculamos la fuerza de compresión máxima en el cascarón, la que se
presenta en el punto A2, de coordenadas (r, 0°) y x=0.
222
4)4(
4
cosL
r
wxL
r
wNx
Estimamos el esfuerzo de compresión máximo actuante en el cascarón
(punto A2).
A
Nf xc
Se valúa el esfuerzo permisible (fcx permisible)) de compresión.
e
r
e
Lf
perxc
1100
60
Nx, en kg.
fc, en kg/cm2
Posición angular de los n
puntos definidos (r, Ø).
Línea de 0o
1
2
3
4
n
Ø1
Ø2
Ø3 Øi
r
fcx per, en kg/cm2
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Finalmente se compara el esfuerzo de compresión máximo (fc) en el
cascarón inducido por la carga externa, contra el esfuerzo permisible (fcx
permisible)) de compresión.
Si fc fcx perm se ratifica la geometría propuesta del cascarón.
Si fc > fcx perm se modifica la geometría propuesta del cascarón
II.5 Se calculan las fuerzas internas en cada punto definido en la bóveda
(fuerzas de compresión y fuerzas cortantes).
)4(
4
cos 22 xLr
wNx
cosrwN
senxwV 2
II.6 Calculamos los esfuerzos principales en cada uno de los puntos
materiales del cascarón, definidos anteriormente, con la finalidad de
detectar la presencia de los esfuerzos de tensión (tracción), su magnitud
y dirección. Este calculo puede realizarse en forma gráfica mediante los
círculos de Mohr, o bien analíticamente.
II.7 Se valúan las magnitudes de las componentes horizontales de las fuerzas
de tracción, derivadas de los esfuerzos principales de tracción.
cos1NTh
II.8 Se calcula el acero de refuerzo requerido por tracción en cada punto
definido en la cáscara.
s
hs
f
TA
cs AA
t003.0
Nx, N , V, en kg.
Th, en kg.
En todo momento: As Ast
N1
Th
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III. DISEÑO DEL ELEMENTO DE BORDE.
Calculo de la fuerza de tracción a lo largo del borde. Esto
corresponde a los puntos n1, n2,…, ni.
senxLw
)4(2
T 22
t
2
tborde
TT
Acero de refuerzo requerido en cada punto del borde y su
dimensionamiento.
s
bordes
f
TA
Por último se proponen las dimensiones apropiadas de la sección
transversal del elemento de borde que aloje adecuadamente el
acero de refuerzo determinado.
IV. DISEÑO DEL TÍMPANO.
TT, en kg.
As, en cm2
As1 As2 As3 As4 As5 Asi
n1 n2 n3 n4 n5 ni
C’
C
d’
b
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ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL.
1. Se proponen las dimensiones del tímpano.
2. Cálculo de la reacción total sobre el tímpano y peso propio del
tímpano.
))180
(*****290
φ(*r*πddrS
γC'AW tt
3. Análisis por flexión.
3.1 Refuerzo longitudinal (zona de tracción).
Momento flector máximo. 8
2CqMmáx
Acero de refuerzo por flexión.
'bjf
MA
ss
Cantidad de barras. s
sbarras
o
a
AN
DATOS: C y b
VALORES PROPUESTOS: C’ y d’
Reacción total sobre el tímpano (F/L):
Peso propio del tímpano (F/L):
Carga total (F/L):
Ø Ø r
S
S: Desarrollo del cascarón.
Ø: en grados.
At: área del tímpano.
γ: Peso volumétrico del material de la cáscara.
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3.2 Refuerzo transversal (estribos).
Fuerza cortante máxima. 2
CqVmáx
Esfuerzo cortante máximo. '' dC
Vmáxmáxv
Esfuerzo cortante admisible
'29.0 cadm fv
Si vmáx. < vadm. No se requieren estribos.
Si vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.
Si fuera necesario colocar refuerzo transversal (estribos), el esfuerzo cortante que toman los estribos es:
admmáx vvv'vestribos
Separación de estribos.
'' cv
fAS vv
ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL.
1. Calculo de las componentes horizontales de las fuerzas cortantes V
en el borde del tímpano.
V
Vhcos
cosVVh
Área de acero del estribo propuesto: Av
Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs
V
Vh
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2. Determinación de las fuerzas totales (tracción), por área de influencia
(Fhi).
iihih eVF
3. Calculo del acero de refuerzo requerido por área de influencia en el
tímpano.
Área de acero requerida por tracción. s
hs
f
FA
Área de acero por temperatura. cts AA 002.0
Número de barras necesarias. s
sbarras
a
AN
Separación de las barras. barras
i
N
eS
En todo momento deberá prevalecer que: As ≥ Ast
Vhi
Vh2
Vh1 Fh1
Fhi
Fh2
e1
ei
e2