apuntes dif

7/21/2019 Apuntes Dif

http://slidepdf.com/reader/full/apuntes-dif 1/53

Concepto 1: Diferenciales

Sección F-CI1-100

¿Qué tan grande puede ser una variación antes de que la

percibas?

F-CI1-101: Las pequeñas variaciones

Por experiencia sabemos que las plantas y nosotros mismos crecemosdía con día, de otra forma no podríamos explicar porqué si dejamos dever a una persona durante cierto tiempo, al volverla a encontrar posteriormente la notarás cambiada. Así, por más que fijemos la vistaante una planta no vemos que esta crezca; sin embaro, uno o dos

días después posiblemente notaremos que !a cambiado, tiene nuevosreto"os o incluso sus flores se !an abierto.

#os cambios que sufren muc!as de las cosas que nos rodean resultanimperceptibles ante nuestros sentidos si las observamos de maneracontinua, salvo que !aamos comparaciones entre instantes distantesen el tiempo. $esde lueo, que es posible encontrar fen%menos cuyavariaci%n es tan rande que a&n instantáneamente observamos quesus cambios ocurren.

Por ejemplo, observa las nubes en el cielo, si es un día tranquilo sinviento, verás a las nubes apacibles y aparentemente estacionadas enel fondo azul; por el contrario, posiblemente si es un día de tormentacambiarán su forma y se desplazarán ante tus ojos'visiblemente(. )ntonces es posible imainar *qué tan rande puedeser una variaci%n antes de que la percibas+



o te !as preuntado *-ué tan peque"a puede ser esa variaci%n+,por que sabemos que podemos imainar el instante de tiempo tanpeque"o como se quiera y decir que es infinitamente peque"a, o ennuestra notaci%n matemática si Δt→0 lueo Δx→0 , siendo x la

variable bajo observaci%n. Pero lueo no me refiero a ese límite queen verdad existe, la preunta fue a la inversa, ya que muc!o antes deque Δx alcance su límite al cero !ay un momento en que deja de ser perceptible, en ese instante y después de él, dentro del proceso enque Δx→0 , !emos alcanzado el diferencial escrito dx .

)l diferencial es el concepto matemático asociado a la idea de que

/bserva que para prop%sitos prácticos con x + dx siues 0estandoen x 1 el movimiento desde x es imperceptible; sin embaro, si siuesacumulando más 'dx ( llea un momento en que estás en un nuevoluar, 0a!ora estás en x + Δx 1

Acción CI1-101: Diferenciales en acción

Aplicación CI1-101: Aquí están los

iferenciales

!eoría !-CI1-100

Sección F-CI1-"00



F-CI1-"01: #Incre$ento % iferencial es lo$is$o&

$e la secci%n previa !emos obtenido un acercamiento a losdiferenciales y a los incrementos de una variable independiente, peroen la mayoría de los fen%menos que ocurren en nuestra vida diariaexisten variables dependientes que son resultado de las variacionesen la variable independiente. *-ué ocurre en este caso con losdiferenciales y los incrementos+ *2on lo mismo+ 3 los diferencia lamisma característica que mencionamos en la secci%n previa,esperamos que eso se aclare en esta secci%n.

$el análisis en el curso previo de 4álculo $iferencial, concluimos quelas funciones pueden ser una forma muy importante de representar modelos de los fen%menos. )n particular si el fen%meno bajo estudiopuede ser modelado mediante una funci%n entre dos variables,tendremos que se satisface unarelaci%n entre las variablesindependiente y dependiente de la forma y = f(x! $ic!a funci%n tieneevidentemente una ráfica que la representa y por otro lado se !adefinido a la derivada como el cociente entre dos incrementos llevados

al límite, recordemos tal definici%n

A!ora veámosla ráficamente

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Focalizacion/FocalizaCI1.htm

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Focalizacion/FocalizaCI1.htm



5iura 6 $iferenciales e incrementos.

/bserva con cuidado la fiura 6, mientras que Δx→0 y alcanza suvalor imperceptible dx , se determina la relaci%n f "(x = dy#dx . 2inembaro, la curva que representa el fen%meno se siue recorriendo yen cierto momento cuando se tiene x + Δx , la funci%n se encuentraen y + Δy . Por otro lado como el triánulo que determina la derivadaya se defini% y resulta inamovible se tiene que define un cateto verticalde manitud dy diferente de Δy . #ueo en lo eneral dy $ Δy y

&nicamente son iuales en el límite, estrictamente cuando sesatisface Δx→0 . /bserve que de la fiura se tiene la relaci%n exacta y

+ Δy = f(x + Δx. *-ué pasa si despejamos dy en la iualdad yacitada f "(x= dy#dx +



Acción CI1-"01: Diferenciales en la varia'leepeniente

Aplicación CI1-"01: #Có$o uso los

iferenciales&

!eoría !-CI1-"00


Acción CI1-"01: Diferenciales en la varia'leepeniente

)n esta acci%n retomamos la fiura presentada previamente en lafocalizaci%n, analiza los cambios que le !emos !ec!o y responde alos siuientes cuestionamientos



Pues bien, en esta ocasi%n se !an considerado dos instantesdiferentes dentro del proceso de llevar 7x89 subindicados en 6 y :respectivamente.

)s muy importante el !ec!o del empleo de la derivadaequivalente a la tanente del ánulo de inclinaci%n de la rectatanente, muestra c%mo se calcularon los sementos verticales.

Porqué se !a se"alado el semento ')rror 6( y ')rror :( como)/)2.

*2í Δx→0 siempre decrece el error+ <uestra c%mo se da estoen diferentes ráficas =al menos > diferentes a la mostrada?.

2i / conocieras la funci%n que representa a un fen%meno,

cual Δx de las mostradas en la fiura emplearías para calcularlos sementos verticales y porqué.

@ndica en la fiura, cuáles sementos son diferenciales. Puede el error ser 4)/. *4uándo y porqué+ raza nuevamente una ráfica parecida a la mostrada, pero conla ráfica de una funci%n %&'%) *aca arriba. epite los



análisis establecidos *en qué cambia la situaci%n si la ráfica es4/4ABA !acía abajo o !acía arriba+

Productos que serán entregados:

a? Cn arc!ivo con las respuestas y conclusiones de loscuestionamientos planteados.

$iscute las situaciones planteadas con tus compa"eros y con tufacilitador; y envía tu análisis y conclusiones a tu facilitador en unarc!ivo Dord de nombre AccionCI1201apellidonombre.

Criterios de calidad:

i. 4laridad y conruencia en la redacci%n.ii. espuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.iii. )n nin&n caso es considerada como correcta una respuesta

simple del tipo 'no, sí, nunca, siempre, etc.(.iv. <anifestaci%n de las propias ideas y en caso de definiciones

de textos, cita de las fuentes.v. /riinalidad.vi. Cso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas

conceptuales para clarificar las ideas.

%ualquier c,-entari, , discusión se puede reali.ar c,n tus

c,-pa/er,s , c,n tu facilitad,r p,r -edi, de l,s recurs,s de la

plataf,r-a en us,!

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en el

curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los

productos de esta actividad.



Cualquier duda o comentario sobre la planeación o el desarrollo de la

actividad, hacerla llegar a tu facilitador.


Aplicación CI1-10": Aquí están los iferenciales

/bserva las siuientes fotorafías, todas ellas tiene al menos unacaracterística en com&n



)ntre otras características las situaciones presentadas están

asociadas a problemas de volumen, en cada uno de los casos enmayor o menor rado conocer el volumen exacto que puede contener el objeto resulta muy importante, en lo eneral los objetos presentadospresentan formas cuyo volumen es relativamente fácil decalcular. *-ué pasa si aluna de las dimensiones nominales delobjeto varía un poco de su valor+ *4%mo cambia el volumencontenido debido a ese error+

Por ejemplo sup%nase que el objeto es un cilindro, su volumen está

determinado por ) = r

1

*, donde r es el radio y * su altura. 2i setiene un cilindro de radio y altura nominales de E9 cm y 6:9cm respectivamente *4uánto varía aproximadamente su volumen sisu radio es realmente de E9.E cm+

$esde lueo que eso se puede calcular de manera adecuadacalculando ambos vol&menes y encontrando su diferencia, que en este



caso resulta ser de FG6H:6.EFFI J FH:HKK.KFG6 L 6IFH>.I9>K cm>;sin embaro, existe otra forma de aproximar rápido el resultado queresulta bastante simple en aquellos casos en que no es posiblecalcular mediante aluna f%rmula como en el caso previo.

4onsidérese la f%rmula de cálculo de volumen presentada ) = r 1 *,a!ora derivemos respecto de r puesto que es la variable que no !aresultado exacta, tendremos d)#dr = 1 r*, o bien d) = 1 r*dr ,lueo ya que los diferenciales corresponden con peque"osincrementos, se debe de cumplir Δ) 2 1 r*Δr = 1(30410(0!3 =

45567!3337 c-8, que resulta se una muy buena aproximaci%n y queen particular nos muestra que un peque"o error de construcci%nimplica randes consecuencias en el volumen total.

Podemos imainar y calcular las implicaciones de al&n error demedidas 'menor( en cada uno de los casos que se presentan, claroque puede que no sean tan críticos, pero *puedes proponer al&ncaso en el cual un error 'menor( de construcci%n respecto de lasespecificaciones tena consecuencias raves+

)xplica en cada caso que implicaci%n tienen los diferenciales respectodel objeto que se presenta en la fotorafía.

)n estos y muc!os casos los diferenciales son una forma rápida delcálculo de esas variaciones.


a? Puesto que corresponde a la vista de los conceptos bajo estudioen acci%n, esta es una actividad para meditar y comentar con tus

compa"eros y facilitador. o se espera la entrea de unproducto, pero en caso de que desees realizar un producto seráun arc!ivo con tus comentarios, dudas y con la respuesta a cadauno de los cuestionamientos planteados.



#os productos opcionales serán interados en un arc!ivo &nico queserá subido a la plataforma o enviado por eMmail a tu facilitador. )lnombre del arc!ivo será AplicacionCI1102apellidonombre.

Criterios de calidad:i. 4laridad y conruencia en la redacci%n.ii. espuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.iii. )n nin&n caso es considerada como correcta una respuesta


de textos, cita de las fuentes.v. /riinalidad.vi. Cso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas


4ualquier comentario o discusi%n se puede realizar con tuscompa"eros o con tu facilitador por medio de los recursos de la

plataforma en uso.

Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en elcurso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los







Sección !-CI1-100

!-CI1-101: (l iferencial

4omo se !a se"alado una variable continua presenta su posibilidad decambio como cualidad esencial y en particular si en una situaci%n setiene una variable independiente x , se define al diferencial comoaquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad

;

/ bien

Nasta este punto, la definici%n del diferencial de una variableindependiente no presenta ninuna cualidad diferente respecto a losincrementos que !aan necesaria y &til su definici%n; sin embaro, su

importancia y utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre enuna funci%n.

Cna funci%n cualquiera en un punto x 0 dado se puede 'aproximar linealmente( y esta aproximaci%n es válida en puntos muy cercanosal x deseado, siempre que la funci%n se aproxime mediante su rectatanente en el punto, como se muestra en la siuiente fiura.



5i. 6 Aproximaci%n lineal de una funci%n en un punto

$e la fiura 6 se puede observar que la ecuaci%n de la recta tanenteque aproxima a la funci%n dada en el punto x 0 resulta ser

y 9 y 0 = f :(x 0 (x 9 x 0

Pero la 'aproximaci%n lineal( es válida para valores de x muy cercanosa x 0 , ya que conforme x se aleja de x 0 , el error de la aproximaci%ncrece cada vez más ya que representa la separaci%n entre la curvade f(x y la recta tanente, lueo la diferencia Δx = (x 9 x 0 →0 , esdecir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definici%n previa,

pero de la misma forma se puede observar que Δy = y 9 y 0 por lo quesustituyendo en la ecuaci%n de la recta tanente resulta

dy = f:(x 0 dx

$ic!a cantidad dy = f:(x 0 dx se denomina 'diferencial de la funci%n(en el punto x 0 y su sinificado se puede observar en la fiura :. )simportante se"alar que en la notaci%n diferencial de #eibniz para la



derivada podemos simplemente despejar dy para encontrar a partir de dy#dx = f:(x la misma expresi%n.

5i. : $iferenciales e incrementos.

2e debe de tener presente que dy , es una condici%n límitecuando x→x 0 y resulta idéntico a Δy cuando se eval&a dic!o límite, enla fiura esta iualdad es observable cuando realizas laoperaci%n Δx→0 .

!-CI1-10": !eore$as so're iferenciales

)n acuerdo a la definici%n dy = f "(x 0 dx , por lo que el cálculo deldiferencial depende esencialmente de la determinaci%n de la derivada,



así por ejemplo paray = f(x = 8x 1 9 3x + 1 , se tiene que dy = (;x 9

3dx .

2uponamos a!ora dos funciones u(x y v(x, lueo si y = u(xv(x, setiene que

#o cual nos muestra la forma típica de calcular los diferenciales de unafunci%n dada, esto es se deriva la funci%n dada y la expresi%n

resultante se multiplica por el diferencial de la variable independiente,por ejemplo

2i u(x = 1c,sx , y v(x = 6x 8; lueo si y = 5x 8c,sx por lo quederivando resulta y:= 5(8x 1 c,sx 9 x 8senx o bien al multiplicar por dx se obtiene dy =5(8x 1 c,sx 9 x 8senxdx .

/tra forma de cálculo resulta al aplicar la f%rmula encontrada dy = udv

+ vdu , como en este caso du = 91senxdx , y dv = 41x 1 dx ; se tiene alsustituir

dy = (1c,sx( 41x 1 dx + (6x 8 ( 91senxdx = 5 (8x 1 c,sx 9 x 8senxdx

$e la misma forma en que se !a encontrado el teorema dy = udv +

vdu podemos demostrar los siuientes teoremas en loscuales u y v son funciones de x



2i se revisa con cuidado cada uno de los teoremas anteriores, puedes

encontrar con que cada una de estas f%rmulas corresponde con lasf%rmulas del cálculo de derivadas.

)n particular la notaci%n de diferenciales permite trabajar la regla de

la cadena de una manera muy simple, por ejemplo si tienes que



!-CI1-10): Cálculo e apro*i$acionese$pleano iferenciales

)l uso de los diferenciales como medio de aproximaci%n se basa enla apr,xi-ación lineal mostrada en el apartado M4@6M696 previo; enél mostramos la expresi%n y 9 y 0 = f :(x 0 (x 9 x 0 la cual podemosescribir y = f(x 0 O f :(x 0 dx o en términos aproximados y = f(x 0 O f

:(x 0 Δx lo cual nos permite calcular el nuevo valor de y una vez quenos ubicamos en el punto x + Δx , o bien el incremento que sufre elvalor de y mediante dy = f:(x 0 dx que en términos aproximados sepuede escribir Δy = f:(x 0 Δx .

)n las diferentes expresiones que se !an se"alado debemos recordar que se emplea la aproximaci%n Δx 2 dx y Δy 2 dy . #a situaci%n máscomplicada que se nos podría presentar en las situaciones reales seráel conocer el valor de la expresi%n f:(x 0 , misma que se puedeaproximar mediante la medici%n de la velocidad con que ocurre lavariaci%n dentro de la situaci%n bajo estudio.

Por ejemplo

Cn fabricante de pelotas de plástico realiza la producci%nde 4000 pelotas del modelo <63 cuya característica de dise"o implicaun diámetro de 80 c- y un espesor de 1 --. Por motivo de undesajuste en la maquinaria, los encarados de control de calidadafirman que las pelotas !an salido con un espesor de1!8

--. *4uánto plástico en exceso se !a astado aproximadamente enla producci%n+

)n este caso, ya que podemos considerar que la pelota es un

recipiente de 'pared delada(, podemos calcular la cantidad deplástico empleada por cada pelota como ) = espes,r(>rea de la

pel,ta = *(6 r 1 , sin embaro puesto que * !a variado un poco setiene Δ) = f:(*0 Δ* = 6 r 1 Δ* = 6(431 (0!08 = 56!518 c-8 y puestoque se produjeron 4000 pelotas tendremos 56518 c-8, esdecir 56!518 lt de plástico, que representa una pérdida considerable.



Podemos observar que si calculamos el volumen de plástico conrelaci%n al volumen de la esfera se tendría ) = 6(a8 9

b8 #8 donde a y b son el radio exterior e interior respectivamente, lueosi consideramos que la variaci%n se dio en el radio exterior a,

tendremos que la variaci%n resulta Δ) = f:(a0 Δa = 6a1 Δaobteniendoel mismo resultado. 2in embaro, en este caso es posible calcular 'exactamente( la variaci%n, puesto que cada pelota estándar emplea ) =6(a8 9b8 #8 = 6(43!1 8 943 8 #8 = 38!0; c-8 de plástico,mientras la pelota con el desperdicio tiene ) 1 = 6(43!188 943 8 #8 =

;;0!881 c-8 que resulta en una diferencia 'exacta( de 5!11 c-8 por pelota, con lo que el cálculo previo representa un error liero respectode este valor 'exacto( *porqué es esa diferencia+

Cna cosa si es seura, no siempre conoces la funci%n que representaal fen%meno y en esos casos no se puede prever el valor exacto y s%lodispondrás de los diferenciales como se muestra en alunos ejemplos.


(+ercicio CI1-101

4alcula el diferencial de las siuientes funciones

4@6M696M6

4@6M696M:

4@6M696M>



4@6M696MH

4@6M696ME

4omenta tus !allazos con tus compa"eros y con tu facilitador.)n caso necesario envía tus conclusiones en el arc!ivo de

Dord EjercicioCI1101apellidonombre a tu facilitador.


Autoevaluación CI1-100

esolver los siuientes cuestionamientos

4@6M696M6 )ncuentre el diferencial df de la funci%n en términos

de x si se sabe que

4@6M696M: 4alcule una aproximaci%n lineal alrededor del punto

dado x = 8, para la funci%n

4@6M696M> Para la funci%n tomando x =

4 y Δx = 0!004, calcular



a? )l cambio exacto de la funci%n para el valor de x dado si se

tiene el incremento Δx .b? )l cambio de la funci%n empleando diferenciales.

c? )l error que se enera entre en calculo exacto y el encontradoempleando diferenciales.

4@6M696MH Cn cono circular recto tiene radio en su base de 3

c- y altura de 41 c-. *4uánto crece aproximadamente suvolumen si su eneratriz crece 4@+

4@6M696ME Cna lata de aluminio para bebidas aseosasmide 1!36 c- de radio y 4!8 c- de alto, mientras el espesor de lalámina con que está !ec!a es de 0!6 --. 2i simultáneamente seprovocara un error máximo en radio, altura y espesor del A@ encada manituda? *4uánto varía en porcentaje el peso de la lata+b? *4uánto varía en porcentaje la cantidad de lámina empleada

para construir la lata+c? *4uánto varía en porcentaje el volumen que puede contener la

lata+d? )n cada caso *-ué manitud al variar resulta la más crítica la

altura, el radio o el espesor de la lata+e? *-ué valor tiene máximo puede tener A si ninuna de las

manitudes mencionadas en los incisos a, b y c, debe demodificar su valor más de un 4!3@+

4omenta tus !allazos con tus compa"eros y con tu facilitador.)n caso necesario envía tus conclusiones en el arc!ivo deDord AutoevaluacionCI1100apellidonombre a tu facilitador.



INTEGRAL

Concepto ": Inte,ral Inenia

!eoría !-CI"-100

Nasta a!ora con el conocimiento sobre la derivada se !a podidoobservar lo que ocurre con las peque"as variaciones y la sensibilidada esos cambios. 2in embaro, en muc!os fen%menos esas peque"asvariaciones se acumulan. *es posible calcular esa acumulaci%n+ )lobjeto de esta secci%n es darte elementos para ese c%mputo.

!-CI"-101: Antierivaas $efinici%n Cna funci%n B(x es la antiderivada de f(x si B"(x =

f(x ) para todas las x en el dominio de f . )l conjunto de todas lasantiderivadas de f(x se de f se desina como la interal indefinida

de f respecto de x y se escribe .

)l símbolo empleado oriinalmente fue una 'C ( alarada indicando quela referencia es a una 'suma( y se denomina 'signo de integral (. #afunci%n f(x es el interando de la interal y x es la variable de

interaci%n. )n realidad los símbolos son uno solo e identificanla acci%n latente de interar. 4uando la interal se 'resuelve( ambos



símbolos desaparecen dando paso a la interal indefinida B(x + c . #anaturaleza de c que diferencia a cada una de las antiderivadasde f(x se denomina constante de interaci%n y proviene del !ec!o deque E.6 (c" = 0 y (B(x+c" = B"(x. $e esta manera la resoluci%n de

la interal indefinida arroja

4omo B(x + c identifica una familia de curvas paralelas, la localizaci%ndel valor adecuado de c en una situaci%n particular, dependerá de laubicaci%n de un punto conocido de la curva, normalmente a esto se lellaman 'condiciones iniciales( y dado el punto (x 0 Dy 0 sepodrá calcular c simplemente de y 0 = B(x 0 + c!

4on estos elementos los teoremas de derivadas adquieren una visi%ndiferente y permiten enunciar

Integral indefinida Teorema de derivación:

T7.1 , n racional. T5.2 (xn )’=nxn-1 de donde

T7.2, De T7.1 si n=0.

T7.3 T5.3 (cu)’=cu’

T7.4 T5.4 (u+v)’=u´+v’

T7.5 , n racional.T5.8 (un )’=unn-1u’generalización de T7.1

T7.6T5.9 (lnu)’=u’/u

T7.7 T5.10 (eu )’=euu’

T7.8T5.11 (senu)’=cosu u’

T7.9 T5.12 (cosu)’= senu u’

T7.10 T5.13 (!anu)’= sec"u u

T7.11 T5.15 (secu)’= secu !anu u’

T7.12 T5.14 (c!gu)’= csc"u u’



T7.13 T5.16 (cscu)’= -cscu c!gu u’

T7.14 T5.17

T7.15 T5.19

T7.16 T5.21

!-CI"-10": Inte,ración por sustitución

$el E3! mejor conocido como rela de lacadena se desprende la técnica de interaci%n denominada@nteraci%n por sustituci%n que implica

E!4

!-CI"-10): Su$as e .ie$ann 2ea una funci%n # continua en el intervalo $a%&' y unapartici%n arbitraria del intervalo en n intervalos limitados por lospuntos a=x0 % x1 % x" % x % ...% xn-1 % xn=& con la &nica condici%n de que a=x0*

x1* x"* x* ...* xn-1* xn=&% así al conjunto ={ x0 % x1 % x" % x % ...% xn-1 % xn } lollamamos partici%n de $a%&'.

define n subintervalos cerrados determinados por $x0 % x1 '%$ x1 % x" %'% ...%

$ xn-1 % xn ', en el que la lonitud de cada subintervalo será

, para los valores adecuados de =1%"%%...%n. 2i en cada subintervalose selecciona un punto c y se construye un rectánulo con el intervalocomo base y de altura #(c ), se tendrá que el área del rectánulo

será . )stá selecci%n se muestra en la siuiente fiura.



4omo se tienen n rectánulos, se suman todas las áreas, si #(c )*0 el

producto *0; incluyendo esta consideraci%n se suman todos los

productos obteniendo . )sta suma que depende de yde las selecciones de los c , la denominamos 2uma de iemannpara # en $a%&'.

2i definimos la norma de una partici%n , como la lonitud del intervalo

más laro de la partici%n y se escribe ||P||.

$efinici%n #a interal definida de una funci%n en un intervalo $a%&' es

el n&mero , que satisface la siuiente condici%n ,para cualesquier elecci%n de n&meros c en las subdivisiones de la

partici%n. )l n&mero @ se representa por y se lee 'interalde # de x desde a !asta &”.

4uando la selecci%n de los c de cada intervalo corresponde con elmáximo en el intervalo, se dice que se tiene una 2uma superior deiemann y se representa por porque depende la parici%n. $e iualforma, si la selecci%n se !ace sobre los mínimos de cada subintervalo,



se obtendrá una 2uma inferior de iemann, escrita . )n el límite se

tendrá que

$ebido a que en eneral . Cna funci%n para la queel límite existe se dice que es iemann interable o com&nmente'interable( en $a%&'.

(+ercicios CI"-100

(valuación CI"-100


(+ercicio CI"-101

esuelva los siuientes ejercicios

4@:M696M6 )ncuentre la antiderivada de .

4@:M696M: )ncuentre la antiderivada de .

4@:M696M> esuelva la interal indefinida .



4@:M696MH esolver .

4@:M696ME esolver .

4@:M696MG esolver .

4@:M696MK esuelva .




Autoevaluación CI"-101




4@:M696M6 esuelva

4@:M696M: esuelva

4@:M696M> esuelva

4@:M696MH esuelva

4@:M696ME esuelva .

4@:M696MG esuelva .

4omenta tus !allazos con tus compa"eros y con tu facilitador.)n caso necesario envía tus conclusiones en el arc!ivo deDord AutoevaluacionCI2101apellidonombre a tu facilitador.



Concepto ): /toos e Inte,ración

!eoría !-CI)-100

!-CI)-101: Antierivaas

$el E3! mejor conocido como rela de lacadena se desprende la técnica de interaci%n denominada

@nteraci%n por sustituci%n que implica

E!4

2in embaro resolver una interal no siempre es posible empleandolos teoremas básicos o el teorema de sustituci%n. 4uando esto ocurrese dispone de diferentes técnicas para resolver interales cuyaaplicaci%n depende específicamente de la estructura de la interal por

resolver.

!-CI)-10": Inte,ración por sustitución irecta

Para !acer coincidir una estructura con las formulas básicas es

necesario seleccionar adecuadamente a los elementos u , du , a y n; deacuerdo a la estructura eleida. Por motivo de la propia simplificaci%nalunos elementos alebraicos desaparecen o se visualizan demanera aparentemente diferente, para ello se deben emplear alunosprocedimientos prácticos que permitan recobrar los elementos



perdidos para completar adecuadamente la estructura eleida. $entrode estos procedimientos se suiere probar

i. 2implificar alebraicamente el interando.

ii. 2eparar el interando en sumandos y separar las interales. iii. Nacer una sustituci%n directa para simplificar, se ve

directamente u y du .

iv. 4ompletar los cuadrados para lorar cubrir formas u 1 +a1 , u 1 9

a1 o (u9a1 .

v. Csar una identidad trionométrica y simplificar, es &til cuandose presentan funciones trionométricas.

vi. )liminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente despuésde completar un cuadrado o una sustituci%n trionométrica.

vii. educir una fracci%n impropia.

viii. 2eparar los elementos del numerador de una fracci%n entre eldenominador de la fracci%n.

ix. <ultiplicar por una forma unitaria g(x#g(x que al multiplicar por el interando f(x permita modificar adecuadamente Ff(xg(xG#g(x.

x. Probar sustituir f(x por 4#(4#f(x.

)l procedimiento resulta adecuado si después de lasustituci%n u , du la estructura de la interal es idéntica a los teoremasbásicos y se aplica directamente laantiderivaci%n.

Hstas sugerencias s,n v>lidas para t,das las técnicas de

integración!

(+ercicios CI)-100




(+ercicio CI)-101


4@>M696M6 )ncontrando una sustituci%n adecuada

resolver .

4@>M696M: <ediante la sustituci%n adecuada resolver .

4@>M696M> esolver .




!eoría !-CI)-"00



!-CI)-"01: Inte,ración por partes

esolver una interal no siempre es posible empleando los teoremasbásicos o el teorema de sustituci%n

K.6K . 4uando estoocurre se dispone de diferentes técnicas para resolver interales cuyaaplicaci%n depende específicamente de la estructura de la interal por resolver

$el teorema E3!3 (uv" = vu" + uv" se puede obtener uv" = (uv" +

vu" que se puede escribir udv = d(uv + vdu e interando en ambosextremos de la iualdad se obtiene

I.6

-ue se denomina interaci%n por partes. )ste tipo de interales seidentifica cuando no es posible localizar una sustituci%nadecuada u para el cual du corresponda con la estructura supuesta.ajo estas condiciones es necesario identificar entre los diferentesfactores que componen el interando un conjunto que se identificarácomo u , mientras el resto de los factores incluyendo al diferencial se

denomina como dv . 4on las partes identificadas se resuelve que

en lo eneral deberá ser una estructura muc!o más simple que la dela interal oriinal. $e iual manera, con u seleccionada secalcula du y se estructura el término derec!o de la iualdad del

teorema. A!ora la interal debe ser una interal más simple quela interal oriinal, desde lueo que puede ocurrir que esta interaltambién sea por partes.



(+ercicios CI)-"00


(+ercicio CI)-"01


4@>M:96M6 esolver .

4@>M:96M: esolver .

4@>M:96M> esolver .

4@>M:96MH esolver .



4@>M:96ME esolver .




!eoría !-CI)-)00

!-CI)-)01: Inte,ración tri,ono$trica

Cna interal se denomina trionométrica cuando el interando de lamisma está compuesto de funciones trionométricas y constantes.Para su resoluci%n Jdesde lueo que son válidos los teoremas deinteraci%nJ, pero sobre todo se deben tener siempre presentes losE.66 a E.6G.

T5.11 (senu)’=cosu u’

T5.12 (cosu)’= senu u’ T5.13 (!anu)’= sec"u u’

T5.14 (c!gu)’= csc"u u’

T5.15 (secu)’= secu !anu u’

T5.16 (cscu)’= -cscu c!gu u’



)n lo eneral después de aplicar las diferentes suerencias dadas enla teoría !-CI)-100, pero muy en especial

i. Csar una identidad trionométrica y simplificar, es &til cuandose presentan funciones trionométricas.

ii. )liminar una raíz cuadrada, se presenta normalmente despuésde completar un cuadrado o una sustituci%n trionométrica.

iii. educir una fracci%n impropia.

iv. 2eparar los elementos del numerador de una fracci%n entre eldenominador de la fracci%n.

v.

<ultiplicar por una forma unitaria g(x#g(x que al multiplicar por el interando f(x permita modificar adecuadamente Ff(xg(xG#g(x.

vi. Probar sustituir f(x por 4#(4#f(x.

)s necesario tener siempre a la mano una tabla de 'identidadestrionométricas y sustituyendo adecuadamente, llearás a las'f%rmulas básicas(.

)n especial cuando además de los términos trionométricos existen

factores polin%micos o exponenciales, lo más seuro es que la interalpropuesta deba ser resuelta por partes.

Alunas de las identidades trionométricas que te pueden ser &tilesson

Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles

Identidades fundamentales el teorema de !it"goras Translaciones

1. cscx=1/senx 7. sen" x+cos" x=1 10. sen(-x)=senx

2 . secx=1/cosx 8. 1+!an" x=sec" x 11. cos(-x)=cosx3. !anx=senx/cosx 9 . 1+c!g " x=csc" x 12. !an(-x)=-!an(x)

4. c!gx=cosx/senx #umas $ restas de "ngulos 13. sen (/" x)=cosx

5. !anx=1/c!gx 18. sen(x+)=senxcos+cosxsen14. cos(/" x)=senx15. !an(/" x)=c!gx

6. c!gx=1/!anx19.

sen(x)=senxcoscosxsen %últi!los de "ngulos

&e$ de senos 20. 24. sen"x="senxcosx

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Teor%C3%ADa/TeoriaCI3100.htm




cos(x+)=cosxcossenxsen

1. sen2/a=sen3/&=sen4/c21.

cos(x)=cosxcos+senxsen

25. cos"x=cos" x-sen" x26. cos"x="cos" x-1

27. cos"x=1-"sen" x

&e$ del coseno22. !an(x+)=(!anx+!an)/(1

!anx!an)

28. !an"x=s!anx/(1-!an" x)

17. c"=a"+&"-"a&cos4 23. !an(x)=(!anx!an)/ (1+!anx!an)

29. sen" x=(1-cos"x)/"30. cos" x=(1+cos"x)/"

(+ercicios CI)-)00


(+ercicio CI)-)01


4@>M>96M6 esolver .

4@>M>96M: esolver .

4@>M>96M> esolver .



4@>M>96MH esolver .

4@>M>96ME esolver .

4omenta tus !allazos con tus compa"eros y con tu facilitador.)n caso necesario envía tus conclusiones en el arc!ivo deDord EjercicioCI3301apellidonombre a tu facilitador.


!eoría !-CI)-00

!-CI)-01: Inte,ración por sustitución a varia'letri,ono$trica

#as identidades trionométricas de la K a la F en la abla 4@>M>99 se!an clasificado como teorema de Pitáoras, porque nacendirectamente de dividir a éste entre la !ipotenusa, el cateto adyacenteo el opuesto respectivamente, y como tales permiten transformar sumas o diferencias de cuadrados a un solo elemento cuadrático loque permite realizar cambios de variable en expresiones que cuenten

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Teor%C3%ADa/TeoriaCI3400.htm#Tabla

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Teor%C3%ADa/TeoriaCI3400.htm#Tabla



con términos de la forma a2 + u2 , a2 u2 % u2 a2 ; y llevar la interalresultante a una forma trionométrica. Para eleir la variableadecuada s%lo tiene que observarse que si en las expresiones previas'a! fuera 1, elies la identidad que tena esa posici%n para el 1, el

sino entre los términos y listo, elies la funci%n trionométrica quequede del otro lado de la iualdad.

Cna vez que se !a !ec!o la sustituci%n, tendrás una interaltrionométrica para la cual se deben debe de aplicar la técnica delapartado previo !- CI)-)002

Tabla CI3-300: Identidades trigonométricas útiles

Identidades fundamentales el teorema de !it"goras Translaciones

1. cscx=1/senx 7. sen" x+cos" x=1 10. sen(-x)=senx2 . secx=1/cosx 8. 1+!an" x=sec" x 11. cos(-x)=cosx

3. !anx=senx/cosx 9 . 1+c!g " x=csc" x 12. !an(-x)=-!an(x)

4. c!gx=cosx/senx #umas $ restas de "ngulos 13. sen (/" x)=cosx

5. !anx=1/c!gx 18. sen(x+)=senxcos+cosxsen14. cos(/" x)=senx

15. !an(/" x)=c!gx

6. c!gx=1/!anx19.

sen(x)=senxcoscosxsen %últi!los de "ngulos

&e$ de senos20.

cos(x+)=cosxcossenxsen

24. sen"x="senxcosx

1. sen2/a=sen3/&=sen4/c 21.cos(x)=cosxcos+senxsen

25. cos"x=cos

"

x-sen

"

x26. cos"x="cos" x-1

27. cos"x=1-"sen" x

&e$ del coseno22. !an(x+)=(!anx+!an)/(1

!anx!an)28. !an"x=s!anx/(1-!an" x)

17. c"=a"+&"-"a&cos4 23. !an(x)=(!anx!an)/

(1+!anx!an)

29. sen" x=(1-cos"x)/"

30. cos" x=(1+cos"x)/"

(+ercicios CI)-00






(+ercicio CI)-01


4@>MH96M6 esolver mediante sustituci%n

trionométrica .

4@>MH96M: esolver mediante sustituci%n

trionométrica .

4omenta tus !allazos con tus compa"eros y con tu facilitador.)n caso necesario envía tus conclusiones en el arc!ivo deDord EjercicioCI3"01apellidonombre a tu facilitador.


!eoría !-CI)-300

!-CI)-301: Inte,ración por Fracciones parciales



4uando se encuentra un interando de la forma p(x#q(x dondeambos p y q son polinomios y el rado de p es menor que el de q =sino fuera así !az la divisi%n previamente?, estás ante un posible caso

de fracciones parciales. #as fracciones parciales son aquellas quedebieron enerar a p(x#q(x al sumarse y tienen la cualidad de quesus denominadores o son lineales o cuadrático irreductibles. Asíeneralmente las fracciones simples resultantes se interan fácilmenteec!ando mano com&nmente de los teoremas K.E, K.G y K.6E.

K.E , n racional.

K.G

K.6E

Para encontrar las fracciones parciales revisa con cuidado las

previas Acciones 4@>ME96, 4@>ME9: y 4@>ME9>.


Acción CI)-301: 4aturale5a e las Fracciones6arciales

4uando realizas una suma entre fracciones, la fracci%n resultanteposee en su denominador el 'rastro( de las fracciones queintervinieron, ya que corresponde con el mcm Jmínimo com&nm&ltiploJ de los denominadores de las fracciones participantes.

http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/Acciones/AccionCI3501.htm








Así por ejemplo si se desea recobrar que coeficientes teníanoriinalmente estas fracciones para enerar el resultado se tendrá

,

Jen donde no se !an desarrollado las multiplicaciones a prop%sitoJ,lueo resolviendo nuevamente se encuentra que a=H?EOb=>?EOc=>?H L696 que como ecuaci%n lineal tiene infinitas soluciones, entoncesconocer los valores 'exactos( que tenía oriinalmente no se podránobtener, ya que c%mo se puede aseurar que eran a #0 ,b # 0 y c #

101$12 , o bien a # 1, b # 3 y c # 3, entre otras.

2in embaro si te preunto cual es la cifra representante de lascentésimas en el n&mero 9.6:> si podrás responder que ':( y estatambién es una suma de fracciones *cierto+ ...

)n efecto

*Por qué si la iualdad es esencialmente la misma a!ora sí se puederesponder+

4laro porque en realidad 9.6:> es un polinomio de la forma6Q69O:Q699O>Q6999 L R6=699?O:=69?O>SQ6999 y se siue directo cualesson los valores de a, b y c. Además sabes que todas las fraccionesson 'propias(, Jsu numerador nunca es mayor que el denominadorJ,

que los valores de a, b y c no son mayores que nueve y son enterospositivos, pero lo más importante es que el valor que le des a a noafecta ni a b ni a c , etc.

Así, en los polinomios, si tienes a% 2 +b%+c , y se te preunta cuales sonlos valores de las variables para que el polinomio resultantesea % 2 +2%+3, no tiene nin&n rado de dificultad porque los



coeficientes de un término no afectan a los otros... *cierto+ )stapropiedad conjuntamente con la cualidad de las fracciones propias ylos factores primos son la esencia de la recuperaci%n de loscoeficientes de las fracciones que intervienen en una suma, si

solamente se conoce su resultado.• *-ué es una fracci%n propia+

• *-ué son los factores primos+

@niciemos nuevamente nuestro cuestionamiento *cuáles serán losvalores de los coeficientes para que la siuiente iualdad seaverdadera

• esuelve nuevamente la suma planteada *qué resulta+

• $esde lueo los denominadores son idénticos *qué puedesdecir de los numeradores+ *esult% un polinomio cuadráticocuyos coeficientes depende de a, b y c+

• *4%mo deben de ser los coeficientes de ambos polinomios+

*)sas > iualdades que implican+• esuelve el sistema de > ecuaciones lineales con > inc%nitas

que te result%. *-ué obtuviste+

• *#o que encontraste quiere decir esto+

• )ntonces si se te !ubiera pedido resolver



*2erá lo mismo que resuelvas +

0)n eso consiste el método de fracciones parciales1

Comparte tus &alla'gos con tus compa(eros si tienes dudas

ap*ate en tu acilitador.


a? 2oluci%n de los cuestionamientos planteados a lo laro del texto.





de textos, cita de las fuentes.v. /riinalidad.

vi. Cso de dibujos, animaciones, esquemas o mapasconceptuales para clarificar las ideas.



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curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar losproductos de esta actividad.




Acción CI)-30": 6olino$ios 7 Funciones

)n la Acci*n CI3-01 se plante% este problema *4uáles serán losvalores de los coeficientes para que la siuiente iualdad seaverdadera+

Al seuir el razonamiento y realizar la suma de fracciones se lle% a lasiuiente iualdad ax(x4+b(x+4(x4+cx(x+4 = x 1 +1x+8; despuésrealizaste los productos y la iualaci%n de coeficientes te llev% a un

sistema lineal que satisfactoriamente resolviste para encontrar a # 1, b# 3 y c # 3. *)stamos de acuerdo en todo+

Pero 0un momento1; lo que se tiene es una iualdad entre polinomios ylos polinomios son funciones *cierto+, entonces si son iuales lospolinomios sus ráficas también lo son iuales y si los evaluamos enal&n punto en particular *deben de valer lo mismo+





• /bserva con atenci%n la iualdad toma un valor de x y eval&a Jdesde lueo que el valor que elijas es indistintoJ, obtendrás sinduda una ecuaci%n con tres inc%nitas, simplemente eval&a >veces y te a!orras todas las multiplicaciones de polinomios.

• Pero existen valores de x, que simplifican extremadamente eltrabajo... en efecto para el ejemplo mostrado son % # 0 , % # 1 y %

# 1. *Por qué+

• )val&a ax(x4+b(x+4(x4+cx(x+4 = x 1 +1x+8 en % # 0 ,lueo b # 3; !az lo mismo con % # 1 y con % # 1, obtendrásdirectamente c # 3 y a #1.

• *-ué puedes concluir de este procedimiento+

• o en todos los casos se pueden obtener valores de x que densoluci%n directa a al&n coeficiente, pero por este métodoencuentra los más posibles y lueo eval&a en otros valores ysustituye los coeficientes que ya conozcas 0resultan excelentessimplificaciones1

• Prop%n alunos ejercicios a tus compa"eros y practica suresoluci%n.




a? Plantea tres expresiones de sumas de fracciones en las que elnumerador se una constante y el denominador un polinomio deprimer rado, realiza la suma y simplifica. Aplica la técnicadiscutida en esta Acci%n y muestra como se recuperan lasfracciones parciales.







de textos, cita de las fuentes.

v. /riinalidad.vi. Cso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas




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curso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los





Acción CI)-30): Casos en las fraccionesparciales



#a localizaci%n de las fracciones parciales que pueden sustituir adecuadamente al arumento de una interal planteada dependeprácticamente de una adecuada factorizaci%n del denominador de laexpresi%n.

)n lo eneral, &nicamente existen H casos básicos que se puedenpresentar y para los cuales se suiere actuar de la siuiente forma

6. 5actorizaci%n que enera 'factores lineales &nicos(

4omo los factores son de la forma = x 9 r, se plantean tantasfracciones como factores diferentes !aya.

Por ejemplo si la factorizaci%n arroj% %-")%+2)%-1) lasfracciones propuestas serán

:. 5actores que 'factores lineales repetidos(

)sto quiere decir que se encontr% un factor repetido de la

forma (x 9 rn

, se plantean tantas fracciones como sea el valor de n, pero con potencias crecientes !asta el valor de n. Por ejemplo si se encontr% 2%-1)%+3)3, las fracciones propuestasserán

>. 5actores 'cuadráticos irreductibles &nicos(

Para este caso, los factores son de laforma a4 x1+b4 x+c 4 irreductibles, es decir que no tienen raícesreales. Para esto se plantea una fracci%n para cada factor y enparticular sus numeradores son de la forma ax +b,donde a y b son las inc%nitas por localizar. Por ejemplo si se



encuentran los factores %+)% 2 +")% 2 +%+1), las fraccionespropuestas serán

H. 2i los factores cuadráticos son repetidos, al iual que con losfactores lineales m&ltiples, se plantean tantas fracciones comorepetici%n del factor !aya, pero con potencias crecientes !asta elvalor de n. Por ejemplo si se encuentra el factor repetido % 2 +1)" se proponen las siuientes fracciones

$esde lueo que todos los casos pueden coexistir simultáneamente.

al y como se coment% previamente, el método de fracciones parciales

se aplica en interales de la forma en las que p(x y q(x sonpolinomios y en particular el rado de p%) es menor que el rado

de /%); si éste no es el caso se tendrá que realizar previamente la

divisi%n de polinomios con lo que se obtendrá , endonde c%) es el cociente de la divisi%n y r%) su residuo. Cna vez quela fracci%n se !a llevado a esta forma se está seuro que r(x#q(x esuna fracci%n propia, a la cual se puede aplicar la descomposici%nestudiada.

• Prop%n al menos E ejemplos de este tipo de interales a tus

compa"eros.






a? Planteamiento y soluci%n de al menos E ejemplos de interalesresueltas por la técnica de 5racciones parciales.


Criterios de calidad:i. 4laridad y conruencia en la redacci%n.ii. espuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.iii. )n nin&n caso es considerada como correcta una respuesta


de textos, cita de las fuentes.v. /riinalidad.

vi.

Cso de dibujos, animaciones, esquemas o mapasconceptuales para clarificar las ideas.



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Revisa el Calendario que se te hizo llegar al inscribirte en elcurso, para ver los tiempos en que se habrán de reportar los







(+ercicio CI)-301


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4@>ME96M> esolver .

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4@>ME96MK esolver .



(+ercicios CI)-300

apuntes dif

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