apuntes de mf 2011-12

MECNICA DE FLUIDOS APUNTES

Grado en Ingeniera Industrial. 2 Curso

Alberro Eguilegor, Gorka Almandoz Berrondo, Jabier

Jimenez Redal, Ruben Mongelos Oquiena, M Beln

Pellejero Salaberria, Idoya

Departamento: Ingeniera Nuclear y Mecnica de Fluidos

Unibertsitate-Eskola Politeknikoa Escuela Universitaria Politcnica

Donostia-San Sebastian

ISBN-13: 978-84-690-5899-2 N REGISTRO: 07/38553

Para el comienzo de los Nuevos Planes de

Estudios, los profesores del Departamento de Ingeni era Nuclear y Mecnica de Fluidos han decidido preparar apuntes de algunos captulos de la asignatura Mecn ica de Fluidos, asignatura correspondiente a la titulac in de Grado en Ingeniera Industrial, con el fin de facil itar a los alumnos su estudio y comprensin.

La numeracin de los diferentes temas responde

a la del programa de la asignatura, y se aborda des de el anlisis dimensional y estudio de modelos reducidos hasta instalaciones de bombeo, pasando por el estud io del flujo en conductos cerrados y abiertos, anlisi s de los transitorios, es decir estudio del golpe de ar iete, y los fundamentos de turbomquinas.

El captulo dedicado al estudio del golpe de ariete

es un resumen del que presenta en su libro: Mecn ica de fluidos incompresibles el Profesor Jos Agera Soriano

Con esta aportacin se pretende que el alumno

adquiera los cimientos o la base necesaria para continuar con otras asignaturas de la titulacin, pertenecientes al rea de Mecnica de Fluidos, com o Instalaciones y Mquinas Hidrulicas y Sistemas Neumticos y Oleohidrulicos, as como para abordar cualquier problema que, en este tema, le pueda surg ir en su vida profesional.

Nuestro deseo es que sean de utilidad al

alumnado y que ellos aporten sus ideas, crticas constructivas, as como erratas que puedan existir, con el fin de poder mejorarlos.

Donostia- San Sebastin, Enero de 2012

Los profesores

ndice de materias i

Dto. Ing. Nuclear y Mecnica de Fluidos. E.U.Politcnica de Donostia- San Sebastin

ndice de materias pg Tema 16.- Anlisis dimensional y Teora de modelos

0.- Introduccin ......................................................................... 1 1.- Anlisis dimensional.............................................................. 1 1.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas ............................. 2 1.1.1.- Primer principio del anlisis dimensional......................... 2 1.1.2.- Segundo principio del anlisis dimensional ..................... 2 1.2.- Principio de homogeneidad dimensional ............................ 3 1.3.- Teorema de o de Vaschy - Buckingham.......................... 3 1.3.1.- Obtencin de los parmetros ....................................... 4 1.4.- Parmetros fundamentales en el estudio de los fluidos...... 5 1.5.- Problema ........................................................................... 7 2.- Semejanza de modelos......................................................... 12 2.1.- Leyes de semejanza .......................................................... 13 2.2.- Semejanza absoluta y anlisis dimensional ....................... 14 2.3.- Semejanza restringida o incompleta .................................. 14 2.4.- Semejanzas en flujos de fluidos incompresibles ................ 15 2.4.1.- Flujos en carga ............................................................... 16 2.4.2.- Flujos en superficie libre.................................................. 16

Tema 17.- Efectos de la viscosidad en flujos

0.- Introduccin .......................................................................... 17 1.- Flujos externos e internos ..................................................... 17 2.- Experiencias de Reynolds, consecuencias, n de Reynolds.. 18 3.- Capa lmite............................................................................ 20 4.- Flujos laminar y turbulento en flujos internos.- Distribucin de velocidades ........................................................................... 22

Tema 18.- Estudio de prdidas de carga en conducto s cerrados

0.- Introduccin .......................................................................... 25 1.- Resistencia al flujo en conductos cerrados. Ecuacin de Darcy-Weisbach................................................................... 25 2.- Tubos lisos y rugosos desde el punto de vista hidrulico. Fronteras.............................................................................. 29 3.- Expresiones para el clculo del coeficiente de frotamiento. Fenmeno de la intermitencia. Experiencias de Nikuradse .. 31 3.1.- Flujo laminar ...................................................................... 31 3.2.- Flujo turbulento .................................................................. 31 3.2.1.- Coeficientes de friccin en tuberas lisas ........................ 32 3.2.2.- Fenmeno de la intermitencia ......................................... 32 3.2.3.- Coeficiente de friccin en tuberas rugosas..................... 33 3.2.4.- Experiencias de Nikuradse.............................................. 34 3.2.5.- Coeficiente de friccin en tuberas semilisas o semirrugosas.................................................................. 35

ndice de materias


ii

pg 3.2.6.- Coeficientes de friccin, explcitos aproximados, para tuberas lisas y semilisas................................................ 36 4.- baco de Moody ................................................................... 37 5.- Utilizacin del baco de Moody ............................................ 40 6.- Clculo de prdidas de carga en flujo compresible ............... 44 6.1.- Flujo isotermo en tubos de seccin constante.................... 45 6.1.1.- Hiptesis de partida ........................................................ 45 6.1.2.- Ecuaciones que definen el proceso................................. 45 6.1.3.- Coeficiente de friccin f................................................. 47 Tema 19.- Flujo permanente en conductos cerrados. C lculo prctico de conducciones. Redes.

0.- Introduccin .......................................................................... 48 1.- Prdidas menores. Longitud equivalente y factor de paso .... 48 1.1.- Mtodo de la longitud equivalente...................................... 49 1.2.- Mtodo de los factores de paso o coeficientes................... 49 2.- Envejecimiento en tuberas ................................................... 49 3.- Lnea piezomtrica y de altura total....................................... 50 3.1.- Casos particulares ............................................................. 52 3.1.1.- Salida mediante boquilla ................................................. 52 3.1.2.- Pieza especial ................................................................. 52 3.1.3.- Bomba ............................................................................ 53 3.1.4.- Turbina............................................................................ 53 3.1.5.- Depresin por bomba...................................................... 54 3.1.6.- Sifn................................................................................ 54 4.- Frmulas empricas de clculo de prdidas de carga............ 56 4.1.- Frmula de Hazen-Williams ............................................... 56 5.- Tuberas en serie y en paralelo. Leyes de circulacin de los fluidos en un circuito............................................................. 58 5.1.- Tuberas en serie ............................................................... 58 5.2.- Tuberas en paralelo .......................................................... 58 5.3.- Tuberas ramificada ........................................................... 59

Tema 20.- Flujo variable en tuberas.- Golpe de ar iete

0.- Introduccin .......................................................................... 60 1.- Propagacin de la onda ........................................................ 60 2.- Valor del golpe de ariete mximo.- Frmula de Allievi........... 61 3.- Velocidad del sonido............................................................. 62 4.- Celeridad de la onda en tuberas .......................................... 63 5.- Oscilaciones de presin en la tubera.................................... 64 6.- Cierre gradual ....................................................................... 66 6.1.- Clasificacin....................................................................... 66 6.2.- Techo de presiones en conducciones largas...................... 66

ndice de materias iii


pg 6.3.- Longitud crtica................................................................... 67 6.4.- Golpe de ariete en conducciones cortas ............................ 68 6.5.- Tiempo de anulacin del caudal. Expresin de Mendiluce . 69 7.- Formas de atenuacin del golpe de ariete ............................ 70 8.- Conducciones en centrales hidroelctricas ........................... 71 Tema 21.- Flujo en conductos abiertos.- Canales 0.- Introduccin .......................................................................... 73

1.- Resistencia al flujo permanente y uniforme........................... 73 2.- Coeficiente de Chezy............................................................ 75 2.1.- Formula de Manning .......................................................... 75 3.- Distribucin de velocidades y presiones en una seccin transversal ........................................................................... 76 3.1.- Distribucin de velocidades................................................ 76 3.2.- Distribucin de presiones................................................... 76 4.- Secciones hidrulicamente ptimas ...................................... 76 4.1.-Seccin rectangular ........................................................... 77 4.2.- Seccin trapecial ............................................................... 78 4.3.-.Seccin ms econmica ................................................... 78 5.- Clculo prctico de canales de seccin rectangular y trapecial 78 6.- Clculo de canales de seccin circular ................................ 79 6.1.- Clculo prctico de canales de seccin circular ................ 80 6.2.- Ejemplos prcticos ............................................................ 83 7.- Tipos de flujo ........................................................................ 86 8.- Energa especfica y profundidad crtica ............................... 88 9.- Resalto hidrulico ................................................................ 90 10.- Secciones de control .......................................................... 91 11.- Aforo por profundidad crtica .............................................. 92

Tema 22.- Mquinas hidrulicas. Principios fundamen tales

1.- Definicin de mquina de fluido.- Clasificacin ..................... 93 2.- Clasificacin de mquinas hidrulicas................................... 93 3.- Turbomquinas hidrulicas ................................................... 95 3.1.- Clasificacin de turbomquinas hidrulicas........................ 96 3.1.1.- Formas de representacin .............................................. 96 4.- Descripcin y principio de funcionamiento ........................... 97 4.1.- Diagrama de velocidades................................................... 97 4.2.- Definiciones de alturas, caudales, potencias, etc. .............. 99 4.2.1.- Turbinas.......................................................................... 99 4.2.2.- Turbobombas.................................................................. 100 4.3.- Teorema fundamental de turbomquinas.......................... 101 5.- Semejanza en turbomquinas.............................................. 104 5.1.- Fenmeno fsico en una turbomquina ............................. 104 5.2.- Parmetros de Rateau ....................................................... 105

ndice de materias


iv

pg 5.3.-Teorema de semejanza de las turbomquinas................... 106

6.- Velocidad especfica ............................................................. 106 6.1.- Velocidad especfica dimensional o n de Camerer: ns....... 106 6.2.- Velocidad especfica adimensional: Ns .............................. 108 6.3.- Velocidad especfica convencional: nq................................ 108 7.- Clasificacin de turbomquinas............................................. 108 Tema 23.- Turbinas hidrulicas.

1.- Definicin de turbina hidrulica............................................. 111 2.- Tipos actuales de turbinas hidrulicas................................... 111 2.1.-- Turbinas de accin y de reaccin...................................... 111 2.2.- Descripcin general ........................................................... 111 2.2.1.-- Turbinas de accin......................................................... 111 2.2.2.-- Turbinas de reaccin...................................................... 113

3.- Centrales hidroelctricas....................................................... 123 3.1.- Disposicin de conjunto de una central hidroelctrica ........ 123 3.2.- Clases de centrales............................................................ 125 3.2.1.- Centrales de acumulacin o bombeo .............................. 127

Tema 24.- Bombas hidrulicas

0.- Introduccin .......................................................................... 129 1.- Clasificacin de las bombas hidrulicas................................ 131 2.- Bombas de desplazamiento positivo ..................................... 132 2.1.- Bombas alternativas. Descripcin general.......................... 132 2.2.- Bombas rotativas .............................................................. 135 3.- Turbobombas........................................................................ 136

Tema 25.- Instalaciones de bombeo

1.- Diagrama de transformacin de energa en un sistema de bombeo................................................................................ 141

2.- Altura manomtrica de la instalacin y de la bomba.............. 144 3.- Curva caracterstica de la instalacin.................................... 145 4.- Seleccin de una bomba, punto de funcionamiento .............. 146 5.- Variacin del punto de funcionamiento.................................. 149 5.1.- Por modificacin de la cc de la instalacin ........................ 149 5.2.- Por modificacin de la cc de la turbobomba....................... 151 5.2.1.- Variacin de la velocidad de giro..................................... 151 5.2.2.- Torneado del rodete........................................................ 154 6.- Bombas funcionando en grupo.............................................. 156 6.1.- Disposicin en serie ........................................................... 156 6.2.- Disposicin de bombas funcionando en paralelo................ 157 7.- Estudio de la cavitacin en las bombas: NPSH..................... 158

7.1.- Evaluacin de la cavitacin en las turbobombas ................ 159

ndice de materias v


pg 8.- Problema tipo de resolucin de instalaciones de bombeo..... 162 8.1.- Obtencin de la curva caracterstica de la instalacin ........ 162 8.2.- Seleccin de la bomba ms idnea.................................... 165 8.3.- Punto de funcionamiento.................................................... 168 8.4.- Costo energtico................................................................ 170 8.5.- Regulacin del caudal en un sistema de bombeo .............. 170 8.5.1.- Modificacin del punto de funcionamiento mediante variacin en la cc de la Instalacin.................................... 170 8.5.2.- Modificacin del punto de funcionamiento mediante variacin en la cc de la turbobomba ................................ 174 8.6.- Cavitacin en un sistema de bombeo................................. 178

Bibliografa utilizada ................................................................ 181

Mecnica de fluidos e hidrulica. Tema 16 1


TEMA 16.- ANLISIS DIMENSIONAL Y TEORA DE MODELOS 0.-INTRODUCCIN En la Mecnica de Fluidos hay muchos problemas que, por su complejidad, no se pueden resolver analticamente. Se hace necesario recurrir a mtodos experimentales. Sin embargo, realizar experimentos en un laboratorio es caro y lleva mucho tiempo. Adems, en un fenmeno cualquiera de Mecnica de Fluidos pueden intervenir muchas variables: viscosidad, densidad, dimetro, etcque dificulta su resolucin. El Anlisis Dimensional es la herramienta que ayuda a simplificar el estudio de un problema concreto, ya que permite reducir el nmero de variables necesarias para analizar un determinado sistema. Mediante este mtodo se pueden obtener una serie de parmetros adimensionales que relacionan las variables fsicas implicadas en el flujo a estudiar. Al trabajar con menos variables habr que realizar menos experimentos, lo que supone un considerable ahorro de tiempo y dinero. Una ventaja adicional, muy importante que proporciona la teora dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala reducida. Por ejemplo no parece razonable construir un avin a escala natural para comprobar si proporciona la sustentacin suficiente. Se ensaya con un modelo a escala reducida y, mediante las leyes de semejanza, se calculan los resultados para el prototipo. El anlisis dimensional es un mtodo de anlisis que puede utilizarse para cualquier fenmeno fsico y cuya base fundamental est en el conocimiento de las variables fsicas que intervienen en el fenmeno, es decir, la base es el estudio y conocimiento previo del proceso y de todas las variables que intervienen en l, y en la ecuacin de dimensiones de cada una de dichas variables fsicas 1.- ANLISIS DIMENSIONAL . El anlisis dimensional es un mtodo matemtico de considerable valor en la resolucin de cualquier fenmeno fsico. Todas las variables o entidades fsicas se pueden expresar en funcin de unas variables o entidades fundamentales, que en mecnica son : Longitud (L), Masa (M) y tiempo ( T). Por ejemplo: Fuerza = masa aceleracin = masa longitud/tiempo2 Por tanto la ecuacin de dimensiones de la Fuerza es: MLT-2 En cualquier ecuacin que represente un fenmeno fsico real, cada trmino debe de contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En otras palabras, si se comparan los trminos entre s, tienen que tener todos las mismas

Anlisis dimensional y teora de modelos


2

dimensiones, ya que si no, la ecuacin no tiene sentido, aunque pueda dar el mismo resultado numrico.

En muchos casos al estudiar un fenmeno fsico se conocen las variables que intervienen en dicho fenmeno, mientras que la relacin entre las variables se desconoce. Mediante el anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entre un conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el nmero de grupos menor que el de variables. La razn de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y dimensiones que el ser humano utiliza cuando trata de imitar un proceso real.

Por ello los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en s. 1.1.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS. Las magnitudes fundamentales son aquellas entidades o variables fsicas a partir de las cuales pueden deducirse todas las dems, que sern llamadas magnitudes derivadas. Si trabajamos en el Sistema Internacional, se suelen tomar como variables fundamentales la masa, la longitud y el tiempo, aadiendo la temperatura cuando hay fenmenos de transmisin de calor.

Ejemplos: la velocidad es una magnitud derivada de la longitud y del tiempo:

[ ] 1== LTTL

v (1)

Por otra parte, la densidad es la relacin entre la masa y el volumen:

[ ] [ ]3

3==

= ML

L

MM (2)

Las igualdades (1) y (2) son las expresiones o ecuaciones de dimensiones de la velocidad y la densidad, respectivamente. Se han tomado como magnitudes fundamentales la masa M, la longitud L y el tiempo T. 1.1.1- Primer principio del anlisis dimensional.

Toda ecuacin de dimensiones de cualquier magnitud fsica tiene que adoptar la forma de producto de potencias de las dimensiones fundamentales. 1.1.2.- Segundo principio del anlisis dimensional.

En algunas expresiones de clculo aparecen constantes dimensionales, cuyo valor numrico depende del sistema de magnitudes fundamentales que se utilice. En estos casos debe cumplirse el siguiente principio: las constantes dimensionales que aparezcan



en frmulas de uso cientfico deben estar constituidas, sus dimensiones, por productos de potencias de las dimensiones del sistema elegido. 1.2.- PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Enunciado: En una ecuacin fsica o matemtica, todos sus trminos deben tener la misma ecuacin de dimensiones, es decir, deben ser homogneos. Ejemplo: Ecuacin de Bernoulli para un flujo incompresible, en rgimen estacionario y despreciando las prdidas de carga.

.ctezgvP =++2

2

Ecuaciones de dimensiones de estos trminos:

22

23

22

VT

LL

T

L

LM

LTML

M

AFP =

===

=

22

2V

T

LL

T

Lzg =

==

Como se puede comprobar, todos los trminos de la ecuacin tienen la misma ecuacin de dimensiones, luego son homogneos. 1.3.-TEOREMA DE O DE VASCHY - BUCKINGHAM. El anlisis dimensional puede emplearse antes de abordar un problema o programa experimental. Los fenmenos fsicos pueden formularse mediante una funcin de grupos adimensionales. Cada uno de estos grupos adimensionales se conocen como parmetros . La razn de lo anterior es que en cualquier fenmeno fsico la naturaleza no se preocupa por las coordenadas y dimensiones que el ser humano utiliza cuando trata un proceso real. Por ello los grupos adimensionales ya indicados son mejores para imitar procesos reales que las variables mismas en s.

La pregunta que se plantea es: cuntos parmetros adimensionales se pueden obtener a partir de las variables que intervienen en un determinado problema? Para responder a esta pregunta se estudia el teorema de Buckingham. Supngase un fenmeno fsico en el que intervienen n variables. Matemticamente, la relacin entre ellas podra expresarse del siguiente modo:

f (q1, q2,...,qn) = 0 ;

El teorema de dice : Las cosas en la naturaleza no suceden aleatoriamente y por ello un fenmeno fsico puede ser estudiado con arreglo a la variacin de (n-m)



4

parmetros adimensionales siendo (n-1) el nmero de variables independientes del fenmeno y (m) el nmero de entidades fundamentales.

De manera que:

F (1, 2 ,......n-m) = 0 ; o bien: 1 = F (2 , 3,..... n-m)

La funcin F que relaciona los parmetros adimensionales debe determinarse experimentalmente. 1.3.1.- Obtencin de los parmetros .

El procedimiento que se debe seguir para determinar los parmetros adimensionales consta de los siguientes pasos:

1) Analizar el fenmeno fsico a estudiar y determinar todas las variables implicadas en el mismo. Se deben incluir todas aquellas variables que se sospecha que influyen en el sistema. Si una de las variables es extraa, se obtendr un parmetro que, a travs de los experimentos, se comprobar que su influencia en el fenmeno que se est estudiando es pequea o nula, es decir, que no tiene importancia y puede despreciarse.

2) Seleccionar las variables o entidades fundamentales o primarias . Lo ms frecuente es tomar la masa M, la longitud L y el tiempo T.

3) Obtener la ecuacin de dimensiones de todas las v ariables, que intervienen en el fenmeno fsico, en funcin de la s dimensiones fundamentales Masa M. Longitud L y Tiempo T.

4) Seleccionar las variables repetidas, tantas como en tidades fundamentales . Dichas variables deben incluir todas las variables fundamentales. En ningn caso dos variables repetidas pueden tener las mismas dimensiones diferencindose solamente por el exponente. Por ejemplo, no se pueden tomar como variables repetidas una longitud (L) y un volumen (L3).

5) Establecer las n-m ecuaciones dimensionales , combinando las variables

repetidas del punto 4 con el resto de las variables, formando los n-m parmetros adimensionales.

6) Comprobar que los parmetros que se han obtenido so n realmente adimensionales .



Por ltimo, destacar que los parmetros que se obtienen son independientes pero no son nicos, porque los cocientes que resultan dependen de las entidades fundamentales y de las variables repetidas que se hayan elegido. 1.4.- PARMETROS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LO S FLUIDOS.

Nmero de Reynolds.

Es el parmetro adimensional ms importante en la Mecnica de Fluidos. Tiene importancia en prcticamente todos los casos, haya o no superficie libre. Representa la relacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad.

Dv=Re

Donde es la densidad, v es la velocidad del flujo, D es el dimetro u otra longitud caracterstica y es la viscosidad dinmica. Con nmeros de Reynolds elevados el flujo es turbulento, mientras que con Reynolds pequeos el flujo es laminar. En general, si se trabaja con flujos viscosos a bajas velocidades y sin superficie libre, el nico parmetro adimensional importante es el nmero de Reynolds.

Nmero de Euler.

Resulta de especial inters cuando las disminuciones de presin en el flujo son importantes. Representa el cociente entre las fuerzas de presin y las de inercia.

2V

pEu

=

Siendo p la variacin de presin, la densidad del fluido y v su velocidad. Cuando la variacin de presin se refiere a la presin de vapor del fluido se habla

del nmero de cavitacin .

2V

ppCa v

=

Donde pv es la presin de vapor del fluido. Este parmetro derivado del nmero de Euler es de gran importancia en tuberas,

mquinas, instalaciones, etc, en general en fenmenos donde puede aparecer la cavitacin.



6

Nmero de Froude.

Muy importante en flujos con superficie libre, como en los canales abiertos, desages en orificios y en todas las situaciones donde la gravedad juega un papel importante. En el resto de los casos, suele ser despreciable. Representa la relacin entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias.

gLv

Fr2

=

Donde v es la velocidad del flujo, g es la aceleracin de la gravedad y L es una longitud caracterstica del sistema.

Nmero de Weber.

Tiene importancia cuando su valor es 1 o menor, en aquellos casos en que la curvatura de la superficie es comparable en tamao a la profundidad del lquido (gotas, flujos capilares). Si el nmero de Weber toma un valor grande, su efecto puede despreciarse. Cuanto menor sea el Weber, mayor es la importancia de la tensin superficial. Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las de tensin superficial.

Lv

We2

=

Siendo la densidad, v la velocidad del flujo, L una longitud caracterstica del mismo y la tensin superficial. Si nos encontramos con un problema en el que no hay superficie libre, su efecto es despreciable. Los efectos de la tensin superficial tienen gran influencia en las industrias relacionadas con la pulverizacin y atomizacin, como por ejemplo en la fabricacin de sprays.

Nmero de Mach.

Tiene influencia cuando se trabaja con fluidos compresibles que se mueven con velocidades altas. Sirve para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo. Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de compresibilidad.

cv

E

vM

LE

LvM

vv

===

2

222

Donde v es la velocidad del flujo y c es la velocidad del sonido local.



Los flujos con un nmero de Mach mayor de 1 se denominan flujos supersnicos y si es menor de 1, se trata de un flujo subsnico. Cuando el nmero de Mach es menor de 0,3 el flujo es incompresible. 1.5.- PROBLEMA.

La cada de presin P, en una tubera es una funcin de las siguientes variables: dimetro D, longitud L, rugosidad , velocidad media del flujo V, viscosidad dinmica del fluido circulante, densidad del mismo, tensin superficial , aceleracin gravitatoria g y mdulo de elasticidad volumtrico K.

P = f( D, L, , V, , , , g, K)

Encontrar los parmetros adimensionales ms adecuados para el estudio del sistema. Utilizar el Teorema o de Vaschy-Buckingham. Solucin : Este ejercicio se puede resolver siguiendo el procedimiento que se explica en Obtencin de parmetros de Teora .

1) Variables fsicas que intervienen en el problema : dimetro D, longitud L, rugosidad , velocidad media V, viscosidad dinmica , densidad , tensin superficial , aceleracin de la gravedad g y mdulo de elasticidad volumtrico K. Nmero de variables fsicas: n = 10

2) Variables fundamentales o primarias : de acuerdo con el Sistema Internacional: la masa M, la longitud L y el tiempo T. Nmero de magnitudes fundamentales: m = 3

3) Expresar las dimensiones de todas las variables fs icas en funcin de las variables fundamentales. En la siguiente tabla se indican los exponentes de las diferentes variables fsicas en funcin de las magnitudes fundamentales.



8

P D L g K V

M 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

L -1 1 1 1 -3 -1 0 1 -1 1

T -2 0 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -1

A modo de ejemplo, se considera el caso de la tensin superficial , que se toma como fuerza por unidad de longitud:

[ ] [ ] [ ] = = = = =

F

L

M a

L

MLT

L

M

TMT

2

22

4) Seleccionar las variables repetidas : se toman el dimetro D, la densidad y la velocidad media V. Estas variables recogen las tres variables fundamentales: masa, longitud y tiempo. Adems, sirven para reflejar las caractersticas geomtricas (dimetro D), cinemticas (velocidad V) y dinmicas (densidad ) del sistema.

5) Establecer las ecuaciones dimensionales para obtene r los parmetros adimensionales. Aplicando el Teorema o de Vaschy-Buckingham, el nmero de grupos adimensionales que se pueden obtener es:

n - m = 10 - 3 = 7

En consecuencia hay que plantear 7 ecuaciones dimensionales, combinando en ellas las variables repetidas con cada una de las dems variables fsicas que intervienen en el sistema:

000321

TLMT

L

L

ML

LT

MVDP

cbacba =

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c + 1 a = 0 Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

1 2

=PV



00032

TLMT

L

L

MLLVDL

cbacba =

==

Masa M: b = 0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = -1 Tiempo T: c = 0

2 =L

D

00033

TLMT

L

L

MLLVD

cbacba =

==

Masa M: b = 0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = -1 Tiempo T: c = 0

3 = D

00034

TLMT

L

L

ML

LT

MVD

cb

acba =

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c + 1 a = -1 Tiempo T: -1 - c = 0 c = - 1

4

=D V

000325

TLMT

L

L

ML

T

MVD

cb

acba =

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1 Longitud L: a -3b + c = 0 a = 3b - c a = -1 Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2



10

5 2

=D V

000326

TLMT

L

L

ML

T

LVDg

cbacba =

==

Masa M: b = 0 Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = 1 Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

6 2=gD

V

000327

TLMT

L

L

ML

LT

MVDK

cbacba =

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1 Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c + 1 a = 0 Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

7 2

=K

V

6) Comprobar que los parmetros obtenidos son adimensi onales . Lo que se debera hacer es comprobar los siete parmetros que se han obtenido. A modo de ejemplo, se comprueba slo uno de ellos:

5 2

2

3 2 2

2

2 1 3 2

2

2 1= = = = =

+

D V

MT

L ML L T

MT

MT L

MT

MT

Por lo tanto, este parmetro es adimensional. Lo mismo se debe hacer con el resto de los parmetros. En algunos de ellos se observa rpidamente que son adimensionales, sin necesidad de plantear ecuaciones.

Comprobados los parmetros se puede expresar:



P / V2 = (L/D , /D , /VD , /V2D , gD/V2 , K/V2 )

La experiencia dice que los parmetros /V2D, gD/V2, K/V2 no tienen influencia en el estudio de la cada de presin en el flujo de fluidos incompresibles en conductos cerrados. Por tanto:

P / V2 = (L/D , /D , /VD )

Adems la cada de presin es directamente proporcional a la longitud de la tubera. Por tanto:

P / V2 = L/D ( /D , /VD ) P / = V2. (L/D) (/D , /VD ) P / = (V2/2g) (L/D) (/D , /VD ) = f (L/D)(V2/2g)

f = (/D , /VD ) = coeficiente de frotamiento y P / = hf

Sustituyendo:

hf = f (L/D)(V 2/2g)



12

2.- SEMEJANZA DE MODELOS

En el estudio de muchos fenmenos fsicos, en particular en el estudio de los fluidos y en especial en las mquinas hidrulicas es absolutamente necesario recurrir al mtodo experimental si se desea conocer el fenmeno con cierta profundidad.

Se trata de un procedimiento muy laborioso que requiere mucho tiempo para

obtener resultados y que por tanto se recurre a l cuando los otros mtodos han fracasado y el tema lo exige por su trascendencia econmica, por motivos de seguridad o de otra ndole.

Las dificultades del mtodo experimental se agravan cuando el tamao de los

fenmenos que han de reproducirse alcanzan grandes dimensiones, como es el caso de muchas turbomquinas, que conllevan instalaciones de gran tamao y trabajar con enormes caudales, resultando todo ello prohibitivo y rozando lo imposible.

Para resolver tal dificultad se recurre al estudio de modelos en tamao reducido y

a aplicar entre la mquina o proceso real, llamado prototipo, y el modelo determinadas relaciones de semejanza.

Fig 16.1.- Semejanza dinmica entre dos flujos del modelo y prototipo (a y b)

Fueron los franceses Charles de Bossut y el Conde de Buat, en el siglo XVIII, los primeros que reprodujeron en laboratorio fenmenos hidrulicos y son considerados los padres de los laboratorios hidrulicos de hoy en da. Sin embargo fue ms tarde, avanzado el siglo XIX, cuando el francs Frederic Reech y el ingls Willian Froude establecieron los primeros criterios de semejanza, siendo los precedentes de los grandes laboratorios de este siglo.



Para llevar a cabo el diseo de un determinado fenmeno de importancia se realizan los pasos siguientes: La mquina o proceso que se trata de construir o reproducir interesa que trabaje de manera ptima con unas condiciones o parmetros predeterminados, como son el caudal, la potencia, la velocidad de giro o desplazamiento y el rendimiento deseado, entre otros. Con estos datos de partida, con los conocimientos tericos disponibles y sobre todo con datos y la experiencia de anteriores construcciones, se efecta un prediseo. Basado en este prototipo de partida se reproduce o construye una mquina semejante a la diseada, realizada a la escala conveniente, que se denomina modelo. Esta mquina o proceso se ensaya en un laboratorio especial para comprobar sus resultados. A la vista de estos se modifican determinadas partes con el fin de mejorar su comportamiento y por lo tanto su rendimiento. As se contina hasta el momento en que se considere que se ha alcanzado un techo en su perfeccionamiento. Una vez concluidos los ensayos se construye la mquina o instalacin a escala real, que se denomina prototipo, semejante al modelo definitivo que habr recibido una serie de mejoras sobre el modelo de partida. 2.1.- LEYES DE SEMEJANZA. Para realizar lo relatado en el apartado anterior, previamente se habr de contestar a una serie de preguntas: cmo habrn de ser las mquinas o procesos semejantes para poder aplicar los resultados de uno al otro? Cmo se trasladarn los resultados de una mquina o proceso a su semejante? Es suficiente con que exista semejanza geomtrica entre las dos mquinas o procesos? Qu se necesita para que haya semejanza de funcionamiento entre el comportamiento de los dos? ... Analizando la cuestin se deduce que indudablemente entre modelo y prototipo, trabajando de manera semejante, debern existir ciertas analogas, que sern de orden geomtrico, cinemtico, dinmico, etc, las cuales reciben el nombre de semejanzas y se explican a continuacin.

1. Semejanza geomtrica : La primera semejanza o analoga que deber existir es la geomtrica, habiendo de tener entre dos mquinas o procesos semejantes una correspondencia biunvoca punto por punto. A estos puntos correspondientes de prototipo y modelo se les denomina homlogos. Igualmente habr correspondencia entre lneas, superficies, volmenes y masa de modelo y prototipo. Si las mquinas se comportaran como esculturas y carecieran de movimiento bastara la semejanza geomtrica para declararlas semejantes.

2. Semejanza cinemtica : Si en sistemas geomtricamente semejantes se

producen movimientos, ser necesario introducir el concepto de tiempos y posiciones homlogas.



14

Para que exista semejanza cinemtica es preciso que puntos correspondientes ocupen posiciones correspondientes en instantes correspondientes, lo cual exige adems que aquellos estn sometidos a velocidades y aceleraciones correspondientes, no siendo suficiente que sean solo en mdulo sino tambin en direccin y sentido. Resumiendo, cuando las velocidades en puntos correspondientes de modelo y prototipo tienen la misma direccin y sentido; sus mdulos se relacionan por medio de un factor de escala constante. De tal manera que dos flujos cinemticamente semejantes tienen lneas de corriente relacionadas por una escala constante. Puesto que las fronteras de un cuerpo son las que determinan las lneas de corriente del flujo, los flujos que son cinemticamente semejantes deben ser geomtricamente semejantes. 3. Semejanza dinmica . Al producirse fuerzas, es necesario que exista, adems de las dos semejanzas sealadas en los prrafos precedentes, semejanza dinmica, es decir que puntos correspondientes estn sometidos a fuerzas correspondientes.

Para que se verifique, los flujos deben poseer tanto la semejanza geomtrica, como la cinemtica. De tal modo que en dos flujos dinmicamente semejantes los tringulos de fuerzas son paralelos y sus magnitudes o mdulos estn relacionadas por un factor de escala constante. 2.2.- SEMEJANZA ABSOLUTA Y ANLISIS DIMENSIONAL Cuando dos sistemas son semejantes, los parmetros adimensionales que regulan el fenmeno fsico a estudiar, son los mismos y la ley que los relaciona es tambin la misma. Por ello para que se verifique la semejanza dinmica absoluta entre modelo y prototipo es condicin necesaria que se verifique la igualdad de todos los parmetros adimensionales que intervienen en el fenmeno. Lgicamente como todos estos parmetros adimensionales estn relacionados por la funcin que define el funcionamiento de la mquina, instalacin o fenmeno tanto en prototipo como en modelo, es suficiente verificar que todos los parmetros menos uno sean iguales, ya que por la funcin que los relaciona, se verificar la igualdad de todos. 2.3.- SEMEJANZA RESTRINGIDA O INCOMPLETA En algunos casos, no es posible obtener la semejanza dinmica completa entre modelo y prototipo debido a que las condiciones que se tienen que cumplir para dicha semejanza, no dejan ningn grado de libertad por lo que modelo y prototipo deberan ser iguales. Por ejemplo, supngase un caso en que se requiere que sean iguales los nmeros de Froude y de Reynolds para conseguir la semejanza dinmica total. Igualando los nmeros de Froude:

21

22

===

p

m

p

m

p

p

m

mpm L

Lvv

gL

v

gLv

FrFr



Se obtiene la relacin de velocidades entre modelo y prototipo.

Al igualar los nmeros de Reynolds:

23

===

p

m

p

m

p

pp

m

mmpm L

LLvLv

ReRe

Las condiciones de semejanza obligan a que los fluidos a utilizar en modelo y prototipo deben cumplir esa relacin de viscosidades. Sin embargo, en los ensayos experimentales se emplean generalmente el aire y el agua, por ser los fluidos ms baratos y ms comunes a nuestro alcance. Resulta prcticamente imposible encontrar un fluido con una viscosidad muy concreta.

Entonces resulta que si la gravedad, que interviene en el nmero de Froude, y la viscosidad de los fluidos a emplear en prototipo y modelo han de ser iguales, la escala geomtrica, segn se observa de las relaciones anteriores, habr de ser la unidad: Lm/Lp = 1, lo cual atestigua que no se puede obtener una semejanza hidrodinmica absoluta entre prototipo y modelo. Por todo esto, es importante analizar en el fenmeno o flujo que se est estudiando, la importancia de cada uno de los parmetros adimensionales que intervienen. Afortunadamente en un buen nmero de casos puede prescindirse de la influencia de alguna fuerza o parmetro adimensional, originndose as las semejanzas incompletas o restringidas. Como conclusin el conocimiento completo del fenmeno y la experiencia son indispensables para definir el tipo de semejanza a utilizar. 2.4.- SEMEJANZAS EN FLUJOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLE S. En el estudio de semejanza aplicada al flujo de fluidos, se pueden diferenciar por su comportamiento, en dos tipos de flujo: -Flujos en carga. -Flujos en superficie libre. Flujos en carga podran definirse como aquellos flujos aislados de la atmsfera exterior, en los que a menudo la variacin de energa de presin y de posicin se verifica de forma conjunta y se expresa por la variacin de presin hidrosttica. En los flujos en superficie libre, al estar en contacto con la atmsfera, las dos variables fsicas son independientes, ya que la presin depende de la atmsfera que intervenga, y la cota o energa de posicin depender de las condiciones o caractersticas geomtricas del flujo. Por la diferencia indicada, los parmetros predominantes en cada caso son diferentes.

En el estudio de flujos la funcin adimensional que define el proceso es:

P / V2 = (L/D , /D , /VD, V2/gD ) Es decir

P / V2 = (L/D, /D, Re, Fr)



16

Para que se verifique la semejanza absoluta entre dos flujos se tiene que verificar, que adems de la semejanza geomtrica, se tiene que cumplir la igualdad de nmeros de Reynolds y de Froude como se ha indicado anteriormente. 2.4.1.- Flujos en carga. En el caso de flujos en carga, en muchos casos, se puede prescindir de la influencia de la gravedad es decir del n de Froude, ya que la variacin de cota se puede agrupar con la presin en forma de presin hidrosttica. Por tanto adems de la semejanza geomtrica se deber de verificar la igualdad de los nmeros de Reynolds.

La igualdad de (L/D)m y (L/D)p se verifica por la semejanza geomtrica:

(L/D)m = (L/D)p Lm /Lp = Dm /Dp = (escala geomtrica) Anlogamente ocurre con la igualdad de /D entre modelo y prototipo. Por tanto si se verifica adems Rem = Rep , se verificar asimismo la igualdad del parmetro de Euler, por ser funcin de los anteriores, y de todos sus derivados. (P / V2)m = (P / V2)p (P)m/(P)p = (V2)m / (V2)p Realmente se prescinde del nmero de Froude por lo que ser una semejanza restringida, pero con buenos resultados prcticos. 2.4.2.- Flujos en superficie libre En el estudio de flujos en superficie libre la funcin adimensional que define el proceso es igual que en el caso anterior. En este caso la presin permanece constante al estar la superficie en contacto con la atmsfera, mientras las fuerzas gravitatorias varan segn vara la cota. Luego, adems de la semejanza geomtrica, se tiene que verificar la igualdad de nmeros de Reynolds y Froude entre modelo y prototipo para que se verifique la semejanza u homologa total o absoluta. En general es necesario recurrir a la semejanza restringida, y la experiencia indica que en un flujo en superficie libre, la importancia de las fuerzas gravitatorias es muy superior a la de las fuerzas viscosas normalmente. Por ello, cuando no se puede alcanzar la semejanza absoluta, no se tiene en cuenta el nmero de Reynolds y se debe verificar adems de la semejanza geomtrica, la igualdad de nmeros de Froude. Con estas condiciones adems se verificar la igualdad del nmero de Euler, por ser funcin de los anteriores, y de todos sus derivados como se ha visto en el caso de flujos en carga.



TEMA 17: EFECTOS DE LA VISCOSIDAD EN FLUJOS

0.- INTRODUCCIN

En el comienzo de la asignatura de Mecnica de Fluidos e Hidrulica se defini una propiedad que caracteriza a los fluidos y los distingue de los slidos, que es la viscosidad.

Sin embargo, a lo largo de la asignatura, hasta este momento, no se ha tenido en

cuenta la viscosidad, debido a que en los fluidos en reposo (esttica) no aparecen los efectos de la misma y en el estudio de la dinmica se hace la abstraccin de que los fluidos son perfectos, es decir, tienen viscosidad nula, con el fin de simplificar el problema.

Partiendo de la Ecuacin de Euler o ecuacin fundamental de los fluidos perfectos,

y mediante una serie de hiptesis simplificatorias, se llega a la expresin de Bernoulli, que lgicamente no tiene en cuenta los efectos de la viscosidad.

Con el fin de poder aplicar la ecuacin de Bernoulli a problemas prcticos, hay que

introducir unas modificaciones de las hiptesis utilizadas en su deduccin, que permiten ampliar su campo de aplicacin.

Entre estas modificaciones, est la de considerar que el fluido es real, por tanto

tiene viscosidad, existiendo prdidas de energa. A partir de este captulo se van a tener en cuenta los efectos de la viscosidad y se

estudia el clculo de las prdidas de energa. En el presente captulo, en particular, se van a establecer los fundamentos de

partida definiendo los flujos externos e internos, seguido de las experiencias de Reynolds y sus consecuencias, terminando con el concepto de capa lmite y la distribucin de velocidades en los flujos internos laminares y turbulentos.

1.- FLUJOS EXTERNOS E INTERNOS

Flujo interno: flujo completamente limitado por superficies slidas. Incluye flujos

a travs de tuberas, toberas, difusores, ensanchamientos y estrechamientos bruscos, vlvulas,...

Los flujos internos pueden ser laminares y turbulentos. Algunos casos de flujo

laminar pueden resolverse analticamente. En el caso de flujo turbulento no son posibles las soluciones analticas, por lo que se debe confiar en teoras semiempricas y en datos experimentales. Para flujos internos el rgimen de flujo (laminar o turbulento) es fundamentalmente una funcin del nmero de Reynolds.

Flujo externo : es aquel flujo sobre cuerpos sumergidos en un fluido sin fronteras.

La extensin del fluido en la cual el cuerpo est inmerso, con frecuencia, se considera como infinita.

18 Efectos de la viscosidad en flujos


Las teoras actuales del flujo sobre cuerpos inmersos proporcionan explicaciones cualitativas excelentes para casi todas las situaciones del flujo externo. Solamente se dispone de predicciones puramente analticas para unos cuantos flujos simples. Las teoras tanto cualitativas como cuantitativas del flujo externo se basan en el concepto de dividir el campo en dos zonas: zona de flujo viscoso (capa lmite) y zona de flujo no viscoso o ideal.

2.- EXPERIENCIAS DE REYNOLDS. CONSECUENCIAS. NMERO DE REYNOLDS

Se sabe por captulos anteriores que flujo laminar es aqul en que el fluido se

mueve en capas paralelas, mientras que en el flujo turbulento las partculas del fluido tienen un movimiento errtico.

La naturaleza del flujo laminar o turbulento, viene definida por el nmero de

Reynolds. En 1883 el investigador Osborne Reynolds estudi el movimiento de un fluido.

Mediante las ecuaciones diferenciales generales que describen el flujo, dedujo las condiciones para que dos flujos fuesen dinmicamente semejantes, encontrando que el grupo adimensional VL / deba ser el mismo para ambos casos; por ello este parmetro se conoce como nmero de Reynolds Re.

Re = VL /

Siendo:

V una caracterstica del flujo, que para el caso de tuberas es la velocidad media V.

L una longitud caracterstica del entorno que rodea al fluido. Para el caso de tuberas suele ser el dimetro de la tubera.

la densidad del fluido. la viscosidad dinmica del fluido

Para determinar el significado del grupo adimensional, Reynolds llev a cabo sus experimentos con flujo de agua a travs de tubos de vidrio, para lo cual dispuso un tubo horizontalmente con un extremo abocinado dentro de un depsito y en el otro extremo una vlvula reguladora del caudal, segn se observa en la figura 17.1.

En el interior del tubo de ensayo inyect un colorante y observ que para caudales

y velocidades pequeos, y por tanto n de Reynolds bajo, el filete coloreado se mova trazando una lnea recta sin entremezclarse con el agua que le rodeaba, es decir el flujo era laminar. Al aumentar el caudal y por tanto la velocidad, aument el nmero de Reynolds, y lleg a la condicin en que dicha lnea se iba ondulando, llegando un momento en que se rompa bruscamente, difundindose por el tubo, es decir se alcanzaba el rgimen turbulento.



Fig.17.1.- Aparato de Reynolds

Reynolds obtuvo un valor de Re=12.000 antes de que se estableciera la turbulencia. Investigadores posteriores, usando el equipo original de Reynolds, obtuvieron un valor de 40.000 al mantener el agua en reposo en el tanque durante varios das antes de realizar el experimento y teniendo cuidado en evitar vibraciones del agua o del equipo.

Estos nmeros, llamados como nmeros crticos superiores de Reynolds, no

tienen significado prctico ya que las instalaciones ordinarias tienen irregularidades que causan flujo turbulento para valores muy inferiores del nmero de Reynolds.

Comenzando con flujo turbulento en el tubo de vidrio, Reynolds encontr que

siempre se vuelve laminar cuando se reduce la velocidad hasta hacer Re menor que 2000. Este se denomina Nmero crtico inferior de Reynolds para flujos en tubos y es importante en los clculos prcticos. Anlogamente al aumentar el flujo de laminar a turbulento observ que para Re mayor de 4000, era turbulento. Este se denomina Nmero crtico superior de Reynolds.

Consecuencias de los ensayos :

Como resultado de sus experiencias, Reynolds dedujo lo siguiente:

La transicin entre el rgimen laminar y el turbulento se produce bruscamente. La mayor o menor laminaridad del flujo depende directamente de la velocidad

del fluido y de los dimetros de los distintos tubos, e inversamente de la viscosidad del fluido.

La frontera de paso laminar a turbulento es muy difcil de precisar, ya que

depende mucho de las condiciones del flujo (vibraciones,...). En condiciones prcticas se verifica:

Para n Re 2000: flujo laminar . Predominan las fuerzas viscosas.

Se verifica la ley de Newton de la viscosidad.

Para n Re 4000: flujo turbulento . Las fuerzas viscosas quedan casi anuladas por las de turbulencia. No se verifica la ley de Newton de la viscosidad.



Para 2000< Re



Fig.17.2.- Capa lmite En el interior de la capa lmite se producen tensiones de cortadura originadas por

el gradiente de velocidad entre las capas de fluido adyacentes.

En flujo laminar dy

du =

Donde es la tensin de cortadura, la viscosidad dinmica del fluido y u la

velocidad del fluido a una distancia y medida perpendicularmente desde la superficie del slido.

Los factores principales que influyen en la formacin de la capa lmite son, por lo

tanto, la condicin de no-deslizamiento en la superficie de contacto entre el slido y el fluido y la tensin de cortadura debida al gradiente de velocidad.

La figura 17.2 muestra una capa lmite creciente sobre una placa plana delgada,

con un borde de ataque puntiagudo, donde la capa lmite empieza siendo laminar. La capa lmite aumenta de espesor a medida que nos alejamos del borde de la pared.

Cuando el espesor de la capa lmite alcanza un valor determinado la estructura

laminar se hace inestable y desaparece, comenzando a ser turbulenta. La transicin de capa lmite laminar a turbulenta se ha deducido experimentalmente que se verifica para

un nmero de Reynolds que oscila entre 500.000 y 1.000.000, siendo Re =

xV.

En la zona turbulenta la tensin de cortadura es debida a los efectos de las

turbulencias siendo su expresin dy

du = , siendo la viscosidad de turbulencia de

remolino.



Sin embargo, una vez pasado el punto de transicin, en los puntos muy cercanos a la pared de la placa, la presencia de sta hace imposible todo movimiento transversal, es decir perpendicular a la pared. La experiencia demuestra que, por grande que sea la turbulencia de la masa fluida, su accin se anula en contacto con la placa; se forma por consiguiente, en las proximidades inmediatas de sta, una delgada capa en la que el rgimen es laminar y que est comprendida entre la pared y la masa de fluido en movimiento turbulento. A esta pelcula de fluido se le denomina subcapa laminar o capa lmite laminar secundaria (figura 17.3)

Fig.17.3.- Capa lmite laminar y turbulenta

En realidad no hay discontinuidad muy definida entre las tres zonas: fluido libre,

capa lmite turbulenta y subcapa laminar. En flujos externos, el flujo lejos del cuerpo slido puede considerarse

prcticamente no viscoso, mientras que se basa en la teora de la capa lmite para determinar el movimiento en la capa viscosa cerca de las paredes.

4.-FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO EN FLUJOS INTERNOS.- DISTRIBUCIN DE VELOCIDADES

Considrese una tubera por la que circula un fluido en condiciones tales que el

movimiento sea necesariamente laminar (figura 17.4). A la entrada de la tubera, el perfil de velocidades es casi uniforme en toda la seccin transversal.

La accin del esfuerzo cortante en la pared es retardar el flujo cerca de dicha

pared. Como consecuencia la velocidad debe aumentar en la zona central. Debido a este esfuerzo cortante se crea una capa lmite laminar, cuyo espesor,

nulo a la entrada de la tubera, va creciendo hasta llenar totalmente el conducto a partir de una cierta seccin situada a una distancia l de la entrada. La capa lmite que presentaba hasta esa abscisa l un estado de transicin, se ha transformado en la configuracin laminar; se dice que el rgimen est dinmicamente establecido. A partir de aqu la distribucin de velocidades es parablica.



Fig. 17.4.- Flujo interno laminar

La formacin del rgimen turbulento en el interior de una tubera cilndrica obedece al mismo esquema que en una placa plana.

El fluido entra en la tubera con una velocidad sensiblemente uniforme. A partir de

la entrada, las partculas de fluido prximas a la pared de la tubera se adhieren a sta y el efecto de retraso que resulta de ello provoca la aparicin de la capa lmite.

Esta es primeramente laminar y su espesor aumenta gradualmente hasta un valor

en que se hace inestable, desarrollndose entonces una capa turbulenta hasta casi las mismas paredes de la tubera, en que se desarrolla la subcapa laminar. Se establece as una configuracin permanente a lo largo de la tubera y el rgimen est dinmicamente establecido.

La distribucin de velocidades es la de la figura 17.5; una vez establecido el

rgimen, la variacin de la velocidad es muy rpida en la subcapa laminar y en la zona turbulenta la distribucin es logartmica.

Fig.17.5.- Flujo interno turbulento Este tipo de rgimen es el que se establece normalmente en las tuberas

industriales. De ah el inters que tiene el estudio de las prdidas de carga provocadas por la turbulencia del mismo y que son distintas de las del rgimen laminar por la configuracin distinta de ste. Como se observa la distribucin de velocidades en el flujo turbulento es prcticamente uniforme.



TEMA 18: ESTUDIO DE PRDIDAS DE CARGA EN CONDUCTOS CERRADOS

0.- INTRODUCCIN El captulo comienza con la demostracin de la ecuacin de Darcy-Weisbach, que

define la prdida de carga en regmenes permanentes y uniformes, en funcin del coeficiente de frotamiento.

Un trabajo que ha durado dcadas y que todava no parece concluido ha sido

analizar este valor del coeficiente de frotamiento para cada caso, sea el rgimen laminar o turbulento, sea el tubo liso, semirrugoso o rugoso. En el captulo se establecen las expresiones desarrolladas, en orden cronolgico, por Prandtl, Karman, Colebrook y otros investigadores, sin describir todo el trabajo desarrollado por ellos, que resultara muy extenso.

Estas expresiones obtenidas por los investigadores mencionados son

complicadas, por lo que llevarlas a bacos ha facilitado durante muchos aos la resolucin de problemas.

Se presenta el trabajo realizado por Moody mediante su baco, y se incluyen

expresiones, aproximadas, para el clculo directo del coeficiente de frotamiento, que resultan muy tiles en la actualidad ya que el grado de aproximacin es elevado.

El captulo se termina con el anlisis del clculo de prdidas de carga en flujo

compresible isotrmico.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. ECU ACIN DE DARCY-WEISBACH

En este apartado se estudian las prdidas de carga o energa llegando a la

expresin general de las mismas, denominada ecuacin de Darcy-Weisbach. Se realiza el estudio considerando rgimen turbulento, utilizando la expresin de la

tensin de cortadura obtenida mediante la teora de la longitud de mezcla de Prandtl, sin deducirla, y se generaliza la expresin obtenida para rgimen laminar mediante su coeficiente de friccin especfico.

Hiptesis de partida:

Se realiza el estudio para las siguientes condiciones de validez:

Flujo turbulento Rgimen permanente y uniforme Fluido incompresible Conducto cerrado Flujo unidimensional

26 Estudio de prdidas de carga en conductos cerrados


Se considera dentro de un conducto cerrado un volumen de control formado por un

elemento de fluido de longitud L, seccin transversal A y permetro P.

Las fuerzas actuantes sobre dicho volumen de control, que se representan en la figura 18.1, son las siguientes:

Fuerza debida a la presin aguas arriba = p1A Fuerza debida a la presin aguas abajo = p2A Fuerza debida a la gravedad = A L Fuerza debida a la tensin de cortadura a lo largo de todo el contorno

del conducto = L P

Fig.18.1.- Flujo en conductos cerrados. Representacin de fuerzas

Teniendo en cuenta las fuerzas actuantes la ecuacin de equilibrio resultante, proyectada sobre el eje del movimiento, es la siguiente:

p1 A p2 A + A L sen = L P

Teniendo en cuenta que sen = z/L (p1 p2)A + A z = L P pA + Az = L P

Dividiendo por el volumen (A L), se tiene:

p/L + z/L = P/A (1)



Segn la teora de la longitud de mezcla de Prandtl, el valor de la tensin de

cortadura para flujo turbulento resulta ser proporcional a la densidad del fluido y a la velocidad del flujo al cuadrado:

= v2/2

Donde es un factor adimensional de proporcionalidad. Sustituyendo el valor de en la expresin (1):

p/L + z/L =A

PV

2

2

Se llama radio hidrulico R al cociente entre el rea de la seccin transversal (A) y

el permetro mojado (P), es decir:

R = A / P

Por tanto la expresin de equilibrio puede expresarse de la siguiente manera:

p/L + z/L = v2 /2 R (2)

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura 18.1, se tiene:

B1 hf = B2

P1/ + z1 hf = P2/ + z2

Al ser el rgimen permanente y uniforme, las velocidades en 1 y 2 son iguales.

Operando:

(P1/ - P2/ ) + (z1 z2 ) = hf p/ + z = hf

p+ z = hf (3)

Sustituyendo la expresin (3) en la (2)

hf /L = v2 /2 R

Operando resulta: hf = g

V

R

L

2

2

(4)

Expresin de Darcy-Weisbach, para el caso de conductos cerrados de seccin

cualquiera.



Para el caso de tubos circulares el valor del radio hidrulico es:

R = A / P = D

D

4

2

= D/4

Sustituyendo este valor en la expresin (4)

hf = 4g

V

D

L

2

2

Al factor 4 se le denomina coeficiente de frotamiento del conducto y se

representa por f.

La expresin de Darcy-Weisbach para conductos circulares que proporciona la prdida de carga hf por unidad de peso resulta entonces:

h f = g

V

D

Lf

2

2

El coeficiente de frotamiento es adimensional y depende, como se vio en el

captulo dedicado a anlisis dimensional, de las caractersticas del flujo y del material de la tubera, es decir f = f (Re, /D)

Para el caso de tuberas de seccin no circular la expresin de las prdidas de

carga es la siguiente:

hf = g

V

R

L

2

2

= g

V

R

Lf

24

2

Que representa la frmula de Darcy-Weisbach para conductos cerrados de seccin no circular, considerando el coeficiente de frotamiento f.

En esta expresin cada trmino representa lo siguiente:

f: el coeficiente de frotamiento, que se determina como en el caso de las

tuberas circulares. L: longitud del conducto. V: velocidad media del flujo R: radio hidrulico, es decir R = A/P P: permetro mojado A: seccin transversal de la tubera.



2.- TUBOS LISOS Y RUGOSOS DESDE EL PUNTO DE VISTA H IDRULICO. FRONTERAS.

En el captulo anterior se estudi la capa lmite y se mencion la formacin de la

subcapa laminar. El espesor de esta subcapa laminar (sl) es inversamente proporcional al nmero de Reynolds, de manera que al aumentar ste el espesor de la subcapa laminar disminuye, tal y como se deduce de la siguiente expresin:

fDsl 8

Re

6.11=

Se denomina al espesor medio de la rugosidad de las paredes del conducto,

caracterstico del material, cuyos valores se encuentran tabulados en el cuadro n 20 del cuaderno o documento: Cuadros y bacos de la asignatura.

Espesor relativo de la tubera se llama al cociente entre la rugosidad y el dimetro

de la tubera: / D

Se dice que un tubo se comporta como hidrulicamente liso cuando el espesor de la subcapa laminar es netamente superior a la altura de las rugosidades del material de la tubera, segn se observa en la figura 18.2, es decir sl >>.

En este caso el coeficiente de frotamiento slo depende de las caractersticas del

flujo f = f (Re)

Fig.18.2.- Tubo hidrulicamente liso, semiliso y rugoso



Se dice que un tubo se comporta como hidrulicamente rugoso cuando el espesor de la subcapa laminar es netamente inferior a la altura de las rugosidades del material de la tubera, segn se observa en la figura 18.2, es decir sl



3.- EXPRESIONES PARA EL CLCULO DEL COEFICIENTE DE FROTAMIENTO. FENMENO DE LA INTERMITENCIA. EXPERIEN CIAS DE NIKURADSE.

En el apartado anterior se ha obtenido la expresin de Darcy-Weisbach para tubos

circulares, que nos da la prdida de carga:

hf = g

V

D

Lf

2

2

En la misma, aparece el coeficiente de frotamiento f, que es preciso determinar

segn el tipo de flujo (laminar turbulento) y el comportamiento de la tubera (lisa, rugosa o semirrugosa)

En este apartado se van a determinar las expresiones para el clculo de dicho

coeficiente, siguiendo el orden cronolgico en que se fueron obteniendo.

3.1.- FLUJO LAMINAR

Para el caso de flujo laminar (Re 2000) los investigadores Hagen y Poiseuille , el primero alemn y el segundo francs, estudiaron por separado el flujo laminar, obteniendo en 1839, la expresin para el clculo de las prdidas de carga en dicho flujo:

hf = g

VDL

gV

DL

DVgDVL

2

64

2

64

2

64 22

Re==

Por comparacin con la ecuacin de Darcy-Weisbach, deducida en la primera

pregunta de este captulo, se puede observar que coincide con dicha ecuacin, siendo el coeficiente de friccin en este caso: f = 64 / Re.

La prdida de carga es, segn se observa en la expresin anterior, funcin de la

primera potencia de la velocidad y el coeficiente de frotamiento depende solamente de las caractersticas del flujo, es decir del nmero de Reynolds: f = f (Re).

La expresin para flujo laminar: f = 64 / Re, se conoce como expresin de Hagen-

Poiseuille en honor a los investigadores que la obtuvieron.

3.2.- FLUJO TURBULENTO

El estudio del flujo turbulento (Re 4000), es muy complicado, y est basado en la Teora de la Longitud de Mezcla de Prandtl. Es una teora emprica muy imaginativa, que tiene muchos detractores, pero es la nica que existe, y fue completada con ensayos y estudios experimentales por Prandtl y sus discpulos. En estos apuntes no se ha desarrollado la teora de Prandtl que puede encontrarse en la bilbliografa de Mecnica de Fluidos.



En las prdidas de carga en flujo turbulento no solo intervienen las caractersticas del flujo sino adems las del conducto o tubera, mediante su rugosidad relativa, siendo diferente el coeficiente de friccin para cada tipo de tubera.

3.2.1.- Coeficientes de friccin en Tuberas lisas 3.2.1.1.- Re 105

Blasius (1913),mediante su tesis doctoral y a travs de ensayos experimentales

estudio el flujo turbulento en conductos lisos, obteniendo para el coeficiente de frotamiento la siguiente expresin, denominada de Blasius, :

f = (100.Re)-1/4 = 0.316/ Re0.25

Es decir si: Re 105 y tubera lisa (Re 105

En 1925 los alemanes Von Karman y Prandtl obtuvieron la expresin para el caso

de flujo turbulento (Re 4000) y tubera lisa (Re 105,

denominada expresin de Karman-Prandtl, que es la siguiente:

51.2

Relog2

1 f

f=

Nuevamente se observa que f = f (Re) , ya que la tubera se comporta como lisa.

3.2.2.- Fenmeno de la intermitencia Cuando se trabaja en un intervalo de valores del nmero de Reynolds

comprendido entre 2000< Re > 4000 se produce el fenmeno de la intermitencia, en el cual el flujo pasa de laminar a turbulento y de turbulento a laminar de una forma intermitente. Este fenmeno se explica a continuacin.

Se considera una tubera de pequeo dimetro, alimentada por un depsito de

nivel constante, segn se observa en la figura 18.3.



El desnivel existente (H) entre la lmina superior de agua y la salida de la tubera se transforma en energa de velocidad y en prdida de carga.

H = V22/2g + hf1-2 = Cte.

Fig.18.3.- Fenmeno de la intermitencia Supongamos que el flujo en un instante determinado es turbulento, pero cercano al

laminar. En ese momento la prdida de carga es proporcional a la velocidad elevada a una potencia entre 1.75 y 2. La prdida de carga, en este caso, es mayor que en el laminar con lo cual la velocidad disminuye, ya que la energa total H es constante, y por tanto el nmero de Reynolds se hace ms pequeo, pasando el flujo a ser laminar.

En este rgimen laminar, la prdida de carga es proporcional a la primera potencia

de la velocidad V, es decir, disminuye la prdida de carga con relacin al rgimen turbulento, con lo cual la velocidad aumenta y por tanto el nmero de Reynolds se hace mayor, pasando el flujo de laminar a turbulento. El fenmeno contina repitindose de forma intermitente.

3.2.3.- Coeficiente de friccin en Tuberas rugosas El mismo ao (1925) Karman y Prandtl obtuvieron la expresin valida para flujo

turbulento (Re 4000) y tuberas rugosas (Re >Re = D

560

), sin concretar el campo de

aplicacin de la misma. La expresin es la siguiente:

2

10

71.3log

25.0

=

D

f



Se observa que el coeficiente de frotamiento en tubos rugosos es funcin exclusiva de la rugosidad relativa /D del material de la tubera f = f ( /D) y la prdida de carga es funcin de la segunda potencia de la velocidad, por ser f independiente del nmero de Reynolds.

3.2.4.- Experiencias de Nikuradse

El alemn J. Nikuradse, discpulo de VON KARMAN, realiz en 1932 experiencias con tuberas de rugosidad artificial, para determinar el campo de validez de la expresin de Karman-Prandtl para tuberas rugosas.

Las experiencias consistieron en tomar tuberas de diferentes dimetros y arenas

tamizadas de distintos dimetros, pero constantes para cada ensayo, con las que enluci las tubera, consiguiendo de esta forma tuberas con rugosidades diferentes, pero excesivamente homogneas en comparacin con las tuberas comerciales.

Con estas tuberas realiz ensayos en el laboratorio, calculando el coeficiente de

frotamiento y llevndolo a un grfico, tal como se representa en la figura 18.4.

Fig.18.4.- Experiencias de Nikuradse

Del grfico obtuvo las siguientes importantes consecuencias: Para rgimen laminar, el coeficiente de frotamiento dependa slo del nmero

de Reynolds y era independiente de la rugosidad, siguiendo fielmente la expresin de Hagen-Poiseuille para tuberas lisas: f = 64/Re.

Exista una zona crtica, para valores del nmero de Reynolds entre 2000 y

4000, en que se desconoca lo que ocurra, al igual que en el caso de las tuberas lisas.



Al aumentar el nmero de Reynolds los resultados comenzaban a separarse de los de las tuberas lisas, y se separaban tanto ms cuanto mayor era el nmero de Reynolds y tanto antes cuanto mayor era la rugosidad relativa de la tubera.

A partir de un cierto valor del nmero de Reynolds, que resultaba variable, el

coeficiente de frotamiento se hacia independiente de dicho nmero y dependa solamente de la rugosidad relativa, siendo aplicable la frmula de Karman-Prandtl para tubos rugosos.

3.2.5.- Coeficiente de friccin en Tuberas semilis as o semirrugosas Nikuradse obtuvo con sus experiencias una serie de valores del coeficiente de frotamiento para tuberas con rugosidad perfectamente homognea, sin llevar dichos valores a una frmula. Los valores obtenidos por Nikuradse son inferiores a los que se obtienen en la realidad con tuberas comerciales, de rugosidad heterognea.

Seguidamente los ingleses Colebrook y White (1939) desarrollaron una

expresin emprica para el caso de flujo turbulento (Re 4000) y tuberas semirrugosas (Re Re Re), que es la siguiente:

+=

71.3Re

51.2log2

1 Dff

Se observa que el coeficiente de frotamiento depende de las caractersticas del

flujo y del material f = f(Re, /D), ya que la tubera se comporta como semirrugosa. En 1944 el norteamericano L.F. Moody public uno de los grficos ms prcticos

para la determinacin del coeficiente de frotamiento de tuberas y que es vlido para toda clase de fluidos, denominado baco de Moody .

En el siguiente cuadro se presentan, como resumen, las expresiones para el

clculo del coeficiente de frotamiento, indicando su campo de validez.



COEFICIENTES DE FROTAMIENTO EN TUBERAS

Tipo de Flujo Comportamiento

de la tubera Expresin hf

Flujo laminar Re 2000

Hagen-Poiseuille

f = 64 / Re

hf = f (v)

2000< Re < 4000

Flujo

indeterminado

Zona crtica, no se

debe de trabajar

Re 105 Blasius

f = 0.316/ Re0.25

hf = f (v1.75)

Tubera Lisa

Re 105

Karman-Prandtl 5122

1

.

Relog

f

f=

Flujo turbulento (Re 4000),

Tubera semirrugosa

Re Re Re

Colebrook- White

+=

71.3

/

Re

51.2log2

1 D

ff

Tubera rugosa

Re >Re =

D560

Karman-Prandtl 2

10

71.3log

25.0

=

D

f

hf = f (v2)

La expresin de Karman-Prandtl para tubera lisa y la de Colebrook-White para tubera semirrugosa son implcitas, logartmicas e irracionales por lo que es necesario iterar. 3.2.6.- Expresiones explcitas aproximados del coef iciente de friccin para tuberas lisas y semilisas

Los investigadores indios Prabhata K. Swamee y Akalank.K. Jain (P.S.A.K .)

desarrollaron expresiones explcitas, con el fin de simplificar el clculo en el caso de las

apuntes de mf 2011-12

Documents