apuntes de econometría jorge salgado

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRÍA I ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA

Jorge Salgado

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PRINCIPIOS ECONOMÉTRICOS:

1.- Análisis de regresión con dos variables:

Supongamos una comunidad hipotética con una población total de 60 familias con sus ingresos (X)

y sus gastos en consumo (Y) semanales.

Cabe advertir que se analizará la propensión marginal de consumo (PMC), desarrollado por el

economista John Maynard Keynes1 en el año de 1935.

Condiciones: Se va a construir un marco hipotético con 10 valores fijos de X y 10

“subpoblaciones” de Y.

Ingreso Familiar (X)

80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Consumo Familiar (Y)

55 65 79 80 102 110 120 135 137 150

60 70 84 93 107 112 136 137 145 152

65 74 90 95 110 120 140 140 155 175

70 80 94 103 116 130 144 152 165 178

75 85 98 108 118 135 145 157 175 180

88 113 125 140 160 189 185

115 110 162 191

TOTAL 325 462 445 707 678 750 685 1043 966 1211

MEDIA CONDICIONAL 65 77 89 101 113 125 137 144 161 173

1 John Maynard Keynes (1883-1946), economista británico. Dio lugar a una nueva escuela de pensamiento económico

denominada keynesianismo o “nueva ciencia económica”, estas influyeron de forma determinante en el diseño de las políticas económicas de muchos países desde la finalización de la II Guerra Mundial dando lugar a los sistemas de desarrollo.

X

Re

gr

esi

ón

Po

bl

aci

on

al

Curva de Regresión Poblacional

Y

Ingreso Semanal

Co

nsu

mo

Sem

anal


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1.1.-El valor esperado condicional e incondicional:

Para comprender las diferencias entre las categorías, vamos a relazar una contrastación utilizando

la tabla anterior.

Valor esperado Incondicional

E (Y) = 7272

60= 121,20

Valor esperado condicional

E (Y/X = 140) = 707

7= 101

Por lo tanto, el valor esperado incondicional y condicional son respuestas a diferentes preguntas.

En el caso de la media incondicional (en donde no existen condiciones) se formula la

pregunta:

¿Cuál es el valor esperado del consumo de una familia? En donde, se hace alusión

cualquier familia.

Por otro lado la media condicional formula la pregunta:

¿Cuál es el valor esperado de consumo de una familia cuyo ingreso semanal es de

$ 140?

-En el gráfico anterior la recta representa los valores promedio de las observaciones.

-Los promedios también son conocidos como los valores esperados condicionales.

-La expectativa (esperanza de Y condicionada a X) se simboliza como: E (X/Y)

- E (X\Y), en nuestro ejemplo se trata del promedio del consumo con respecto al

ingreso.

-Se concluye de forma sencilla que a medida que el ingreso semanal aumenta el

consumo aumenta.


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2.-Función de Regresión Poblacional:

De lo presentado anteriormente se deduce que cada media condicional E (Y/Xi) es función de Xi.

E (Y/Xi) = f (Xi)

Esta ecuación señala que los valores esperados de la distribución de Y, están relacionados

funcionalmente con X.

Ahora vamos a suponer el gasto está linealmente relacionado con el ingreso.

E (Y/Xi) = β1 + β2Xi

En donde β1 y β2 son parámetros no conocidos, denominados coeficientes de regresión,

cuya estimación es el interés del análisis de regresión. La ecuación anterior es la función de

regresión lineal poblacional.

Finalmente es necesario resaltar que el criterio clave que subyace en el análisis de regresión es el

de función de regresión poblacional (FRP). Así, el objetivo del análisis de regresión es averiguar la

forma en que el valor promedio de la variable dependiente (regresada) varía de acuerdo con el

valor dado de la variable explicativa (regresora).

2.1-Significado del término lineal:

La interpretación matemática del término lineal, puede ser desarrollada por medio de dos vías.

a) Linealidad en las variables: Se dice que una función E (Y/Xi) = f (x) es lineal en las

variables si estas aparecen elevadas a una potencia uno y no están multiplicadas

ni dividas por ninguna variable. En el contexto de las matemáticas puras se dice

que la incógnita es el elemento de la ecuación elevada a una potencia.

b) Linealidad en los parámetros: Se dice que una función E (Y/Xi) = f (x) es lineal en

los parámetros se estos aparecen elevados a una potencia y no están

multiplicados ni divididos por ningún otro parámetro.

Ejemplos:

𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖2

𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1 + 𝛽21/2

𝑋𝑖

- Lineal en las variables. - Lineal en los parámetros.

- No lineal en las variables. - Lineal en los parámetros.

- Lineal en las variables. - No lineal en los parámetros.


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𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖−1

𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1−1 + 𝛽2𝑋𝑖

𝐸(𝑌/𝑋𝑖) = 𝛽1

𝛽2+ 𝛽2

𝑋𝑖

𝑍𝑖

- Para nuestro propósito, la segunda interpretación (linealidad en los parámetros) es la que será

utilizada en el desarrollo de la materia.

- En una regresión lineal debemos fijarnos en los parámetros.

3.-Especificación Estocástica de la FRP:

Se ha demostrado que a medida que el ingreso familiar aumenta, el gasto de consumo familiar en

promedio también aumenta. Sin embargo, el gasto en consumo de una familia individual no

necesariamente aumenta a medida que el nivel de ingreso es mayor.

Perturbación estocástica, variables que afectan al consumo pero no es el ingreso.

- No lineal en las variables. - Lineal en los parámetros.

- Lineal en las variables. - No lineal en los parámetros.

- No lineal en las variables. - No lineal en los parámetros.

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

Analizamos un cambio latitudinal

Son considerados otros patrones

de consumo a la religión, la

situación geográfica entre otros.


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-Es importante recordar que la sumatoria de las desviaciones con respecto a la media es igual a

cero. En el siguiente ejemplo se examina la premisa anterior:

Y1 75

U1 Y2 70

+

U2

Y3 65 - E(Y/Xi)

U3

Y4 60

-

U4

Y5 55

U5

Así 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 , donde 𝑢𝑖 es una variable aleatoria que se denomina perturbación

estocástica que en términos estadísticos son desviaciones con respecto a la media; que sustituye o

representa a las variables omitidas o ignoradas que pueden afectar a Y por que no están incluidas

en el modelo de regresión.

𝑌𝑖 = 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

Con el modelo anterior se puede determinar a las sesenta familias del ejercicio empírico

presentado inicialmente.

La ecuación plantea que el gasto de consumo de una familia está relacionado linealmente con sus

ingresos más el término de perturbación estocástica que puede ser positivo (+) o negativo (-).

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

En el siguiente

gráfico se muestra

a 𝜷𝟏 .

𝜷𝟏


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4.-Propiedades del Operador Expectativa:

1.-La expectativa de una constante es la constante.

El promedio de una constante es la constante.

𝐸 𝒷 = 𝒷

2.-Cuando tenemos la expectativa 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 queremos decir:

𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖

∴

𝐸 𝒷𝑌 =𝒷 ∗ 𝐸 𝑌 = 𝒷 ∗ 𝐸 𝑌

𝑋𝑖

= 𝒷 ∗ 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖

𝐸 𝒷𝑌 + 𝑎 = 𝐸 𝑎 + 𝐸 𝒷𝑌

= 𝑎 + 𝒷 ∗ 𝐸 𝑌

= 𝑎 + 𝒷 ∗ 𝐸 𝑌

𝑋𝑖

= 𝑎 + 𝒷 ∗ 𝐸 𝑌𝑖/𝑋𝑖

Si tenemos el valor esperado de la ecuación anterior:

𝑌𝑖 = 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝐸(𝑌𝑖) = 𝐸 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝐸(𝑌𝑖) = 𝐸 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖

𝐸(𝑌𝑖) = 𝐸 𝐸 𝑌/𝑋𝑖 + 𝐸 𝑢𝑖

𝑋𝑖

𝐸 𝑢𝑖

𝑋𝑖

= 0

Recordando que las expectativa de una constante es una constante.

Por un lado, el promedio de las perturbaciones estocásticas es igual a cero porque son

desviaciones con respecto a la media; pero por otro lado lo anterior implica que la recta de

regresión pasa a través de las medias condicionales de Y.

5.-Función de Regresión Muestral:


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Cambiando de perspectiva de valores poblacionales vayamos a considerar valores muestrales que

es el problema de análisis de la regresión lineal.

En el ejemplo el número de muestras que disponemos es:

La combinación de las 60 familias, de donde podemos escoger uno de cada grupo.

𝐶60,10 =60!

10! 50! = 7,539402757 * 10 10 muestras.

De las cuales seleccionamos dos:

Muestra 1 Muestra 2

Y X Y X

70 80 55 80

65 100 88 100

90 120 90 120

95 140 80 140

110 160 118 160

115 180 120 180

120 200 145 200

140 220 135 220

155 240 145 240

150 260 175 260

Primera Muestra

Segunda Muestra

Regresión basada en la

segunda muestra


primera muestra

FRM1

FRM2

En general las rectas de regresión

muestral, son aproximaciones a la

recta poblacional

Gas

to e

n C

on

sum

o S

eman

al $

Ingreso Semanal $


primera muestra

En general las rectas de regresión

muestral, son aproximaciones a la

recta poblacional


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De manera similar a la función de regresión poblacional (FRP), es posible definir a la función de

regresión muestral(FRM), para representar la recta de regresión muestral.

𝑌𝑖 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 + 𝑢 𝑖

Donde 𝑌𝑖 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 , y representa a un punto de la recta de regresión muestral.

Así un estimador es la aproximación al parámetro poblacional a partir de la información de la

muestra que se tiene a la mano,

𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 + 𝑢 𝑖

𝑢 𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑖

Ecuación que en términos de la FRP son:

𝑌𝑖 = 𝐸(𝑌/𝑋𝑖) + 𝑢𝑖 𝑢𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝐸(𝑌𝑖/𝑋𝑖)

𝑌𝑖 = Estimador del promedio 𝐸 𝑌/𝑋𝑖

𝛽 1= Estimador de la intersección 𝛽1

𝛽 2= Estimador de la pendiente 𝛽2

𝑢 𝑖= Estimador de 𝑢𝑖(residuos)

FRM

FRP

Gas

to e

n C

on

sum

o S

eman

al $

Ingreso Semanal $


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MODELO DE REGRESIÓN CON DOS VARAIBLES: PROBLEMA DE ESTIMACIÓN

La primera tarea consiste en estimar la función de regresión poblacional (FRP) con fundamento en

la función de regresión muestral(FRM) de la manera más precisa posible. Hay dos métodos de

estimación:

1) Los mínimos cuadrados ordinarios (MCO).

2) La máxima verosimilitud (MV).

Se estudiará el primer método.

Mínimos Cuadrados Ordinarios:

Se le atribuye a Carl Friedrich Gauss2, cuyo principio es el de minimizar la sumatoria de los residuos

al cuadrado.

𝑢 𝑖2 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖

2= 𝑌𝑖 − 𝛽 1 − 𝛽 2𝑋𝑖

2

Considerando como incógnitas a 𝛽 1 ,𝛽 2

𝜕 𝑢 𝑖2

𝜕𝛽 1= 2 (𝑌𝑖 − 𝛽 1 − 𝛽 2𝑋𝑖) −1 = 0

(𝑌𝑖 − 𝛽 1 − 𝛽 2𝑋𝑖) = 0

𝑌𝑖 − 𝑛𝛽 1 − 𝛽 2 𝑋𝑖 = 0

𝑌𝑖 = 𝑛𝛽 1 + 𝛽 2 𝑋𝑖 = 𝑃𝑅𝐼𝑀𝐸𝑅𝐴 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿

𝜕 𝑢 𝑖2

𝜕𝛽 2= 2 (𝑌𝑖 − 𝛽 1 − 𝛽 2𝑋𝑖) −𝑋𝑖 = 0

2 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones a la

astronomía, las matemáticas y la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. En el caso econométrico cobre relevancia por su aporte de la Curva Normal.


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0

(𝑌𝑖 − 𝛽 1 − 𝛽 2𝑋𝑖)(𝑋𝑖) = 0

𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝛽 1 𝑋𝑖 − 𝛽 2 𝑋𝑖2 = 0

𝑋𝑖𝑌𝑖 = 𝛽 1 𝑋𝑖 + 𝛽 2 𝑋𝑖2 = 𝑆𝐸𝐺𝑈𝑁𝐷𝐴 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿

Ahora multiplicando a la segunda ecuación normal por n y restando la primera ecuación

multiplicada por 𝑋𝑖 , resolvemos el sistema de ecuaciones. Adicionalmente, tenemos que tener

en consideración que 𝑋𝑖2 ≠ 𝑋𝑖

2.

𝑛 𝑋𝑖𝑌𝑖 = 𝑛𝛽 1 𝑋𝑖 + 𝑛𝛽 2 𝑋𝑖2

𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑛𝛽 1 𝑋𝑖 + 𝛽 2 𝑋𝑖 2

La resta nos da el siguiente resultado:

𝑛 𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑌𝑖 = 𝑛𝛽 2 𝑋𝑖2 −𝛽 2 𝑋𝑖

2

𝛽 2 𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑋𝑖

2

= 𝑛 𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑌𝑖

𝛽 2 =𝑛 𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑌𝑖

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑋𝑖

2

Remplazando, obtenemos 𝛽 1:

𝛽 1 = 𝑋𝑖

2 𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑋𝑖𝑌𝑖

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑋𝑖

2

Se deben hacer los cálculos de los estimadores con el ejercicio de las muestras.


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1

Propiedades de las desviaciones con respecto a la media:

Notación:

𝑥𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑦𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌

1.- La sumatoria de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero:

𝑥𝑖 = (𝑋𝑖 − 𝑋 ) = 𝑋𝑖 − 𝑛𝑋 = 𝑛𝑋 − 𝑛𝑋 = 0

𝑋 =1

𝑛 𝑋𝑖

𝑛𝑋 = 𝑋𝑖

2.-La varianza:

𝑥𝑖2 = 𝑋𝑖 − 𝑋 2 = 𝑋𝑖

2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑋 2

= 𝑋𝑖2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑛𝑋 2 2𝑋 𝑋𝑖 = 0

= 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋 2

3.-La covarianza:

𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 𝑌𝑖 − 𝑌

= 𝑥𝑖𝑌𝑖 − 𝑥𝑖𝑌

= 𝑥𝑖𝑌𝑖 − 𝑌 𝑥𝑖 𝑌 𝑥𝑖=0

𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖𝑌𝑖

Si en 𝛽 2 se sustituyen los valores observados (mayúsculas) por las desviaciones con respecto a la

media (minúsculas), encontramos:

𝛽 2 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖

2

𝛽 2 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖

2

𝛽 2 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 =

𝐶𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎


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2

𝛽 2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑥𝑖

2 = 𝑥𝑖𝑌𝑖

𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋 𝑖

2 = 𝑋𝑖𝑦𝑖

𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋 𝑖

2

Si en la primera ecuación normal dividimos para n, encontramos:

𝑌𝑖 = 𝑛𝛽 1 + 𝛽 2 𝑋𝑖 = 𝑃𝑅𝐼𝑀𝐸𝑅𝐴 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿

𝑌𝑖𝑛

= 𝛽 1 +𝛽 2 𝑋𝑖

𝑛

𝑌 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋

𝛽 1 = 𝑌 − 𝛽 2𝑋

Propiedades de numéricas de los operadores de los Mínimos Cuadrados Ordinarios:

Son aquellas que se mantienen sin considerar la forma o la manera en que se generan los datos.

1.-Están expresados en términos de las cantidades observadas, por consiguiente pueden

ser fácilmente calculados.

2.-Son estimadores puntuales, es decir proporcionan un solo valor poblacional pertinente.

3.-Una vez obtenidos los estimadores la recta de regresión muestral puede graficarse

fácilmente.


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3

Propiedades de la recta de regresión muestral:

Nota:

Estos resultados son correctos cuando el modelo de regresión incluye la intersección 𝛽 1 , en el

caso de que sean excluidos estos resultados no se dan necesariamente. Sin embargo, hay c casos

en donde encontramos:

i) Pasa a través de las medias muetrales de Y y X.

𝑌 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋

ii) La media de 𝑌 (𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎) es igual a la media de Y (observada).

𝑌 𝑖 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 𝛽 1 = 𝑌 − 𝛽 2𝑋

𝑌 𝑖 = 𝑌 − 𝛽 2𝑋 + 𝛽 2𝑋𝑖 = 𝑌 + 𝛽 2 𝑋𝑖 − 𝑋 = 𝑌 + 𝛽 2𝑋𝑖

𝑌 𝑖 = 𝑛𝑌 + 𝛽 2 𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑌 𝑖 = 𝑛𝑌

𝑌 𝑖𝑛

= 𝑌

𝑌 = 𝑌

Y

X


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4

iii) La media de los residuos 𝑢 𝑖 es cero:


2= 𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖

2

𝜕 𝑢 𝑖2

𝜕𝛽 1= 2 𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 −1 = 0

𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖 = 0

𝑢 𝑖 = 0

Nota:

“Cuando se realza una regresión con respecto a la media se parte del origen”.

iv) Los residuos 𝑢 𝑖 no están correlacionados con 𝑦 𝑖 𝑌𝑖 .

Con la ecuación obtenida anteriormente multiplicamos por 𝑢 𝑖 y aplicamos la sumatoria:

𝑦 𝑖𝑢 𝑖 = 𝛽 2𝑥𝑖𝑢 𝑖

𝑦 𝑖𝑢 𝑖 = 𝛽 2 𝑥𝑖𝑢 𝑖

𝑦 𝑖𝑢 𝑖 = 𝛽 2 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝛽 2𝑥𝑖

𝛽 2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝛽 2 𝑥𝑖

2

𝑌𝑖 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 + 𝑢 𝑖

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽 2𝑋𝑖 − 𝛽 2𝑋 + 𝑢 𝑖

𝑦𝑖 = 𝛽 2 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑢 𝑖

− 𝑌 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋 . 𝑦𝑖 = 𝛽 2𝑥𝑖 + 𝑢 𝑖

𝑦 𝑖 = 𝛽 2𝑥𝑖


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5

𝑦 𝑖𝑢 𝑖 = 0 = 𝑌𝑖𝑢 𝑖

𝑌 𝑖 𝑦 𝑢 𝑖 están correlacionados. Son dependientes.

𝐶𝑜𝑣 = 𝑌 𝑖 ,𝑢 𝑖 = 0

𝑌 𝑖 𝑦 𝑢 𝑖 no están correlacionados. Son independientes.

v) Los residuos 𝑢 𝑖 no están correlacionados con 𝑋𝑖 .


2= 𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖

2

𝜕 𝑢 𝑖2

𝜕𝛽 2= 2 𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 −𝑋𝑖 = 0

𝑌 𝑖 𝑢 𝑖

𝐶𝑜𝑣 = 𝑌 𝑖 ,𝑢 𝑖 ≠0

𝑌 𝑖 𝑢 𝑖


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6

𝑌𝑖 − 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑢 𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑌𝑖 − 𝑌 𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑢 𝑖 𝑦 𝑋𝑖 están correlacionados. Son dependientes.

𝐶𝑜𝑣 = 𝑌 𝑖 ,𝑢 𝑖 = 0

𝑢 𝑖 𝑦 𝑋𝑖 no están correlacionados. Son independientes.

Supuestos detrás de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO):

Son supuestos sobre la forma como se generan los datos, los cuales fijan las propiedades

estadísticas de los estimadores de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO).

Si el objetivo de la econometría sería estimar 𝛽1 y 𝛽2, solamente el método de los MCO sería

suficiente. Pero es necesario saber que cerca está 𝛽 1 de 𝛽1, 𝛽 2 de 𝛽2 y además se 𝑌 𝑖está cerca de

𝐶𝑜𝑣 = 𝑢 𝑖 ,𝑋𝑖 ≠0

𝑢 𝑖

𝑋𝑖

𝑢 𝑖 𝑋𝑖


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7

𝐸(𝑌/𝑋𝑖), para poder hacer inferencia. Por tanto, el modelo clásico de regresión lineal plantea diez

supuesto.

Supuesto 1: El modelo de regresión es lineal en los parámetros.


Supuesto 2: Los valores de X son fijos en muestreo repetido, es decir se suponen no estocásticos.

Valores fijos en muestro repetido hace referencia a que mediante un valor de X se pueden escoger

varios valores diferentes de Y en diferente s muestras.

Supuesto 3: El valor medio de las perturbaciones 𝑢𝑖es igual a cero.

Por un lado los valores negativos y positivos de ui se cancelan de tal manera que el efecto sobre el

promedio es cero; por otro lado las ui son desviaciones con respecto a la media cuya sumatoria es

igual a cero.

Yi = β1+ β2 + ui

Yi = E(Y/Xi) + ui

E Yi = E E(Y/Xi) + ui

E Yi = E E(Y/Xi) + E ui/Xi

E Y/Xi = E(Y/Xi) + E ui/Xi

E ui/Xi = 0

D.P.

f(u)

FRP Xi

-ui

+ui


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8

Supuesto 4: Homocedasticidad3 o igual varianza en las distribuciones de ui.

La homocedasticidad es una característica de las series de tiempo, en donde existen distribuiones varianzas y medias

iguales.

Así como la homocedasticidad es la característica de las series de tiempo, la heterocedasticidad es la característica de la

información de corte transversal.

3 En griego Homo = igual y Cedasticidad = Dispersión

FRP:

D.P.

f(u)

𝜎2 𝜎2

𝜎2

FRP:

f(u)

D.P.

𝜎12

𝜎22

𝜎32


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9

Nota: La varianza de una variable X:

Supuesto 5: No existe autocorrelación entre las distribuciones de ui.

El problema de la autocorrelación está presente en series de tiempo, que en términos generales se

manifiesta de dos maneras:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2Xt + ut 𝑢𝑡 = 𝜌𝑢𝑡−1

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡−1 ,𝑢𝑡 ≠ 0

𝑉𝑎𝑟 𝑋 =1

𝑛 𝑥𝑖

2 =1

𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋𝑖 − 𝐸 𝑋𝑖 2

𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 2 = 𝜎2

𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 2

FRP:

f (u)

D.P.

𝑢𝑡−1 𝑢𝑡

𝑋𝑡


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0

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2Xt + ut 𝑢𝑡 = 𝜌𝑂 + 𝜌1𝑢𝑡−1

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑡−1 ,𝑢𝑡 ≠ 0

Nota:

Cov ui , uj\XiXj

=1

n𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖/𝑋𝑖 𝐸 𝑢𝑗 − 𝐸 𝑢𝑗/𝑋𝑗

Cov X, Y = 1

n 𝑥𝑖𝑦𝑖

=1

n 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑌𝑖 − 𝑌

=1

n𝐸 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑥𝑖 𝐸 𝑦𝑖 − 𝐸 𝑦𝑖

f (u)

D.P.

FRP: 𝑋𝑡−1

𝑋𝑡

𝜌𝑂 𝜌1


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1

Supuesto 6: La varianza entre la distribución ui y Xi es cero. Las dos distribuciones no están

correlacionadas. Si la función de regresión poblacional es 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 y si existiera

correlación entre las perturbaciones de ui, y la variable Xi, la Cov(ui, Xi) ≠ 0, entonces Xi = f (ui). La

influencia de cada una de las dos sobre Yi, no serían independientes y lo que se requiere es que

sean separadas e individuales.

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝐸 𝑋𝑖 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 = 0

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 − 𝐸 𝑋𝑖

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 − 𝑢𝑖𝐸 𝑋𝑖

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖𝐸 𝑋𝑖 La expectativa de ui está condicionada.

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 − 𝐸 𝑢𝑖 𝑋𝑖 𝐸 𝑋𝑖

𝐶𝑜𝑣 𝑢𝑖 ,𝑋𝑖 = 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 = 0 → 𝐸 𝑢𝑖𝑋𝑖 =1

𝑛 𝑢𝑖 𝑋𝑖

Supuesto 7: El número de observaciones n debe ser mayor que el número de variables

explicativas. Este supuesto quiere asegurar los suficientes grados de libertad.

“En la práctica si solo poseemos diez observaciones no debemos hacer una regresión, los grados de

libertad son reducidos, por lo que la hipótesis no pasa y la inferencia poblacional estaría errada.”

n - k = Grados de libertad

En donde, n es el número de observaciones y k es el número de regresores. Así, lo óptimo es:

𝒏 ≥ 𝟑𝟔

El número de observaciones n debe ser mayor que el número de variables explicativas. Este

supuesto quiere asegurar los suficientes grados de libertad.

Supuesto 8: Variabilidad de los valores de X (Los valores de las variables explicativas tiene que

tener diferentes valores).

No todos los valores de X en una muestra dada deben ser iguales. Si todos los valores de X son

idénticos, 𝑋𝑖 = 𝑋 y la varianza sería cero. La varianza de X debe ser un número positivo finito. Por

lo tanto, cuando la varianza es igual a cero no existe distribución.


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2

Supuesto 9: El modelo de regresión está correctamente especificado.

Una investigación econométrica empieza con la especificación de un modelo de base para explicar

el fenómeno de interés. En este proceso surgen dos preguntas esenciales:

Respecto al primer cuestionamiento se debe seguir alguna teoría que explique el fenómeno

económico y aún así, en la práctica el”econometrista” tiene que usar su juicio para escoger

cuantas y cuales variables.

Con relación al segundo cuestionamiento analizamos a la Curva de Phillips.

A) ¿Cuáles son las variables que deben ser incluidas? Las técnicas estadísticas

probabilísticas, la teoría económica usada, solventan a este cuestionamiento.

B) ¿Cuál es la forma funcional del modelo? A nivel nacional aplicar un modelo puede

tener múltiples dificultades, se suelen usar variables proxy.


𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖−1 + 𝑢𝑖 (Hipérbole)

% S

alar

ios

% Desempleo

Haríamos mal en proponer un modelo lineal,

porque solo hay dos puntos en contacto con la

realidad. La hipérbole por el contrario se funde con

la realidad.


Jorge Salgado

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a 2

3

β 2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑥𝑖

2 = 𝑥𝑖𝑌𝑖 𝑥𝑖

2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖

𝑘𝑖 =𝑥𝑖 𝑥𝑖

2

β 2 = 𝑥1

𝑥𝑖2 𝑌1 +

𝑥2

𝑥22 𝑌2 + ⋯+

𝑥𝑛 𝑥𝑖

2 𝑌𝑛

Si proponemos a 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖, una línea recta, apenas coincidirá en dos puntos con las

observaciones y será una mala propuesta.

Si proponemos a 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖−1 + 𝑢𝑖 , entonces es una hipérbole, coincidirá con las

observaciones y será una buena propuesta.

Supuesto 10: No existe multicolinealidad perfecta. Este supuesto está destinado a la regresión

múltiple y se discutirá más adelante.

Nota: Propiedades de ki:

β 2 es un estimador lineal Yi, es decir un

promedio ponderado de Yi en donde ki

son las ponderaciones.

1.- 𝑘𝑖 = 0

𝑘𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖

2 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖

2 = 0

2.- 𝑘𝑖2 =

𝑥𝑖

𝑥𝑖2

2

= 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2

2

𝑥𝑖 𝑥𝑖

2

2

= 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2

2 = 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2

2 =1

𝑥𝑖2

3.- 𝑘𝑖 𝑥𝑖 = 𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1

𝑘𝑖 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖

2 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖

2

𝑥𝑖2 = 1

𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥𝑖

2 𝑋𝑖 = 𝑥𝑖 𝑋𝑖 𝑥𝑖

2 = 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑋𝑖 𝑋𝑖 − 𝑋 2


Jorge Salgado

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a 2

4

En donde 𝜎2 es la varianza homocedástica de las

distribuciones de las perturbaciones ui y que se estima

de la siguiente manera:

Donde n es el número de observaciones y k es el

número de regresores.

𝜎 2 = 𝑢 𝑖

2

𝑛 − 𝑘

𝑋𝑖2 − 𝑋 𝑋𝑖

𝑋𝑖2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑋 2

= 𝑋𝑖

2 − 𝑋 𝑋𝑖 𝑋𝑖

2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑛𝑋 2=

𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋 2

𝑋𝑖2 − 2𝑋 𝑋𝑖 + 𝑛𝑋 2

= 𝑋𝑖

2 − 𝑛𝑋 2

𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋 2

= 1

Nota: Propiedades del operador varianza:

1.-Var(a) = 0 No existe

2.-Var (aXi)=a2Var(X)

3.-Var 𝑎 ± 𝑏𝑋𝑖 = 𝑏2𝑉𝑎𝑟(𝑋)

4.- Var 𝑎 ± 𝑋𝑖 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

Cuando las variables son independientes (no correlacionadas)

5.- Var 𝑋𝑖 ± 𝑌𝑖 ± 𝑍𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑉𝑎𝑟 𝑍

6.- Var 𝑎𝑋𝑖 ± 𝑏𝑌𝑖 ± 𝑐𝑍𝑖 = 𝑎2𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑏2𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑍

Cuando las variables son dependientes (correlacionadas)

7.- Var 𝑋𝑖 ± 𝑌𝑖 ± 𝑍𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑉𝑎𝑟 𝑍 ± 2𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 ± 2𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑍 ± 2𝐶𝑜𝑣 𝑌,𝑍

8.- Var 𝑎𝑋𝑖 ± 𝑏𝑌𝑖 ± 𝑐𝑍𝑖 = 𝑎2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑏2 𝑉𝑎𝑟 𝑌 + 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑍 ± 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌 ± 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑍 ± 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑣 𝑌,𝑍

Varianza y errores estándar estimadores de MCO

Si en nuestro ejemplo hipotético hay 7,54*1010 muestras quiere decir que se puede obtener

7,54*1010 regresiones o líneas rectas 𝛽 1´𝑠 (para hacer cumplir los MCO) y 𝛽 2´𝑠, valores con los

cuales se pueden obtener dos distribuciones normales.

𝑉𝑎𝑟 𝛽 2 =𝜎2

𝑥𝑖2

𝑒𝑒 𝛽 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝛽 2 1/2

𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 = 𝜎2 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2

𝑒𝑒 𝛽 1 = 𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 1/2


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a 2

5

Recordando de esta manera que (n-k) son los grados de libertad, n es el número total de

observaciones y k es el número de restricciones lineales (número de 𝛽 1´𝑠 ) para una muestra(n-2).

Así, los 𝑢 𝑖2 son denominados suma de residuos cuadrados (SRC). Además, la raíz cuadrada de 𝜎 2

es el error estándar de la regresión.

Por otro lado, en una muestra dada 𝛽 1 y 𝛽 2 pueden estar correlacionados entre si:

𝐶𝑜𝑣 𝛽 1 ,𝛽 2 = −𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝛽 2

Varianza de 𝜷 𝟐:

𝛽 2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝛽 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑘𝑖𝑌𝑖 = 𝑘𝑖2 𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 = 𝜎2 𝑘𝑖2 =

1

𝑥𝑖2

Reemplazando:

𝑉𝑎𝑟 𝛽 2 =𝜎2

𝑥𝑖2

Nota:

Considerando a 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝛽 2 = 𝑘𝑖 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝛽 2 = 𝛽1 𝑘𝑖 + 𝛽2 𝑘𝑖 𝑋𝑖 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖 𝑘𝑖 = 0 y 𝑘𝑖 𝑋𝑖=1

𝛽 2 = 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖

𝛽 2 − 𝛽2 = 𝑘𝑖 𝑢𝑖

𝐸 𝛽 2 = 𝐸 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝐸 𝑢𝑖 𝐸 𝑢𝑖 =0

𝐸 𝛽 2 = 𝛽2

Se cumple de esta forma la premisa de que el promedio de las muestras es igual al valor

poblacional.


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a 2

6

Estimados de 𝝈 𝟐:

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽2𝑋𝑖 − 𝛽2𝑋 + 𝑢𝑖 − 𝑢

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝛽2 𝑋𝑖 − 𝑋 + 𝑢𝑖 − 𝑢

𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 − 𝑢 Recordando que 𝑦𝑖 = 𝛽 2𝑥𝑖 + 𝑢 𝑖

𝛽 2𝑥𝑖 + 𝑢 𝑖 = 𝛽2𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 − 𝑢

𝑢 𝑖 = 𝑢𝑖 − 𝑢 + 𝛽2𝑥𝑖 − 𝛽 2𝑥𝑖

𝑢 𝑖 = 𝑢𝑖 − 𝑢 + (𝛽2 − 𝛽 2)𝑥𝑖

𝑢 𝑖2 = 𝑢𝑖 − 𝑢 − (𝛽 2 − 𝛽2)𝑥𝑖

2

𝑢 𝑖2 = 𝑢𝑖 − 𝑢 2 − 2 𝑢𝑖 − 𝑢 𝛽 2 − 𝛽2 𝑥𝑖 + (𝛽 2 − 𝛽2)2𝑥𝑖

2

** 𝑢 𝑖2 = 𝑢𝑖 − 𝑢 2 − 𝛽 2 − 𝛽2 2 𝑢𝑖 − 𝑢 𝑥𝑖 + (𝛽 2 − 𝛽2)2 𝑥𝑖

2

Con los dos primeros términos:

* 𝒖𝒊 − 𝒖 𝟐 = 𝒖𝒊𝟐 − 𝟐𝒖 𝒖𝒊 + 𝒖 𝟐

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑢𝑖2 − 2𝑢 𝑢𝑖 + 𝑛𝑢 2

Teniendo en cuenta:

𝑢 =1

𝑛 𝑢𝑖

𝑢 𝑛 = 𝑢𝑖

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑢𝑖2 − 2𝑛𝑢 2 + 𝑛𝑢 2

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑢𝑖2 − 𝑛𝑢 2

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑢𝑖2 − 𝑛

𝑢𝑖𝑛

2


__ 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋 + 𝑢

Suma de cero

Desviaciones con respecto a la media de las perturbaciones estocásticas.


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a 2

7

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑢𝑖2 −

𝑢𝑖2

𝑛

𝑢𝑖 − 𝑢 2 = 𝑛𝜎2 − 𝜎2 = (𝑛 − 1) 𝜎2

𝝈𝟐 =𝟏

𝒏 𝒖𝒊

𝟐

* −𝟐 𝜷 𝟐 − 𝜷𝟐 𝒙𝒊 𝒖𝒊 − 𝒖

= −2 kiui xi ui − u xi xi = 0

= −2 kixiui2

Remplazando en **

𝑢 𝑖2 = (𝑛 − 1) 𝜎2 − 2 kixiui

2 + (𝛽 2 − 𝛽2)2 𝑥𝑖2

𝐸 𝑢 𝑖2 = 𝐸 (𝑛 − 1) 𝜎2 − 2 kixiui

2 + (𝛽 2 − 𝛽2)2 𝑥𝑖2

𝐸 𝑢 𝑖2 = (𝑛 − 1) 𝜎2 − 2 kixiE(ui

2) + 𝐸(𝛽 2 − 𝛽2)2 𝑥𝑖2

𝐸 𝑢 𝑖2 = 𝑛𝜎2 − 𝜎2 − 2𝜎2 + 𝜎2

𝐸 𝑢 𝑖2 = 𝑛 − 2 𝜎2

Considerando:

𝐸 𝜎 2 = 𝜎2

𝐸 𝑢 𝑖2 = 𝑛 − 2 E σ 2

σ 2 = 𝑢 𝑖

2

n − 2

Covarianza entre 𝜷 𝟏 y 𝜷 𝟐:

𝐶𝑜𝑣 𝛽 1 ,𝛽 2 = 𝐸 𝛽 1 − 𝐸 𝛽 1 𝛽 2 − 𝐸 𝛽 2


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8

𝐶𝑜𝑣 𝛽 1 ,𝛽 2 = 𝐸 𝛽 1 − 𝐸 𝛽 1 𝛽 2 − 𝛽2

𝑌 = 𝛽 1 + 𝛽 2𝑋 → 𝛽 1 = 𝑌 −𝛽 2𝑋

𝐸 𝛽 1 = 𝐸 𝑌 −𝛽 2𝑋 = 𝑌 − 𝑋 𝐸 𝛽 2

𝐸 𝛽 1 = 𝑌 − 𝛽2𝑋

𝐶𝑜𝑣 𝛽 1 ,𝛽 2 = 𝐸 𝑌 − 𝛽 2𝑋 − 𝑌 + 𝛽2𝑋 𝛽 2 − 𝛽2

= 𝐸 −𝑋 𝛽 2 − 𝛽2 2 = −𝑋 𝐸 𝛽 2 − 𝛽2

2= −𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝛽 2)

𝐶𝑜𝑣 𝛽 1 ,𝛽 2 = −𝑋 𝑉𝑎𝑟(𝛽 2)

Propiedades Estadísticas de los MCO: Son aquellas que adquieren los MCO a raíz de los supuestos

del modelo clásico de regresión lineal.

1.- Son lineales con la variable dependiente:

𝛽 2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 𝑘𝑖 =𝑥𝑖

𝑥𝑖2

𝛽 2 =𝑥1

𝑥𝑖2 𝑌1 +

𝑥2

𝑥𝑖2 𝑌2 + ⋯+

𝑥𝑛 𝑥𝑖

2 𝑌𝑛

𝛽 2 es lineal con la variable Y, y además es un promedio ponderado de Y, donde ki son las

ponderaciones.

2.- Son insesgados:

𝛽 2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 = 𝑘𝑖 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

𝛽 2 = 𝛽1 𝑘𝑖 + 𝛽2 𝑘𝑖 𝑋𝑖 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖

𝛽 2 = 𝛽1 𝑘𝑖 + 𝛽2 𝑘𝑖 𝑋𝑖 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖 𝑘𝑖 = 0 𝑘𝑖 𝑋𝑖 = 1

𝛽 2 = 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖

𝐸 𝛽 2 = 𝐸 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝑢𝑖 = 𝐸 𝛽2 + 𝐸 𝑘𝑖 𝑢𝑖 = 𝛽2 + 𝑘𝑖 𝐸 𝑢𝑖 𝐸 𝑢𝑖 = 0

𝑬 𝜷 𝟐 = 𝜷𝟐


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a 2

9

3.- Son eficientes, es decir tienen varianza mínima. Es el teorema de Gauss Markov:

𝛽 2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖 ,donde 𝑘𝑖 =𝑥𝑖

𝑥𝑖2

Definamos un estimador lineal alterno de 𝛽2 y veamos si es insesgado.

𝛽 2∗ = 𝑤𝑖𝑌𝑖

Donde 𝑤𝑖 son también ponderaciones.

𝐸 𝛽2∗ = 𝐸 𝑤𝑖𝑌𝑖 = 𝑤𝑖𝐸 𝑌𝑖

𝐸 𝛽2∗ = 𝑤𝑖𝐸 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

𝐸 𝛽2∗ = 𝑤𝑖𝐸 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖

𝐸 𝛽2∗ = 𝛽1 𝑤𝑖 +𝛽2 𝑤𝑖𝑋𝑖

Para que 𝛽2∗ sea insesgado:

𝑤𝑖 = 0 𝑦 𝑤𝑖𝑋𝑖 = 1

𝑬 𝜷𝟐∗ = 𝜷𝟐

En el caso de la varianza:

𝑉𝑎𝑟 𝑌𝑖 = 𝑉𝑎𝑟 𝑢𝑖 = 𝜎2

𝑉𝑎𝑟 𝛽2∗ = 𝜎2 𝑤𝑖

2

Suponiendo que 𝑤𝑖no son necesariamente iguales a 𝑘𝑖 .

𝑉𝑎𝑟 𝛽2∗ = 𝜎2 𝑤𝑖 − 𝑘𝑖 + 𝑘𝑖

2

𝑉𝑎𝑟 𝛽2∗ = 𝜎2 𝑤𝑖 − 𝑘𝑖 + 𝑘𝑖

2

𝑉𝑎𝑟 𝛽2∗ = 𝜎2 𝑤𝑖 − 𝑘𝑖

2 + 2 𝑤𝑖 − 𝑘𝑖 𝑘𝑖 + 𝑘𝑖2


2 + 2 𝑤𝑖𝑘𝑖 − 𝑘𝑖2 + 𝑘𝑖

2

Tomando al término intermedio:


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a 3

0

2 𝑤𝑖𝑘𝑖 − 𝑘𝑖2

= 2 𝑤𝑖𝑘𝑖 − 𝑘𝑖2

= 2 𝑤𝑖

𝑥𝑖 𝑥𝑖

2 −1

𝑥𝑖2

= 2 1

𝑥𝑖2 −

1

𝑥𝑖2 = 0 ∴


2 + 𝑘𝑖2


2 +𝜎2 𝑘𝑖2


2 +𝜎2

𝑥𝑖2


2 +𝑉𝑎𝑟 𝛽 2

𝑽𝒂𝒓 𝜷𝟐∗ > 𝑉𝑎𝑟 𝜷 𝟐

De esta manera la única manera en que las dos varianzas sean iguales es que 𝑤𝑖 = 𝑘𝑖


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a 3

1

El Coeficiente de Determinación:

Mide la bondad del ajuste, es decir, que tan bien se ajusta “la recta e regresión a los datos, o

también mide el porcentaje de la variación total en Y explicado por el modelo de regresión.

𝑟2 = 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

𝑅2 = 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒

Por un lado;

𝑌𝑖 = 𝑌 𝑖 + 𝑢 𝑖

𝑌𝑖2 = 𝑌 𝑖 + 𝑢 𝑖

2

𝑌𝑖2 = 𝑌 𝑖

2 + 2𝑌 𝑖𝑢 𝑖 + 𝑢 𝑖2


2 + 2𝑌 𝑖𝑢 𝑖 + 𝑢 𝑖2

Por otro lado;

𝑌𝑖 = 𝑌 𝑖 + 𝑢 𝑖

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑌 𝑖 − 𝑌 + 𝑢 𝑖

𝑦𝑖 = 𝑦 𝑖 + 𝑢 𝑖

Recordando



2


2 + 𝑢 𝑖2

𝑆𝑇𝐶∗ = 𝑆𝐸𝐶∗ + 𝑆𝑅𝐶

𝑦𝑖2 = 𝑦 𝑖 + 𝑢 𝑖

2 = 𝑦 𝑖2 + 2𝑦 𝑖𝑢 𝑖 + 𝑢 𝑖

2

𝑆𝑇𝐶 = 𝑆𝐸𝐶 + 𝑆𝑅𝐶


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a 3

2

𝑦 𝑖 = 𝛽 22 𝑥𝑖

2

𝑦𝑖2 = 𝛽 2

2 𝑥𝑖2 + 𝑢 𝑖

2

r2 =SEC

STC= y i

2

yi2 =

Y i − Y 2

Yi − Y 2

𝑆𝑖 𝑆𝑅𝐶 = 0 → 𝑆𝑇𝐶 = 𝑆𝐸𝐶 𝑟2 = 1 ↔ 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑆𝑖 𝑆𝑅𝐶 ≠ 0 → 𝑆𝐸𝐶 < 𝑆𝑇𝐶 𝑟2 < 1 ↔ 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

0 ≤ 𝑟2 ≥ 1

Cabe advertir que el grado de ajuste debe ser multiplicado por cien.

Recordando:

y i2 = β 2

2 xi2 y 𝛽 2 =

𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑢 𝑖

FRM

𝑋


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a 3

3

En donde 𝑘𝑖 ,𝛽1 ,𝛽2 𝑦 𝑋𝑖 son fijas, entonces 𝛽 2, es una

función lineal de ui, que es una variable aleatoria por

hipótesis. Por tanto, se asume que ui sigue un

distribución normal.

𝑟2 = 𝛽 22

𝑥𝑖2

𝑦𝑖2 =

𝑥𝑖𝑦𝑖 2

𝑥𝑖2 𝑦𝑖

2

𝑟2 = 𝛽 22

𝑥𝑖2

𝑦𝑖2 =

𝑥𝑖𝑦𝑖 2

𝑥𝑖2 𝑦𝑖

2

𝑟2 = 𝛽 22

𝑥𝑖2 𝑛

𝑦𝑖2 𝑛

= 𝛽 22𝑉𝑎𝑟 𝑥𝑖

𝑉𝑎𝑟 𝑦𝑖 = 𝛽 2

2 𝑆𝑥2

𝑆𝑦2

De la definición:

r2 =SEC

STC=

STC− SRC

STC= 1 −

𝑆𝑅𝐶

𝑆𝑇𝐶= 1 −

𝑢 𝑖 𝑦𝑖

2

Así mismo, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación (r2) se denomina Coeficiente de

Correlación (r), que mide el grado de asociación entre dos variables.

r = xiyi

xi2 yi

2 =Cov X, Y

Var X Var Y 2

El Coeficiente de Correlación (r) puede ser positivo o negativo dependiendo del signo del

numerador que no es más, que la covarianza entre las dos variables, resulta de este modo entre:

−1 ≤ 𝑟 ≤ 0

MODELO CLÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL

La teoría clásica de la inferencia estadística consta de dos partes, la estimación y la prueba de

hipótesis. La primera se analizó en la sección anterior y la segunda se desarrolla a continuación.

Distribución de probabilidades de las perturbaciones ui:

Recordando que:

𝛽 2 = 𝑘𝑖𝑌𝑖


𝛽 2 = 𝑘𝑖 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖


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a 3

4

Supuesto de Normalidad:

La regresión lineal clásica supone que cada distribución de las perturbaciones ui, están

normalmente distribuidas con:

Media: 𝐸 𝑢𝑖 = 0

Varianza: E [ui – E (ui) ]2 = 𝐸 𝑢𝑖

2 = 𝜎2

Cov (ui, uj): E { [ (ui – E (ui)] [uj – E (uj ) ] } = E (ui, uj ) = 0

Propiedades de los estimadores de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) bajo el supuesto

de normalidad:

1.-Son lineales con la variable Y. 2.-Son insesgados. 3.-Son eficientes es decir tienen varianza mínima. 4.- Son consistentes a medida que el tamaño de la muestra aumenta, los estimadores convergen hacia sus verdaderos valores poblacionales.

5.- 𝛽 1 al ser función lineal de ui está normalmente distribuida con:

Media: 𝐸 𝛽 1 = 𝛽1

𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 : 𝜎𝛽 1

2 = 𝜎2 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑥𝑖2

𝛽 1~𝑁 𝛽1,𝜎𝛽 1

2

Valores que luego del proceso de estandarización dan lugar a la obtención de la distribución normal estándar.

𝑍1 =𝛽 1−𝛽1

𝜎𝛽 1

2

𝑍1~𝑁(0,1)

Nota: 𝑍𝑖 =𝑋𝑖−𝑋

𝑆𝑋

6.- 𝛽 2~𝑁 𝛽2 ,𝜎𝛽 2

2

𝛽 2 al ser una función lineal de ui, está normalmente distribuido con:

Media: 𝐸 𝛽 2 = 𝛽2


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5

𝑉𝑎𝑟 𝛽 2 : 𝜎𝛽 2

2 =𝜎2

𝑥𝑖2

𝛽 2~𝑁 𝛽2,𝜎𝛽 2

2

Estandarización:

𝑍2 =𝛽 2−𝛽2

𝜎𝛽 2

2

𝑍2~𝑁(0,1)

7.- 𝑛 − 2 𝜎 2

𝜎2 sigue una distribución 𝜒2, n-2 grados de libertad.

8.-𝛽 1 y 𝛽 2 se distribuyen de manera independiente a 𝜎 2.

Distribuciones relacionadas con la normal:

Teorema 1: Si Z1, Z2,…, Zn son variables aleatorias que están distribuidas normalmente y de manera independiente, tales que 𝑍𝑖~𝑁(𝑢𝑖 ,𝜎𝑖

2) entonces la suma 𝑍 = 𝑘𝑖𝑍𝑖 , donde 𝑘𝑖 son constantes no todas

nulas, está también normalmente distribuida y tiene una media 𝑘𝑖𝑢𝑖 y una varianza 𝑘𝑖2𝜎𝑖

2.

𝑍~𝑁 𝑘𝑖𝑢𝑖 , 𝑘𝑖2𝜎𝑖

2

Ejemplo: Con la variable peso, los seiscientos alumnos de Economía, los novecientos de Derecho y los quinientos de Ciencias Humanas, se distribuyen:

𝑍𝐸~𝑁 130,10 𝑍𝐷~𝑁 138,14 𝑍𝐶𝐻~𝑁 126,12

𝑍 = 600 + 900 + 500 = 2000

−1 0 +1

𝑓 𝛽 1

𝑓 𝑍1

𝛽 1

𝑓 𝛽 2

𝑓 𝑍2

𝑍1

𝛽 2

𝑍2

−1 0 +1

𝐸 𝛽 1 = 𝛽1 𝐸 𝛽 2 = 𝛽2


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a 3

6

𝑘𝐸 = 0.3 𝑘𝐷 = 0.45 𝑘𝐶𝐻 = 0.25

𝑢 = 0.3 ∗ 130 + 0.45 ∗ 138 + 0.25 ∗ 126 = 132.6

𝜎2 = 0.2 210 + 0.45 214 + 0.25 212 = 3.9

𝑍~𝑁 132.6, 3.9

Teorema 2: Si Z1, Z2,…, Zn están normalmente distribuidas, pero no son independientes la suma

𝑍 = 𝑘𝑖𝑍𝑖 , donde 𝑘𝑖 son constantes y no todas igual cero, también está normalmente distribuida con una

media 𝑘𝑖𝑢𝑖 y una varianza 𝑘𝑖2𝜎𝑖

2 + 𝑘𝑖𝑘𝑗 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑖 ,𝑍𝑗 .

𝑍~𝑁 𝑘𝑖𝑢𝑖 , 𝑘𝑖2𝜎𝑖

2 + 𝑘𝑖𝑘𝑗 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑖 ,𝑍𝑗

Ejemplo: Con la variable peso, los seiscientos alumnos de Economía y los novecientos de Derecho:

𝑍𝐸~𝑁 130,10 𝑍𝐷~𝑁 138,14 𝐶𝑜𝑣 𝑍𝑖 ,𝑍𝑗 = 0.8

𝑍 = 600 + 900 = 1500

𝑘𝐸 = 0.4 𝑘𝐷 = 0.6

𝑢 = 0.4 ∗ 130 + 0.6 ∗ 138 = 134.8

𝜎2 = 0.4 210 + 0.6 214 + 2 0.4 0.6 0.8

𝜎2 = 7.02

𝑍~𝑁 134.8, 7.02 Teorema 3: Si Z1, Z2,…, Zn son variables aleatorias que están distribuidas de manera normal e independiente de tal manera que cada 𝑍𝑖~𝑁 0, 1 , es decir son variables estandarizadas,

entonces 𝑍𝑖2 = 𝑍1

2 + 𝑍22 + ⋯+ 𝑍𝑛

2 sigue una distribución 𝜒2 con n grados de libertad.

Teorema 4: Si Z1, Z2,…, Zn son variables distribuidas independientemente y cada una sigue una distribución 𝜒2 con ki grados de libertas (g de l) entonces la suma 𝑍 = 𝑍1 + 𝑍2 + ⋯+ 𝑍𝑛 también sigue una distribución 𝜒2 con𝑘 = 𝑘𝑖 grados de libertad.


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7

Teorema 5: Si Z1 es una variable normal estandarizada 𝑍1~𝑁 0, 1 y otra variable Z2 sigue la distribución 𝜒2 con k grados de libertad y es independiente de Z1 entonces se define la distribución t de Student.

𝑡 =𝑍1

𝑍2 𝑘 1/2

𝑡 =Variable normal estandarizada

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝜒2 1/2

Teorema 6: Si Z1 y Z2 son variables 𝜒2 independientemente distribuidas con 𝑘1 𝑦 𝑘2 grados de libertad respectivamente.

𝐹 = 𝑍1 𝑘1 1/2

𝑍2 𝑘2 1/2

Donde encontramos a la distribución F con 𝑘1 grados de libertad del numerador y 𝑘2 grados de libertad del denominador, 𝐹𝑘1 ,𝑘2

.

Teorema 7: El cuadrado de la variable t de Student, con k grados de libertad tiene una distribución F con 𝑘1 = 1 grados de libertad del numerador y 𝑘2 = 𝑘 grados de libertad en el denominador.

𝐹1,𝑘 = 𝑡2𝑘

Relación que se aplica solamente a una regresión simple, donde se cuenta con una variable explicativa y k observaciones.

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