APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

91

CAPITULO 3: INTEGRACIÓN LA INTEGRAL DEFINIDA APROXIMACION DE AREAS MEDIANTE RECTÁNGULOS El cálculo de áreas de regiones conocidas tales como triángulos

rectángulos y cuadrados pueden ser fácilmente calculadas, ¿pero qué sucede

con las áreas de regiones irregulares, algunos de cuyos lados son curvas?.

Para calcular áreas de estos tipos existe un método general, que consiste en

aplicar algunos conceptos del cálculo que están íntimamente relacionados

estos son el concepto de Límite, Derivada e Integral Definida.

Nuestro problema es el siguiente:

Estamos interesados en calcular en forma exacta el área comprendida

entre la curva ( ) 2xxfy == (parábola) y el eje x en el intervalo [ ]4,0 , este

problema nos llevará al concepto de Integral Definida.

Para calcular el área dividiremos el intervalo [ ]4,0 , en intervalos cada vez

más pequeños, a medida que aumenta el número de divisiones la suma de las

áreas de los rectángulos es cada vez más próxima el área bajo la parábola

( ) 2xxfy == , esto se puede apreciar en los gráficos siguientes :

A1 A2

Aproximación por defecto, la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área bajo la curva y = x2

Aproximación por exceso, la suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área bajo la curva y = x2

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

92

=2A Aproximación por exceso = ( )1625,12925,6425,2125,05,0 +++++++

5,25515,02 =⋅≈A Unidades cuadradas.

≈1A Aproximación por defecto = ( )25,12925,6425,2125,05,0 ++++++

5,17355,01 =⋅≈A Unidades cuadradas.

A medida que la cantidad de rectángulos aumenta, la suma de las áreas de los rectángulos es cada vez más próxima al área bajo la curva. Para todos debe ser conocida la fórmula del área de un rectángulo, (área = base x altura), en cada una de las figuras anteriores la base de cada rectángulo es una fracción de intervalo [ ]4,0 , de las figuras anteriores podemos observar lo siguiente: a medida que el número de rectángulos aumenta, la base de cada rectángulo tiende a cero (he aquí la noción de límite).

Por otra parte la altura de cada rectángulo es la imagen del algún número ix , dentro del i-ésimo subintervalo, luego se tiene que:

altura )( ixf= (1)

Si 1y +ii xx , son los extremos del i-ésimo intervalo, entonces la base

del i-ésimo rectángulo es. base iii xxx ∆=−= +1 (2)

De acuerdo a (1) y (2), se tiene que el área del i-ésimo rectángulo es: área = base x altura )( ixf= ix∆

xi xi+1

iii xxx −=∆ +1

f(xi)

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

93

La sumatoria de las áreas de todos los rectángulos es aproximadamente igual al área bajo la curva ( )xfy = , esto es:

Área total ∑=

∆≈∆++∆++∆+∆≈n

iixxfxxfxxfxxfxxf innii

1)()()()(1)( 221 ……

Definición (Sumas de Riemann): La expresión iiii xcxn

iixcf ≤≤

=∆ −∑ 1con ,

1)( ,

Se llama Suma de Riemann. Donde f es una función definida en el intervalo [ ]nxx ,0 y

ix∆ es el ancho del i-ésimo subintervalo

Cuando el número de rectángulos n, tiende a infinito se tiene el valor exacto del área bajo la curva ( )xfy = , es decir,

∞→n

lim ∑ ∫

===∆

n

i a

dxxfixxf i

1

b)( totalÁrea )( (3)

La expresión (3) se conoce como la integral definida de la función ( )xf

en el intervalo [ ]ba , , f (x) debe ser una función continua en el intervalo, El valor a se llama límite inferior de integración. El valor b se llama límite superior de integración. ( )ba > El símbolo dx indica la variable respecto a la cual vamos a integrar.

El símbolo ∫ es una letra ese alargada, como una abreviatura de la palabra

suma.

Hallar el área bajo una curva es sólo una de las muchas aplicaciones de la integral definida, también podemos calcular la longitud de un arco, el valor medio de una función, volúmenes, trabajos, probabilidades y áreas de superficies. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (T.F.C.) Si una función f es continua en el intervalo [ ]ba , , entonces:

)()()( aFbFdxxfb

a−=∫

Donde F es cualquier función tal que )()(, xfxF = para todo x en [ ]ba , .

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

94

EJEMPLOS:

1. dxx23

1∫ 3

26

3

1

3

27

3 1

33=−== x

2. =−∫ dxx 122

0( ) +−−∫ dxx 12

21

0( ) xxdxx +−=−∫

22

2112

0

21 xx −+ 2

21

2

2

5=

3. ( ) xx

xdxxx +−=+−∫ 213

2321

0 2

301

2

11

0

1=−+−=

=

=

x

x

4. sen cos2

0xdxx =∫

π

0

2

=

=

x

x π1010 2 =−=−= sensen π

5. x sen2

0∫π

xdx cos−=0

2

=

=

x

x π1100 cos2 cos =+=+−= π

6. xedxxe1

0=∫

0

11eee 01 - - ==

7. dtt

1t4t22

3

1

2 ++∫

Dividiendo por t2

)2ln(42

7

))1ln(41())2ln(44(

t

1-tln4t

dttt

dt4tdt2dt)t

t

4t2(dt

t

1t4t2

21

2

11 11

22

3

1

22 222

+=

++=

+=

=++=++=++

1--2

1-

∫∫ ∫∫∫ 2--

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

95

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene al número a, para todo x del intervalo es:

( ) ( )xfx

adttf

dx

d =

∫

EJEMPLOS:

1. Calcular dx

d∫x t dte0

2

SOLUCIÓN:

La función ( ) 2tetf = es continua en todo IR por el segundo T.F.C., se tiene que:

dx

dtdte

x

∫02 2xe=

2. Utilizar el segundo T.F.C. para hallar ( )xF ,

a) ( ) dttxFx

141∫− += b) ( ) ∫− +−=

xdtttxF

22 )52(

SOLUCION:

a) ( )xF ,dx

d= dttx

11

4∫− +

1)( 4 += ttf es continua en todo IR, por el segundo T.F.C.

( )xF , = 14 +x

b) ( )xF , = ∫− +−x

dtttdx

d

22 )52(

52)( 2 +−= tttf , es continua en todo IR, por el segundo T.F.C.

( )x,

F = 522 +− xx

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

96

TEOREMA: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES PARES E IMPARES. Sea f integrable en el Intervalo Cerrado [ ]aa,− 1. Si f es una función tal que: )()( xfxf −= , f es una función par entonces:

∫ ∫−=

a

a

adxxfdxxf

0)(2)(

2. Si f es una función tal que: ( ) ( )xfxf −=− , f es una función impar

entonces:

∫− =a

adxxf 0)(

EJEMPLOS:

1. ∫−

=1

1

3 0dxx

3)( xxf = es una función impar ya que:

)()()( 33 xfxxxf −=−=−=− ,y además [ ]1 ,1− es simétrico respecto al origen , se tiene que la

integral ∫−

1

1

3dxx es cero.

2. =

+=+=+ ∫∫

−

3

0

33

0

23

3

2 43

2)4(2)4( xx

dxxdxx ( ) 421292 =+

La función 4)( 2 += xxf es par ya

que )()( xfxf −= , luego las función es simétrica respecto al eje Y, y las áreas son iguales A1 = A2.

0

X

Y

A2 A1

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

97

3. 0)64(2

2

35 =+−∫−

dxxxx

La función xxxxf 64)( 35 +−= es impar

y además el intervalo [ ]2 ,2− es simétrico con respecto al cero, luego la integral

dxxxx )64(2

2

35∫

−+− es cero.

4. ∫−4

4 cos

ππ

dxx

Como ( ) xxf cos= es par entonces:

[ ] 22

22sen2 cos2 cos 4/

04

0

4/

4/=⋅=== ∫∫−

ππππ

xdxxdxx

5. ( )∫ ∫ ∫−−−=−==

4

4

4

0

4

00 cos4 cos2cos2 sen2 sen

ππ

π ππxdxxdxx

22

22 −=⋅−=

6. dxx 4 cos14/

0∫ +π

SOLUCION:

Por la identidad 2

2cos1cos

22 uu

+= se obtiene uu 22 cos22cos1 =+

Con xu 2= , obtenemos: xx 22cos 24 cos1 =+

Por lo tanto:

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

98

∫ ∫=+4

0

4

02 2cos 2dx 4 cos1

π πdxxx

∫∫ ==4/

0

4

0 2 cos2 22cos2

ππdxxdxx

Como 02 cos ≥x en el intervalo [ ]4,0 π

∫=4/

0 2 cos2

πdxx

4/

02

2 sen2

π

= x ( )2

201

2

2 =−=

EJERCICIOS: Utilizar el teorema fundamental del Cálculo, para evaluar las integrales siguientes.

dxx 2 cos10∫ −π

∫π0

2 sen dxx

EL AREA BAJO UNA CURVA Si )(xf es una función continua y no negativa en el intervalo bxa ≤≤ ,

y R es la región acotada por el gráfico de f, las rectas verticales ax = y bx = , y el eje x, entonces

EJEMPLOS: 1. Hallar el área de la región acotada por las rectas y = 2x, x – 2 = 0 y el

eje x . La región en cuestión es el triángulo de la figura y su área es claramente 4 unidades cuadradas, podemos verificar este resultado usando una integral definida.

R

y=f(x)

X

Y

a b 0

R

xd)x(fR de Areab

a∫=

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

99

(2, 4)

42Area2

0

22

0=== ∫ xxdx u2

2. Hallar entre la parábola 342 −+−= xxy y el eje x.

Factorizando el polinomio,

)1)(3(342 −−−=−+−= xxxxy

vemos que las intersecciones con el eje x, son los puntos (1, 0) y (3, 0). Observando el siguiente gráfico, podemos plantear una integral definida para calcular el área.

3

4)32()9189()32()34(

313

123

313

12 =−+−−−+−=−+=−+−= ∫ xxxdxxxRArea u2

EJERCICIO 1) Hallar el entre la curva y = 1 – x2 y el eje x. 2) Hallar de la región limitada por las recta y = 2x – 4 y los ejes coordenados. 3) Hallar el limitada por la curva y = x3 + 1, y las rectas x - 1= 0, x - 4 = 0.

0 2 X

Y

R

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

100

El AREA ENTRE DOS CURVAS. Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo bxa ≤≤ , con )()( xgxf ≥ , y si R es la región acotada por los gráficos de f y g y las rectas verticales x = a y x = b, entonces

EJEMPLOS: 1. Hallar el área de la región acotada por:

a) 2 42 +=+−= xyexy entre 1 x 2 =∧−=x

b) 2 3 e xyxy ==

c) 2 e xyxy ==

d) 22 1 e 3 x yxy −=+= entre 1y 2 =−= xx SOLUCION: a) Para visualizar la situación, se debe esbozar la región como se muestra en la figura. Entonces debemos aplicar la fórmula

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfde RArea )()(

a f(x) = -x2 + 4 y g(x) = x + 2.

R

y = f(x)

y = g(x)

a b X

Y

f(x) = -x2 + 4

g(x) = x + 2

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfde RArea )()(

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

101

b) Para hallar el área acotada por las curvas 23 e xyxy == . Debemos dibujar las curvas y resolver sus ecuaciones simultáneamente para hallar los puntos de intersección (0, 0) y (1,1). La región en cuestión está acotada por encima por la curva y = x2 y por debajo por la curva y = x3 y se extiende desde x = 0 a x = 1.

12

1)()( 1

04

413

311

032 =−=−= ∫ xxdxxxArea

c) Para hallar el área acotada por las curvas 2 e xyxy == . Trazamos el gráfico y hallamos los límites de integración, resolviendo las ecuaciones

2 e xyxy == simultáneamente.

3

1)()( 1

03

31

321

02 =−=−= ∫ xxxdxxxArea

[ ]

2

942

3

82

2

1

3

1

223

)2()2(4 12

232

1

2

1

2

2

=

−−−+−−=

=+−−=+−−=+−+− =−=

−−∫∫

x

xx

xxdxxxdxxx

1 0

1

0 1

1

y = x2

xy =

y = x2

y = x3

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

102

EJERCICIOS:

1. a) Usar 5 rectángulos para aproximar el área bajo la curva

y f x x= = +( ) 2 4 , en el intervalo [1,4]]]], evalúese la altura de cada rectángulo en el extremo izquierdo, el extremo derecho y el punto medio de cada subintervalo.

b) Plantear una integral definida para calcular el área bajo la curva y f x x= = +( ) 2 4 , en el intervalo [1,4]]]], comparar los resultados.

c) Usando el punto medio, calcular 1

1

2

xdx∫ , en forma aproximada , con 5

rectángulos. Respuesta. 0,69191 2. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar la antiderivada. Usar la condición adicional para determinar la solución particular.

a) f x x x x' ( ) = − + −4 32 7 6 ; f ( )1 2= . Resp: f x x x x x( ) = − + − +1

5

1

2

7

26

24

55 4 2

b) f x x' ( ) ( )= + 2 7 ; f ( )− =2 1. Resp : f x x( ) ( )= + +1

82 18

3. Graficar la región limitada por las curvas dadas y calcular su área. a) x = 2, x = 4, y = x2 , y = -x. b) x = 0 , x = 3 , y = x2 , y = 12x c) x = 1, x = 2, x2y = 2 , x + y = 4. d) x = y2 , x = 18 - y2 .

e) y x y x= =, 3 . f) y = x2 + 4x +2 , 2x - y + 5 = 0. 4. En los problemas siguientes hallar las áreas de los triángulos formados por los vértices dados . (Sugerencia hallar primero la ecuación de la recta que pasa por uno de los lados del triángulo y luego plantee una integral). a) (0,0), (4,1), (2,4) b) (-2,-1), (2,2), (3,-2).

EXTREMO IZQUIERDO

EXTREMO DERECHO

PUNTO MEDIO

APUNTE DE CÁLCULO

INTEGRACIÓN

103

5. En los ejercicios siguientes calcule el área de la región plana encerrada por las

gráficas de las curvas que se indican:

a) y = 9 – x2, y = 0

b) y2 = x

2 – x

4

c) y = x, y = x3

d) y2 = x, x = 4

e) y2 = x –1, y = x – 3

f) x = 4 – y2, y = 0

g) y = 6x – x2, y = x

2 – 2x

h) y = x5 , y = x

6

i) y = x, y = x

1 , 3x + 4y –14 = 0 (la mayor)

j) x = 1, x = 2, y = 3x, y = x2

k) y = x3- 3x

2 + 2x y el eje de las abscisas, desde el origen hasta el punto de su

última intersección.

l) 27y = 2x3 y la tangente a esta curva en x = 3.

m) x = 3, x2 + y

2 = 25 (el menor de los segmentos determinados por la recta sobre el

círculo).

n) y = x3 y la tangente a la curva en el punto (1, 1).