APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 39

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES

ALGUNOS LIMITES ESPECIALES.

TEOREMA: Si θ se mide en radianes, entonces

1sen0

=

→ θθ

θlim

DEMOSTRACION:

Consideremos la función θ

θθ sen)( =f , donde el ángulo θ está medido

en radianes. Supongamos que 20 πθ << , en la siguiente figura se

muestra un valor típico de θ .

Trazamos el arco IP de una circunferencia unitaria (radio 1), y construimos las perpendiculares PQ y TI. Observando la figura resulta claro que:

Area ∆ IOP < Area sector IOP < Area ∆ IOT (1)

Area ∆ IOP = PQOIPQ 21

21 =⋅ , porque 1=OI (porque el radio es 1).

Area sector IOP = θθ 212

21 =r (θ en radianes y r = 1)

El área de un sector circular de ángulo θ , en radianes es 221 rθ .

Area ∆ IOT= ITOIIT 21

21 =⋅

Y

X

T

P

I Q θ

O

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 40

Por otra parte sabemos que: PQOPPQ

==θsen y ITOIIT

tan ==θ

Por lo tanto en la desigualdad (1) anterior:

Area ∆ IOP < Area sector IOP < Area ∆ IOT

ITPQ 21

21

21 << θ

θθθ tan21

21

21 sen <<

Multiplicando por 2 y dividiendo por θsen > 0, las desigualdades

anteriores, se obtiene:

θθ

θθ

sensen1 tan<<

θθ

θcos

1sen

1 <<

Tomando recíprocos se invierte el sentido de las desigualdades.

(recordar que: si ba

ba 11 entonces ,0 <>> ).

Por lo tanto,

θθ

θcos

1sen1 >>

Tomando límite cuando +→ 0θ , en la expresión anterior

Se obtiene: 1sen10

>>+→ θ

θθlim , porque 1cos

0=

→θ

θlim y 11

0=

→θlim .

Por lo tanto 1sen0

=+→ θ

θθlim (c.q.d)

OBSERVACION: En la demostración hemos considerado θ positivo en

θθθ sen)( =f , si se substituye θ por - θ , tenemos

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 41

)(sen)sen()sen()( θθ

θθ

θθ

θθ ff ==−

−=−

−=− , esto indica que f es una

función par.

Por lo anterior cuando 0→θ , a través de valores negativos, el

resultado debe ser idéntico, es decir :

1sen0

=−→ θ

θθlim

COROLARIO Si θ se mide en radianes, entonces 0cos10

=

−

→ θθ

θlim

DEMOSTRACION Este resultado, se obtiene del teorema anterior, utilizando la identidad

θθ

θθ

θθθ

θθθθ

θθ

cos1sensen

)cos1(sen

)cos1()cos1)(cos1(cos1 2

+⋅=

+=

++−=−

Sabemos que:

1sen0

=→ θ

θθlim y 0

cos1sen

0=

+→ θθ

θlim

Entonces por el álgebra de límites

001cos1

sensencos100

=⋅=+

⋅=−→→ θ

θθ

θθ

θθθlimlim (c.q.d)

EJEMPLOS Calcular los siguientes límites:

1) θ

θθ

)2sen(0→

lim , donde θ está medido en radianes.

SOLUCION

Escribimos )2(

)2sen(2)2sen(θ

θθ

θ = ,

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 42

Por lo tanto )2(

)2sen(2)2(

)2sen(22sen0)2(0)2(0 θ

θθ

θθ

θθθθ →→→

== limlimlim 2=

OBSERVACION:

Utilizamos el hecho que cuando 0→θ , también 0)2( →θ .

2) Hallar el valor de

→ αα

α

sen0

lim , donde α está medido en grados.

SOLUCION: Las funciones )180/sen(y sen oo παα tienen el mismo valor (observa

que para transformar de grados a radianes se multiplica por π y se divide por 180°). Así tenemos que:

( )

⋅=

→→o

olimlim

180

18018000

sensenπα

παπ

αα αα

( )( )

°=

=°

°

→°

° 180sen

180

180

0180

180

ππα

παπ

παlim

1.2 DERIVACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

TEOREMA: Si )sen()( xxf = , entonces )cos()(' xxf = .

DEMOSTRACION: Aplicamos la regla de los tres pasos:

PASO 1: )sen()sen()()( xhxxfhxf −+=−+

PASO 2: h

xhxh

xfhxf )sen()sen()()( −+=−+

h

xhxhx )sen()sen()cos()cos()sen( −+=

= h

xhxhx )sen()cos()sen()sen()cos( −+

h

hxh

hx )1))(cos(sen()sen()cos( −+=

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 43

hhx

hhx )1)(cos()sen()sen()cos( −⋅+⋅=

PASO 3: 1 0

−+⋅=−+=

→→ hhx

hhxlim

hxfhxflimxf

hh

)1)(cos()sen()sen()cos()()()('00

... )cos()(' dqcxxf =∴

NOTA: Si )sen(uy = , donde u es una función derivable de x. Entonces

usando la regla de la cadena, dxduu

dxdyy ⋅== )cos(' .

EJEMPLOS: Hallar la derivada de:

a) )3sen( 2xy =

Solución:

Podemos escribir 23 donde ),sen( xuuy == xdxdu 6 =⇒

Aplicando la regla de la cadena, obtenemos:

)3cos(6

6)3cos()3()3cos(

2

222

xxy'

xxxdxdx

dxdyy'

=∴

⋅=⋅==

b) )324sen( 2 +−= xxy

Solución:

Podemos escribir 324 donde ),sen( 2 +−== xxuuy 28 −=⇒ xdxdu

Aplicando la regla de la cadena, tenemos:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 44

)324cos()28(

)28()324cos(

)324()324cos(

2

2

22

+−−=∴

−⋅+−=

+−⋅+−==⇒

xxxdxdy

xxxdxdy

xxdxdxx

dxdyy'

c) Ejercicio: Calcular dxdy

, si

++= 3

21sen

xxy . Simplificar la respuesta.

TEOREMA: Si )sen()(' entonces ),cos()( xxfxxf −==

DEMOSTRACION: Podemos obtener este resultado por la regla de los tres pasos. Sin embargo, si escribimos

)sen()cos()( 2 xxxf −== π

podemos aplicar la regla de la cadena y llegar al resultado en forma más sencilla. Así, obtenemos:

)1)(cos()sen()(' 22 −−=−= xxdxdxf ππ , porque 1)( 2 −=− x

dxd π .

Por lo tanto,

)sen()cos()(' 2 xxxf −=−−= π .

NOTA: Si )cos(uy = , donde u es una función derivable de x. Entonces

usando la regla de la cadena, dxduu

dxdyy ⋅−== )sen(' .

EJEMPLOS: Hallar la derivada de:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 45

a) )13cos( 2 += xy

Solución: Aplicando la regla de la cadena, tenemos:

)13sen(6

)13()13sen(

2

22

+−=∴

+⋅+−==⇒

xxdxdy

xdxdx

dxdyy'

b) )cos()sen()(

xxxtany ==

Solución: Derivando por la regla del cuociente

)(sec)(cos

1)(cos

)(sen)(cos

)(cos))sen()(sen()cos()cos(

)(cos

)cos()sen()sen()cos(

222

22

2

2

xxx

xxx

xxxxx

xxxxdxdy dx

ddxd

==+

=

−−⋅=

−=

)(sec)(' entonces ),()( Si 2 xxfxtanxf ==∴

NOTA: Si )(utany = , donde u es una función derivable de x. Entonces

usando la regla de la cadena, dxduu

dxdyy ⋅== )(sec' 2 .

c) )4()4( 331 xtanxtany +=

Solución: Usando la regla de la cadena se obtiene:

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 46

[ ] [ ])4(sec4)4(sec)4(sec4

)4(1)4(sec4)4(sec4)4()4(sec4

))4(()4(3)4()4(sec

422

22222

2312

xxxdxdy

xtanxxxtanxdxdy

xtandxdxtan

dxxdx

dxdy

=⋅=

+=⋅+=

⋅+=

d) [ ]4)12( += xtany

Solución:

[ ] )12(sec)12(8)12(sec2)12(4

)12(sec2)12(

2323

2

++=+⋅+=

+=+

xxtanxxtandxdy

lo tantoPor

xxtandxdComo

e) )(cos)(sen 23 xxy ⋅=

Solución: Aplicando la fórmula de la derivada de un producto, se obtiene:

[ ] )(cos)(sen)(cos)(sen 2323 xxdxdx

dxdx

dxdy ⋅+⋅=

[ ] [ ] )(cos)sen()(sen3)cos()cos(2)(sen 223 xxdxdxx

dxdxx

dxdy ⋅+⋅=

[ ] )(cos)cos()(sen3)sen()cos()(sen2 223 xxxxxxdxdy ⋅+−=

)(cos)(sen3)cos()(sen2 324 xxxxdxdy +−= .

NOTA: Se debe recordar que para calcular la derivada de una potencia de una función se usa la fórmula.

[ ] [ ] IN ;)()( 1 ∈= − ndxdfxfnxf

dxd nn .

[ ] )12()12(4 3 +⋅+= xtandxdxtan

dxdy

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS JUAN ESPINOZA B 47

Ejercicio: Calcular la primera derivada de:

a) )3(cos)2(sen2)( 23 xxxf =

b) )2(sec)( 2 xxg =

c) )3(2)(x

tanxF =

d) 5)(cos)2cot()( 2 +−= xecxxh

e) xx

xy3224ln 3 −

−=

f) 253 4 −−−= xxey

g) )(cos)3(sen 232 π−= xxy

h) )43(sec2 3 += xy i) xtany 3ln=

j) xey x 5cos3 22−=

k) )cot(1 xey x−=

l) xxxy

215ln3

2

−−=

m) )2(cos)3(2 xecxtany = n) 2log)2ln()2ln( 2/42 +−+= −xexxy π

o) ( )xxy 2sec2= p) ))ln(ln 4 xy =