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7/26/2019 Apunte 01 Probabilidad y Estadstica Aplicada al Mantenimiento (1).pdf

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ADMINISTRACIN

DELMANTENIMIENTO II

PROBABILIDADES


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ACIN

DEL

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ANTENIMEIN

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NDICE

1. Introduccin

2. Conceptos Bsicos

2.1. Espacio Muestral. Sucesos

2.2. Operaciones con Sucesos

3. Conceptos de Probabilidad, Propiedades

3.1. Definicin Clsica de la Probabilidad

3.2. Diagrama de rbol

3.3. Definicin Axiomtica de la Probabilidad3.4. Propiedades de la Probabilidad

4. Probabilidad Condicionada. Independencia de Sucesos

4.1. Probabilidad Condicionada

4.2. Independencia de Sucesos

5. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes


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1. INTRODUCCIN

La probabilidad refleja las expectativas de que un suceso determinado

FENOMENO DETERMINISTA:Se conoce con certeza el resultado del expe

FENOMENO ALEATORIO:No se puede predecir el resultado final del expe

La probabilidad de un suceso es un nmero comprendido entreincluidos).

2. CONCEPTOS BSICOS

2.1. ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS

Suceso Elemental: Cada uno de los posibles resultados, que descomponer en otros ms simples, de un experimento aleatorio.

Espacio Muestral, E:Conjunto de todos los sucesos elementales.

Suceso:Subconjunto del espacio muestral (E).


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2. CONCEPTOS BSICOS

Suceso Seguro:Es el suceso formado por todos los sucesos elementa

Suceso Imposible, :Es el suceso que no contiene ningn suceso el

2.2. OPERACIONES CON SUCESOS

Para la operacin de sucesos, se aplica la teora de Conjuntos y para operaciones, se utilizar el siguiente diagrama:


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Unin de Sucesos:

Interseccin de Sucesos:

Diferencia de Sucesos:


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EJEMPLO:

Se estn utilizando 7 Mquinas, numeradas del 1 al 7 para un e

a) Definir el espacio muestral E:

Rta. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

b) Sean los sucesos: A = {1, 3, 5}; B = {2, 3, 7}; Realizar el diagram

c) Obtener los suceso A B, AB y A - B


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Sucesos Complementarios

Se debe considerar que el complemento del espacio Muestral EImposible y el complemento de es el Espacio Muestral E.


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Sucesos Incompatibles

Dos Sucesos A y B son incompatibles o Mutuamente Excluyentpueden ocurrir simultneamente, por ejemplo: Ser una MMecnico.

Propiedades de la Unin de Sucesos

Propiedades de la Interseccin de Sucesos.


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Propiedades Conjuntas de la Unin e Interseccin

EJEMPLO:


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3. CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

Se define a unEspacio Muestral Equiprobable, a Todoslos suceque tienen igual probabilidad de ocurrir.

En estas condiciones, se define la probabilidad de un suceso A, co

Ejemplos:

a) Cual es la probabilidad de que al lanzar el dado, el nmero ob

b) Cual es la probabilidad de que al lanzar un dado, el nmemayor que 4.

Solucin:

a) Casos Favorables = 1 Total de Casos Posibles = 6

b) Casos Favorables = 2 Total de Casos Posibles = 6

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Diagrama de rbol

El diagrama de rbol, es un mtodo para obtener los resultadosexperimento, cuando ste se produce unas pocas etapas.

Cada paso del experimento o del proceso, se represenramificacin del rbol.

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EJEMPLO:

El personal de una empresa de Mantenimiento, est formado mujeres, los cuales pueden ser Ingenieros, Mecnicos y especialidades en Equipos de Movimiento de Tierra, Palas o Ca

Tonelaje, en un diagrama de rbol, indique en cuantas pueden estar los trabajadores de esta empresa.

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1. Para poder mejorar el tiempo de entrega de los equipos, el deMantencin, necesita contratar 3 personas a su rea (1 a la vepueden tener el ttulo de: Tcnico Mecnico o Tcnico Elctrico.

a) Realizar el diagrama de rbol hasta llegar a la tercera y ltima cb) Calcular la probabilidad de que el primer contratado sea un Tcnc) Calcular la probabilidad de que exactamente dos contratados t

de Tcnico Mecnico.

d) La probabilidad de que ambas condiciones anteriores se cumque el primer contratado sea Tcnico Mecnico y de los dsolamente uno sea Tcnico Mecnico (Dos sean Tcnico Mprimero es Tcnico Mecnico).

EJERCICIO

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3.3. DEFINICIN AXIOMTICA DE LA PROBABILIDAD

lgebra de Sucesos, : Es el conjunto de todos los Espacio Muestral E.

Axioma de la Probabilidad:

Consideremos una Aplicacin P, del lgebra de sucesos ede los nmeros reales.

AXIOMA 1:A , 0

P(A) AXIOMA 2:

A


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AXIOMA 3:

Sean A1, A2, A3,, An, sucesos mutuamente incompatibleU Aj= , para i j. Entonces se verifica que:

P ( A1U A2U A3U U An ) = P ( A1) + P ( A2) + P ( A3) +

Tres Marcas reconocidas de motores, estn siendo tramtodos experimentales distintos para mejorar su

Despus del tratamiento, el Motor B tiene doble probabilidun mejor rendimiento que el motor A y el motor A probabilidad que el motor C.

Calcular las probabilidades de que cada uno de los motomejor rendimiento.

EJEMPLO

A


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ANTENIMEINTO

SOLUCIN

Si consideramos que los tres motores tienen la misma probab

ganar, es decir, que el espacio muestral E, es equiprobable, ese tiene que:

P(A) = P(B) = P(C) = k, entonces

P(A) + P(B) + P(C) = 3k = P(E) = 1 k = 1/3

Entonces P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

A


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PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1.

A

, se tiene que, P ( AC ) = 1 P ( A )

Ejemplo, Se sabe que la probabilidad de falla de una bombde 0,12 (12%), por lo tanto la probabilidad de que sta bo

no falle es de: 1 0,12 = 0,88 (88%).2. P (

) = 0

Ejemplo, Si lanzamos un dado, la probabilidad de obteneres igual a cero.

Nota = Suceso que nunca ocurrir.

3. Si A B P(A) P(B)

Ejemplo: En el ejemplo anterior (del dado), sea el sucesonmero mayor que 4 y el suceso B la probabilidad de obtemayor que 2; P(A) = (CF / CP) = 2 / 6 = 1/3; la probabilida= CF / CP = 4 / 6 = 2/3, donde se comprueba que P(A) P(B

A


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ANTENIMEINTO


4. P (A B) = P(A) P(A

B)

Ejemplo: En el ejemplo de los dados, sea A el suceso nmero menor que 5 y B el suceso de obtener un nmero p

la propiedad Nro. 4 de la probabilidad.A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 4, 6}

AB = {1, 3}

A B = {2, 4}P(A - B) = 2 / 6 = 1/3

P(A) = 4 / 6 = 2/3

P(A B) = 2 / 6 = 1/3

* P(A)

P(A B) = 2/3 - 1/3 = 1/3 = P(A

B).

A


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ANTENIMEINTO


4. P (A U B) = P(A) + P(B) P(A

B)Ejemplo: En una flota de equipos de produccin, el 4% de problemas o fallas en la transmisin, el 12% en el sistema hidr

presenta fallas en ambos sistemas. Cul es la probabilidad depresente problemas en la transmisin o en el sistema hidrulico?

A = Fallas en la transmisin

B = Fallas en el sistema Hidrulico.

P(A) = 0,04 P(B) = 0,18

P(A B) = 0,0035P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)

P(A U B) = 0,04 + 0,18 0,0035

* P(A U B) = 0,2165 = 21,65 %.

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4.P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) - P(A C) P(B CEjemplo: El rea de confiabilidad de una empresa X, entrega los estudio de fallas de alternadores de 24 V. de una flota de camiones.

Los resultados, demuestran que tres son las causas que provocaalternadores:A: Caja ReguladoraB: Problemas de Montaje.C: Carbones.El 21% de los alternadores estudiados, presentan falla tipo A, el 18%tipo B y el 33% tipo C.

Adems, el 10% de las fallas fue tipo A y B, 13% B y C, 7% A y Calternadores present las 3 fallas.Calcular:a) La probabilidad de que un alternador tenga una de estas fallas.b) La probabilidad de que un alternador falle por A y no por B.c) La probabilidad de que un alternador falle por B y C pero no por A.

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ANTENIMEINT

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P(A) = 0,21 P(B) = 0,18 P(C) = 0,33

P(A B) = 0,1

P(B C) = 0,13

P(A C) = 0,07

P(A B C) = 0,03

La probabilidad de que un alternador tenga una de estas fallas = P(A U

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C)P(A B) - P(A C) P(B C) +

P(A U B U C) = 0,21 + 0,18 + 0,330,1 0,130,07 + 0,03

P(A U B U C) = 0,45(45%)

La probabilidad de que un alternador falle por A y no por B = P(AB)

P(AB) = P(A) - P(A B) = 0,210,1 = 0,11(11%)

La probabilidad de que un alternador falle por B y C pero no por A = P (

P ( (B C) A ) = P(B C) - P(A B C)

P ( (B C) A ) = 0,130,03 = 0,1(10%)

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PROBABILIDAD CONDICIONADA

Independencia de Sucesos

La probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionadeterminado suceso B haya ocurrido, se denota por la sigu

matemtica,P(A / B).Sean dos sucesos A y B que pertenecen a , con P(B) cumple que:

Para el caso de que se tenga que calcular P(B / A), yentonces:

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Ejemplo,Si P(A) = , P(B) = 3/8 y P(AB) = , entonces de que ocurra el suceso B, condicionado a que el suceso Aes:

P(B / A) = (1/4) / (1/2)P(B / A) =

La probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado aB haya ocurrido, es:

P(A / B) = (1/4) / (3/8) = 2/3

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

El suceso A, es independiente del suceso B si y slo si sP(A /B) = P(A), para los casos donde esta igualdad no se decir que el suceso A es dependiente de B.

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INDEPENDENCIA DE SUCESOS

La independencia de sucesos es una propiedad recprosuceso A es independiente del suceso B y al mismo tiemes independiente del A.

Dos sucesos son independientes sii P(A B) = P(A) * P(B Si los sucesos A y B son independientes, se verifica que:

a) Los sucesos A y BC son independientes.

b) Los sucesos AC y B son independientes.

c) Los sucesos AC y BC son independientes. Decimos quensucesos son independientes si se verific

P(A1A2A3 An) = P(A1) * P(A2) * P(A3) * * P(A

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EJEMPLO

Se realizan anlisis de muestras de aceite para verificar la presencia de Slimotores. El 40% de las muestras presentan niveles alterados de Slice o Plomoniveles alterados solamente de Plomo y el 12% de ambos contaminantes.

a) Son independientes los sucesos:Nivelalterado dePlomoy Nivelalterad

b) Calcular la probabilidad de que una muestra tenga niveles alterados de Slialterados de plomo.

c) Calcular la probabilidad de que una muestra tenga Niveles alterados de PSlice.

SOLUCIN

A: Nivel Alterado de Plomo. B: Nivel alterado de Slice.

Datos del problema: P(A U B) = 0,40 P(A) = 0,32 P(AB) = 0,12

a) P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB)

P(B) = P(A U B) + P(AB) - P(A)

P(B) = 0,40 + 0,12 0,32 = 0,20(20%)

P(AB) = 0,12

P(A) * P(B) = 0,32 * 0,40 = 0,128

Como P(A) * P(B) P(AB), entonces los sucesos A y B no son independientes.

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MANTENIMEINT

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b) P(B / A) = P(AB) / P(A)

P(B / A) = 0,12 / 0,32

P(B / A) = 0,0384(3,84%)

c) P(AB) = P(A) P(AB)P(AB)= 0,32 0,12

P(AB)= 0,20(20%)

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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTALSean A1, A2, A3,, An, sucesos que verifican:

AiAj= , para i j.

A1U A2U A3U U An= E

Los sucesos Aipara i = 1, 2, 3, , n son incompatibles dos a dos y exh

Sea un suceso B con P(B) > 0.

Se conocen: P(Ai) y P(B / Ai), para i = 1, 2, 3, , n

En las condiciones anteriores, se puede decir que:

El cual se denomina TEOREMA DE LA PROBABILIDADTOTAL.

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TEOREMA DE BAYESSean A1, A2, A3,, An, sucesos que verifican:

AiAj= , para i j.

A1U A

2U A

3U U A

n= E

Los sucesos Aipara i = 1, 2, 3, , n son incompatibles dos a dos y exh

Sea un suceso B con P(B) > 0.

Se conocen: P(Ai) y P(B / Ai), para i = 1, 2, 3, , n

En las condiciones anteriores, se puede calcular la probabilidad suceso determinado, A

j, condicionado a que el suceso B ya ha ocu

siguiente expresin:

El cual se denomina TEOREMA DEBAYES.

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MANTENIMEINT

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Observacin:

Las probabilidades P(Aj) son consideradas como probabilidadp r o b a b i l i d a d e s d e l a s causas, las probabilidades P(Aj/ B), son lapos t eri ori ,si el suceso B ya ha ocurrido; probabilidad de que sea d

EJEMPLO:

Una empresa que fabrica equipos de movimiento de tierra, tiene tres sAlemania y E.E.U.U.

Un Determinado equipo, se fabrica en un 50% en Japn, 30% en AlemE.E.U.U. Del total de equipos fabricados, son defectuosos el 6% de loen Alemania, el 4% de los que se fabrican en E.E.U.U. y el 2% en Japn

a) Probabilidad de que un equipo sea defectuoso.

b) Si un equipo es defectuoso, cual es la probabilidad de que su fabricaAlemania.

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SOLUCIN


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SOLUCIN

A1 : FabricadoenJapn

A2 : FabricadoenAlemania

A3 : FabricadoenEEUU

B : Son DefectuososDatos del problema:

P(A1) = 0,50 P(A2) = 0,30 P(A3) = 0,20

P(B / A1) = 0,02 P(B / A2) = 0,06 P(B / A3) = 0,04

a) P(B) = P(A1) * P(B / A1) + P(A2) * P(B / A2) + P(A3) * P(B / A3)

P(B) = 0,50 * 0,02 + 0,30 * 0,06 + 0,20 * 0,04P(B) = 0,036(3,6%)

b) P(A3/ B) = {P(A3) * P(B / A3)} / P(B)

P(B) = {0,20 * 0,04} / {0,036}

P(B) = 0,222(22,2%)

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MANTENIMEINT

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Una empresa fabrica bombas hidrulicas y bombas centrfugas; considerando

El 51% del total fabricado son bombas hidrulicas.

El 18% del total fabricado presenta fallas en el proceso de fabricacin.

Del total fabricado, el 10% son bombas hidrulicas y presentan fallas.

Calcular las siguientes probabilidades:

a) Que una bomba presente falla, si es hidrulica.

b) Que una bomba sea centrfuga si tiene falla.c) Que sea una bomba hidrulica si no tiene falla.

Para dar solucin al problema, considerar que:

A = Es Bomba Hidrulica. B = Presenta Falla en el Proceso

EJERCICIO

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