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LOTSE

Musterlösungen zur Klausur zum

Modul 2 im B.Sc.-Studiengang „Psychologie“

Termin: 6. September 2011, 14.00 - 18.00 Uhr

Prüfer:

apl. Prof. Dr. H.-J. Mittag (Block 1)

Dr. H.-G. Sonnenberg / Prof. Dr. K.-H. Renner (Block 2)

Anmerkungen zur Bewertung der Klausur:

Bei der Klausur waren, anders als bei früheren Klausuren, anstelle von maximal 100Rohpunkten insgesamt 101 Rohpunkte erreichbar (RPmax = 101). Die erreichten Roh-punkte werden bei Lotse-Klausuren üblicherweise durch RPmax dividiert, das Ergebnismit 100 multipliziert und auf den nächstkleineren ganzzahligen Wert abgerundet. DasErgebnis sind die Klausurpunkte, auf die sich das Notenschema bezieht. Wenn man z.B. 80, 60 oder 50 Rohpunkte erzielt hat, würden im hier vorliegenden Fall RPmax = 101so 79, 59 resp. 49 Klausurpunkte erreicht.

Bei der Auswertung dieser Klausur wurden die Klausurpunkte aus den Rohpunktenabweichend wie folgt berechnet: Zu den erreichten Rohpunkten wurde ein Bonuspunktaddiert, die Summe wieder durch RPmax = 101 dividiert, das Ergebnis mit 100 multipli-ziert und auf den nächstkleineren ganzzahligen Wert abgerundet. Wenn man bei dieserBerechnungsweise z. B. 80, 60 oder 50 Rohpunkte erzielt hat, würden nun 80, 60 resp.50 Klausurpunkte erreicht. Das Bestehen der Klausur ist so bereits mit 50 Rohpunktengewährleistet.

Musterlösungen zur Klausur vom September 2011 (PSY)

Multiple-Choice-Aufgaben zu Block 1

Aufgabe 1 (Merkmalsklassifikationen; Messen) (5 Punkte)

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x aus 5)

A) Bei einem nominalskalierten Merkmal lassen sich die Merkmalsausprägungen nichtin eine Rangfolge bringen.

B) Operationen, die für metrisch skalierte Daten zulässig sind, sind ebenso für ordi-nalskalierte Daten zulässig.

C) Das Merkmal „Bei einer Landtagswahl gewählte Partei“ ist ein nominalskaliertesMerkmal.

D) Die Reliabilität charakterisiert, inwieweit ein Messinstrument bei wiederholterMessung die gleichen Messwerte liefert.

E) Aus der Reliabilität einer Messung folgt stets auch deren Validität.

Lösung: A, C, D.

Zu A: vgl. Kromrey, Abschnitt 5.4.3, oder Schnell / Hill /Esser, Abschnitt 4.3.1, oderKurs 33209, Tabelle 2.1.

Zu B: Bei metrisch skalierten Merkmalen lassen sich auch Differenzen von Merkmals-ausprägungen bilden, bei ordinalskalierten Merkmalen nicht (vgl. Kromrey, Abschnitt5.4.3, oder Schnell / Hill /Esser, Abschnitt 4.3.1, oder Kurs 33209, Tabelle 2.1).

Zu C: Bei dem genannten Merkmal stellt der Name der gewählten Partei nur eineKategorie dar; eine Rangordnung lässt sich nicht herstellen. Das Merkmal ist daher no-minalskaliert (s. auch Aussage A).

zu D: vgl. Kromrey, Abschnitt 5.7, oder Schnell / Hill / Esser, Abschn. 4.3.2 oderKurs 33209, Abschnitt 2.3.

Zu E: Aus der Validität einer Messung folgt deren Reliabilität – der Umkehrschlussgilt aber nicht (vgl. Kromrey, Ende von Abschnitt 5.7).

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Aufgabe 2 (Univariate Häufigkeitsverteilungen / Kenngrößen) (5 Punkte)

Gegeben sei der folgende Datensatz für ein stetiges Merkmal X:4, 8 6, 4 4, 2 4, 6 4, 8 3, 9 4, 2 7, 6 6, 5.

Welche der folgenden Aussagen, die alle von diesem Datensatz ausgehen, sind richtig?Beachten Sie, dass eine aus mehreren Teilaussagen bestehende Aussage nur dann alsrichtig zu bewerten ist, wenn jede Teilaussage zutrifft. (x aus 5)

A) Der obige Datensatz hat einen eindeutig bestimmten Modalwert.

B) Der Median x des obigen Datensatzes ist kleiner als dessen Mittelwert x.

C) Wenn man bei obigem Datensatz den letzten Wert (6, 5) der Urliste um 1, 2 er-höht, hat dies zur Folge, dass sowohl der Mittelwert x als auch der Median x desDatensatzes größer werden.

D) Mit der in Aufgabenteil C spezifizierten Veränderung des letzten Wertes (6, 5) derUrliste verändert sich die Spannweite des Datensatzes.

E) Wenn man bei dem eingangs aufgeführten Datensatz den letztenWert (6, 5) streicht,werden sowohl der Mittelwert x als auch der Median x des Datensatzes kleiner.

Lösung: B, D, E.

Zu A: Der Datensatz hat zwei Modalwerte, nämlich 4, 2 und 4, 8.

Zu B: Der Median des Datensatzes ist x = 4, 8 (fünfter Wert der nach aufsteigenderGröße geordneten Urliste des Umfangs n = 9), während für den Mittelwert x ≈ 5, 22 gilt.

Zu C: Wenn man den letzten Wert (6, 5) der Urliste um 1, 2 erhöht, vergrößert sich dieSumme der Merkmalswerte und damit auch der Mittelwert. Er beträgt dann x ≈ 5, 36.Der Median bleibt hingegen unverändert.

Zu D: Da sich einer der beiden Extremwerte des Datensatzes (3, 9 und 7, 6), aus de-nen sich die Spannweite errechnet, mit Erhöhung des Wertes 6, 5 auf 7, 7 verändert (dieExtremwerte sind dann durch 3, 9 und 7, 7 gegeben), erhöht sich die Spannweite.

Zu E: Nach Streichung des Wertes 6, 5 hat man einen Datensatz des Umfangs n = 8.Der Median ist dann der Mittelwert aus dem vierten und fünften Wert der geordnetenListe, also x = 1

2(4, 6 + 4, 8) = 4, 7. Auch der Mittelwert wird kleiner; für ihn gilt nach

Streichung von 6, 5 nun x ≈ 5, 06.

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Aufgabe 3 (Randverteilungen, bedingte Wahrscheinlichkeiten) (5 Punkte)

An der FernUniversität gab es im Sommersemester 2011 für einen noch relativ neuenBA-Studiengang insgesamt 128 Neueinschreibungen (Vollzeit- oder Teilzeitstudium). Esentschieden sich 100 Studierende für ein Teilzeitstudium. Ferner waren 48 der neu ein-geschriebenen Studierenden männlich, wobei 12 Männer ein Vollzeitstudium wählten.

Welche der folgenden Aussagen, die sich auf die Einschreibhäufigkeiten für den ge-nannten Studiengang beziehen, sind richtig? (x aus 5)

A) Von den weiblichen Neueinschreibern im Sommersemester hatten sich 20 % für einVollzeitstudium entschieden.

B) Wählt man aus den neu eingeschriebenen 128 Studierenden eine Person zufälligaus, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass diese im Vollzeitmodus studiert, über0, 22.

C) Wählt man aus der Gruppe aller 128 Neueinschreiber des Sommersemesters ei-ne Person zufällig aus, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein im Teilzeitmodusstudierender Mann ausgewählt wird, über 0, 27.

D) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Zufallsauswahl einer Frau die Wahl auf eine Fraufällt, die im Teilzeitmodus studiert, liegt zwischen 0, 79 und 0, 81.

E) Der Anteil der Frauen lag bei den Vollzeitstudierenden höher als bei den Teilzeit-studierenden.

Lösung: A, C, D.

Es ist zweckmäßig die im Text enthaltenen Informationen entweder anhand einesBaumdiagramms zu visualisieren (vgl. in Kurs 33209 z. B. die Abbildung 8.1 oder dieLösung zu Teil a von Aufgabe 10.6) oder aber sie in einer Kontingenztafel mit Rand-verteilungen zusammenzufassen (vgl. in Kurs 33209 die Tabelle 10.2 oder die Lösungzu Teil e von Aufgabe 10.5). Man erhält im letztgenannten Fall folgende Vierfeldertafel,bei der die Vorgaben dieser Aufgabe kursiv gesetzt sind (Codierung: Vollzeitstatus = A,Teilzeitstatus = A, weiblich = B, männlich = B):

weiblich männlich Zeilensummen(B) (B)

Vollzeit (A) 16 12 28

Teilzeit (A) 64 36 100Spaltensummen 80 48 128

Aus der Vierfeldertafel folgt dann:

Zu A: Von den neu eingeschriebenen 80 Frauen hatten sich 16 für ein Vollzeitstudiumentschieden, also 20 %.

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Zu B: Die Wahrscheinlichkeit P (A) dafür, dass von den 128 neu eingeschriebenenStudierenden per Zufallsauswahl eine der 28 Personen gewählt wird, die im Vollzeitmo-dus studieren, beträgt nach der Formel (10.5) aus Kurs 33209 P (B) = 28

128= 0, 21875.

Zu C: Die Wahrscheinlichkeit P (A ∩ B) dafür, dass per Zufallsauswahl einer der36 Männer gewählt wird, die im Teilzeitmodus studieren, beträgt P (A ∩ B) = 36

128=

0, 28125.

Zu D: Die Wahrscheinlichkeit P (A|B) dafür, dass bei Auswahl einer Frau aus derTeilpopulation der 80 neu eingeschriebenen Frauen diese im Teilzeitmodus studiert, be-trägt 64

80= 0, 8.

Zu E: Der Frauenanteil bei den Vollzeitstudierenden beträgt 1628≈ 0, 5714, bei den

Teilzeitstudierenden 64100

= 0, 64.

Aufgabe 4 (diskrete Zufallsvariablen) (5 Punkte)

Es sei eine diskrete Zufallsvariable X mit 10 Ausprägungen gegeben, nämlich denAusprägungen x1 = 0, x2 = 1, . . . , x10 = 9. Alle 10 Ausprägungen besitzen dieselbe Ein-trittswahrscheinlichkeit.


A) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der diskreten Zufallsvariablen X nimmt fürx = 1 den Wert 0, 1 an.

B) Die Verteilungsfunktion F (x) von X nimmt für x = 0 den Wert 0 an.

C) Die Verteilungsfunktion F (x) von X nimmt für x = 1, 5 den Wert 0, 2 an.

D) Für den Erwartungswert µ = E(X) der Zufallsvariablen X gilt µ = 5.

E) Die Varianz V (Y ) der durch Y = 2 ·X definierten Zufallsvariablen Y ist doppeltso groß wie die Varianz von X.

Lösung: A, C – vgl. zu dieser Aufgabe auch den Abschnitt 11.1 in Kurs 33209, ins-besondere die Abbildung 11.1.

Kommentar :

Zu A: Die Zufallsvariable X folgt einer diskreten Gleichverteilung mit p = 0, 1. DieWahrscheinlichkeitsfunktion f(x) ist durch (11.1) und die Verteilungsfunktion durch(11.3) definiert mit p = 0, 1 und k = 10. Wenn man die beiden Funktionen grafischdarstellt, resultiert eine Abbildung analog zu Abbildung 11.1. Die Balken im oberen Teil

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von Abbildung 11.1 setzen nun in den Punkten x1 = 0, x2 = 1, . . . , x10 = 9 an und habenje die Länge 0, 1. Insbesondere gilt also f(1) = 0, 1.

Zu B und C: Entsprechend hat man nun bei der Darstellung der VerteilungsfunktionF (x) – s. unterer Teil der Abbildung 11.1 – Sprünge in x1 = 0, x2 = 1, . . . , x10 = 9,jeweils mit einer Sprunghöhe von 0, 1. Es gilt also insbsondere F (0) = 0, 1, F (1) = 0, 2und es ist auch F (1, 5) = 0, 2. Die Treppenfunktion bleibt nämlich von x = 1 bis zumErreichen von x = 2 auf dem Niveau 0, 2, um hier erneut zu springen, nun auf den WertF (2) = 0, 3.

Zu D: Der Erwartungswert bestimmt sich nach (11.6) zu µ = 110· 45 = 4, 5.

Zu E: Die Varianz von Y ist nach (11.12) viermal so groß wie die von X.

Aufgabe 5 (Korrelationsmessung, lineares Regressionsmodell) (5 Punkte)

In der nachstehende Tabelle sind für zwei Merkmale X und Y Beobachtungsdaten(xi; yi) wiedergegeben (i = 1, 2, ..., 5).

i xi yi1 2,7 2,52 3,1 4,53 2,0 1,54 3,8 4,55 3,4 3,0

Aus diesen Daten errechnet man x = 3, 0 sowie y = 3, 2. Für die empirischen Varianzens2x und s2y erhält man die Werte s2x = 0, 38 resp. s2y = 1, 36 und für die empirischeKovarianz sxy = 0, 60. Diese fünf Werte können hier ungeprüft übernommen werden.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Bei den Aussagen B, D und E geht esum die Beurteilung des Wahrheitsgehalts des jeweils letzten Satzes. (x aus 5)

A) Für den obigen Datensatz errechnet man für den Korrelationskoeffizienten r nachBravais-Pearson einen Wert zwischen 0, 80 und 0, 82.

B) Wenn man das lineare Regressionsmodell yi = α + βxi + ui für obigen Datensatz(xi; yi) heranzieht (i = 1, 2, ..., 5), kann man die Regressionskoeffizienten nach derMethode der kleinsten Quadrate schätzen. Erhielte man dabei für β z. B. einenSchätzwert β = 1, 9 (fiktiver Wert), beinhaltete dieses Ergebnis, dass bei einerErhöhung von X um eine Einheit mit einen Anstieg des Wertes für das MerkmalY um 1, 9 Einheiten zu rechnen wäre.

C) Wenn man für den oben aufgeführten Datensatz tatsächlich die Kleinst-Quadrat-Schätzung β berechnet, resultiert ein Wert, der zwischen 1, 55 und 1, 65 liegt.

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D) Zur Beurteilung der Anpassungsgüte der nach der Kleinst-Quadrat-Methode er-mittelten Regressionsgeraden verwendet man das Bestimmtheitsmaß R2. Im FalleR2 = 0 kann gefolgert werden, dass zwischen X und Y weder ein linearer noch einnicht-linearer Zusammenhang besteht.

E) Es seien wieder fünf Datenpaare (x1; y1), ..., (x5; y5) gegeben. Dabei stamme (x1; y1) =(2, 7; 2, 5) aus der vorstehenden Tabelle stammt, während (x2; y2), ..., (x5; y5) an-dere, hier nicht wiedergegebene Datenpaare seien. Auf der Basis dieser fünf Da-tenpaare seien für die Koeffizienten α und β des linearen Regressionsmodells nachder Methode der kleinsten Quadrate die Schätzungen β = 0, 80 und α = 0, 15bestimmt worden. Für das Residuum u1 = y1 − y1 errechnet sich dann ein Wert,der kleiner als 0, 18 ist.

Lösung: B, C – vgl. auch Aufgabe 16.2 in Kurs 33209.

Zu A:

r =sxysx · sy

=0, 6√

0, 38 ·√

1, 36=

0, 6√0, 5168

≈ 0, 835.

Zu C: Es gilt nach (16.6)

β =sxys2x

=0, 6

0, 38≈ 1, 58.

Zu D: Der Fall R2 = 0 schließt nicht aus, dass zwischen X und Y ein nicht-linearerZusammenhang vorliegt.

Zu E:

u1 = y1 − y1 = y1 − (α + β · x1) = 2, 5− (0, 15 + 0, 8 · 2, 7) = 0, 19.

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Aufgabe 6 (Gauß-Test, Fehler beim Testen, Gütefunktion) (5 Punkte)

Es seien n unabhängige Beobachtungen für ein normalverteiltes Merkmal gegeben(Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert µ und bekannter Varianz σ2). Ge-testet werden soll

H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0

und zwar zum Signifikanzniveau α = 0, 05 (Gauß-Test). Als Prüfstatistik kann derStichprobenmittelwert X verwendet werden, der ebenfalls normalverteilt ist (mit glei-chem Erwartungswert und kleinerer Varianz σ2

X= σ2

n), oder aber die nach Standardisie-

rung resultierende Prüfgröße

Z =X − µ0

σX=X − µ0

σ·√n.

Verwendet man die Prüfstatistik X, so lässt sich deren Verteilung im Falle µ = µ0, alsowenn H0 gerade noch zutrifft, durch eine Dichtefunktion charakterisieren, die in µ = µ0

ihr Zentrum hat (linke Dichtekurve in der nachstehenden Grafik). Die Nullhypothesewird verworfen, wenn die Prüfgröße einen kritischen Wert überschreitet. Dieser Wertwird so bestimmt, dass er im Falle µ = µ0 nur mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitα überschritten wird.

Die obige Grafik zeigt noch eine zweite Dichtekurve für X, die sich auf den Fall be-zieht, dass H1 zutrifft, der Erwartungswert µ also einen Wert µ = µ1 besitzt, der größerals µ0 ist. Unterhalb dieser zweiten Dichtekurve ist ebenfalls ein Flächenanteil markiert.Dieser veranschaulicht für den in der Grafik gewählten Wert µ1 die Wahrscheinlichkeitdes Eintritts eines Fehlers 2. Art.


A) Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese zu verwerfen, wenn µ < µ0 gilt,ist kleiner als 0, 05.

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B) Ein Fehler 2. Art kann nur eintreten, wennH1 gilt, also nur für Werte µmit µ > µ0.

C) Die Wahrscheinlichkeit dafür, die Nullhypothese zu verwerfen, wenn µ = µ1 gilt(s. Grafik), ist identisch mit dem Wert der Gütefunktion des Tests an der Stelleµ = µ1.

D) Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art wird bei dem eingangsbeschriebenen Test immer größer, je stärker der in der Grafik eingezeichnete Wertµ = µ1 den Wert µ0 überschreitet.

E) Wenn man den eingangs beschriebenen Test unter Verwendung der standardisier-ten Prüfvariablen Z durchführt, ist der kritische Wert durch das 0, 95-Quantil derStandardnormalverteilung gegeben.

Lösung: A, B, C, E.

Zu A: Wenn µ < µ0 gilt, die oben dargestellte linke Kurve also weiter links liegt, wirdder markierte Flächenanteil rechts vom kritischen Wert (dieser repräsentiert die Wahr-scheinlichkeit der Verwerfung von H0) kleiner. Dass Aussage A zutreffend ist, erkenntman auch mit Abbildung 15.4 in Kurs 33209 – die Werte der dort dargestellten Güte-funktionen G(µ) unterschreiten für µ < µ0 den Wert α.

Zu B: vgl. Tabelle 15.1 in Kurs 33209.

Zu C: Die Gütefunktion G(µ) bezeichnet nach (15.11) die Wahrscheinlichkeit derVerwerfung von H0, unabhängig davon, ob H0 zutrifft oder nicht zutrifft.

Zu D: Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art nimmt ab, je weiterµ den Wert µ0 überschreitet. Man erkennt dies anhand des unteren Teils von Abbildung15.3 aus Kurs 33209.

Zu E: Vgl. (15.6) in Kurs 33209 oder auch Abbildung 12.4, die sich allerdings auf denzweiseitigen Fall bezieht.

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Numerische Aufgaben zu Block 1

Aufgabe 41 (Rangkorrelationskoeffizient) (3 Punkte)

Zwei Banken beurteilen unabhängig voneinander Anträge auf Gewährung eines Kre-dits, die von vier Existenzgründern eingereicht wurden. Basis für die Beurteilung desmit der Vergabe eines Kredits verbundenen Risikos sind jeweils die hauseigenen Bewer-tungsrichtlinien und die vorgelegten Businesspläne der Antragsteller.

Bei beiden Banken wird die Risikobewertung anhand einer 10-stufigen Ratingskalavorgenommen, wobei die Punktzahl 10 die beste Bewertung repräsentiert. Die Ergebnis-se der Bewertungen sind nachstehend ausgewiesen.

Bank A Bank BKreditantrag i Bewertung xi Bewertung yi

1 4 52 7 93 9 84 8 6

Untersuchen Sie anhand des Rangkorrelationskoeffizienten rSP von Spearman, ob zwi-schen den Bewertungen der beiden Banken ein Zusammenhang besteht. Tragen Sie IhrErgebnis auf zwei Stellen nach dem Dezimalkomma genau rechtsbündig in das Antwort-feld ein. Verwenden Sie für das Dezimalkomma ein eigenes Feld. Übertragen Sie IhrErgebnis rechtzeitig vor Ende der Klausur auf den Markierungsbogen.

(numerisch) rSP =

Lösung: 0, 4 (vgl. zu dieser Aufgabe auch Beispiel 9.4 in Kurs 33209)

Herleitung:

Wenn man den Beurteilungen von Bank A und Bank B jeweils Ränge rg(xi) bzw.rg(yi) zuordnet und auch die Rangdifferenzen di = rg(xi)− rg(yi) ausweist, erhält mandie folgende erweiterte Tabelle:

Bank A Bank BUnternehmen i Bewertung xi rg(xi) Bewertung yi rg(yi) di

1 4 4 5 4 02 7 3 9 1 23 9 1 8 2 -14 8 2 6 3 -1

Bei der Zusammenhangsmessung anhand des Rangkorrelationskoeffizienten rSP von

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Spearman kann anstelle von (9.14) aus Kurs 33209 die vereinfachte Formel (9.16) ange-wendet werden, weil die Bewertung sowohl bei Bank A als auch bei Bank B nicht mitder Mehrfachbelegung eines Rangplatzes verbunden ist. Mit (9.16) resultiert

rSP = 1− 6 · [02 + 22 + (−1)2 + (−1)2]

4 · (16− 1)= 1− 0, 6 = 0, 4.

Zu diesem Ergebnis kommt man natürlich auch – allerdings deutlich umständlicher –bei Anwendung der Formel (9.14).

Aufgabe 42 (Gewinnwahrscheinlichkeiten bei Ziehung von Losen) (3 Punkte)

Aus einer Lostrommel mit 100 Losen, von denen 5 mit einem Gewinn verbunden sind,werden nacheinander 10 Lose mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrschein-lichkeit dafür, nach den 10 Ziehungen höchstens einen Gewinn gezogen zu haben.

Tragen Sie Ihr Ergebnis rechtsbündig und auf vier Nachkommastellen genau in dasAntwortfeld ein, also z. B. 0, 7748 (nicht aber 77, 48 %). Das Dezimalkomma belegtein eigenes Feld. Übertragen Sie Ihr Ergebnis rechtzeitig vor Ende der Klausur auf denMarkierungsbogen.

(numerisch)

Lösung: 0, 9139.

Herleitung:

Das Merkmal „Anzahl X der gezogenen Gewinne“ ist binomialverteilt mit n = 10und p = 0, 05. Die Wahrscheinlichkeit dafür, höchstens einen Gewinn zu ziehen (alsokeinen oder einen Gewinn), ist durch den Wert F (1) der Verteilungsfunktion F (x) derBinomialverteilung mit n = 10 und p = 0, 05 gegeben, nach Tabelle 19.1 also durch0, 9139. In der Klausur stand Tabelle 19.1 aber nur bis n = 8 zur Verfügung. DerFunktionswert F (1) für die Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0, 05 ließ sich aber,sofern man nicht den in der Klausur zugelassenen Taschenrechner einsetzte, leicht unterRückgriff auf (11.23) bestimmen:

F (1) =

(10

0

)· 0, 050 · 0, 9510 +

(10

1

)· 0, 051 · 0, 959 = 0, 9510 + 0, 5 · 0, 959 ≈ 0, 9139.

Anmerkung:

Anstelle von 0, 9139 wurde bei der maschinellen Auswertung jeder Wert aus dem In-tervall [0, 904; 0, 924] als richtig anerkannt.

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Aufgabe 43 (Vorstandswahl mit Möglichkeit der Stimmenhäufung) (3 Punkte)

Bei einem größeren Konzern sollen nach Ausscheiden von zwei Vorstandsmitgliedernzwei Personen in den Vorstand nachrücken. Zur Auswahl stehen vier Kandidaten, näm-lich Frau B, Herr D, Herr F und Herr S. Die Mitglieder des Auswahlgremiums setzen beieiner geheimen Wahl auf dem Wahlzettel 2 Kreuze, wobei zwei verschiedene Bewerber jeeinmal oder ein Bewerber zweimal angekreuzt werden kann (Möglichkeit der Stimmen-häufung).

Wieviele Möglichkeiten der Auswahl von 2 Bewerbern gibt es? Beachten Sie: Zwischenden Wahlausgängen (Kandidat x; Kandidat y) und (Kandidat y; Kandidat x) muss hiernicht unterschieden werden – sie führen ja zur selben Zusammensetzung des neuen Vor-stands.

Tragen Sie Ihr Ergebnis, also eine positive ganze Zahl, rechtsbündig in das Antwortfeldein. Übertragen Sie Ihr Ergebnis rechtzeitig vor Ende der Klausur auf den Markierungs-bogen.

(numerisch)

Lösung: 6 – anerkannt wurde aber auch der Wert 10 (s. Anmerkung).

Herleitung:

Wenn zwei Personen in den Vorstand nachrücken sollen, gibt es hierfür nach (10.9)mit N = 4 und n = 2 genau 6 Möglichkeiten:(

4

2

)=

4!

2! · 2!= 6.

Die 6 Elemente der Ergebnismenge Ω lassen sich explizit aufführen:

Ω = (B,D), (B,F ), (B, S), (D,F ), (D,S), (F, S) .

Die Aufgabe konnte aber unter Umständen so interpretiert werden, dass durch Stim-menhäufung am Ende nur eine Person nachrückt. In der Sprache des Urnenmodells wäredies der Fall der Ziehung einer Stichprobe des Umfangs n = 2 aus einer Urne mit N = 4Kugeln (Ziehen mit Zurücklegen – weil Stimmenhäufung nicht ausgeschlossen ist) undohne Berücksichtigung der Anordnung. Hier hätte man nach (10.10) insgesamt 10 Mög-lichkeiten: (

4 + 2− 1

2

)=

(5

2

)=

5!

3! · 2!= 10.

Die Ereignismenge sähe dann so aus:

Ω = (B,B), (B,D), (B,F ), (B, S), (D,D), (D,F ), (D,S), (F, F ), (F, S), (F, F ) .

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Aufgabe 44 (Schwellenwertbestimmung bei einer Normalverteilung) (3 Punkte)

Es sei eine Zufallsvariable X betrachtet, die normalverteilt ist mit Erwartungswertµ = 1 und Varianz σ2 = 0, 25. Bestimmen Sie einen Wert a, für den P (X > a) = 0, 8gilt, also einen Wert a, der mit Wahrscheinlichkeit 0, 8 überschritten wird.

Geben Sie das Ergebnis auf vier Stellen nach dem Dezimalkomma genau an. Verwen-den Sie für das Dezimalkomma ein eigenes Feld. Falls Sie also z. B. 1, 935 errechnen,tragen Sie in die letzten sechs Felder 1, 9350 ein. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort recht-zeitig vor dem Ende der Klausur auf den Markierungsbogen zu übertragen.

(numerisch) a =

Lösung: 0, 5792.

Herleitung:

Gesucht ist ein Wert a, für den P (X > a) = 0, 8 und damit P (X ≤ a) = 0, 2 gilt.Dies ist offenbar das 0, 2-Quantil x0,2 der Normalverteilung mit Erwartungswert µ = 1und Varianz σ2 = 0, 25 = 0, 52. Für dieses gilt nach Formel (12.26)

x0,2 = 1 + z0,2 · 0, 5.

Nach (12.25) gilt z0,2 = −z0,8. Man hat daher mit Tabelle 19.3 aus Kurs 33209

x0,2 = 1− z0,8 · 0, 5 = 1− 0, 8416 · 0, 5 = 1− 0, 4208 = 0, 5792.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Realisation von X den Wert 0, 5792 über-schreitet, beträgt also 0, 8. Der in Tabelle 19.3 tabellierte Wert z0,8 = 0, 8416 lässt sichübrigens, allerdings mit geringerer Genauigkeit, auch aus Tabelle 19.2 erschließen.

Anmerkungen:

Anstelle von 0, 5792 wurde bei der maschinellen Auswertung jeder Wert aus dem In-tervall [0, 572; 0, 585] als richtig anerkannt.

Wenn anstelle des 0, 2-Quantils x0,2 = 0, 5792 das 0, 8-Quantil x0,8 = 1, 4208 alsErgebnis eingetragen wurde, gab es 1 Punkt. Letzteres galt auch für jeden Wert ausdem Intervall [1, 41; 1, 43].

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Aufgabe 45 (Wahrscheinlichkeiten bei Normalverteilung) (3 Punkte)

Es sei angenommen, dass ein Merkmal X normalverteilt sei und zwar mit Erwar-tungswert µ = 500 und einer Standardabweichung von σ = 100. Wie groß ist dann dieWahrscheinlichkeit P = P (400 ≤ X ≤ 500) dafür, dass eine Ausprägung des Merkmalsden Wert 400 nicht unter- und den Wert 500 nicht überschreitet, also in das Intervall[400; 500] fällt?

Geben Sie das Ergebnis auf vier Stellen nach dem Dezimalkomma genau an. Verwen-den Sie für das Dezimalkomma wieder ein eigenes Feld.

(numerisch) P =

Lösung: 0, 3413

Herleitung: Die Berechnung ist analog zur Lösung von Aufgabe 12.2a in Kurs 33209. Manerhält mit (12.23) und (12.20) für die N(500; 1002)-verteilte Zufallsvariable X zunächst

P = Φ

(500− 500

100

)− Φ

(400− 500

100

)= Φ(0)− Φ(−1) = Φ(0)− [1− Φ(1)]

und daraus mit Tabelle 19.2

P = 0, 5− [1− 0, 8413] = 0, 5− 0, 1587 = 0, 3413.

Anmerkung:

Anstelle von 0, 3413 wurde bei der maschinellen Auswertung jeder Wert aus demIntervall [0, 338; 0, 345] als richtig anerkannt.

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Aufgabe 46 (Bestimmung des kritischen Werts bei einem Test) (3 Punkte)

Es seien n = 30 unabhängige Beobachtungen für ein normalverteiltes Merkmal gege-ben (Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert µ). Die Varianz σ2 bzw. dieStandardabweichung σ werde nicht als bekannt vorausgesetzt. Vielmehr liege Informati-on über σ nur in Form einer Schätzung σ = S∗ vor. Getestet werden soll

H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0

zum Signifikanzniveau α = 0, 05. Als Prüfstatistik wird man dann die Prüfgröße

T =X − µ0

σ·√n =

X − µ0

S∗ ·√n

für den Test heranziehen und die Nullhypothese verwerfen, wenn der aus den Datenerrechnete Wert der Prüfgröße einen bestimmten kritischen Wert überschreitet. Bestim-men Sie diesen kritischen Wert.

Tragen Sie Ihr Ergebnis auf drei Stellen nach dem Dezimalkomma genau rechtsbün-dig in das Antwortfeld ein. Verwenden Sie für das Dezimalkomma ein eigenes Feld.Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort rechtzeitig vor dem Ende der Klausur auf den Mar-kierungsbogen zu übertragen.

(numerisch)

Lösung: 1, 699.

Herleitung:

Die Ablehnung der Nullhypothese erfolgt nach Formel (15.17) aus Kurs 33209, wenndie mit n−1 = 29 Freiheitsgraden t-verteilte Prüfstatistik T den Wert t29;0,95 überschrei-tet. Letzterer hat nach Tabelle 19.5 in Kurs 33209 den Wert 1, 699.

Anmerkung:

Bei der maschinellen Auswertung wurde anstelle von 1, 699 auch jeder Wert aus demIntervall [1, 68; 1, 72] als richtig anerkannt.

15


Aufgabe 47 (lineares Regressionsmodell / KQ-Schätzung) (3 Punkte)

Für zwei Merkmale X und Y liegen Daten (xi; yi) aus 6 Beobachtungsperioden vor(i = 1, 2, ..., 6). Aus den Daten wurde x = 14 und y = 2, 5 errechnet sowie

6∑i=1

(xi − x)2 = 40;6∑i=1

(yi − y)2 = 1, 28;6∑i=1

(xi − x)(yi − y) = −6, 8.

Wenn man für die Beobachtungspaare (xi; yi) unterstellt, dass zwischen xi und yiein linearer Zusammenhang besteht, kann man diesen durch das Regressionsmodellyi = α + βxi + ui beschreiben und mit den obigen Informationen die Regressionskoeffi-zienten nach der Methode der kleinsten Quadrate schätzen, also eine Regressionsgeradey = α + βx bestimmen.

Berechnen Sie den Wert α, also den Schnittpunkt der Regressionsgeraden mit der y-Achse. Tragen Sie Ihr Ergebnis auf drei Stellen nach dem Dezimalkomma genau rechts-bündig in das Antwortfeld ein. Verwenden Sie für das Dezimalkomma ein eigenesFeld. Vergessen Sie nicht, Ihre Antwort rechtzeitig vor dem Ende der Klausur auf denMarkierungsbogen zu übertragen.

(numerisch) α =

Lösung: 4, 88

Herleitung:

Für die KQ-Schätzung β der Steigung der Regressionsgeraden gilt nach (16.6)

β =sxys2x

=

∑6i=1 (xi − x)(yi − y)∑6

i=1 (xi − x)2=−6, 8

40= −0, 17.

Mit x = 14 und y = 2, 5 folgt dann mit (16.7) für α:

α = y − β · x = 2, 5− (−0, 17) · 14 = 2, 5 + 2, 38 = 4, 88.

Anmerkung:

Anstelle von 4, 88 wurde bei der maschinellen Auswertung jeder Wert aus dem Inter-vall [4, 82; 4, 95] als richtig anerkannt.

Wenn anstelle von 2, 5 − (−0, 17) · 14 = 4, 88 versehentlich 2, 5 − 0, 17 · 14 = 0, 12gerechnet wurde, gab es 1 Punkt. Letzteres galt auch für jeden Wert aus dem Intervall[0, 119; 1, 121].

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Musterlöungen zur Klausur vom September 2011 (PSY)

Multiple-Choice-Aufgaben zu Block 2

Aufgabe 7 (Regressionsanalyse) (5 Punkte)

Die Arbeitsgruppe Hochschulforschung an der Universität Konstanz berichtet in denErgebnissen des 11. Studierendensurveys u.a. mit folgender Graphik über die Strukturund die Leistungsanforderungen in verschiedenen Studiengängen (Quelle http://www.

mft-online.de/dokumente2011/MedizinberichtGesamt.pdf):

Abb. 1: Mittelwerte verschiedener Fächer nach Studierendensurvey 1983 - 2010, AG Hoch-

schulforschung, Universität Konstanz.(Skala von 0 = überhaupt nicht bis 6 = sehr

stark)

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http://www.mft-online.de/dokumente2011/MedizinberichtGesamt.pdf

http://www.mft-online.de/dokumente2011/MedizinberichtGesamt.pdf


Welche der folgenden Aussagen zur obigen Abbildung sind richtig ?(x aus 5)

A) Bei der graschen Darstellung handelt es sich um ein Streudiagramm.

B) Die Studierenden der Fächer Erziehungswissenschaft und Soziologie haben im Mit-tel die geringsten Leistungsanforderungen.

C) Die Daten wurden für die Darstellung zentriert.

D) Eine Berechnung des Anstiegs einer Regressionsgerade nach der KQ-Methode fürdie Vorhersage der Leistungsanforderungen aus dem Ausmaÿ der Gliederung desStudienaufbaus ergäbe ein negatives Vorzeichen.

E) Die Leistungen der Studierenden stehen in einem kausalen Zusammenhang mit derguten Gliederung des Studienaufbaus.

Lösung: A, B.

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Aufgabe 8 (Varianzanalyse) (5 Punkte)

Der Kruskal-Wallis-Test wurde Ihnen unter dem Begri Rangvarianzanalyse vorgestellt.Welche der folgenden Ausagen sind richtig in Bezug auf dieses Verfahren?(x aus 5)

A) Der Test der Hypothese baut auf dem Vergleich der Rangsummen der Gruppenauf.

B) Die Nullhypothese in der Rangvarianzanalyse lautet: Mindestens zwei Stichprobenstammen aus unterschiedlichen Populationen.

C) Zur Berechnung der Prüfgröÿe werden die Orginalwerte yij durch RängeRij ersetzt.

D) Wenn gleiche Responsewerte auftreten, werden ihnen mittlere Ränge zugewiesen.

E) Bei Rangbindung wird statt der Teststatistk H die Teststatistik F verwendet.

Lösung: A, C, D.


In einer Untersuchung wird der Frage nachgegangen, ob Rauchen einen Einuss auf dieAggressivität der Versuchspersonen hat. Unterschieden wird hierbei zwischen den vierGruppen: Nicht-Raucher, Gelegenheitsraucher, schwacher Raucher und starker Raucher.


A) Bei diesem Forschungsdesign handelt es sich um eine einfaktorielle Varianzanalyse.

B) Die Alternativhypothese besagt, dass zwischen mindestens zwei Mittelwerten derGruppen ein Unterschied besteht.

C) Bei diesem Forschungsdesign ist u.U. der Einsatz linearer Kontraste angezeigt, umeinzelne Mittelwerte vergleichen zu können.

D) Aggressivität ist in dieser Untersuchung die unabhängige Variable.

E) Bei diesem Forschungsdesign wird eine mögliche Wechselwirkung zwischen zweiEinussgröÿen berücksichtigt.

Lösung: A, B, C.

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Aufgabe 10 (SPSS) (5 Punkte)

Die folgende Abbildung zeigt ein Auswahlmenü des Programms SPSS.

Abb. 2: Auswahl der Variablen

Welche der folgenden Aussagen sind richtig in Bezug auf die obige Abbildung? (x aus 5)

Der Screenshot zeigt die Einstellungen zur Durchführung ...

A) einer univariaten Häugkeitsanalyse.

B) einer Umkodierung von Variablen.

C) einer Datenaufbereitung.

D) einer zweifaktoriellen Varianzanalyse.

E) eines χ2-Unabhängigkeitstests.

Lösung: D.

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Es soll der Einuss zweier Faktoren A (Trainingsmethode) und B (Geschlecht) auf dieTrainingsleistung in einem Versuch geklärt werden. Dazu werden Gruppen gebildet nachA in zwei Stufen (Methode 1, Methode 2) und B (Sportler, Sportlerinnen). Die Versuchs-personen werden zufällig ausgewählt und nach einem Zeitraum von 3 Monaten wird dieVeränderung der Leistung von einer Expertengruppe eingestuft. Die Auswertung der Va-rianzanalyse ergibt einen signikanten Haupteekt A , einen signikanten HaupteektB sowie eine signikante Wechselwirkung A×B.

Welche der folgenden Aussagen folgen aus der obigen Darstellung? (x aus 5)

A) Sportlerinnen und Sportler unterscheiden sich im Mittel in der Leistungsverände-rung.

B) Die beiden Trainingsmethoden unterscheiden sich im Mittel in ihrer Wirksamkeit.

C) Sportler erzielen im Mittel eine höhere Leistung als Sportlerinnen.

D) Die Trainingsmethoden unterscheiden sich in ihrer durchschnittlichen Wirkung beiSportlern und Sportlerinnen.

E) Die Trainingsmethoden führen im Mittel zu einer Leistungssteigerung.

Lösung: A, B, D.

21



Welche Aussagen sind richtig? (x aus 5)

A) SPSS wählt automatisch das richtige Skalenniveau der Variablen.

B) Der Gini-Koezient kann standardmäÿig mit SPSS berechnet werden.

C) Im Menü 'Korrelationen' von SPSS werden drei verschiedene Korrelationskoezi-enten angeboten.

D) Die Standardschaltäche 'Einfügen' setzt die in Menüs getroene Auswahl in Syn-taxcode um und schreibt sie in ein Syntaxfenster.

E) Fehlende Werte müssen als solche in SPSS explizit deklariert werden.

Lösung: C, D, bei Lösung E wird sowohl das Ankreuzen wie das Nichtankreuzen miteinem Punkt bewertet .

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Im Rahmen der Evaluation des Moduls 2 im B.Sc. Psychologie der FernUniversität wurdeu.a. folgende Aussage vorgelegt: 'Ich habe die Statistiksoftware SPSS oder R angewandt,um Beispiele oder andere Aufgaben zu bearbeiten'.

Die folgende Abbildung zeigt eine mit SPSS vorgenommene Auszählung der Antwor-ten, wobei zusätzlich nach dem Geschlecht der Studierenden dierenziert wird.

Abb. 3: Bivariate Häugkeitsverteilung und Unabhängigkeitstest (Daten teilweise ktiv)

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Welche Aussagen folgen aus den gezeigten Ausgaben? (x aus 5)

A) Die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Antwort vom Geschlecht kann auf dem5-Prozent-Niveau verworfen werden.

B) Die unter 'erwartete Anzahl' aufgeführten Häugkeiten bezeichnen die ktivenHäugkeiten, die sich bei Unabhängigkeit der beteiligten Variablen ergeben wür-den.

C) Die Voraussetzungen für den Signikanztest auf der Basis der Prüfgröÿe χ2 sindverletzt, da es Zellen mit einer erwarteten Häugkeit < 5 gibt.

D) Es sind keine Aussagen über die Unabhängigkeit der Antwort vom Geschlecht mög-lich, da wesentlich mehr weibliche als männliche Studierende geantwortet haben.

E) Weibliche Studierende wenden signikant häuger Statistiksoftware an als männ-liche Studierende.

Lösung: A, B, E.

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Es soll mit Hilfe der sozialwissenschaftlichen Datenerhebung Allbus geprüft werden, obder Gesundheitszustand Einuss auf das Nettoeinkommen hat und ob dem Geschlechtdabei der Status einer Moderatorvariablen zukommt.

Die beteiligten Prädiktoren wurden für die Analyse zentriert. zent_gesund steht fürdie Antwort auf: Eine Frage zu Ihrer Gesundheit: Wie würden Sie Ihren Gesundheits-zustand im Allgemeinen beschreiben? mit den Antwortmöglichkeiten Sehr gut (1) bisSchlecht (5) .

zent_gesschl steht für die Angabe zu Geschlecht, wobei die Alternativen Mann mit1 und Frau mit 2 kodiert wurden. Bei zent_pro handelt es sich um den Produkttermaus den zentrierten Prädiktoren.

Abb. 4: 3 Regressionsmodelle zur Vorhersage des Nettoeinkommens (Daten Allbus 2006)

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Abb. 5: Regressionsgewichte für die 3 Modelle zur Vorhersage des Nettoeinkommens

Welche Aussagen folgen aus den gezeigten Ausgaben? (x aus 5)

A) Der Einuss der Variable Gesundheitszustand auf das Nettoeinkommen ist aufdem 5-Prozent-Niveau signikant.

B) Der Einuss der Variable Geschlecht auf das Nettoeinkommen ist auf dem 5-Prozent-Niveau signikant.

C) Es konnte ein Moderatoreekt auf dem 5-Prozent-Niveau nachgewiesen werden.

D) Mit besserem Gesundheitszustand steigt im Schnitt das Nettoeinkommen signi-kant.

E) Frauen haben im Mittel ein niedrigeres Nettoeinkommen als Männer.

Lösung: A, B, D, E.

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Im Rahmen Ihres Psychologiestudiums absolvieren Sie Ihr berufsorientiertes Praktikumin einer Schlankheitsklinik. Ihnen wird die Aufgabe übertragen, zu überprüfen, ob derAufenthalt in der Schlankheitsklinik zu statistisch nachweisbaren Eekten führt. ZurVerfügung stehen die Daten von 10 Patienten, und zwar deren Gewicht zu Beginn desKlinikaufenthalts, das Gewicht zum Ende des Aufenthalts, die Körpergröÿe sowie dieDauer des Aufenthalts. Sie berechnen mit SPSS aus Körpergröÿe und Körpergewichtden sogenannten Bodymass Index (BMI):

BMI = Körpergewicht in kg / (Körpergröÿe in m)2.

Für Ihre Auswertung wählen Sie ein einfaches lineares Regressionsmodell, als abhän-gige Variable entscheiden Sie sich für die Veränderung des Bodymass Index, die Sie alsBMInachher−BMIvorher berechnen und als Variable bmidiff speichern. Als unabhängigeVariable wird die Dauer des Klinikaufenthalts eingesetzt. Die folgende Abbildung zeigtdie Ausgaben von SPSS zu Ihren Daten.

Abb. 6: Regressionsmodell zur Vorhersage des Veränderung des BMI durch Dauer des Kli-

nikaufenthalts

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Welche Aussagen sind richtig auf der Basis der gezeigten Ausgaben? (x aus 5)

A) SQResidual ist gröÿer als 18.

B) Der Einuss der Variable Dauer des Klinikaufenthalts auf den Bodymass Indexist auf dem 5-Prozent-Niveau signikant.

C) Nach dem Regressionsmodell reduziert sich mit jedem Kliniktag der BodymassIndex um mehr als 0,3.

D) Die Aufenthaltsdauer klärt mehr als 30 Prozent der Varianz der abhängigen Va-riablen auf.

E) Bereits nach einem Tag Klinikaufenthalt würde man nach dem Regressionsmodelleine Reduktion des BMI um mehr als 1 vorhersagen.

Lösung: A, E.

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Aufgabe 16 (Regressions- und Varianzanalyse) (5 Punkte)

Zur weiteren Überprüfung Ihrer Auswertung der Daten aus der Schlankheitsklinik er-zeugen Sie mit SPSS zwei graphische Darstellungen.

bmidiff steht für die Angabe zur Veränderung des Bodymass Index, unabhängige Va-riable ist die Dauer des Klinikaufenthalts.

Abb. 7: Regressionsmodell zur Vorhersage der BMI-Veränderung als Funktion der Aufent-

haltsdauer

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Abb. 8: Q-Q-Diagramm der Residuen des Regressionsmodells zur Vorhersage der BMI-

Veränderung als Funktion der Aufenthaltsdauer

Welche Aussagen sind richtig? (x aus 5)

A) Keiner der hier untersuchten Patienten hat zugenommen.

B) Das Q-Q-Diagramm kann genutzt werden, um zu überprüfen, ob die Voraussetzungder normalverteilten Residuen erfüllt ist.

C) Im Mittel reduziert sich bei mehr als 30 Kliniktagen in der hier untersuchtenStichprobe der Bodymass Index um mehr als 4.

D) Die Untersuchung hat keinerlei Aussagekraft, da die Körpergröÿe der Patientennicht berücksichtigt wird.

E) Für Klinikaufenthalte über 45 Tage würde man nach dem Regressionsmodell einedurchschnittliche Reduktion des BMI um mehr als 5 vorhersagen.

Lösung: A, B, C, E.

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modul2imb.sc.-studiengang„psychologie“36 männer gewählt wird, die im teilzeitmodus studieren,...

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