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Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)http://www-lacan.upc.es

Aproximación funcional.Introducción

Aproximación funcional.Introducción

APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

ObjetivosObjetivos

� Entender los diferentes criterios de aproximación funcional y ser capaz de decidir cuál es más adecuado en un caso concreto

� Entender la diferencia entre criterio de aproximación y tipo de aproximación.

� Saber calcular el polinomio interpolador que pasa por un conjunto de puntos.

� Entender qué es la interpolación seccional y saber plantear cómo calcular un spline.

� Aprender a plantear un problema de mínimos cuadrados y ser capaz de resolver los de mínimos cuadrados lineales.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

MotivaciónMotivación� Los métodos de aproximación funcional tienen como objetivo

calcular una aproximación p(x) de una función f(x) dada.

� Muchas aplicaciones en ingeniería requieren el cálculo de aproximaciones. El método de aproximación utilizado depende de:• conocimiento de la función f(x)

• expresión analítica• valores de la función en un número finito de puntos• valores de las derivadas en un número finito de puntos

• datos que se deseen obtener• cálculo de integrales o derivadas• valor de la función en un punto no dado• valor de las derivadas en un punto no dado

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Motivación: aplicaciones IMotivación: aplicaciones I

� Los métodos de aproximación funcional son usados en aplicaciones ingenieriles muy diversas.

CÁLCULO DE ÁREAS: se requiere calcular el área de una sección de la pieza, dónde se conoce la expresión analítica de las funciones que determinan el contorno.

Se aproxima por funciones más manejables que permitan calcular las integrales.4

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Motivación: aplicaciones IIMotivación: aplicaciones II

INTERPOLACIÓN: se conocen los valores de la función en un número finito de puntos (xi,f(xi)) y se necesita determinar el valor de la función en otros puntos.

� Captura de movimiento: describir el movimiento de los objetos como función del tiempo a partir de un conjunto de mediciones de las posiciones del objeto.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

REGRESIÓN: determinación de parámetros materiales a partir de experimentos físicos

Motivación: aplicaciones IIIMotivación: aplicaciones III

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Conceptos básicosConceptos básicos

� OBJETIVO: aproximar una función f(x) por otra función p(x) en un intervalo [a,b]

� Para definir un método de aproximación hacen falta dos ingredientes básicos:• Tipo de aproximación: definir el espacio de funciones

donde se elige el aproximante, qué tipo de funciones p(x) se consideran

• Criterio de aproximación: definir las propiedades de aproximación, qué quiere decir que p(x) sea una buena aproximación de f(x).

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Tipo de aproximaciónTipo de aproximación

� Generalmente se consideran espacios de funciones de dimensión finita.

� El aproximante p(x) se expresa como combinación lineal de los términos de una base

� Hallar p(x) se reduce a hallar los coeficientes de la combinación lineal ⇒ resolver un sistema de ecuaciones lineales

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

� Aproximación polinómica:es la más usada por ser fácil de calcularderivadas e integrales también polinómicas y fáciles de calcular

� Aproximación trigonométrica:funciones periódicas tratamiento de señales y edp’s

� Aproximación exponencial:tratamiento de señales resolución de EDP’s

� Funciones racionales:aproximación de funciones con asíntotas

� Aproximación por funciones definidas a trozos:Generalmente se consideran funciones polinómicas (de grado bajo) a trozos.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Criterios de aproximación ICriterios de aproximación I

� Interpolación pura:• datos:

• se exige que:

También se pueden imponer condiciones sobre derivadas.El polinomio de Taylor es un caso particular.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Criterios de aproximación IICriterios de aproximación II

� Mínimos cuadrados: se minimiza el cuadrado de la distancia entre f(x) y p(x) en norma L2

versión continua versión discreta

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Criterios de aproximación IIICriterios de aproximación III

� Aproximación min-max: se minimiza la distancia entre f(x) y p(x) en norma L∞

• Interpolación pura: coincide en los puntos dados pero en los otros puntos puede ser muy mala (para grados de polinomio elevados)

• Mínimos cuadrados: minimiza el área entre las dos funciones

• Min-max: minimiza la diferencia entre las dos funciones, pero es difícil de calcular. Con unos buenos pesos, la aproximación de mínimos cuadrados se parece a la aproximación min-max.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Teorema de Weierstrass ITeorema de Weierstrass I

� El teorema de Weierstrass establece la “bondad” de los polinomios como funciones de aproximación.

Cualquier función continua se puede aproximar mediante un polinomio hasta la precisión deseada.

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APROXIMACIÓN FUNCIONAL. INTRODUCCIÓN

Teorema de Weierstrass IITeorema de Weierstrass II

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