Universidad Autonoma de Tlaxcala

Facultad de Ciencias Basicas Ingenieıa y Tecnologıa

Metodo Aproximacion polinomica

Analisis numerico

Licenciatura en Matematicas Aplicadas

Equipo:

Eduardo Roldan Sanchez

Gabriel Vazquez Jimenez

Monica Nava guzman

Diciembre de 2014

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Indice

1 Introduccion 3

2 Aproximacion polinomica 4

3 Programa en Matlab 4

4 Algoritmo 6

5 Ejemplos 7

6 Problemas 8

7 Bibliografia 11

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1 Introduccion

Los parametros del modelo de regresion polinomial se estiman o aproximan por el metodo de mınimos cuadrados,el cual es una tecnica de analisis numerico encuadrada dentro de la optimizacion matematica, en la que, dadosun conjunto de pares ordenados, se intenta encontrar la funcion que mejor se aproxime a los datos (un �mejorajuste �, de acuerdo con el criterio de mınimo error cuadratico.

En su forma mas simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas re-siduos) entre los puntos generados por la funcion y los correspondientes en los datos. Desde un punto de vistaestadstico, un requisito implıcito para que funcione el metodo de mınimos cuadrados es que los errores de cadamedida esten distribuidos de forma aleatoria. Esta tecnica se usa comunmente en el ajuste de curvas. Muchosotros problemas de optimizacion pueden expresarse tambien en forma de mınimos cuadrados, minimizando laenergıa o maximizando la entropıa.

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2 Aproximacion polinomica

Supongase el conjunto de puntos (xk, yk), siendo k = 1, 2, ..., n. Sea fj(x), con j = 1, 2, ...,m una base de mfunciones linealmente independientes. Queremos encontrar una funcion f combinacion lineal de las funcionesbase tal que f(xk) ≈ yk, esto es:

f(x) =

m∑j=i

βjfj(X)

Se trata de hallar los m coeficientes bj que hagan que la funcion aproximante f(x) sea la mejor aproximacon alos puntos (xk, yk). El criterio de mejor aproximacion puede variar, pero en general se basa en aquel que de unmenor error en la aproximacion. El error en un punto (xk, yk) se podrıa definir como:

ek = yk − f(xk)

En el modelo de regresion polinomial la funcion f esta definida de la forma:

f(X) = β0 + β1X + β2X2 + ...+ βmX

m

donde los coe

cientes βj son calculados por el metodo de mınimos cuadrados, para lo cual se minimiza el error cuadraticoexpuesto anteriormente, haciendo uso del calculo multivariable (se tratara de un problema de optimizacian enβj), o alternativamente hacer uso del algebra lineal. Ası pues, se tendrıa la siguiente expresion en desarrollo dematrices.

1 ... 1X1 ... Xn

X21 ... X2

n...

...Xm

1 ... Xmn

1 X1 X21 ... Xm

1

1 X2 X22 ... Xm

2...

......

...1 Xn X2

n ... Xmn

β1β2...βm

=

1 ... 1X1 ... Xn

X21 ... X2

n...

...Xm1 ... Xm

n

γ1γ2...γn

Por lo tanto, de esta relacion se tieneβ = (XTX)−1(XT ∗ γ)

,

3 Programa en Matlab

clc;z=eval(get(handles.xx,’String’));zz=eval(get(handles.yy,’String’));m=eval(get(handles.gg,’String’));x=z’;y=zz’;if length(z) > mX=[];for i=0:mX =[X, x. i];

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endbeta = inv(X ′ ∗X) ∗ (X ′ ∗ y);Pol = sprintf(′%.4fx%d′, beta(m+ 1),m);fori = 2 : mifbeta(m+2-i)¡0,Pol = [Pol, sprintf(′%.4fx%d′, beta(m+ 2 − i),m− i+ 1)];elsePol = [Pol, sprintf(′+%.4fx%d′, beta(m+ 2 − i),m− i+ 1)];endendifbeta(1)¡0,Pol = [Pol, sprintf(′%.4f ′, beta(1))];elsePol = [Pol, sprintf(′+%.4f ′, beta(1))];endset(handles.pol,′ String′, Pol)Polelseset(handles.pol,′ String′,′ Comentario′)end

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4 Algoritmo

1. Datos de entrada: x : Vector de coordenadas xi, vector de coordenadas yi; ambos de dimension n y elgrado del polinomio que se quiere aproximar m.

2. Formar la matriz X

3. Formar el vector γ

4. β = (XTX)−1(XT ∗ γ)

5. Imprimir β o el modelo y = β0 + β1x+ ...+ bmxm

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5 Ejemplos

Planteamiento del problema 1 El numero de habitantes (en miles) de una determinada ciudad ha evolucionadosegun la siguiente tabla.

Anos 1987 1988 1989

Poblacion 53 7191

Sabiendo que dicha poblacion se ajusta a una funcion cuadratica se requiere calcular la poblacion que habra enla ciudad en 1995.

Solucion.

Primero se establece el modelo de regresion polinomial de segundo grado, calculando los coe

cientes con el metodo. Ası pues, se tiene el siguiente resultado Y = 3891744.001− 3934.164X + 0.994X2 Por lotanto, evaluando la fecha en el modelo que se obtuvo podemos decir que en aquella ciudad habra una poblacionde 251 mil en el ano de 1995.

Ejemplo 2

Se requiere aproximar los datos x = 0.31, x = 1.54 y x = 0.213 con un polinomio de grado 2, por cuadradosmınimos y graficar la solucion.

x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00y 1.00 1.28 1.64 2.11 2.71

Utilizando el metodo se tiene que el polinomio de grado 2 tiene la forma

Y = 1.005 + 0.864x1 + 0.844x2

Las aproximaciones de los puntos x son:

x y0.31 1.3541.54 4.3360.213 1.227

Ahora bien, la grafica de la funcion cuadratica esta dada por la siguiente expresion

Y = 1.005 + 0.864x1 + 0.844x2

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6 Problemas

1. Un comite sobre el seguimiento de las pruebas de selectividad en la Universidad de Murcia tiene lossiguientes datos sobre el numero de alumnos matriculados en las pruebas. Se sabe que el polinomio deestimacion es de segundo grado y se requiere estimar el numero de alumnos matriculados en 1992.

Ano 1984 1988 1989No de alumnosmatriculados

3000 38004100

Solucion: En el ano 1992 habra aproximadamente 5239 alumnos matriculados.

2. Los beneficios, en miles de euros, de una empresa se registran en la siguiente tabla

Ano 1975 1980 1982 1985 1990

Beneficios 20 60 77 140255

Se sabe que el modelo de prediccion esta dado por un polinomio de segundo grado y la empresa requiereestimar los bene

cios que tuvo la empresa en los anos 2000 y 2002. Solucion: En el ano 2000 la empresa tendra beneficiosde 620 mde y en el ano 2002 beneficios de 713 mde.

3. Para conocer la relacion entre la velocidad de caıda de un paracaidista y la fuerza de friccion hacia arriba,se han efectuado las siguientes mediciones

v 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0f 5 15.3 29.3 46.4 66.3

donde v se mide en centımetros por segundo y el rozamiento f en 106 dinas. Dibuje los puntos de la tablay realice la aproximacion mınimo cuadratica

4. En 1601 el astronomo aleman J.Kepler formulo su tercera ley del movimiento planetario: T = c ∗ d3/2donde d es la distancia de un planeta al sol medida en millones de kilometros, T es el periodo orbital endıas y c es una constante. Los datos observados para los cuatro planetas Mercurio, Venus, Tierra y Marteson:

di 58 108 155 228

Ti 88 225 365687

Ajuste el valor de c para estos datos en el sentido de los mınimos cuadrados, como un polinomio de tercergrado.

5. La velocidad de cierta reaccion quımica expresada por el logaritmo neperiano de la constante de equilibrio Y ,varıa con la presion, expresada en atmosferas X, de acuerdo con la siguiente tabla de datos experimentales:

X 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Y -7 -2 1.0 4 1012

Hallar la recta de regresion de Y sobre X, y los valores previsibles de Y en X = 2.3 y X = 5.4.

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6. La intensidad de corriente que se aprecia en un amperemetro varıa con la fuerza electromotriz aplicada, E,de acuerdo con la tabla de datos experimentales adjunta :

E 5 10 1.5 20 25 30

I -7 -2 1.0 4 1012

Determinar el polinomio de cuarto orden que aproxima la funcion de regresion.

7. Se han observado, en varios modelos de automoviles, los datos de potencia del motor (X), en caballos, yla aceleracion (Y ), medida en el numero de segundos necesarios para acelerar de 0 a 100 Km./h. La tablaadjunta refleja los valores obtenidos.

X 50 75 90 100 120 150Y 15 12 10.5 10 9 8

A partir de tales datos, se ha decidido expresar la aceleracion en funcion de la potencia mediante el ajustede una funcion potencial. Halle dicha funcion potencial de grado tres.

8. En una muestra de familias se han analizado las variables ahorro anual (Y ) y renta anual (X), medidasambas en miles de euros. Los datos obtenidos han sido los siguientes:

Ahorro (Y ) 1.9 1.8 2.0 2.1 1.9 2.0 2.2 2.3 2.7 3.0

Renta (X) 20.5 20.8 21.2 21.7 22.1 22.3 22.2 22.6 23.123.5

Obtener el modelo lineal que explica el ahorro de las familias en funcion de su renta.

9. En un nuevo proceso artesanal de fabricacion de cierto artıculo que esta implantado, se ha considerado queera interesante ir anotando periodicamente el tiempo medio (medido en minutos) que se utiliza para realizaruna pieza (variable Y ) y el numero de dıas desde que empezo dicho proceso de fabricacion (variable X). Conello, se pretende analizar como los operarios van adaptandose al nuevo proceso, mejorando paulatinamentesu ritmo de produccion conforme van adquiriendo mas experiencia en el. A partir de las cifras recogidas,que aparecen en la tabla adjunta, se decide ajustar una curva de regresion de tercer orden que explique eltiempo de fabricacion en funcion del numero de dıas que se lleva trabajando con ese metodo.

X 10 20 30 40 50 60 70

Y 35 28 23 20 18 1513

¿Que tiempo se predecirıa para la fabricacion del artıculo cuando se lleven 100 dıas?

10. De un sector productivo formado por 7 empresas se recogen en los siguientes datos, cual serıa la producti-vidad para 1000 empleados:

Empresa A B C D E F

GPro-duc-cion

15 20 30 50 80 100

150Em-plea-dos

(x100)

3

302 305 4 5 68

9

¿Que tiempo se predecira para la fabricacion del artıculo cuando se lleven 100 dıas?

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7 Bibliografia

Analisis Numerico / Richard L. Burden, J. Douglas Faires.

Metodos Numericos para ingenieros / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale.

Metodos Numericos aplicados a la Ingenierıa / Antonio Nieves, Federico C. Domınguez.

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