Aproksimativne metode u kvantnoj mehanici Malo je pkonkretnih problema koji kvantnomehaniki mogu tano da se ree. Zbog toga surazvijenemetodezapriblinoreavanjeimiemosesadaupzantisanajvanijimi najee korienim. Pokazaemo koje su njihove mogunosti i ogranienja. Vremenski nezavisna teorija perturbacija za nedegenerisane energetske nivoe RazmatraemoRelej-redingerovuperturbacionuteorijuianaliziratikakosemenjaju diskretni energetski nivoi i odgovarajue svojstvene funkcije pod dejstvom perturbacije. Pretpostavimo da vremenski nezavisni hamiltonijanHmoe da se izrazi kao 0' H H H = +(1) gde je 0Hnepertzurbovani hamiltonijan komo odgovara redingerova jednaina (0) (0) (0)0 n n nH E = (2) koju znamo da reimo, arealni parametar koji e kasnije da se koristi za razlikovanje razliitih redova teorije perturbacije. Ako pustimo da tei nuli obezbeujemo da u tom sluajuHprelazi u 0H . Dakle, pretpostavljamo da znamo da reimo jednainu (2) odnosno da znamo kompletan skup (0){ }n i kompletan energetski spektar (0)nE . U takvom skupu vai relacija (0) (0)|i j ij =.(3) Svojstveni problem koji treba da reavamo je n n nH E =(4) Razmortimojedandiskretanenergetskinivo (0)nE kojijenedegenerisan(ostalimoguda bududegenerisani).Pretpostavimodajeperturbacija' H takomaladadaje perturbovani energetski nivo nEveoma blizu neperturbovanog nivoa (0)nEi to blie nego bilo kom drugom neperturbovanom nivou. Kad0 imamo (0)0limn nxE E= (5) Slino, poto je je stanjen nedegenerisano, perturbovana svojstvena funkcija n svodi se na (0)nkad0 , odnosno (0)0limn nx =(6)Osnovnaidejaperturbacioneteorijejeutomedasvojstvenevrednostiisvojstvene funkcije mogu da se razviju u red po stepenima perturbacionog parametra . S toga je

( )0j jn njE E == (7)

( )0j jn nj ==(8) gdejej stepen odnosnoredperturbacije.Zamenom(7)i(8)uredingerovu jednainu (4) dobijamo(0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2)0( ')( ) ( )( )n n n n n n n n nH H E E E + + + + = + + + + + + (9) Sada moemo da izjednaimo koeficijente uz iste stepenesa razliite strane jednakosti i da dobijemo: Uz 0 imamo (0) (0) (0)0 n n nH E = toseioekujejertojeneperturbovansistem.Uzimamo

(1) (0) (0) (1) (1) (0)0'n n n n n nH H E E + = +(10) Uz 2imamo (2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0)0'n n n n n n n nH H E E E + = + + (11) Generalnije, izjadnaavajui koeficijente uz j , u relaciji (9), dobijamo za1 j ( ) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1) ( ) (0)0'j j j j jn n n n n n n nH H E E E + = + + + (12) Da bi dobili korekciju prvog reeda za energiju (1)nEpomnoiemo jednainu (10) sleva sa (0)*ni integraliti po celom prostoru. Tako se dobija (0) (0) (1) (0) (1) (0)0| | | ' | 0n n n n n nH E H E + = (13) Koristei (0) (0) (0)0 n n nH E =i injenicu da je oprerator 0H ermitski dobija se (0) (1) (1) (0) *0 0(0) (1) (0) (1) (0) *0(0) (1) (0) (0) (1)0| | | || | || | |n n n nn n n n nn n n n nH HH EH E = = = (14) Na osnovu (14) lako se vidi da prvi lan relacije (13) postaje nula pa relacija (13) dobija oblik

(0) (0) (0) (1) (0)| ' | | |n n n n nH E = odnosno (1) (0) (0)| ' |n n nE H = (15) Ovojeveomavaanrezultatkojikaedajeprvapopravkaenergijenivoa nE jednaka dijagonalnom matrinom elementu operatora perturbacije po neperturbovanim stanjima. Postupajuinasliannainsajenainom(11)(mnoimoslevasa (0)*n iintegralimo) dobijamo

(0) (0) (2) (0) (1) (1) (2)0| | | ' | 0n n n n n n nH E H E E + = (16) Ponovoprvilanpostajenula(pokazujeseistokaourelaciji(14))pazakorekciju drugog reda za energiju dobijamo

(2) (0) (1) (1)| ' |n n n nE H E = (17) Akonastavimodaljemogusedobitipopravkeviihredova.Studentimaseostavljada pokau da je

(3) (1) (1) (1) (2) (0) (1)| ' | 2 |n n n n n n nE H E E = (18) Interesantnojeovdeprimetitidapoznavanjeneperturbovanetalasnefunkcije (0)n omoguava da se izrauna (0)nEi (1)nE , dok korekcija prvog reda talasne funkcije(1)ndaje (2)nE i (3)nE .Posmatranouopteno,akoznamo (0) (1) ( ), , ,sn n n moemoda odredimo popravku energije zakljuno sa (2 1) snE+. Vratimoseponovojednaini(10).Relej-redingerovmetodomoguavadasedobije popravkatalasnefunkcije (1)n nasledeinain.Neperturbovanajednaina(2)reivaje zasvesvojstvenevrednostiisvastanja(ukljuujuiistanjakontinuumaakoihima). Nepoznatufunkciju (1)n razloimopobazisukojuineneperturbovanastanja(skupje kompletan) (1) (1) (0)n n kka =(19) sumiranjepok podrazumevasumiranjepostanjimadiskretnogspektraiintegracijupo stanjima kontinuuma (ako ih ima). Zamenom (19) u (11) dobijamo (0) (1) (0) (1) (0)0( ) ( ' ) 0n nk k n nkH E a H E + = (20) Mnoenjem(20)slevasa (0)*iintegracijompocelomprostoruuzkorienje(2)i(3) dobija se

(1) (0) (0) ' (1)( ) 0n n n n na E E H E + = (21) Urelaciji(21)upotrebilismooznaku ' (0) (0)| ' |n nH H .Zan = jednaina(21)se svodi na (1) 'n nnE H =to je ve dobijeni rezultat (15). Sa druge strane, ako jen tada je

'(1)(0) (0),nnnHa nE E= (22) Naosnovuovogrezultatairelacije(19)vidimodapotrebanuslovzaprimenuovog perturbacionog metoda moe da se napie u obliku '(0) (0)| | 1,nnHnE E (23) Napominjemodakoeficijente (1) (0) (1)|nn n na = (dijagonalnelanoveakokoeficijente predstavimouoblikumatrica)nemoemodaodredimoizrelacije(21).Vratiemose kasnije odreivanju (1) (0) (1)|nn n na = . Relej-redingerov metod moe da se primeni i za reavanje jednaina vieg reda kao to je (11). U ovom sluaju razvoj (2) (2) (0)n nk kka = (24) zamenimo u (11) i iskoristimo (19) i na taj nain dobijamo

(0) (2) (0) (1) (1) (0) (2) (0)0( ) ( ' ) 0n nk k n nk n n nk kH E a H E a E + = .(25) Mnoenjem (25) sa (0)*i integraljenjem po celom prostoru uz korienje (2) i (3) dobija se

(2) (0) (0) (1) ' (1) (1) (2)( ) 0n n nnk n n n n nka E E a H E a E + = (26) Ispitajmo najpre ta se dobija zan = . Jednaina (26) u tom sluaju daje (2) ' (1) ' (1) ' (1)n nk nk nn nn nk nkk k nE H a H a H a= = (27) iskoristili smo injnenicu da je (1) 'n nnE H = . Korienjem (22) moe se pisati ' ' ' 2(2)(0) (0) (0) (0)| |nk kn knnk n k nn k n kH H HEE E E E = = (28) Popravkadrugogredazaenergiju (2)nE moedaseodredisumiranjemposvimstanjima (0)k sak n .Stanjapokojimasesumiranazivajuseintermedijarnastanja.Naosnovu relacije (28) vidimo da svaki lan moe da se posmatra kao dva prelaza prve vrste, a to je kaodasistemprelaziizstanja (0)n uintermedijarnostanje (0)k azatimseizstanja (0)k vraa u u stanje (0)na to sve se prosumira poksem zan k = . Takoe, na osnovu (28)vidimo,akonivon odgovaraosnovnomstanjusistematadaje (0) (0)0n kE E < za k n , a to znai da je energetska korekcija drugog reda (2)nE uvek negativna za bilo koju perturbaciju' H . Moemodazakljuimo,akoseograniimona1 = energijanivoa nE ,ukljuujui popravke prvog i drugog reda, je ' 2(0) '(0) (0)| |.knn n nnk nn kHE E HE E= + +(29) Vratimo se ponovo relaciji (26). Koristei (22) i (1) 'n nnE H = zan imamo ' ' ' ' '(2) (1)(0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (0) (0)1( )k kn nn n nn nnk nn n n nH H H H Ha aE E E E E E E E= (30) Naglaavamo da iz (26) nije mogue odrediti koeficijente (2)nakao to iz (21) nije mogue odrediti (1)na. Uopteno gledano, ako sa ( ) (0) ( )| , 1j jnn n na j = (31) oznaimokomponentetalasnefunkcije ( ) jn pofunkcijama (0)n lakomoemodavidimo ako jednainu (12) pomnoimo sa (0)*n a yatim integralimo po celom prostoru dobijamo jednainuizkojenemogudaseodredekoeficijenti ( ) jnna .Potoosnovneperturbacione jednaine(10)-(12)ostavljajuneodreenekoeficijente ( ) jnna opravdanajepretpostavkada izborovihveliinaneizazivabilokakvefizikeposledice.Dabiodredilioveveliine moemonpr.Zahtevatidaperturbovanatalasnafunkcija n raunatadorada j bude normirana na jedinici, tj. da bude (0) (1) ( ) ( ) (0) (1) ( ) ( ) 1| | 1 ( )j j j j jn n n n n n n nO + + + + + + + = + (32)gde 1( )jO+potieodkorekcijereda 1 j+.Akozanemarimokorekcijuondaje ortogonalnost oigledna. U posebnom sluaju,poto je (0) (0)| 1n n =iz jednaine (32) za prvi red perturbacije nalazimo

(0) (1) (1) (0)| | 0n n n n + =(33 a) to je ustvari (1) (1)*0nn na a + =(33 b) odakle je jasno da je veliina (1)nnaisto imaginarna. Na slian nain normalizacioni uslov (32) do drugog reda po daje

(0) (2) (2) (0) (1) (1)| | | 0n n n n n n + + = .(34 a) Na osnovu (31), (19) i (3) ova jednaina postaje 2(2) (2)* (1)| | 0nn n nkka a a + + =(34 b) Poslednjajednainajejednainazarealnideoveliine (2)nna .Naosnovuizloenogmoe dasezakljuidainaginarnidelovikoeficijenata ( ) jnna nemogudaseodredeiz normalizacionoguslaova(32).Ovaneodreenostodgovarainjenicidabezpromene normalizacijemoemoperturbovanutalasnufunkciju n damnoimoproizvoljnim faznimfaktorom iegdeje realnaveliinakojamoedazavisiod .Zahtevaemo (bez gubitka optosti) da imaginarni delovi koeficijenata ( ) jnnabudu nula, pa emo prema tome imati

2(1) (2) (1)10; | |2nn nn nkk na a a= = (35) Na osnovu izloenog, perturbovana talasna funkcija sa popravkom prvog i drugog reda (0) (1) (2)n n n n = + +(36 a) gde je

'(1) (0)(0) (0)nnnnHE E =(36 b) ' ' ' ' ' 2(2) (0) (0)(0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (0) (0)| | 1[ ]( )( ) ( ) 2 ( )k kn nn n knn nn k n k nn n k n n kH H H H HE E E E E E E E = (36 c) Nastavljajui izloenu proceduru za treu popravku energije se dobija

' ' ' ' 2(3) '(0) (0) (0) (0) (0) (0) 2| |( )( ) ( )nk km mn knn nnk n mn k nn k n m n kH H H HE HE E E E E E = (37)Oekuje se da studenti ovo samostalno izraunaju. Vremenski nezavisna teorija perturbacije za degenerisane nivoe Kadajeneperturbovanienergetskinivo (0)nE putadegenerisantadapostoji neperturbovanihtalasnihfunkcija (0)nr ( 1, 2, , ) r = kojeodgovarajunivou (0)nE i unapredneznamokojojtalasnojfunkcijiteiperturbovanatalasnafunkcijakad0 . Ovozahtevadasenapredizloenateorijaizmeni. neperturbovanihtalasnihfunkcija (0)nr kojesusvojstvenefunkcijenivoa (0)nE ortogonalnasuneperturbovanimtalasnim funkcijama (0)kojeodgovarajudrugomenergetskomnivou (0) (0)nE E .Funkcije (0)nrnemorajudabudumeusobnoortogonalne,aliihmiuvekmoemoortogonalizovati. Zato moemo, bez gubitka optosti, smatrati da su ove funkcije ortonormirane tj da vai

(0) (0)|nr ns rs = , ( , 1, 2, , ) rs = (38) Uvedimo korekrnu funkciju prvog reda (0)nr koja predstavlja prvi lan u razvoju egzaktne talasna funkcije nr u stepeni red po . Prema tome (0) (1) 2 (2)nr nr nr nr = + + + (39) Perturbovanu energiju piemo u obliku

(0) (1) 2 (2)nr n nr nrE E E E = + + +(40) sa (0) (0)n nrE E ( 1, 2, , ) r = poto je neperturbovani nivo (0)nE puta degenerisan. Zamenom (39)(40) u jednainu

n n nH E = . i izjednaavanjem koeficijenata uz iste stepenenalazimo

(1) (0) (0) (1) (1) (0)0'nr nr n nr nr nrH H E E + = + . (41) Potoje (0)nr linearnakombinacijaneperturbovanihtalasnigfunkcija (0)nr moemoda piemo

(0) (0)1nr rs nssc ==,( 1, 2, , ) r = (42) gdesu rsc koeficijentikojetektrebaodrediti.Slino,razvojem (1)nr pobazisu neperturbovanih talasnih funkcija imamo

(1) (1) (0), nr nr ks ksk sa =(43) gde su indeksirisodreeni stepenom degeneracije. Zamenom izraza (42) i (43) u (41) i koristei (0) (0) (0)0 ks k ksH E =dobijamo

(1) (0) (0) (0) (1) (0),( ) ( ' ) 0nrks k n ks rs nr nsk s sa E E c H E + = (44) Mnoenjem (44) sa (0)*nu i integracijom po celom prostoru dobijamo (1) (0) (0) (0) (0) ' (1), ,( ) | ( ) 0nrks k n nu ks rs nuns nr usk s sa E E c H E + = , ( 1, 2, , ) u = (45) Iskoristili smo relaciju (38) i uveli oznaku

' (0) (0),| ' |nu ns nu nsH H (46) Potoje (0) (0)| 0nu ks = kadjek n i (0) (0)k nE E = kadjek n = prvilanrelcije(45)je nula pa se ova svodi na

' (1),( ) 0rs nuns nr ussc H E =,( 1, 2, , ) u = (47) Ovojesistemlinearnihhomogenihjednainazaodreivanje nepoznatih koeficijenata1 2, , ,r r rc c c .Ovajsistemimanetrivijalnareenjaakomujedeterminanta jednaka nuli, odnosno ako je ' (1),det | | 0nu ns nr usH E = ;( , 1, 2, , ) s u = (48) Ovo je algebarska jednaina redaza odreivanje (1)nrEi naziva se sekularna jednaina po analogiji sa slinom jednainom iz klasine nebeske mehanike. Ova jednaina imarealnireenja (1) (1) (1)1 2, , ,n n nE E E .Akosusvaovareenjameusobnorazliitaondaje degeneracija skinuta potpno. Sa druge strane, moe se desiti da su neka reenja viestruka i u tom sluaju degeneracija je skinuta delimino. Ovako zaostala degeneracija moe da se skine viim redom teorije perturbacije, ali moe se desiti da se zaostala degeneracija ne moeskinutibilokojimredomperturbacioneteorije.Ovakavsluajnastajekad 0H i ' H imaju zajednike osobine simetrije. Zadatuvrednostr ,koeficijenti rsc ( 1, 2, , ) s = kojiodreujukorektnu neperturbovanutalasnufunkcijunultogreda (0)nr mogudasedobijuzamenom (1)nrE u sistem jednaina (47) i reavnjem tog sistema. Ova procedura ne mora da da jedinstveni rezultat jer moe da se desi da ima vie meusobno jednakih (1)nrEa to je onaj sluaj kad imamo delimino skidanje degeneracije. Jasnoje,izprethodnediskusije,daseodreivanjekorektnetalasnefunkcijenultogreda (0)nr svodinanalaenjesoptveneortogonalnelinearnekombinacijeoriginalnih(nultog reda) svojstvenih funkcija degenerisanih stanja (0)nrpa e zbog toga matrica ' (0) (0),| ' |nrns nr nsH H = ;( , 1, 2, , ) rs = (49) biti dijagonalna u odnosu na indekseris . Dijagonalni elementi ove matrica jednaki su odgovarajuim korekcijama prvog reda za energiju

'(1), nrnrnrE H = ; ( 1, 2, , ) r = (50) Kada je jednom odreena korektna talasna funkcija nultog reda (0)nrkorekcija prvog reda (1)nr zatalasnufunkcijuikorekcijadrugogredazaenergiju (2)nrE odreujusenaslian nain kao i kod perturbacije nedegenerisanog nivoa. Interesantno je napomenuti da ako su svi nedijagonalni matrini elementi jednaki nuli tj. ako je ' (0) (0),| ' | 0nu ns nu nsH H = , za r s (51) a tada sekularna jednaina ima dijagonalni oblik ' (1)1, 1' (1)2, 2' (1),0 00 000 0n n nrn n nrn n nrH EH EH E = (52) Uovomsluajujepoetnaneperturbovanatalasnafunkcija (0)nr vekorektnatalasna funkcijanultogredazakonkretnuperturbaciju' H .Utakvomsluaju,reenja (1)nrE su odmah odreena relacijom

(1) ', nr nr nrE H = ,( 1, 2, , ) r = (53) a to znai da u analizi problema degeneracija ne igra nikakvu ulogu. Ovakva situacija se javljakadaneperturbovanastanjamogunajedinstvennaindaseodredepreko svojstvenih funkcija operatora koji (svi) komutiraju sa perturbacijom ' H . Dvostruko degenerisani nivo Kaojednostavanprimerrazmatramosluajkadajeneperturbovaninivodvostruko degenerisa.Nekasu (0)1 i (0)2 linearnonezavisneortonormiranetalasnefunkcijenultog redakojeodgovarajuposmatranomnivou.Sistemlinearnihhomogenihjednaina(47) svodi se na dve jednaine to u matrinom obliku ima formu ' (1) '1 11 12' ' (1)2 21 220r rr rc H E Hc H H E| | | | = | |\ \ (54) gde je ' (0) (0)| ' |ij i jH H = ;, 1, 2 i j = . Sekularna jednaina u ovom sluaju je

' (1) '11 12' ' (1)21 220rrH E HH H E= (55) Reavanjem (55) dobijamo dva reenja za energiju ( ) ( )122 2(1) ' ' ' ' '1 11 22 11 22 121 142 2E H H H H H = + + + (56 a) ( ) ( )122 2(1) ' ' ' ' '2 11 22 11 22 121 142 2E H H H H H = + + (56 b) iskoristilismoinjenicudaje ' '*21 12H H = .Ako(56a)i(56b)ubacimou(54)isredimo dobijamo ' ' (1)1 12 22' (1) '2 11 21r rr rc H H Ec H E H= =; 1, 2 r =(57) Normirana korektna talasna funkcija nultog reda za1 r =je

(0) (0) (0)1 11 1 12 2c c = +(58 a) a za2 r =

(0) (0) (0)2 21 1 22 2c c = +(58 b) Izborom faza koeficijenata 1 rc tako da budu realni i pozitivni nakon prostog izraunavanja dobija se ( )1212' '11 2212 2' ' '11 22 1211 ( 1)24rrH HcH H H = + (59 a)

( )1212' ' '1 12 11 222 '2 2' ' '1211 22 12| | 1( 1) 1 ( 1)24r rrH H HcHH H H+ = + (59 b) Interesantan specijalni sluaj nastaje kad je ' '11 220 H H = =i' '*12 210 H H = (60) u tom sluaju iz (54) dobijamo prost rezultat (1) '1 12| | E H = + ,(1) '2 12| | E H = (61) a na osnovu (57) i (61) dobija se '11 21 12'12 22 12| |c c Hc c H= = (62) Primeujemodaseoriginalnadegenerisanastanja (0)1 i (0)2 potpunomeanapotoje 1 2| | | |r rc c = . Drugi poseban sluaj nastaje kad su nedijagonalni matrini elementi nula ' '*12 210 H H = = (63) atoznaidadegenerisanastanja (0)1 i (0)2 nisumeusobnopovezanauprvomredu.U ovom sluaju imamo (1) '1 11E H = i (1) '2 22E H =(64) a to je poseban sluaj relacije (53). Kvazi degenerisana stanja Posmatraemosadasluajkadajenepeturbovanaenergijenivoaskoro(alinepotpuno) degenerisana.Naprimer,razmatramoatomvodonikanakojijeprimenjenanekaspljna perturbacija. Interesantno je pokazati kako moe da se primeni perurbaciona tehnika za ovako specijalan sluaj kao to je kvazidegeneracija. Jednostavnostiradiposmatraemodvaskorodegenerisanastanjaijesuneperturbovane funkcije (0)1 i (0)2 kojima odgovaraju energije (0) (0)1E E = + i(0) (0)2E E = +(65) koje se meusobno razlikuju za2 . Na zadatak je da reimo redingerovu jednainu

0( ')r r rH H E + = ; 1, 2 r = (66) Razloimo nepoznatu funkciju po neperturbovanim stanjima

(0) (0) (0) (0)1 1 2 21,2r rk k r r rk kk ka a a a = = + + (67) Naosnovuveizloeneperturbacijoneteorijedegenerisanognivoaakosudvastanja degenerisana(akoje0 = )tadasekorektnetalasnefunkcijenultogreda (0)1 i (0)2 dobijajuformiranjemlinearnekombinacijefunkcija (0)1 i (0)2 (videti(58)). Oekujemo naravno, da ova linearna kombinacija bude vana i za sluaj koji razmatramo. Zaista, ako zamenimo (67) u (66)i uzmemo u obzir (0) (0) (0)0 n n nH E =dobijamo (0) (0) (0) (0)' ; 1, 2rk k k rk k r rk kk k ka E a H E a r + = = (68) Ako(68)pomnoimoslevasa (0)*,integralimoposelomprostoruiiskoristimo (0) (0)|k k = dobiemo (0) '( ) ,r r rk kka E E a H = 1, 2 r = (69) gdeje ' (0) (0)| ' |k kH H = ,tojeuobiajenaoznaka.Jednainu(69)moemoda napiemo detaljnije . Za1 = imamo (0) ' ' '1 1 11 2 12 11,2( )r r r rk kka E H E a H a H + + = (70 a) a za2 = ' (0) ' '1 21 1 2 22 21,2( )r r r rk kka Ha E H E a H + + = (70b) i za1, 2 imamo (0) ' ' '1 1 2 21,2( ) ,r r r r rk kka E E a H a H a H = (70c) Potojeenergetskarazlikaizmeustanja (0)1E i (0)2E mala( 2 )desnestranejednaina (70a)i(70b)sureda 2 imogudasezanemareakosezadrimodolinearnihlanova po .Naosnovuoveaproksimacijejednaine(70a)i(70b)sesvodenasistemdve homogene jednaine to u matrinom obliku moe da se napie na sledei nain (0) ' '1 1 11 12' (0) '2 21 2 220r rr ra E H E Ha H E H E | | + | | = | |+ \ \ (71) Izjednaavanjem determinante ovog sistema sa nulom dobijamo dve vrednosti za energiju { }12 2(0) (0) ' ' (0) (0) ' ' 2 ' 21 2 11 22 1 2 11 22 121 1( ) ( ) 4 | |2 2rE E E H H E E H H H = + + + + + + (72) znak + odgovara sluaju1 r = asluaju2 r = . Na osnovu relacije (71) moe da se pie ' (0) '1 12 2 22(0) ' '2 1 11 21r rr ra H E H Ea E H E H + = = + (73) Ispitajmodetaljnijerezultat(72).Ugraninomsluaju0 imamo (0)1 1E E = i (0)2 2E E = . Ako bi primenili teoriju perturbacije nedegenerisanog nivoa imali bi

(0) '1 1 11E E H = +(0) '2 2 22E E H = +(74)Srednja vrednost energije sa popravkom prvog reda je

( )(0) ' (0) '1 11 2 2212E E H E H = + + +(75a) a razlika energija prvog reda

( )(0) ' (0) ' ' '1 11 2 22 11 222 ( ) E E H E H H H = + + = + (75b) Relacija (72), na osnovu (75) moe da se napie u obliku

12 22 ' 212| |2rEE E H | |= + ` |\ ) 1, 2 r = (76) Ovaj rezultat ima nekoliko interesantnih osobina Dvaenergetskanivoa 1E i 2E podjednakosuudaljenaodsrednjevrednosti E .Efekat lana 2 ' 212| | H uvek poveavarazliku meu nivoima a to znai on spreava da doe do preklapanja odnosno do pojave stverne degeneracije. Ako veliina 2 ' 212| | H moe da se zanemariuodnosuna ( )22E vraamosenanedegenerisansluajodnosnonarelaciju (74).Suprotno,kadaje ( )22 ' 212| |2EH tadasudvaenergetskanivoadata aproksimativno kao '12| |rE E H = 1, 2 r = (77) Akosuneperturbovaneenergije (0)1E i (0)2E stvarnodegenerisane( 0 = )rezultat(76)se svodinarezultatkojismodobilikadsmorazmatralidvostrukodegenerisaninivo.U sluajudaje ' '11 220 H H = = situacijajeveomajednostavna.Tadaje ( )(0) (0) (0)1 2/ 2 E E E E = + = ,/ 2 E =pa relacije (76) postaje

{ }1(0) 2 2 ' 2 212| |rE E H = + 1, 2 r =(78) Dakle,za 2 2 ' 212| | H dobijamonedegenerisanirezultat (0)rE E = dokza 2 2 ' 212| | H dobijamoenergetskevrednosti (0) '12| |rE E H = kojismovedobili koristei perturbacionu teoriju degenerisanog nivoa. Varijacioni metod Ovde'emopokazatijojedanmetodzapriblinoodreivanjeenergijevezanihstanjai odgovarajuihtalasnihfunkcijavremenskinezavisnoghamiltonijana H .Oznaiemose nE svojstvenuvrednostovohhamiltonijanaasa n odgovarajueortonormirane svojstvenefunkcijeipretpostaviemodaH imabarjednovezanostanje.Nekajeproizviljna, kvadratno integrabilna funkcija i neka je[ ] Esledea funkcionela [ ]**| ||HdHEd = = (79)gde se integrali po celom prostoru koji je od interesa za posmatrani sistem. Jasnojeda,akoje identinajednojodsvojstvenihfunkcije n hamiltonijanaH ,tj. akoje nH E = ,tadae[ ] E bitiidentinaodgovarajuojegzaktnojsvojstvenoj vrednosti nE . Zaista, u tom sluaju iz (79) sledi [ ]| | || |nnE HE E = = = (80) tavie, pokazaemo da bilo koja funkcijaza koju je hamiltonijan stacionaran je jedna svojstvenafunkcijadiskretnogspektrahamiltonijanaH .Akose i n razlikujuza proizvoljnu infinitezimalnu varijacijutj. ako je

n = + (81) tada odgovarajua varijacija prvog reda za energiju nestaje pa je 0 E =(82) isvojstvenefunkcijehamiltonijanasureenjavarijacionejednaine(79).Dabismo pokazali ovo najpre emo da variramo brojilac u (79) i time dobijemo

* * * * *E d E d E d Hd H d + + = + (83) Poto je| konana i nenegativna veliina relacija (82) moe da se napie u obliku

* *( ) ( ) 0 H E d H E d + = (84) Mada, strogo gledano varijacijei *nisu nezavisne, u naem sluaju mogu tako da setretirajujersetimepravigrekakojasemoezanemariti,azatopojedinelanoveu (84) moemo da izjednaimo sa nulom. Zameniemo proizvoljne varijacijesai , a to (84) prevodi u

* *( ) ( ) 0 i H E d i H E d + = (85) Kombinovanjem (84) i (85) dobijamo dve jednaine

* *( ) 0, ( ) 0 H E d H E d = = (86) atosmoustvariihteli.Potojehamiltonijanermitskioperatorovedvejednainese svode na jednu oblika [ ] ( ) 0 H E = (87) koja je ekvivalentna redingerovoj.Iz toga sledi da bilo koja funkcija n =za koju je funkcionela(79)stacionarna,svojstvenajefunkcijahamiltonijanasasvojstvenom vrednou[ ]n nE E . Obrnuto, ako je n svojstvena funkcija hamiltonijanaHa nE je odgovarajuaenergijatadaje[ ]n nE E = ifunkcionela[ ]nE jestacionarnajer n zadovoljavajednaine(86).Vanojenapomenutidaakose i n razlikujuza(kao u (81)), tada varijacioni princip (82) uslovljava da najvei lan razlike izmeu[ ] E i stvarnesvojstvenevrednosti nE jekvadratanpo .Dakle,grekauodreivanju aproksimativneenergijedrugogjeredapo kadaseraunaprimenom(79). Napominjemodajefunkcionela(79)nezavisnaodnormiranjaiodfazefunkcije . Napred dobijeni rezultat moe da se dobije variranjem funkcionela| | H po uslovom | 1 =a to se svodi na

* *0,1 Hd d = = (88) AkouvedemoLagranevmnoiteljioznaimogasaE varijacionujednainumoemo da napiemo u obliku * *0 Hd E d = (89) ili

* *( ) ( ) 0 H E d H E d + = (90) tojeidentinojednaini(84)anaosnovutogavidimodaLagranevmnoitelj predstavlja svojstvenu vrednost energije. Vana, dodatna osobina funkcionele (79)je da omoguavadaseodredigornjagranicastvarneenergijeosnovnogstanja 0E .Dabi dobilitajrezultatrazloimoproizvoljnu,kvadratnointegrabilnufunkciju po kompletnom skupu svojstvenih funkcija n . Dakle,

n nna =(91) Zamenom poslednjeg izraza u (79) dobijamo

[ ]22| || |n nnnna EEa = (92) U dobijanju poslednjeg izraza iskoristili smo relacije n n nH E =i 2| | |nna =. Akooduzmemo 0E (najniasvojstvenavrednostenergije)odobestranerelacije(92) dobijmo [ ]200 2| | ( )| |n nnna E EE Ea =(93) Poto je 0 nE E desna strana jednaine (93) nenegativna jepa je stoga 0[ ] E E (94) a to znai da funkcionela[ ] E daje gornju granicu (glavni minimum) energije osnovnog stanja. Osobina(94)iniosnovuRelej-Ricovogvarijacionogmetodazaodreivanjepribline vrednosti energije osnovnog stanja 0E . Ovaj metod se sastoji u razvoju funkcionele[ ] E korienjemprobnefunkcije kojazavisiodizvesnogbrojavarijacionihparametara (najmanjejedan).Natajnain[ ] E postajefunkcijavarijacionihparametara,a minimiziranjem[ ] E biramoonajparametarkojinajboljeaproksimira 0E asamimtim odreujei .Nemareceptazaizborprobnefunkcije.Izborzavisiodspecifinosti posmatranog problema . Najbolja je ona probna funkcija koja sadri najvie informacija o posmatranomproblemu.Vaankriterijumpriizboruprobnefunkcijejedaonabudeto jednostavnijaadapriatojemoguevieinformacijaosistemu.Zaizborsekoriste nekeosobinesimerijeposmatranogproblema.Neminovnojedaboljeprobnefunkcije sadrevievarijacionihparametaraatooteavaraunanje.Umenostistraivaadolazi do izraaja u dobrom izboru probne funkcije. Relej-Ricovvarijacionimetodmoedaseprimeniizaodreivanjegornjegranice energijepobuenihstanjazahtevomdaprobnafunkcijabudeortogonalnanasve energetskesvojstvenefunkcijekojeodgovarajustanjimakojeimajuniuenergijuod energijenivoakojiposmatramo.Dabiovoproveriliposmatrajmoenergetskenivoe 0 1 2,,,E E E i neka probna funkcija bude ortogonalna na energetske svojstvene funkcije n (n=0,1,... ,i) odnosno neka je | 0n =n=0,1,... ,i(95) Ako razvijemo po { }nimamo|n na = n=0,1,... ,i a funkcionela [ ] E postaje

[ ]2121| || |n nn inn ia EEa=+=+= (96) tako da je 1[ ]iE E += (97) Kaoprimerpretpostavimodajesvojstvenafunkcijanajnieenegije 0 poznataidaje probna funkcija. Ako formiramo funkciju 0 0| = (98) ona je ortogonalna na 0 poto je

0 0 0 0 0| | | | 0 = = (99) Dakle moedaseiskoristidasedobijegornjagranicaenergije 1E gdeje 1E stvarna energija prvog pobuenog nivoa. Nanesreuumnogostinimprimanamasvojstvenefunkcijeniihnivoanisutano poznate ve se znaju samo aproksimativno, pa zbog toga uslov ortogonalnosti moe biti naruen i mogu se dobiti loi rezultati. Primenavarijacionograunanapobuenastanjamoebitiolakanaakohamiltonijan sistemaimanekeosobinesimetrijejerutomsluajurelacijeortogonalnostimogu eksplicitnodabuduispunjenezanekastanja.Pretpostavimonprdapostojiermitski operatorA koji komutira sa hamiltonijanom [ , ] 0 A H =(100) takodaoperatoriAiH moguistovremenodasedijagonalizujuiimajuzajednike svojstvenefunkcije.Sdrugestrane,svojstvenefunkcijeoperatoraAkojeodgovaraju razliitimsvojstvenimvrednostimameusobnosuortogonalne.Naosnovuovoga,ako konstruiemoprobnufunkciju samoodsvojstvenihfunkcijatakodaodgovaradatoj svojstvenoj vrednosti operatoraAta probna funkcija e biti ortogonalnana sve druge svojstvenefunkcijekojeodgovarajudrugimsvojstvenimvrednostimaoperatoraA. Ovakoodabranaprobnafunkcijadajenajniienergetskinivopridruensvojstvenoj vrednosti operatoraA. Ovakvo razmatranje praktino je upotrebljivo kada svojstvena funkcija operatoraAima proste osobine simetrije, npr. istu parnost . APROKSIMATIVNE METODE ZA VREMENSKI ZAVISNE PROBLEME Vremenski zavisna teorija perturbacije, opte osobine Posmatramo sistem iji vremenski zavistan hamiltonijanH moe da se podeli na dva dela na sledei nain '0( ) H H H t = +(101)gde neperturbovani deohamiltonijana 0Hne zavisiod vremena a perturbacija zavisi od vremena.Kaoikodvremenskinezavisneperturbacijeparametar smatramomalima njegovuvrednostodreujeprirodaposmatranogproblema.Kadje0 problemse svodinapoznatineperturbovaniproblem.Dakle,potrebnojedaznamodareimo neperturbovanisluaj,odnosnodaznamosvojstvenevrednostihamiltonijana (0)kE i odgovarajuesvojstvenevrednosti (0)k kojeformirajukompletanskup (0){ }k .Dakle znamo reenje problema (0) (0) (0)0 k k kH E = (102) pajenaosnovutogaoptereenjevremenskizavisneneperturbovaneredingerove jednaine

00 0i Ht= (103) dato kao

( )(0) (0) (0)0exp /k k kkc iE t = (104) gdesu (0)kc konstanteasumiranjeobuhvatadiskretnastanjaistanjakontinuma(kuoliko ovih ima po njima se integrali). Ako je 0normirana na jedinicu (0) 2| |kcinterpretiramo kaverovatnoenalaenjasistemauneperturbovanimenergetskimstanjima (0)k u odsustvu perturbacije ( 0 = ). PotohamiltonijanH zavisiodvremenanepotojestacionarnaseenjaredingerove jednaine i Ht= (105) ienergijaseneodravapanemasmislatraitipopravkeenergije.Prematome,problem se svodi na odreivanje aproksimativne talasne funkcijepreko neperturbovanh talasnih funkcija (0)k .Za ovo odreivanje koristiemo Dirakov metod varijacije konstanti. Primetimonajpredapotofunkcije (0)k formirajukompletanskupoptereenje jednaine (105) moe da se razvije u red na sledei nain

( )(0) (0)exp /k k kkc iE t = (106) gdenepoznatikoeficijenti( )kc t zaviseodvremena.Izinjenicedasefunkcije (0)k ortonormiraneidatrebadabudenormiranalakosevididaje 2 (0) 2| ( ) | | | ( ) |k kc t t = verovatnoanalaenjasistemauneperturbovanomstanju (0)k u vremenuta( )kc t je odgovarajua amplituda verovatnoe. Iz reenog sledi

2| ( ) | 1kkc t =(107) Akouporedimo (104) (106) vidimo da ako nema perturbacije ( 0 = ) koeficijenti( )kc tsvodesena (0)kc ,pasu (0)kc poetnevrednostizakoeficijente( )kc t iodreujustanje sistema pre poetka delovanja perturbacije. Dabinalijednainezaodreivanjekoeficijenata( )kc t zamenimo(106)u(105)i iskoristimo (101). Na taj nain dobijamo (0) (0)(0) (0) (0)(0)' (0)0( )exp ( ) exp( ) ( ) expkk kk k k kk kkk kkdc tiE t iE ti c t EdtiE tH Ht c t | | | | + ||\ \ | | = + | \ (108) Ako iskoristimo (102) jednaina (108) se svodi ma jednostavniji oblik

( ) ( )( 0) ( 0)(0) ' (0)( ) exp ( ) ( ) expk kiE t iE tk k k kk ki c t H tc t = (109) Ako(109)pomnoimoslevasa (0)b ,kojapripadakompletnomskupu (0){ }k ,i iskoristimo (0) (0)|b k bk =dobijamo ( )1'( ) ( ) exp( ) ( )b bk bk kkc t i H t i tc t = (110) gde ' (0) ' (0)| ( ) |bk b kH Ht = matrinielementperturbacijei (0) (0)b kbkE E=Borova ugaonauestanost.Sistemjednaina(110)zaodreivanjekonstanti bc jesistemvezanih jednainaprvogredakojesuekvivalentneredingerovojjednainijerdosadanicmo napravilibilokakvuaproksimaciju.Zabilokojeb vremenskiizvod/bdc dt zavisiod svihstanja (0)k povezanihsa (0)b prekomatrinihelemanata ' (0) ' (0)| ( ) |bk b kH Ht = . Ovomoedaserazumeprekorelacije(107)kojaizraavaodranjeverovatnoe,jer promenajednogkoeficijenta bc uslovljavapromenusvihostalihupravopremarelaciji (107).Pretpostavimo da je perturbacija 'H slaba. Koeficijenti kc moemo da razvijemo u red po stepenima parametra (0) (1) 2 (2)k k k kc c c c = + + + (111) Zamenomovogizrazausistem(110)iizjednaavanjemkoeficijenatauzistestepene dobijamo

( )( )(0)1(1) ' (0)1( 1) ' ( )0( ) exp( ) ( ) exp( )bb bk bk kks sb bk bk kkcc i H t i t cc i H t i t c+=== (112) Ove jednaine mogu, u principu, da se integrale sukcesivno za bilo koji red perturbacije. Prvajednainapokazujedasekoeficijentinezavisniodvremena,vesmoreklida konstante (0)kc definiupoetneuslovezaposmatraniproblem.Pretpostaviemodaje sistem u poetku (recimo za 0t t ) u neperturbovanom stanju (0)asa energijom (0)aE , pa je zato (0)k kac =ili (0)( )kc k a = (113) u zavisnosti od toga da li je stanje (0)a diskretno ili iz kontinuuma. Zameno (113) u drugu jednainu iz (112) dobijamo ( )1(1) '( ) ( ) exp( )b ba bac t i H t i t = (114) gde je ( )(0) (0)/ba b aE E = . Reenje jednaine (114) je ( )( )001(1) '1(1) '( ) ( ')( ) ( ') exp( ') ' ta aattb aa batc t i H tc t i H t i t dt b a == (115) gdejeintegracionakonstantaodreenatakoda (1)( )ac t i (1)( )bc t budunulaza 0t t = , odnosnodabudunulapreukljuenjaperturbacije.Uprvomreduperturbacije verovatnoa prelaza iz stanja (0)au stanje (0)bje ( )022(1) (1) 2 '( ) ( ) ( ') exp ' ' ,tba b ba batP t c t H t i t dt b a = = (116) Vanojenapomenutidajeza 0t t > koeficijent ac kojiodgovarastanjua uprvomredu perturbacije ( )0 01(0) (1) ' '( ) ( ) 1 ( ') ' exp ( ') 't ta a a aa aat tic t c c t i H t dt H t dt + + (117) takodaje 2| ( ) | 1ac t iglavniefekatperturbacijenapoetnostanjejepromenanjegove faze. Vremenski nezavisna perturbacija Rezultat(115)dobijaposebnojednostavanoblikakoperturbacija' H nezavisiod vremena,izuzevtoebitinagloukljuenautrenutku,recimo 00 t = iiskljuenaposle vremenat .

( )( )1(1) ''(1)( )( ) 1 exp ;a aabab babc t i H tHc t i t b a == (118) Iz(117)iprverelacije(118)odreujemokoeficijent( )ac t uprvomreduteorije perturbacije

'( ) expa aaic t H t| | |\ (119)odnosno ( ) ( )(0) (0) (0) (0) '( ) exp / exp ( ) /a a a a a aac t iE t i E H t + (120) Vidimo da u prvoj aproksimaciji vai (jer perturbacija dok deluje ne zavisi od vremena pa se energija odrava)

(0) 'a aaE E H + (121) tosepoklapasarezultatomstacionarneteorijeperturbacijenedegenerisanognivoa. Koristei(116)i(118)verovatnoaprelazaizstanjaa ustanjeb moedasepretstavi izrazom ( )2(1) '2( ) ,ba ba baP t H Ft = (122) gde je 22 21 cos 2sin ( / 2)( , )t tFt = = (123) trebazapazitidaje 2( , 0) / 2. Ft t = = Zadaljeprimeneuteorijiperturbacijedetaljno emoprouitifunkciju( , ) Ft .Posmatranafunkcijaimaotarmaksimumoko0 = . Visina pika je proporcionalna sa2t a irina sa2 / . t Ako uvedemo/ 2 x t =moemo da piemo

22sin( , )xFt d t dx tx + + = = (124) Ako se posluimo sledeom definicijom Dirakovefunkcije [ ]20( ) lim 1 cos( / x xx += (125) dobijamo da u graninom sluajut vai( , ) ( )tFt t (126) Vratimoserezultatu(122)ianalizirajmonajpresluajzafiksiranuvrednostt .Poto funkcija ( , )baFt ima otar maksimum oko0ba =sa irinom koja je aproksimativno data sa2 / t jasno je da prelaz u finalno stanjeb za koje banije razliito od nule vie nego2 /bat jeveomafavorizovan.Zbogtogajenajveaverovatnoadasistem pree u jedno od stanja sa energijom (0)bE u intervalu 2 / E t (127) okopoetneenergije (0)aE atoznaidaseneperturbovanaenergijaodravaunutar intervala2 / t . Ovo moemo da poveemo sa relacijom neodreenosti vreme energija. Zaista, poto perturbacija daje nain merenja energije sistema izazivanjem prelazaa b ipotoovaperturbacijadelujeutokuvremenat toeneodreenostenergijebitireda / t to je u saglasnosti sa relacijom neodreenosti vreme energija. Nedegenerisan sluaj Akoje0ba (konanostanjeb nijedegenerisanosapoetnimstanjema )naosnovu (122) i (123) sledi ( )2'(1) 22 24( ) sin / 2baba babaHP t t =(128) ividimoda (1)( )baP t oscilujesaperiodom2 | |baT = okosrednjevrednosti ' 2 2 22| |ba baH . Takoe je 2'(1)2 24( )bababaHP t (129) ako je vremetmalo u odnosu na period oscilovanja tada jesin( / 2) / 2ba bat t tako da je (1) 2 2 2( ) | | /tba baP t H t , a to znai da v erovatnoa prelaza raste kvadratno sa vremenom. Ukupna verovatnoa (prvog reda) (1)( ) P tda sistem za vremetpree iz poetnog stanja a ukonanostanjeb dobijasesabiranjemvervatnoaprelaza(128)posvimfinalnim stanjimab a (podrazumevajui da stanjab nisu degenerisana saa ). Dakle

' 2(1) (1) 2 (0) (0)(0) (0) 24 | |( ) ( ) sin [( ) / 2 ]( )baba b ab a b ab aHP t P t E E tE E = = (130) Jasno je da bi perturbacioni tretman bio dobar neophodno je da bude (1)( ) 1 P t (131) Ako je ovaj uslov ispunjen individualne verovatnoe prelaza e biti male (1)( ) 1baP t (132) atoznaidaepromenepoetnogstanjabitimaleutokuvremenat .Iz(129)i(130)i injenice 2sin 1 x moemo da dobijemo ulov primenljivosti perturbacionog tretmana

' 2(0) (0) 24 | |1( )bab ab aHE E (133) Poto je stanje nedegenerisano (0) (0)0b aE E pa se uslov primenljivosti svodi na zahtev da perturbacija bude mala, odnosno da matrini elementi 'baHbudu mali. Degenerisan sluaj Poasmatrajmo sada sluaj u kome je0ba = , a tada je (0) (0)b aE E = . To znai da su stanja aib istih energija, odnosno degenerisana. Na osnovu (118) imamo (1) '( )b baic t Ht = (134) pa je verovatnoa prelaza 2'(1) 22( )babaHP t t = (135) i raste sa kvadratom vremena do beskonanosti. Prema tome izloena teorija ne moe da se primenjuje na degenerisane sisteme ako su ovi dugo podvrgnuti dejstvu perturbacije. Sistem sa dva nivoa pod dejstvom vremenski nezavisne perturbacije Kaoprostuilustracijuprethodnediskusijerazmotriemokvantnisistemkojiimasamo dvastacionarnastanjaa ib saneperturbovanimenergijama (0)aE i (0)bE sa odgovarajuim svojstvenim funkcijama(0)ai(0)b . Dvonivovski sistem je idealizacija, aliumnogimprimenamamoedabudeodinteresapasezatoprouava.Posmatraemo odvojeno ne degenerisan i degenerisan sluaj. Nedegenerisan sluaj. U ovom sluaju vai (0) (0)( ) / 0ba b aE E = . Pretpostaviemo daje (0) (0)b aE E > idajea osnovnostanje.Pretpostavimotakoedasekonstantna perturbacija' H ukljuujeutrenutku0 t = .Sistemjednaina(110)svodisenadve jednaine prvog reda ' '' '( ) ( ) exp( ) ( )( ) exp( ) ( ) ( )a aa a ab ba bb ba ba a bb bi c t H c t H i tc ti c t H i tc t Hc t= + = + (136) sa1 = . Pre poetka delovanja perturbacije sistem je bio u stanjuapa su poetni uslovi ( 0) 1, ( 0) 0a bc t c t = = (137) Jednaine (136) su dovoljno proste i mogu analitiki da se ree. Uz granine uslove (137) reenja su:

[ ]'( ) exp( ) cos sin( ) exp( ) ( ) sinabab bac t i t t i tHc t i i t i t t = + = (138) gde je ( )( )( )' '122 2' ' ''' '121 1412aa bb babb aa ba baaabb aa baH HH H HHH H = + + = + + = + = (139) Verovatnoa nalaenja sistema u osnovnom stanjuau vremenu0 t >data je relacijom

2' 222 2 22 2 '| |( ) cos sin 1 sin| |baabaHc t t t tH | |= + = |+\ (140) U raunanju smo iskoristili 2 2 ' 2| | /baH = . Verovatnoa nalaenja sistema u pobuenom stanjub u trenutkut(odnosno verovatnoa da se desi prelaza b ) je

' 2 ' 22 2 22 2 2 2 ' 2| | | |( ) | ( ) | sin sin| |ba baba bbaH HP t c t t tH = = =+ (141) Lako se, na osnovu (140) i (141) proverava da je 2 2| ( ) | | ( ) | 1a bc t c t + = . Takoe se lako vididasistemoscilujeizmeudvanivoasaperiodom/ T = .Potoznamotano reenjeovogproblemamoemodagaiskoristimodaproverimouspenostperturbacije prvog reda.Primenom teorije perturbacije prvog reda na ovaj problem dobija se

[ ](0) (1) 1 ' ''(1)( ) ( ) 1 ( ) exp( / )( ) ( ) 1 exp( )a a a aa aabab b babac t c c t i H t iH tHc t c t i t + = + = (142) to se svodi na tano reenje u prvom redu po' Hza malo t. Degenerisansluaj.Vratimosesituacijigddesudvaenergetskanivoadegenerisana tako da je (0) (0) (0)a bE E E = = . Kao prost primer posmatraemo sluaj gde je ' '0aa bbH H = =a 'baH jerealnaipozitivnaveliina.Koristeirezultatevremenskinezavisneteorije perturbacije degenerisanog nivoa dobijamo normirane talasne funkcije nultog reda ( )( )(0) (0)(0) (0)1212a a ba a b = += (143)Odgovarajueenergijeuprvomreduteorijeperturbacijesu (0) 'baE H + i (0) 'baE H respektivno.Neka je sistem u potnom trenutku0 t =bio u stanju (0)apa je zato

(0)( 0)at = =(144) Potosu (0) (0) 'exp[ ( ) / ]a bai E H t + i (0) (0) 'exp[ ( ) / ]b bai E H t stacionarnastanja (aproksimativno)talasnufunkciju( ) t za0 t > moemodanapiemokaolinearnu kombinaciju (0) (0) ' (0) (0) '1 2( ) exp[ ( ) / ] exp[ ( ) / ]a ba b bat c i E H t c i E H t = + + (145) Koeficijenti 1ci2codreeni su poetnim uslovima (145) i relacijom (144). I zaista

(0) (0)1 2(0) (0) (0) (0)1 2(0)( 0)1 1( ) + ( ) 2 2 a ba b a bat c cc c = = += + =(146) daje 1 21/ 2 c c = =pa je (0) (0) ' (0) (0) '(0) (0) ' (0) '(0) (0) ' (0) '1 1( ) exp ( ) / exp ( ) /2 21exp( / ) [ exp( / ) exp( / )]2 exp( / )[ cos( / ) sin( / )]a ba b baa ba a baa ba b bat i E H t i E H tiE t iHt iHtiE t Ht i Ht = + + + = + = (147) U trenutku0 t = ova funkcija je tano jednaka (0)a . Kad vreme krene talasne funkcije (0)b nadolaziodnosnopoinjedaseodvijaprelazizmeu (0)a i (0)b .Poslevremena '2batH= sistem je potpuno u stanju (0)ba zatim se vraa u stanje(0)ai nakon vremena'batH=kompletnojeutomstanju.Dakle,sistemoscilujeizmeudvastanja (0)a i (0)bsa frekvencom

'baH= (148) kojajeproporcionalnamatrinomelementu 'baH .Ovooscilovanjesetakoenaziva rezonancaizmeudvadegenerisananivoa.Uporedimoovajrezultatsapredvianjem vremenski zavisne perturbacije prvog reda. Na osnovu perturbacionog prilaza koeficijent bcza stacionarno stanje (0) (0)exp( / )biE t linearan je po vremenu prema relaciji (134). Na osnovu (147) vidimo da je '( ) sin( / )b bac t i Ht = (149) to se slae sa (134) za malot . Meutim sa porastom (prolazom) vremena rezultat (134) poinje sve vie da odstupa od (149) a to znai da perturbaciona teorija prestaje da vai. Prelaz u grupu konanih stanja. Zlatno pravilo Ovde emo posmatrati prelaz u grupu konanih stanjanija energija nE lei u intervalu (0) (0)( , )b bE E + .Ovojesluajakoposmatramoprelazizdiskretnogstanjaustanja kontinuuma. Oznaimo sa( )nE gustinu nivoa po energetskoj skali tako da je( )n nE dE brojkonanihstanjan uintervalu ndE kojisadri nE .Pretpostaviemodaje perturbacija konstantna u vremenu, da se ukljuuje u0 t =i iskljuuje posle vremenat . Verovatnoaprelazauprvomreduteorijeperturbacije (1)( )baP t izstanjaa ugrupu konanihstnjan kojaimajuenergijuuintervalu (0) (0)( , )b bE E + oko (0)bE dobijase mnoenjem (1)( )naP t(to je dato u (122)) sa( )n nE dE i integracijom po nE .

(0)( 0)(1) ' 222( ) | | ( , ) ( )bbEba na na n n nEP t H Ft E dE += (150) gdeje (0)( ) /na n aE E = .Akoje dovoljnomalotakodasu 'naH i( )nE skoro konstani u oblasti integracije imamo

( 0)( 0)(1) ' 2 (0)22( ) | | ( ) ( , )bbEba ba n b na nEP t H E Ft dE +=(151) Pretpostaviemo takoe da jetdovoljno veliko tako da veliina zadovoljava uslov 2 / t (152) Naosnovuoblikafunkcije( , ) Ft jasnojedajevrednostintegralanadesnojstrani relacije(151)veomamalasemzaprelazeprelazekojiodravajuenergiju(tjsemu intervalu2 / E t = atoznaidaneemonapravitivelikugrekuakointerval integracije proirimo na beskonanost (0)( 0)( , ) ( , )bbEna n na naEFt dE Ft d t ++ = (153) Na osnovu ovoga(151) se svodi na

(1) ' 222( ) | | ( )ba ba n bP t H E t = (154) sa (0) (0).a bE E E = = Dakle,verovatnoaprelazarastelinearnosavremenom.Pogodnoje da se uvede verovatnoa prelaza u jedinici vremena ili mera prelaza babadPWdt=(155) a to u posmatranom sluaju posatje

' 22| | ( )ba ba nW H E =(156) Ova formula je poznata kao zlatno pravilo perturbacione teorije. Ovde smo ovo pravilo izvelu sa pretpostavkom da je perturbacija' H konstantna dok deluje. Periodina perturbacija Drugisluajukomejednaina(115)dobijajednostavanobliknastajekadje perturbacija '( ) H t periodinafunkcijavremenakojaseukljuujeu0 t = aiskljuuju trenutkut .Pretpostavimodaseperturbacijemenjasinusoidalnosavremenomsa ugaonom frekvencom . Dakle, '( ) ' sin exp( ) exp( ) H t H t A i t A i t = = + (157) gdeje 'H vremenskinezavistanermitskioperatora '12A Hi= .Pretpostavimodaje sistem upoetku (recimo u0 t ) u neperturbovanom stanju (0)asa energijom (0)aE tako dasepoetniuslovi( 0) 1ac t = i( 0) 0bc t = zab a .Prema(117)imamodaje 2| ( ) | 1ac t za0 t > .Dabinali (1)( )bc t za0 t > ia b zamenimo(157)u(115)i isoristimo 00 t = . Na taj nain dobijamo (1) ' '0 01( ) exp[( ) ] exp[( ) ]t tb ba ba ba bac t A t A ti = + + ` ) (158) gde je (0) (0) '| | (2 )ba b a baA A i H = =i *ba abA A = . Sprovodei integraciju dobija se (0) (0) (0) (0)(1) (0) (0) (0) (0)1 exp[ ( ) / ] 1 exp[ ( ) / ]( )b a b ab ba bab a b ai E E t i E E tc t A AE E E E + = + + (159) ovde smo iskoristili (0) (0).ba b aE E = Na osnovu (116) odgovarajua verovatnoa prelaza u prvom redu teorije perturbacije je2(0) (0) (0) (0)(1) (0) (0) (0) (0)1 exp[ ( ) / ] 1 exp[ ( ) / ]( )b a b aba ba bab a b ai E E t i E E tP t A AE E E E + = + + (160) Jasnojeizprethodnihjednainadaakojet dovoljnovelikoverovatnoanalaenja sistema u stanjubako je imenilac jednog od lanova nula. tavie, ako pertpostavimo da je (0) (0)a bE E (tjdapoetnoikonanostanjenisudegeneriana)obaimeniocanemogu istovremenodabudunula.Moemosmatratidakoristimodobruinterakcijuako zanemarimointerakcijuizmeuovadvalana.Dakle,akoenergija (0)bE uuskojoblasti oko vrednosti (0)aE E = + (161) samo drugi lan u (160) e imati znaajnu vrednost i odgovarajua verovatnoa prelaza je 2(1) 22( ) ( , )ba ba baP t A Ft = (162)Glavna razlika u odnosu na izraz (122) je u tome to je ugaona frevenca bazamenjna sa ba . Iz osobina funkcije( , ) Ft oekujemo da je verovatnoa prelaza (162) znaajna jedino kad je (0)bE u intervalu irine2 / t oko vrednosti (0)aE + . Stoga, verovatnoa prelaza u prvom redu perturbacije bie znaajna ako je sistem apsorbovao iznos energije (0) (0)b aE E = (unutarintervala2 / t ).Verovtnoaprelaza(uprvomredu)raste kvadratino sa vrementom prema relaciji

2 ' 2(1) 2 22 2| | | |( )4ba babaA HP t t t = = (163) Na isti nain, ako energija (0)bElei u malom intervalu oko vrednosti

(0)aE E = (164) samoeprvilannadesnojstranijednaine(159)bitiznaajan.Odgovarajua verovatnoa prelaza (u prvom redu) data je izrazom

(1) 222( ) | | ( , )ba ba baP t A Ft = + (165) iimaeznaajnuvrednostjedinoakojesistememitovaoenergiju (0) (0).a bE E = ponovosejavljarezonancaakojeovajuslovupotpunostiispunjeniutomsluaju verovatnoa (165) raste sa kvadratom vremena. Potrebno je naglasiti da je u praksitdovoljno veliko( ) 2 / t tako da se dve oblasti irine2 / t okovrednosti(161)i(164)nepreklapaju.Dakle,naezanemarivanje interakcije izmau dva lana desne strane relacije (159) opravdano je. Kaoiusluajuvremenskinezavisneperturbacijemoguserazmatratiprelaziugrupu konanih stanjanija energija nE lei unutar intervala(0) (0)( , )b bE E +oko vrednosti (0) (0)b aE E = + zaapsorpcijuili (0) (0)b aE E = zaemisijusauslovom2 / t . Neka je( )n nE gustina nivoa (0)nE na energetskoj skali. Na nain kako smo to ve uradili iovdemoemodadefiniemoverovatnouprelazaujedinicivremena.Zaprelazeu kojima sistem apsorbuje energiju (0) (0)b aE E verovatnoa prelaza u jedinici vremena (u prvom redu) je 22| | ( )ba ba bW A E = (166) gdeje (0).aE E = + Prethodniizrazjedirektnageneralizacijazlatnogpravila.Za prelaze pri kojima sistem emituje energiju(0) (0)a bE E priprelazu ugrupu finalnih stanja verovatnoa prelaza u jedinici vremena je

22| | ( )ba ba bW A E =(167)ge je(0).aE E = to je takoe generalizacija zlatnog pravila.

Adijabatska aproksimacija Dosadasmoprouvalivremenskizavisnuteorijuperturbacijapodpretpostavkomdaje deohamiltonijana '( ) Ht mali.Uovojisledeojlekcijirazmatraemoaproksimativni metodukomejekljuniparametarbrzinepromenehamiltonijanasistema.Oekujemo da aproksimativno reenje vremenski zavisne redingerove jednaine ( ) i Htt= (168) moe da se dobije preko lanova ( )kt koji su renje trenutne jednaine ( ) ( ) ( ) ( )k k kHt t E t t = (169)za svaki trenutakt .U jednaini (169) eksplicitno smo istakli samo zavisnost od vremena a zavisnost od drugih promenljivih su izostavljene zbog jednostavnijeg pisanja. U ovom metodu,naosnovufizikihzahteva,oekujemodasehamiltonijan( ) Ht veomasporo menjasavremenom,pazasistemkojijeupoetku(u 0t t = )bioudiskretnom nedegenerisanomstanju 0 0( ) t saenergijom 0( )aE t moemosavelikom verovatnoomoekivatidanakonvremenat budeustanju( )at saenergijom( )aE todnosnodanijebilobilokakvihprelaza.Ovotvrenjepoznatojekaoadijabatska teorema.Dabidokazaliovutvrdnjukoristiemoadijabatskuaproksimacijukojusu razvili 1928. godine M. Born i V. Fock. Akopretpostavimodajetalasnafunkcijapoznatautrenutku 0t t = tadamoemo,za 0t t , talasnu funkciju ( )kt da razvijemo po svojstvenim funkcijama ( )kt koje su reenja jednaine (169) 0' '( ) ( ) ( ) exp ( )tk k kktit C t t E t dt = (170) uzpretpostavkuda( )kt formirajukompletanortonormiranieistem.Trenutni energetskinivoi( )kE t ,popretpostavcisunedegenerisaniiformirajuistdiskretni spektar.Frazaenergetskinivoovdejeformalneprirodejersekodvremenskizavisnog hamiltonijana energija ne ordrava. Zamenom (179) u (168) dobijamo 00' '' 'exp ( )( ) exp ( )tkk k k k k k kkttk k kkti ii C C C E E t dttiHt C E t dt | |+ + |\ = (171) Naosnovu(169)vidimodadesnastranaposlednjejednaineukidaposlednjilanleve strane.Ako pomnoimo ostatak jednaine (171) sa *( )bt ( ( )bt je iz skupa{ ( )}kt ) i integralimo po svim koordinatama i iskoristimo( ) | ( )b k bkt t =dobijamo [ ]0( ) ( ) exp ( ') ( ') 'tkb k b k bktiC t C t E t E t dtt = ` ) (172) Dobilismosistemdiferencijalnihjednainaprvogredazaodreivanjekoeficijenata ( )kC t .Pokazaemodadijagonalnilanovi( b k = )uovomsistemumogudabudu iskljueni bez gubitka optosti. Da bi to pokazali posmatrajmo najpr veliinu ( )kk ktt= (173) Ako uslov normiranja ( ) ( ) 1k kt t =diferenciramo po vremenu dobijamo

*( ) ( ) 0k kk k k kt tt t + = + = (174)odakle vidimo da je( )kt isto imaginarna veliina pa moemo da je napiemo u obliku ( ) ( )k kt i t = gdeje( )kt realno.Zbogovogakoeficijente( )kC t podvrgavamofaznoj transformaciji 0'( ) ( ) exp ( ') 'tk k ktC t C t i t dt = (175) Na osnovu (172), (173) i( ) ( )k kt i t =nalzimo skup jednaina

0' ' ' '( ) ( ) exp ( ') ( ') 'tkb k b k bk btiC t C t E t E t dtt = ` ) (176) gde je nova trenutna energija dat relacijom '( ) ( ) ( )k k kE t E t t = + (177) Trebanaglasitidafaznatransformacija(175)dovodidopromenefazasvojstvenih funkcija 0'( ) ( ) exp ( ') 'tk k ktt t i t dt = (178) Potosufazesvojstvenihfunkcijaproizvoljnezasvakivremenskitrenutakovakva promena faze moe da se primeni na sve( )kt 1.Nastaviemo sa ispitivanjemveliine kbt kad jek b .Diferenciranjem po vremenu jednaine (169) dobijamo k k kk k kE HH ET t t t + = + (179) Ako (179) pomnoimo sa *bi integralimo, zak b , nalazimo

k kb k b k kHH Et t t + = (180) Naosnovutogatojehamiltonijanermitskioperatorijednaine(169)drugilanleve strane jednaine (180) moe da se napie kao k k kb b b bH H Et t t = = (181) Zamena (181) u (180) daje ,( ) ( ) ( )k bk bkkb k bkH Ht tb kt E t E t t | | | | || \ \ = = (182) Uveli smo oznake b kbkH Ht t | |= | \ , i ( ) ( )( ) ,b kbkE t E tt b k = (183) Zapazimodaje bk uvekrazliitoodnulepotosuenergetskinivoinedegenerisani.Korienjem (182) dobijamo 0( )( ) exp ( ') '( )tkb bkk bbk t bkC t HC t i t dtt t | |= |\ (184)Ovaj sistem jednaina ekvivalentan je vremenski zavisnoj redingerovoj jednaini. Reiti ovaj sisem teko je isto kao i reiti redingerovu jednainu, jer dosad nismo napravili bilo kakvu aproksimaciju. Sistemjednaina(184)moedaselakoreikadje/ H t malo,odnosnokadse hamiltonijan sporo menja sa vremenom. Ako hamiltonijan sistema ne zavisi od vremena ( / 0 H t = )tadajereenje.bC const = zasvakob .Akoje/ 0 H t alimaloove jednainemogudasereeaproksimativno,akosestavi.kC const = nadesnojstrani jednaina.Pretpostavimodajesistemupoetku(u 0t t = )ustanjua stavimou(184) k kaC = i dobijamo 01 1( ) ( ) exp ( ') ' ,tb ba baba tHC t t i t dt b at | |= |\ (185) Zab a = imamo0kC =odnosno0aC =. Ako (185) integralimo uz poetne uslove 1 Za sluaj ciklinih sistema ova pretpostavka nije korektna. 0( ) 0, bC t t b a = (186) dobijamo 10 01 1( ')( ) ' ( ') exp ( '') '' ,'t tb ba baba t tHtC t dt t i t dt b at | |= |\ (187) Ovajrezultatjeadijabatskaaproksimacijaza( )bC t .Naosnovudosadanjegizvoenja jasno j da mora da bude verovatnoa prelazaa b veoma mala odnosno ( ) 1baP t (188) Gruba procena za( )bC tmoe da se dobije ako se pretpostavi da bai / H t ne zavise od vremena pa (187) postaje [ ]1 20( ) ( ) {exp ( ) 1}b ba babaHC t i i t tt | | |\ (189) a odavde [ ]22 4 20( ) 4 sin ( ) / 2ba ba babaHP t i t tt | | |\ (190)Ovaverovatnoaprelazanepokazujestalnopoveanjeuduemvremenskomperiodu. tavie, poto je 2sin 1 x gornja granica za( )baP tje

22 44( )bababaHtP t | | |\ (191) Kriterijum valjanosti adijabatske aproksimacije moe da se preformulie na sledei nain. Potoje2 / | |baT = periodkojiodgovaraprelazua b dajematrinielement promene hamiltonijana u toku vremena/ 2 T 12baba baH T Ht t | | | |= || \ \ (192) Naosnovu(188)(190)i(192)moemodazakljuimodajeadijabatskaaproksimacija valjana ako je 1 221bababa b aT HH tt E E | | | | | \ = | \ (193) tj. ako je matrini element promene hamiltonijana za vreme/ 2 T mali u poreenju sa razlikom energija| |b aE E .Ako se hamiltonijan veoma sporo menja sa vremenom tada je( ) / 0baH t pa je0baP a to znai da sistem koji je u poetku bio u 0( )at ostae utomstanjuastanjeevremenomdaevoluirau( )at .Ovaosobinajepoznatakao adijabatska teorema. Iznenadna (nagla) aproksimacija Razmotriemosluajkadasehamiltonijansistemasavremenommenjaveomabrzo. Najpreposmatramosluajkadsehamiltonijantrenutnopromeniutrenutku0 t = sa vrednosti 0H na vrednost 1Hkonstantnim u vremenu. Dakle za0 t imamo 1H H =pa je (1) (1) (1)1 n n nH E = (194) takoepretpostavljamoda (1)n formirajukompletanskupkojinemoradabudeisto diskretan.Optereenjevremenskizavisneredingerovejednainemoedasenapieu obliku

(0) (0) (0)( ) exp( / ),0k k kkt c iE t t = < (195) i (1) (1) (1)( ) exp( / ),0n n nnt d iE t t = > (196) gdesumiranjeukljuujediskretniikoontinualnideospektra.Akojenormirnana jedinicutadavremenskinezavisnikoeficijenti (0)kc i (1)nd predstavljajuamplitude verovatnoe nalaenja sistema u stanju (0)k u0 t . Poto je vremenski zavisna redingerova jednaina prvog reda po vremenu njena reenja morjudabuduneprekidnauvremenupamoradabudujednakaiu0 t = .Zatou0 t =imamo iz (195) i (196) (0) (0) (1) (1)k k n nk nc d = (197) Ovajizrazomoguavadasekoeficijentid izrazeprekokoeficijenatac .Obestrane jednaine (197) skalarno pomnoimo sa (1)ni dobijamo (1) (0) (1) (0)n k n kkd c =

(198) Razmatranisluajjeidealanjersmoprtpostavilidasehamiltonijanmenjatrenutno.U praksijesituacijanetodrugaija.Dopromenehamiltonijanadolaziutokunekog vremenskog intervala . Ako je je ovaj interval veoma mali moemo da stavimo0 =i danastavimorazmatranjekojimsmodobiliizraz(198).Ovaprocedurajeposnatakao iznenadna aproksimacija.Jednostavankriterijumvaljanostioveaproksimacijemoedasedobijenasledeinain. Pretpostavimodaje 0H H = za0 t < i 1H H = zat > autokuvremena 0 t < < imamo iH H = gde iH takoenezavisiodvremena.Ako ( ){ }ioznaava kompletanortonormiraniskupsvojstvenihfunkcijahamiltonijana iH ,odnosnoreenja jednaine ( ) ( ) ( ) i i iiH E = (199) ondaukupnoreenjevremenskizavisneredingerovejednainemoedasenapieu obliku razvoja (0) (0) (0)( ) ( ) ( )(1) (1) (1)( ) exp( / ),0exp( / ), 0